3
BAB II
TINJAUAN PUSTAKA
Pada bab ini, diberikan definisi dasar dari teori graf, definisi operasi comb. Bab ini juga akan dijelaskan mengenai definisi dari himpunan dominasi dan himpunan dominasi-lokasi dari sebuah graf.
2.1 Graf
Graf pada umumnya dipresentasikan sebagai sebuah titik dan sisi yang saling terhubung. Banyak masalah di kehidupan nyata dapat dimodelkan ke dalam graf.
Contohnya adalah pada diagram alir, bagan pengurus pada suatu organisasi. Graf juga bisa membantu dalam mencari jalur tercepat.
2.1.1 Definisi Graf
Suatu graf 𝐺 adalah pasangan (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), terdiri dari himpunan tak kosong 𝑉(𝐺) dengan anggota dari 𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, … . , 𝑣𝑛} yang disebut titik di 𝐺 sedangkan 𝐸(𝐺) disebut sisi. Suatu sisi di 𝐺 dapat dituliskan sebagai 𝑒1 = 𝑣1𝑣2 atau {𝑣1, 𝑣2} dimana sisi 𝑒1 menghubungkan titik 𝑣1 dan 𝑣2.
Berdasarkan definisi di atas, perhatikan contoh pada Gambar 2.1
Gambar 2.1 Contoh Graf
Graf G pada Gambar 2.1 merupakan graf sederhana dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣1,𝑣2,𝑣3, 𝑣4}, 𝐸(𝐺) = {𝑒1,𝑒2,𝑒3} 𝑒1 = {𝑣1,𝑣2}, 𝑒2 = {𝑣2,𝑣3} , 𝑒3 = {𝑣2,𝑣4}
Banyaknya sisi yang menempel pada titik 𝑣 di Graf 𝐺 disebut derajat dari titik 𝑣, dinotasikan sebagai 𝑑(𝑣) (Bondy & Murty, 1977). Sebagai contoh derajat titik 𝑣2
4
pada Gambar 2.1 adalah 𝑑(𝑣2) = 3 karena titik 𝑣2 ditempeli dengan 3 sisi.
Banyaknya titik pada suatu graf 𝐺 disebut orde dari 𝐺 yang dinotasikan sebagai |𝐺|.
Graf yang hanya mempunyai 1 titik disebut sebagai graf trivial (Bondy & Murty, 1977). Pada Gambar 2.1 graf 𝐺 berorde 4. Graf 𝐺 termasuk graf sederhana dimana syarat dari graf sederhana adalah pada suatu graf tersebut tidak terdapat double edge dan loop (Bondy & Murty, 1977). Jika terdapat dua titik di 𝑉(𝐺) yang dihubungkan oleh sisi yang sama maka kedua titik tersebut dapat dikatakan bertetangga di 𝐺.
Pada gambar 2.1 titik 𝑣1 dan 𝑣2 bertetangga di 𝐺 sedangkan titik 𝑣1 dan 𝑣3 tidak bertetangga karena tidak ada sisi yang menghubungkan 𝑣1 dan 𝑣3.
2.1.2 Graf Lintasan (𝑷𝒏)
Suatu graf dikatakan terhubung jika untuk setiap pasang simpul 𝑣𝑖 dan 𝑣𝑗 di 𝑉(𝐺) terdapat lintasan dari 𝑣𝑖 ke 𝑣𝑗. Suatu lintasan di 𝐺 merupakan barisan 𝑃 = (𝑃1, 𝑃2, … . , 𝑃𝑛) dimana 𝑃𝑖 ∈ 𝑉(𝐺) dan 𝑃𝑖𝑃𝑖+1∈ 𝐸(𝐺) dengan 𝑃𝑖≠ 𝑃𝑗 jika 𝑖 ≠ 𝑗.
Panjang lintasan adalah jumlah sisi dalam lintasan (Hasmawati, 2015). Untuk memperjelas definisi maka akan diperlihatkan graf lintasan pada Gambar 2.2
Gambar 2.2 Contoh Graf 𝐺1
Pada Gambar 2.2 graf 𝐺1 terdiri atas 𝑉(𝐺1) dan 𝐸(𝐺1) dengan 𝑉(𝐺1) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5} dan 𝐸(𝐺1) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5} , dimana 𝑒1= {𝑣1, 𝑣3}, 𝑒2 = {𝑣1, 𝑣2}, 𝑒3= {𝑣2, 𝑣3}, 𝑒4 = {𝑣3, 𝑣4}, 𝑒5 = {𝑣4, 𝑣5}. Contoh lintasan pada graf 𝐺1 adalah (𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5) dengan panjang lintasan pada graf 𝐺1 memiliki Panjang 4.
5 2.1.3 Graf Siklus (𝑪𝒏)
Graf siklus (𝐶𝑛) adalah graf terhubung sederhana yang setiap titiknya berderajat dua, dengan kata lain setiap titiknya ditempeli 2 sisi. Pengertian siklus sendiri bisa berarti lintasan yang berawal dan berakhir pada simpul/titik yang sama.
Berdasarkan definisi sebelumnya, perhatikan contoh pada Gambar 2.3
Gambar 2.3 Contoh Graf Siklus
Graf 𝐺 pada Gambar 2.3 merupakan graf siklus orde 5 (𝐶5) dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣1,𝑣2,𝑣3, 𝑣4, 𝑣5}, 𝐸(𝐺) = {𝑒1,𝑒2,𝑒3, 𝑒4, 𝑒5}
𝑒1 = {𝑣1,𝑣2}, 𝑒2 = {𝑣2,𝑣3} , 𝑒3 = {𝑣3,𝑣4} , 𝑒4 = {𝑣4,𝑣5}, 𝑒5 = {𝑣5,𝑣1} Graf 𝐻 di atas merupakan graf siklus orde 4 (𝐶4) dengan
𝑉(𝐺) = {𝑢1,𝑢2,𝑢3, 𝑢4}, 𝐸(𝐺) = {𝑎1,𝑎2,𝑎3, 𝑎4} 𝑎1 = {𝑢1,𝑢2}, 𝑎2 = {𝑢2,𝑢3} , 𝑎3 = {𝑢3,𝑢4} , 𝑎4 = {𝑢4,𝑢1}
Pada gambar 2.3 titik 𝑣1 dan 𝑣2 bertetangga di 𝐺 sedangkan titik 𝑣1 dan 𝑣3 tidak bertetangga karena tidak ada sisi yang menghubungkan 𝑣1 dan 𝑣3.
2.1.4 Himpunan Tetangga
Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), himpunan tetangga dari titik pada graf 𝐺 dinotasikan sebagai 𝑁𝐺(𝑣), merupakan himpunan yang anggotanya semua titik yang berbetangga dengan 𝑣 di 𝐺. Sedangkan untuk graf 𝐻 himpunan tetangganya di notasikan sebagai 𝑁𝐻(𝑢). Untuk sembarang sub himpunan 𝑆 dari suatu himpunan titik suatu graf 𝐺, maka himpunan tetangga dari 𝑆 dinotasikan sebagai 𝑁𝐺(𝑆), merupakan himpunan yang anggotanya semua titik di 𝐺 selain 𝑆 yang memiliki tetangga di 𝑆 (Pribadi & Saputro, 2020).
6
Sebagai contoh dari himpunan tetangga, perhatikan graf 𝐺 pada Gambar 2.2 ,masing-masing titik pada graf tersebut akan memiliki himpunan tetangga sebagai berikut,
𝑁(𝑣1) = {𝑣2, 𝑣3} 𝑁(𝑣3) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣4} 𝑁(𝑣5) = {𝑣4} 𝑁(𝑣2) = {𝑣1, 𝑣3} 𝑁(𝑣4) = {𝑣3, 𝑣5}
kemudian untuk 𝑆 sebagai sub-himpunan titik di 𝐺, kita misalkan 𝑆1 = {𝑣1,𝑣2}, 𝑆2 = {𝑣2,𝑣3}, dan 𝑆3 = {𝑣3,𝑣5} adalah subhimpunan titik dari graf 𝐺 pada gambar 2.3,maka
𝑁𝐺(𝑆1) = {𝑣3, 𝑣5} , 𝑁𝐺(𝑆2) = {𝑣1, 𝑣4} , 𝑁𝐺(𝑆3) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣4}
2.1.5 Operasi Comb pada Graf
Misalkan 𝐺 dan 𝐻 dua graf terhubung, dengan 𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑔} dan 𝑉(𝐻) = {𝑢1, 𝑢2, … , 𝑢ℎ−1, 𝑢𝑜}. Hasil kali comb antara 𝐺 dan 𝐻 dinotasikan sebagai (𝐺 ⊳∘ 𝐻). Hasil kali comb adalah graf yang didapat dari membuat satu duplikasi dari 𝐺 dan membuat duplikasi 𝐻 sebanyak orde dari 𝐺, lalu mencangkokkan titik 𝑢𝑜 dari duplikasi 𝐻 ke-𝑖 pada titik ke-𝑖 dari 𝐺 (Pribadi & Saputro, 2020).
Berdasarkan definisi diatas diperoleh graf (𝐺 ⊳∘𝐻) adalah graf dengan
𝑉(𝐺 ⊳∘𝐻) = {𝑣𝑖𝑘|𝑡𝑖 ∈ 𝑉(𝐺), 𝑢𝑘 ∈ 𝑉(𝐻)} dan 𝑣𝑖𝑘𝑣𝑗𝑙 ∈ 𝐸(𝐺 ⊳∘ 𝐻) jika 𝑖 = 𝑗 dan 𝑢𝑘𝑢𝑙 ∈ 𝐸(𝐻), atau 𝑡𝑖𝑡𝑗 ∈ 𝐸(𝐺) dan 𝑘 = 𝑜 = 𝑙.
Misalkan 𝑆 = {1, … . , |𝑉(𝐺)|}, definisikan himpunan 𝑋 = {𝑣𝑖𝑜|𝑖 ∈ 𝑆}, kita sebut 𝑋 sebagai representasi titik 𝐺 di 𝑆. Didefinisikan juga 𝐻𝑖= {𝑣𝑖1, 𝑣𝑖2, … , 𝑣𝑖(ℎ−1), 𝑣𝑖𝑜}, kita sebut 𝐻𝑖 sebagai representasi ke-𝑖 dari 𝐻. Misalkan 𝐻𝑖− = 𝐻𝑖\𝑣𝑖𝑜 maka 𝐻𝑖− dan 𝑋 akan membentuk partisi di 𝑉(𝐺 ⊳∘𝐻) (Pribadi &
Saputro, 2020).
Berdasarkan definisi-definisi diatas akan diberikan contoh dari operasi comb dari 𝐶4 ⊳∘𝐶3
7
Gambar 2.4 Contoh Graf Hasil Operasi Comb
2.2 Dominasi-Lokasi
Suatu parameter pada graf adalah sebuah fungsi ∅ ∶ 𝐺 ⟶ ℝ dimana 𝐺 himpunan graf terbatas dan ℝ himpunan bilangan real. Bilangan dominasi dan dominasi- lokasi merupakan salah satu parameter yang dikaji dalam teori graf. Pada sub-bab ini akan dijelaskan mengenai bilangan dominasi dan dominasi-lokasi.
2.2.1 Himpunan Dominasi
Sebuah gedung diharuskan mempunyai tingkat keamanan yang mencukupi terutama pada pencegahan bencana contohnya alarm peringatan kebakaran.
Penempatan pendeteksi kebakaran sangat penting dalam sebuah gedung. Dalam hal ini menjadi salah satu penerapan dari bilangan dominasi, Jika ruangan di dalam gedung dianggap sebagai titik dan ruangan yang berdekatan dianggap sebagai dua titik yang bertetangga, maka didapatkan graf yang mereprentasikan gedung tersebut. Sebelum menempatkan alat pendeteksi kebakaran dalam gedung, dimana setiap pendeteksi dapat mendeteksi ada tidaknya kebakaran pada ruangan dimana alat tersebut ditempatkan dan ruangan tetangganya. Oleh karena itu dimisalkan 𝐷 adalah himpunan ruangan yang diberikan pendeteksi, sehingga ruangan lain yang bertetangga dengan 𝐷 mendapatkan jangkauan pendeteksi. Dalam hal ini himpunan 𝐷 disebut sebagai himpunan dominasi (Pribadi & Saputro, 2020).
8
Definisi 2.2.1 (Himpunan Dominasi). Himpunan titik 𝐻 ⊆ 𝑉(𝐺) dikatakan himpunan dominasi dari 𝐺 jika setiap titik di 𝑉(𝐺) yang bukan merupakan anggota dari 𝐻 memiliki tetangga di 𝐻, atau ∀𝑣 ∈ 𝑉(𝐺)\𝐻, berlaku (𝑁(𝑣) ∩ 𝐻) ≠ ∅.
Dalam memilih himpunan ruangan tentunya yang diinginkan seminimum mungkin alat pendeteksi. Sehingga anggaran yang dikeluarkan dalam pembelian alat pendeteksi tersebut minim. Untuk itu diperkenalkanlah istilah bilangan dominasi (Pribadi & Saputro, 2020).
Definisi 2.2.2 (Bilangan Dominasi). Himpunan dominasi dari 𝐺 dengan kardinalitas minimum disebut 𝛾𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒. Kardinalitas dari 𝛾𝐺 − 𝑐𝑜𝑑𝑒 disebut bilangan dominasi dari 𝐺, dinotasikan dengan 𝛾(𝐺).
Gambar 2.5 Contoh himpunan 𝛾𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒 (kanan) pada graf 𝐶5
Misalkan himpunan 𝐷1 = {𝑣2, 𝑣3, 𝑣5} dan 𝐷2 = {𝑣2, 𝑣5}. Seperti dijelaskan pada definisi 2.2.2 dimana 𝐷1 termasuk himpunan dominasi namun bukan kardinalitas minimum oleh karena itu 𝐷2 yang mempunyai kardinalitas minimum termasuk 𝛾𝐺 − 𝑐𝑜𝑑𝑒.
Contoh 2.2.3. Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), dengan
𝑉(𝐺) = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣3, 𝑣4, 𝑣5, 𝑣6}, 𝐸(𝐺) = {𝑒1, 𝑒2, 𝑒3, 𝑒4, 𝑒5, 𝑒6} 𝑒1 = 𝑣1𝑣2 𝑒3 = 𝑣3𝑣4 𝑒5 = 𝑣5𝑣6
𝑒2 = 𝑣2𝑣3 𝑒4 = 𝑣4𝑣5 𝑒6 = 𝑣1𝑣6
Dari definisi dan keterangan sebelumnya, maka himpunan dominasi, 𝐷 = {𝑣1, 𝑣4} maka representasi grafnya adalah sebagai berikut.
9
Gambar 2.6 Contoh Himpunan Dominasi
2.2.2 Bilangan Dominasi-Lokasi
Jika ingin menempatkan pendeteksi pada sejumlah ruangan 𝐷 agar dapat ditentukan ruangan mana yang mengalami kebakaran, maka haruslah setiap titik selain di 𝐷 mempunyai tetangga yang berbeda terhadap 𝐷. Dalam hal ini himpunan titik tersebut akan disebut sebagai himpunan dominasi-lokasi (Pribadi & Saputro, 2020).
Definisi 2.2.4 (Himpunan dominasi-lokasi). Himpunan 𝐷 ⊆ 𝑉(𝐺) dikatakan himpunan dominasi lokasi dari 𝐺 jika untuk setiap dua titik berbeda 𝑢, 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺)\𝐷, berlaku ∅ ≠ (𝑁(𝑢) ∩ 𝐷) ≠ (𝑁(𝑣) ∩ 𝐷) ≠ ∅.
Definisi 2.2.5 (Bilangan dominasi-lokasi). Himpunan dominasi-lokasi dari 𝐺 dengan kardinalitas minimum dapat disebut 𝜆𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒. Kardinalitas dari 𝜆𝐺− 𝑐𝑜𝑑𝑒 bisa disebut bilangan dominasi-lokasi dari 𝐺,dinotasikan dengan 𝜆(𝐺).
Gambar 2.7 Contoh himpunan 𝜆𝐺 − 𝑐𝑜𝑑𝑒 (tengah) pada graf 𝐶6
Misalkan himpunan 𝐷1 = {𝑣1, 𝑣2, 𝑣4, 𝑣6}, 𝐷2 = {𝑣2, 𝑣4, 𝑣6}, dan 𝐷3 = {𝑣3, 𝑣6}.
Seperti dijelaskan pada definisi 2.2.5 dimana 𝐷1 termasuk himpunan dominasi- lokasi namun bukan kardinalitas minimum sedangkan 𝐷3 bukan merupakan himpunan dominasi-lokasi oleh karena itu 𝐷2 yang merupakan himpunan dominasi- lokasi dan mempunyai kardinalitas minimum termasuk 𝛾𝐺 − 𝑐𝑜𝑑𝑒.
10
Contoh 2.2.6 Misalkan 𝐺 = (𝑉(𝐺), 𝐸(𝐺)), graf yang sama dengan graf pada graf sebelumnya. Misalkan 𝐷2 = {𝑣1, 𝑣3, 𝑣5}, maka 𝐷2 merupakan himpunan dominasi- lokasi karena titik 𝑣2,𝑣4, dan 𝑣6 memiliki himpunan tetangga yang berbeda di 𝑆.
Gambar 2.8 Contoh himpunan Dominasi-Lokasi (Himpunan 𝐷2)
2.2.3 Penelitian Sebelumnya
Pada tahun 1958 Claude Berge pertama kali mendefinisikan bilangan dominasi.
Kemudian Slater mengembangkan lagi konsep dominasi-lokasi pada tahun 1987.
Sampai saat ini banyak hasil yang didapat dari penelitian dan kajian dua bilangan tersebut. Contoh penelitian sebelumnya yang berkaitan dengan bilangan dominasi dan dominasi lokasi yaitu penelitian oleh Anuar Kadir dan Ariestha tentang
“Mengidentifikasi Bilangan Dominasi Lokasi pada Graf Bintang Kipas” (Kadir dkk., 2019).
Pada tahun 2020 Elishabet Yohana,dkk juga meneliti bilangan dominasi lokasi dengan graf yang berbeda yaitu graf pan (Fransiskus Fran, 2020). Jauh sebelum itu pada tahun 2012 José Cáceres dan lainnya berhasil menemukan dan menentukan bilangan dominasi dan dominasi-lokasi dari beberapa keluarga graf namun mereka memberikan syarat batasan untuk nilai-nilai tersebut. Berdasarkan hasil penelitian sebelumnya dari José Cáceres, dkk pada tahun 2020, Penentuan bilangan dominasi lokasi pada graf siklus akan ditunjukkan pada Gambar 2.9
11
Gambar 2.9 Tabel parameter dominasi-lokasi dari beberapa keluarga graf.
Dari hasil penelitian tersebut, kita bisa memanfaatkan parameter bilangan dominasi-lokasi dari graf siklus (𝐶𝑛) untuk menentukan bilangan dominasi-lokasi dari dua graf siklus hasil operasi comb. Selain itu diperlukan juga penelitian yang lainnya untuk klasifikasi bilangan dominasi-lokasi dari dua graf siklus hasil operasi comb. Berdasarkan hasil penelitian dari Aswan Anggun Pribadi dan Suhadi Wido Saputro pada tahun 2020, penentuan klasifikasi bilangan dominasi-lokasi hasil operasi comb adalah sebagai berikut :
Theorema 2.1. Misalkan 𝐷 adalah himpunan dominasi-lokasi dari 𝐻\𝑢𝑜 maka,
𝜆(𝐺 ⊳∘ 𝐻)
{
𝛾(𝐺) + (|𝑉(𝐺)| × (𝜆(𝐻) − 1)) ,∃𝐷, |𝐷| = 𝜆(𝐻) − 1 𝑑𝑎𝑛
∃𝐷, |𝐷| = 𝜆(𝐻) − 1, 𝑁(𝑢𝑜) ∩ 𝐷 ≠ ∅
𝜆(𝐺) + (|𝑉(𝐺)| × (𝜆(𝐻) − 1)) ,∃𝐷, |𝐷| = 𝜆(𝐻) − 1 𝑑𝑎𝑛
∀𝐷, |𝐷| = 𝜆(𝐻) − 1, 𝑁(𝑢𝑜) ∩ 𝐷 = ∅
|𝑉(𝐺)| × 𝜆(𝐻) , ∀𝐷, |𝐷| ≠ 𝜆(𝐻) − 1
Dari teorema tersebut kita dapat membagi karakteristik dari graf 𝐻 ke beberapa tipe berdasarkan identifikasi titik.
• Tipe A jika terdapat 𝐷 sebagai himpunan dominasi-lokasi dari 𝐻\{𝑜}
dimana |𝐷| = 𝜆(𝐻) − 1 dan terdapat 𝑣 ∈ 𝑉(𝐻)\{𝑜} yang memenuhi ∅ ≠ 𝑁𝐻(𝑜) ∩ 𝐷 = 𝑁𝐻(𝑣) ∩ 𝐷 ≠ ∅ .
• Tipe B jika untuk setiap 𝐷sebagai himpunan dominasi-lokasi dari 𝐻\{𝑜}
dimana |𝐷| = 𝜆(𝐻) − 1 memenuhi 𝑁𝐻(𝑜) ∩ 𝐷 = ∅ .
12
• Tipe C jika untuk setiap 𝐷 sebagai himpunan dominasi-lokasi dari 𝐻\{𝑜}
dimana |𝐷| ≥ 𝜆(𝐻) .
Berdasarkan penelitian dan kajian sebelumnya yang telah dilakukan, peneliti tertarik untuk menganalisa teori bilangan dominasi dan bilangan dominasi-lokasi pada hasil operasi comb pada graf siklus. Pada awal penelitian ini peneliti ingin menentukan bilangan dominasi dan bilangan dominasi-lokasi pada hasil operasi comb pada graf siklus agar nantinya dapat dikelompokkan menjadi tiga tipe klasifikasi.
