Bab 5 Hukum Biot Savart
Kita sudah cukup banyak membahas tentang kemagnetan pada Bab 4. Namun kita lebih menekankan pada medan magnet yang dihasilkan oleh magnet permanen. Pertanyaan berikutnya adalah apakah hanya magnet permanen yang dapat menghasilkan medan magnet? Adakah cara lain menghasilkan medan magnet?
Ternyata jawabannya ada yaitu dengan cara induksi. Medan magnet dapat dihasilkan juga oleh arus listrik. Kesimpulan ini dapat ditunjukkan dengan pengamatan sederhana berikut ini. Jika di sekitar kawat konduktor kalian dekatkan sebuah jarum kompas, kalian tidak mengamati efek apa-apa pada jarum tersebut. Tetapi, begitu kawat dialiri arus listrik, kalian mengamati pembelokan yang dilakukan jarum kompas. Pengamatan ini menunjukkan bahwa kehadiran arus listrik menyebabkan munculnya medan magnet, dan medan magnet inilah yang mempengaruhi jarum kompas
Gaya Lorentz yang dilakukan oleh medan magnet pada arus listrik dapat dipandang sebagai gaya antar dua buah magnet karena arus listrik menghasilkan medan magnet di sekitarnya. Pada bab ini kita akan bahas proses terbentuknya medan magnet di sekitar arus listrik. Dengan penekanan pada penggunaan hokum Biot Savart untuk menentukan medan tersebut.
5.1 Hukum Biot Savart
Berapa besar medan magnet di sekitar arus listrik? Besarnya medan magnet di sekitar arus listrik dapat ditentukan dengan hukum Biot-Savart. Misalkan kita memiliki sebuah kawat konduktor yang dialiri arus I. Ambil elemen kecil kawat tersebut yang memiliki panjang dL. Arah dL sama dengan arah arus. Elemen kawat tersebut dapat dinyatakan dalam notasi vector . Misalkan kita ingin menentukan medan magnet pada posisi P dengan vector posisi
L dr
rr terhadap elemen kawat.
ambar 5.1 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat
uat medan magnet di titik P yang dihasilkan oleh elemen L
dr
rr
P I
L dr
rr
P I
G
L dr
saja diberikan oleh hokum K
Biot-Savart
4 r3
r L I d B
d o
r r
r = ×
π
µ (5.1)
engan µo disebut permeabilitas magnetic vakum = 4π × 10-7 T m/A.
edan total di titik P yang dihasilkan oleh kawat diperoleh dengan mengintegral persamaan d
M
(5.1), yaitu
∫
×= 3
4 r
r L I d
B o
r r r
π
µ (5.2)
enyelesaian integral persamaan (5.2) sangat bergantung pada bentuk kawat. Untuk kawat yang
ada bagian ini kita akan mencari medan magnet di sekitar kawat yang bentuknya sederhana.
.2 Medan Magnet oleh Kawat Lurus Tak Berhingga
berhingga dimudahkan oleh arah vector
ambar 5.2 Menentukan kuat medan magnet yang dihasilkan oleh elemen kawat lurus panjang
ebelum melakukan integral, kita harus menyederhanakan dulu ruas kanan persamaan (5.2).
P
bentuknya rumit, penyelesaian tidak dapat dilakukan dengan mudah. Kita harus menggunakan komputer untuk mencari medan magnet.
P
Dengan bentuk yang sederhana maka integral menjadi relatif mudah untuk dikerjakan.
5
Mencari medan magnet yang dihasilkan kawat lurus tak L
dr
yang selalu tetap, yaitu mengikuti arah kawat.
L dr
rr
I
P
L dr
rr
I
P
G
S
Misalkan titik P berjarak a dari kawat (arah tegak lurus). Dengan aturan perkalian silang maka
θ sin r dL r L dr× r =
(5.3)
10 Juni 2016
engan θ adalah sudut antara vector
d dLr
dan rr. Dengan demikian, besar medan magnet yang dihasilkan vector dLr
saja adalah
2 3
3
sin 4
sin 4
4 r
I dL r
r I dL r
r L d I
dB o o o θ
π θ µ π
µ π
µ × = =
=
r r
(5.4)
ada ruas kanan persamaan (5.4), baik dL, r, maupun sin θ merupakan variable. Agar integral
ambar 5.3 Variabel-variebal integral pada persamaan (5.4) P
dapat dikerjakan maka ruas kanan hanya boleh mengandung satu variable. Oleh karena itu kita harus menyatakan dua variable lain ke dalam salah satu variable saja. Untuk maksud ini, mari kita lihat gambar berikut ini.
P
I
a L
dL
θ
r dθ
P
I
a L
dL
θ
r dθ
G
Tampak dari Gbr 5.3 bahwa
θ
=sin a r
atau
θ
2 2
2 1 sin
r1 = a (5.5)
θ
=tan L a
atau
θ θ θ sin
cos tana a
L= = (5.6)
an kanan persamaan (5.6) diperoleh d
⎥⎦⎤
⎡ −
= θ θ (sinθ)
) cos
(cos d
a d
dL ⎢⎣ sinθ sin2θ
θ θ θ θ θ
θ θ θ
θ θ θ
θ θ
θd d a d a d
a 2
2 2
2 2
2 sin
cos sin
sin 1 cos sin
cos cos sin
sin ⎥ =− +
⎦
⎢ ⎤
⎣
⎡ +
−
⎥⎦ =
⎢⎣ ⎤
⎡− −
=
= θ
θ sin2
a d
− (5.7)
r
Substitusi dan dL dari persamaan (5.5) dan (5.7) ke dalam persamaan (5.4) diperoleh
θ θ θ
θ π
µ sin sin
sin
4 2
2 ⎞
⎞⎛
⎛ ad
2 ⎟⎟
⎜⎜ ⎠
⎟⎝
⎜ ⎠
⎝−
= o I a
dB
θ π θ
µ d
a
o I 4 sin
−
= (5.8)
Tampak bahwa ruas kanan hanya m
a, maka atas bawah adalah L → -∞ dan batas atas adalah L → +∞. Karena
engandung variable θ sehingga dapat diintegralkan.
Selanjutnya kita menentukan batas-batas integral. Karena kawat panjang tak berhingg
b tanθ =a /L, maka untuk L
. Dengan de
→ -∞ diperoleh tan θ → -0 atau θ = 180o, dan maka untuk L → +∞ diperoleh tan θ → +0 atau θ
= 0o. Jadi batas bawah integral adalah 180o dan batas atas adalah 0o mikian, medan magnet total yang dihasilkan kawat adalah
∫
−
=
I 0o
B µ
o
a d
o
180
4 sinθ θ π
[ ] [
1 ( 1)]
cos 4 4
0
180 =− − + −
−
−
= a
I a
I o
o o
o π
θ µ π
µ
a
o I π µ
= 2 (5.9)
Ke manakah arah m
turan tangan kanan. Jika kalian genggam empat jari tangan kanan dan ibu jari dibiarkan lurus
h jari-jari yang digenggam bersesuaian dengan arah medan magnet di sekitar arus tersebut edan magnet yang dihasilkan arus liatrik? Kalian dapat menentukan dengan a
maka
i) Arah ibu jari bersesuaian dengan arah arus ii) Ara
anan atau sekrup putar kanan.
krup sesuai dengan arah medan magnet.
liri arus 15 A. Berapa uat medan magnet pada jarak 15 cm dari kabel tersebut?
Gambar 5.4 Arah medan magnet di sekitar arus listrik dapat ditentukan dengan aturan tangan k
Cara lain adalah berdasarkan arah masuk sekrup putar kanan. Arah masuk sekrup sesuai dengan arah arus sedangkan arah putar se
Contoh
Kabel jumper yang sering digunakan untuk menstater kendaraan sering dia k
Jawab
6
7 15 10
10− = −
=
= I
B µo
15 T , 0 4π a
5.3 Medan magnet oleh kaw
ekarang kita akan membahas kasus yang sedikit rumit, yaitu menentukan medan magnet yang ihasilkan oleh arus listrik pada kawat lurus yang panjangnya berhingga. Misalkan kita memiliki kuat medan magnet pata titik yang berjarak a at lurus berhingga
S d
kawat yang panjangnya L. Kita akan menentukan
dari kawat dan dan sejajar dengan salah satu ujung kawat. Lihat Gambar 5.5
Untuk menentukan kuat medan magnet di titik pengamatan menggunakan hukum Biot-Savart, kita tentukan variabel-variabel seperti pada Gbr. 5.6
hingga
Gambar 5.6 V an kuat medan magnet di posisi yang sejajar ujung kawat
erupa dengan pembahasan untuk kawat yang panjangnya tak berhingga, besar medan magnet Gambar 5.5 Menentukan medan magnet oleh kawat lurus yang panjangnya ber
Lo
a I
P
Lo
a I
P
a
L dL
θ
P r
Lo-L = a/tanθ a
L dL
θ
P r
Lo-L = a/tanθ
ariabel-variabel untuk menentuk
S
yang dihasilkan vector dLr
saja adalah
4 2
sin r I dL
o θ
dB π
= µ (5.4)
ampak dari Gbr 5.6 bahwa T
θ
=sin r a
tau a
θ
2 2
2 1 sin
1
= a r
θ tan L a Lo − =
engan demikian, D
θ θ sin2
a d dL=−
− (5.5)
tau a
θ θ sin2
a d
dL= (5.10)
engan substitusi variable-variabel di atas (lihat pembahasan untu kawat panjang tak berhingga) kita akan dap
D
atkan
θ π θ
µ d
dB asin
= 4o I (5.11)
etika elemen dL berada di ujung kiri kawat, maka sudut yang dibentuk adalah θm yang memenuhi
K
o
m L
= a
θ (5.12)
an ketika elemen dL berada di ujung kanan kawat maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Jadi, batas integra
tan
D
l adalah 90o sampai θm. Maka kita dapatkan medan magnet di titik P adalah
∫
=
m
a d B o I sin
4 θ θ θ
π µ 90o
[ ] [
m]
o o o
a I a
I o
m θ
π θ µ
π µ
θ cos90 cos
cos 4 4
90 = − +
−
=
m o
a
I θ
π µ cos
= 4 (5.13)
Dengan menggunakan persamaan (5.12) kita mendapatkan
2 2
cos m o
L a + θ =
o
L
Dengan demikian, kuat medan magnet di titik P adalah
2
4 2
o o
L a a
B= +
π o
I L
µ (5.14)
Jika panjang kawat di satu sisi sangat besar, atau Lo →∞ maka . Dengan emikian
2 2 2
o
o L
L
a + ≈
d
a I L
L B o a
π
= 4 I o
o o
π µ µ
4
2 = (5.15)
Besar medan ini persis
panjangnya tak berhingga di dua sisi.
sama dengan setengah dari kuat medan yang dihasilkan oleh kawat yang
Sebaliknya jika kawat cukup pendek dibandingkan dengan jarak pengamatan, yaitu a>>Lo ka a2 +L2 ≈a2. Dengan demikian
ma o
2 4 2
4 a
IL I L
B µo o µo o
=
= (5
a a π
π .16)
Selanjutnya kita bahas k
dua ujung kawat. Misalkan titik tersebut berjarak a dari kawat dan berjarak b dari salah satu jung kawat. Kasus ini sebenarnya tidak terlalu sulit. Kita dapat memandang bahwa medan asus yang lebih umum lagi di mana titik pengamatan berada di antara u
tersebut dihasilkan oleh dua potong kawat yang panjangnya b dan panjangnya Lo – b, seperti pada Gbr. 5.7, di mana titik pengamatan berada di ujung masing-masing potongan kawat tersebut.
Kuat medan yang dihasilkan oleh potongan kawat kiri adalah
2 1 2
4π a a +b b
o I
= µ
(5.17)
Kuat medan yang dihasilkan oleh potongan kawat kanan adalah B
Lo P
Gambar 5.7 Menentukan kuat medan magnet pada posisi sembarang di sekitar kawat
2 2 2
)
4 a (L b
b L a
B I
o o o
− +
= − π
µ (5.18)
Kuat medan total di titik pengamatan adalah
2
1 B
B B= +
⎟⎟
⎜⎜
− + + −
= +
2 2
2
2 ( )
4 a L b
b L b
a b a
I o
o
π µ
⎠
⎞
⎝
⎛
o
(5.19)
Selanjutnya kita mencari kuat medan listrik pada titik yang berada di luar areal kawat, misalnya pada jarak b di sebelah kiri kawat. Liha
agaimana memecahkan masalah ini? Kita pakai trik sederhana. Masalah ini dapat dipandang ebagai dua potong kawat berimpit. Satu potong kawat panjangnya dan dialiri arus ke asi pada Gbr .9. Besar arus yang mengalir pada dua kawat sama. Ujung kiri dua potongan kawat diimpitkan.
t Gambar 5.8
Gambar 5.8 Menentukan kuat medan magnet pada jarak sembarang di luar kawat.
B
s Lo + b
kanan dan potong kawat lain panjangnya b dan dialiri arus ke kiri, seperti diilustr 5
Kuat medan magnet yang dihasilkan potongan kawat panjang adalah a
Lo-b b
Lo a P
II Lo-b
b
a Lo
I P
b a Lo
I P
b
2 1 2
) (L b
a o
4 a
o o
+
= +
π (5.20)
b
I L +
B µ
a Lo
I P
b
I a Lo
I P
b
I
Gambar 5.9 Kawat pengganti skema pada Gbr 5.8
Kuat medan magnet yang dihasilkan potongan kawat pendek adalah
2 2 2
4 a b
b B =−µo I
a +
π (5.21)
anda minus menyatakan bahwa arah medan yang dihasilkan potongan kawat pendek berlawanan dengan ara
dua potongan tersebut berbeda. Medan total di titik P T
h medan yang dihasilkan potongan kawat panjang karena arah arus dalam adalah
2
1 B
B B= +
⎟⎟
⎠
⎞
⎛ L +b b
µ I
⎜⎜
⎝ − +
+
+( )2 2 2
4 a a L b a b
o o o
π (5.22)
5.4 Medan Magnet oleh Cincin Cincin adalah bentuk geometri lain yan
cukup mudah menggunakan hokum Biot-Savart. Lebih khusus lagi jika kita ingin menghitung uat medan magnet sepanjang sumbu cincin.
lemen cincing sepanjang dL adalah
= 2
g memungkinkan kita menentukan medan magnet dengan k
Misalkan sebuah cincin dengan jari-jari a dialiri arus I. Kita ingin menentukan kuat medan magnet sepanjang sumbu cincin pada jarak b dari pusat cincin. Berdasarkan Gbr 5.10, besarnya medan magnet di titik P yang dihasilkan oleh e
2
sin
4 r
I dL
dB o θ
π
= µ
ampak pada Gbr 5.10, dL selalu tegak lurus r sehingga θ = 90o atau sin θ = 1. Dengan Gambar 5.10 Medan magnet di sumbu cincin yang dihasilkan oleh elemen pada cincin
T
demikian,
4 r2
I dL dB o
π
= µ (5.23)
Tampak juga dari Gbr 5.10, dB dapat diuraikan komponen tegak lurus dan sejajatr sum
atas dua komponen yang saling tegak lurus, yaitu bu. Besarnya nilai komponen-komponen tersebut adalah α
cos dB
dB⊥ = (5.24a)
α
// dBsin
dB = (5.24b)
Tiap elemen ka tegak lurus sum
omponen tersebut saling meniadakan. Oleh karena itu, untuk menentukan kuat medan total kita wat memiliki pasangan di seberangnya (lokasi diametrik) di mana komponen bu memiliki besar sama tetapi arah tepat berlawanan. Dengan demikian ke dua k
cukup melakukan integral pada komponen yang sejajar sumbu saja. Besar medn total menjadi
∫
∫
== dB// dBsinα B
∫
4µπo I dLr2 sinα (5.25)θ
ar b
I dB⊥
dB//
dB
α α
P
θ
ar b
I dB⊥
dB//
dB
α α
P
=
Semua parameter dalam integral konstan kecuali dL. Dengan demikian kita peroleh
) 2 ( 4 sin
4 2 sin 2 a
r dL I
r
B o I o α π
π α µ
π
µ =
=
∫
µ 2 α 2 ⎟ sin
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ r a a
o I
(5.26) Dari gambar 5.10 tampak bahwa
=
α sin /r=
a . Akhirnya kita dapatkan
µ 3α 2 asin
B= o I
ntuk kasus khusus titik di pusat lingkaran, kita dapatkan α = 90o sehingga
(5.27)
U
a B o I
2
= µ (5.28)
rah medan magnet yang dihasilkan cincin dapat ditentukan juga dengan aturan tangan kanan.
Kalian ge arah genggam
uperposisi medan yang dihasilkan elemen-elemen cincin menghasilkan medan total seperti pada
Gambar 5.1
Contoh
ita memiliki dua cincin konsentris dengan jari-jari a1 dan a2. Masing-masing cincin dialiri arus A
nggam kawat cincin tersebut dengan empat jari. Jika ibu jari searah dengan rus maka an sesarah dengan medan magnet. Karena bentuk cincin yang melengkung maka s
Gambar 5.11
1 Pola medan magnet di sekitar cincin
K
dan I2 dalam arah yang sama. Berapa kuat medan magnet pad alokasi:
in ) pada pusat cincin
Gambar 5.12
a) Kuat medan ma I1
a) berjarak b dari pusat cincin sepanajng sumbu cinc b
Jawab
b
a1 a2 α1
α2
I2 I1 b
a1 a2 α1
α2
I2 I1
gnet yang dihasilkan cincin berarus I1 adalah
1 3 1 1
1 sin
2 α
µ a B = o I
uat medan magnet yang dihasilkan oleh cincin berarus I2 K
2 3 2 2
2 sin
2 α
µ a B = o I
uat medan magnet total K
2 3 2 2 1
3 1 1 2
1 sin
sin 2
2 α µ α
µ
a I a
B I
B + = o + o
=
) Di pusat cincin terpenuhi α1 = α2 = 90o sehingga B
b
2 2 1
1
2
2 a
I a
B µo I µo +
=
5.5 Medan Magnet oleh Busur Lingkaran
ekarang kita anggap cincin bukan lingkaran penuh, tetapi hanya berupa busur dengan sudut keliling θ. Kita ingin mencari berapa kuat medan di sepanjang sumbu cincin yang berjarak b dari pusat cincin. Lihat Gbr 5.13
Gambar 5.13 Menentukan medan magnet di sumbu busur lingkaran yang kurang dari setengah lingkaran
Untuk kasus ini kita mem sumbu dan yang tegak
lurus sumbu. Medan tersebut diperoleh ngintegralkan komponen medan yang iberikan oleh persamaan (5.24a) dan (5.24b). Kuat medan total searah sumbu adalah
S
θ a
r b
I
dB⊥
dB//
α
dB
α
P
θ a
r b
I
dB⊥
dB//
α
dB
α
P
iliki dua komponen medan, yaitu yang searah dengan me
d
∫
= dB dB// sinα
∫
= α
π
µ sin 4 r2
I dL
o
) (
sin
sin panjangbusur
4
4 2 r2
dL I r
I o
o = ×
= µπ α
∫
µπ α⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ×
×
= a
r
o I π
π α θ π
µ 2
sin 2
4 2
θ α π
µ sin
4
2
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
r a a
o I
θ α π
µ 3
4 a sin
o I
= (5.29)
Untuk menentukan kuat medan yang tegak lurus sumbu, ada dua kasus yang harus siperhatikan.
Kasus pertama adalah jika panjang busur kurang dari setengah lingkaran. Dalam kasus ini, tiap elemen busur
horisontal yang saling gak lurus sumbu adalah
tidak memiliki pasangan diameteris yang menghasilkan komponen medan meniadakan. Semua elemen menguatkan medan total. Kuat medan arah te
∫
⊥ = dBcosα
dB
∫
= α
π
µ cos
4 r2 I dL
o
) (
4 cos
4 2 cos 2 α θ
π α µ
π
µ panjangbusurdengan
r dL I
r
I o
o
∫
= ×=
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ ×
×
= a
r
o I π
π α θ π
µ 2
cos 2
4 2
θ α π
µ cos
4
2
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛
r a a
o I
α θ α
π
µ sin cos 4
2
a
o I
= (5.30)
Jika panjang busur lebih dari setengah lingkaran, maka mulai ada pasangan diametris yang menghasilkan medan arah horisontal yang saling meniadakan. Lihat Gbr 5.14
Gambar 5.14 Menentukan kuat medan oleh busur lingkaran yang lebih dari setengah lingkaran
Panjang busur membentuk sudut ak dari Gbr 5.14, dari busur yang ada, sebagian elemen mempunyai pasangan diam ponen medan arah horisontal yang sama esar tetapi berlawanan arah. Hanya bagian busur lingkaran sepanjang 2π - θ yang tidak
2π-θ
2π-θ
2π-θ
2π-θ
θ. Tamp
etris yang menghasilkan kom b
orisontal. Dengan demikian, medan magnetik total arah horisontal adalah
memiliki pasangan diametri sehingga memberi kontribusi pada medan magnet total arah h
∫
⊥ = dBcosα
dB
∫
= α
π
µ cos
4 r2 I dL
o
) 2 (
4 cos
4 2 cos 2 α π θ
π α µ
π
µ = × −
= o rI
∫
dL o rI panjangbusurdengansudur⎜⎝
×⎛
= r
o I α
π
µ cos
4 2 ⎟
⎠
× ⎞
− πa
π θ
π 2
2 2
θ α π π
µ (2 ) cos 4
2
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
− ⎛
= r
a a
o I
α θ α
π π
µ (2 )sin cos 4
2
a
o I −
= (5.31)
Tanpak dari persamaan (5.31), jika terbentuk lingkaran penuh maka θ = 2π dan medan total arah horisontal nol.
.6 Solenoid
awat yang berbentuk pegas. Panjang solenoid dianggap tak berhingga. Pertama ita akan mencari kuat medan magnet di pusat solenoid tersebut.
Gambar 5.15 Contoh solenoid dan pola medan magnet yang dihasilkan.
Jika kita perhatikan, solenoid dapat dipandang sebagai susunan cincin sejenis yang jumlahnya 5
Selanjutnya kita akan menghitung kuat medan magnet yang dihasilkan solenoid ideal. Solenoid adalah lilitan k
k
sangat banyak. Tiap cincin membawa arus I. Medan di dalam solenoid merupakan jumlah dari medan yang dihasilkan oleh cincin-cincin tersebut.
Jika solenoid pada gambar 5.15 dibelah dua maka tampak penampang seperti pada Gbr 5.16.
5.32) Elem
(5.33)
Karena elemen tersebut dapat dipandang sebagai sebuah cincin, maka medan magnet yang ihasilkan di titip P memenuhi persamaan (5.27), dengan mengganti I pada persamaan (5.27) engan dI pada persamaan (5.33). Kita akhirnya peroleh
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
x dx
r
P α a
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
x dx
r
P α a
Gambar 5.16 Penampang solenoid jika dibelah dua.
Misalkan jumlah lilitan per satuan panjang adalah n. Kita lihat elemen solenoid sepanjang dx.
Jumlah lilitan dalam elemen ini adalah ndx
dN = (
en tersebut dapat dipandang sebagai sebuah cincin dengan besar arus Indx
IdN dI = =
d d
µo dI sin3α dB= 2 a
µo Indx 3α
2 a sin (5.34)
ampak dari Gbr 5.16,
=
T
α
=tan x a
atau
α tan
x= a (5.35)
dan
α α sin2
d
dx=− a (5.36)
engan demikian D
α µ α
α α α
µ ad In d
a
dB o In o sin
sin 2 sin
2
3
2 ⎟ =−
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛−
= (5.37)
elanjutnya kita menentukan batas-batas integral. Karena solenoid panjang tak berhingga, maka batas baw
S
al adalah x → -∞ dan batas atas adalah x → +∞. Karena tanα =a/x, maka untuk x α → -0 atau α = 180o, dan maka untuk x → +∞ diperoleh tan α → +0 atau α
→ -∞ diperoleh tan
0o. Jadi batas bawah integral adalah 180o dan batas atas adalah 0o. Dengan demikian, medan et total yang dihasilkan di pusat solenoid adalah
= magn
∫
−
=
o
d In
d o
0
sin
sinα α µ α α
∫
−
=
o o
o
In
B o
180 0
180 2 2
µ
[ ] [
1 ( 1)]
2
2 −cos 1800o 0 =− o In− + −
−µo In α µ
=
onI µ
= (
rah kutub solenoid dapat ditentukan dengan aturan seperti pada Gambar 53.10. Jika kalian 5.38) A
pandang satu kutub solenoid dan menelusuri arah arus, maka jika kalian dapat membentuk hurus S dengan arah arus tersebut maka kutub yang kalian amati merupakan kutub selatan (south).
Sebaliknya, jika kalian dapat memebntuk huruf N dengan arah arus tersebut maka kutub yang kalian amati merupakan kutub utara (north)
ambar 5.17 Salah satu cara menentukan arah kutub magnet yang dihasilkan solenoid.
t di tepi solenoid yang panjangnya berhingga, yaitu Lo. Kita anggap titik pengamatan berada di tepi kanan solenoid. Lokasi pengamatan adalah di sumbu solenoid. Kita tetap dapat menggunakan persamaan (5.34). Berdasarkan Gbr 5.18 kita peroleh
G
5.7 Medan Magnet di Tepi Solenoid Selanjunya kita tentukan kuat medan magne
α
=tan
− x L
a
o
tau a
α tan x= a
− Lo
iferensial ruas kiri dan kanan maka D
α dα
dx 2
−sin
=
−
atau
a
α dα dx a2
= sin (5.39)
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
x dx
r P
a α
L
o× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
x dx
r P
a α
L
oGambar 5.18 Menentukan medan magnet di tepi solenoid
ubstitusi persamaan (5.39) ke dalam persamaan (5.35) diperoleh S
α α α
µ 3
2 sin
sin
2 ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ a d
a dB o In
α µ α
d n
o I 2 sin
=
Batas integral di sini dari α = αm sampai α = 90o dengan αm memenuhi
o
m L
= a α
tan . Jadi
kuat medan di tepi solenoid adalah
∫
∫
==
o
m
m 2 2 α
α
o
d In
d
In o
o
90 90
sin
sinα α µ α α
B µ
[ ] [
m]
o
o In o In
m µ α
µ α
α 0 cos
cos 2 2
90 = − +
−
=
m
onI α
µ cos 2
= 1 (5.40)
Karena tanαm =a/Lo maka
2 2
cos m o
L a
L
= + α
ikian, kuat medan magnet di ujung solenoid adalah
o
Dengan dem
2
2 2
1
o o o
L a B nIL
= µ +
(5.41)
Untuk kasus khusus di mana panjang salah satu sisi solenoid sangat panjang, atau Lo →∞ maka a2 +Lo2 ≈L sehingga 2o
nI L
B nIL o
o o
o µ
µ
2 1 2
1
2 =
≈
a dengan setengah kuat medan yang dihasilkan oleh solenoid yang panjangnya yang nilainya sam
tak berhingga pada dua ujungnya.
lenoid
Selanjutnya kita akan menghitung kuat medan pada sumbu solenoid berhingga yang letaknya sembarang. Mis
jarak b dari salah satu ujung solenoid. Lihat Gbr 5.19
ambar 5.19 Menentukan kuat medan magnet pada posisi sembarang dalam sumbu solenoid
lenoid berhingga. Satu
Dengan me dan yang dihasilkan solenoid yang
panjangnya b
5.8 Kuat Medan Magnet Pada Jarak Sembarang di Dalam So
alkan panjang solenoid adalah Lo dan kita akan menentukan kuat medan pada
G
Kita dapat memandang kasus ini seolah-olah kita memiliki dua so
solenoid memiliki panjang b dan satu solenoid memiliki panjang Lo – b. Titik pengamatan berada pada tepi masing-masing solenoid tersebut. Kuat medan total merupakan jumlah kuat medan yang dihasilkan masing-masing solenoid.
nggunkaan persamaan (5.41), maka kuat me adalah
2 1 2
2 1
b a B onIb
= µ +
(5.42)
Kuat medan magnet yang dihasilkan oleh solenoid yang panjangnya Lo-b adalah
2 2 2
)
2 a (L b
B o o
−
= 1 nI+(L b) (5.43)
o
µ −
Dengan demikian, kuat medan total pada titik pengamatan adalah
2
1 B
B B= +
× × × × × × × × × × × × × × × ×
P a
Lo
• • • • • • • • • • • • • • • • Lo-b
b
× × × × × × × × × × × × × × × ×
P a
Lo
Lo-b b
• • • • • • • • • • • • • • • •
2 2 2
2
1 ) (
) ( 2
1 nIb
b L a
b L nI o
o +
− +
= µ − µ
2 a b
o
o + (5.44)
5.9 Kuat Medan Magnet Pada Jarak Tertentu Dari Tepi Solenoid
erakhir, kita akan menentukan kuat medan magnet di luar solenoid, pada jarak b dari terpi h memiliki dua olenoid. Satu solenoid memiliki panjang Lo + b dan solenoid lainnya memiliki panjang b tetapi dialiri arus dalam arah berlawanan. Ke dua solenoid berimpit di sisi kiri. Lihat Gbr 5.20.
Gambar 5.20 Menentukan kuat medan magnet pada posisi di luar solenoid
Karena arus yang mengalir dalam dua solenoid memiliki arah berlawanan maka medan yang T
solenoid tetapi tetap berada di sumbu solenoid. Untuk kasus ini kita seolah-ola s
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
P a
Lo
b
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
P a
Lo+b
b
× × × × ×
• • • •
×
•
•
P a
b
× × × × ×
• • • •
•
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
P a
Lo
b
× × × × × × × × × × × × × × × ×
• • • • • • • • • • • • • • • •
P a
Lo+b
b
× × × × ×
• • • •
×
•
•
P a
b
× × × × ×
• • • •
•
dihasilkan juga memeiliki arah berlawanan. Kuat medang total pada titik pengamatan sama dengan kuat medan yang dihasilkan oleh soleoid yang panjangnya Lo + b dikurang kuat medan yang dihasilkan solenoid yang panjangnya b.
Dengan menggunakan persamaan (5.41) maka kuat medan yang dihasilkan solenoid yang panjangnya Lo + b adalah
2 1 2
) (
) ( 2
1
b L a
b L B nI
o o o
+ +
= µ +
(5.45)
Dan kuat medan yang dihasilkan oleh solenoid yang panjangnya b adalah
2 2 2
2 1
b a B onIb
= µ +
(5.46)
Dengan demikian, kuat medan total di titik pengamatan adalah
2
1 B
B B= −
2 2 2
2 2
1 ) (
) ( 2
1
b a
nIb b
L a
b L
nI o
o o o
− + + +
= µ + µ
(5.47)
5.10 Medan Magnet dalam Toroid
Seperti yang kita bahas sebelumnya, solenoid adalah kumparan yang bentuknya lurus, seperi sebuah per bolpoin. Solenoid ideal memiliki panjang tak berhingga. Kuat medan magnetic di luar
olenoid ideal nol sedangkan di dalam rongganya memenuhi persamaan (5.38). Jika solenoid ang panjangnya berhingga kita gabungkan ujungnya, maka kita mendapatkan sebuah bentuk s
y
seperti kue donat. Bentuk ini dinamakan toroid.
Gambar 5.21 Skema toroid. Bentuknya seperti donat berongga.
Jika kita bergerak sepanjang rongga solenoid ideal (panjang tak berhingga) maka kita tidak ernah menemukan ujung solenoid tersebut. Dengan cara yang sama, apabila kita bergerak id tersebut. Sehingga, roid akan serupa dengan solenoid ideal. Oleh karena itu, menjadi sangat logis apabila kita berkesimpulan ba
solenoid ideal. Jadi kuat medan magnet dalam toroid adalah p
sepanjang rongga toroid, kita pun tidak pernah menemukan ujung toro to
hwa kuat medan magnet dalam toroid sama dengan kuat medan magnet dalam
nI
B=µo (5.48)
dengan n jumlah kumparan per satuan panjang dan I arus yang mengalir pada kawat toroid.
Untuk toroid ideal, kuat medan magnet di luar toroid nol, hal yang juga kita jumpai pada solenoid ideal.
.11 Beberapa Contoh
Biot-Savart, mari kita bahas beberapa contoh berikut
ma. Titik pengamatan tampak pada Gbr 5.22
ng sama 5
Untuk lebih memahami penggunaan hokum ini
a) Dua Kawat Sejajar
Kita ingin menentukan kuat medan magnet di sekitar dua kawat lurus sejajar yang masing-masing membawa arus I1 dan I2 dalam arah yang sa
P
× ×
a
I1 b I2
P
× ×
a
I1 b I2
× ×
a
I1 b I2
Gambar 5.22 Dua kawat sejajar yang dialiri arus dalam arah ya
Medan magnet total di titik P merupakan penjumlahan vector medan magnet yang dihasilkan I1 dan I2. Jadi terlebih dahulu kita tentukan B1 dan B2 yang dihasilkan oleh I1 dan I2 beserta arah masing-masing.
Dengan menggunakan hokum Biot-Savart kita akan mendapatkan medan magner B1 dan B2 sebagai berikut
a B1 o I
2π
= µ 1 (5.49)
2 2
2
2 2 a b
B o I
= + π
µ (5.50)
× ×
a
b P
I1 I2
B1
B2 B
2
2 b
a + θ
θ
× ×
a
b P
Gambar 5.23 Menentukan kuat medan magnet yang dihasikkan dua kawat sejajar
Dengan aturan penjumlahan vector metode jajaran genjang maka medan magnet total di titik P memenuhi
213
θ cos 2 1 2
2 2 2
1 B B B
B
B= + + (5.51)
erdasarkan segitiga siku-siku dengan sisi-sisi a, b, dan
B a2 +b2 kita dapatkan
2
2 b
a +
cosθ = a (5.52)
) Gaya antara dua kawat berarus listrik b
Kita kembali tinjau kawat sejajar yang dialiri arus listrik I1 dan I2.
I1 I2
B1
B2 B
2
2 b
a + θ
θ
× ×
a
I1 I2
F21
× ×
a
I1 I2
F21
Gambar 5.24 Menentukan gaya antara dua kawat sejajar yang dialiri arus listrik
Kuat medan magnet yang dihasilkan kawat berarus I1 di lokasi kawat berarus I2 adalah
a B21 o I1
2π
= µ (5.53)
Arah medan magnet ini regak lurus kawat. Karena kawat 2 dialiri arus listrik maka ada gaya Lorentz yang bekerja pada kawat 2. Arah arus listrik pada kawat 2 dan arah medan magnet pada kawat tersebut saling tegak lurus sehingga besar gaya Lorentz adalah
2 21 2
21 I B L
F =
2 2 1
2 L
a I
o I π
= µ (5.54)
engan L2 adalah panjang kawat yang dialiri arus I2. Gaya Lorentz per satuan panjang yang d
bekerja pada kawat 2 adalah
2 21
21 L
f = F
a I
o I1 2
2π
= µ (
ontoh
Berapa besar dan arah gaya antara dua kawat yang panjangnya masing-masing 45 m dan terpisah sejauh 6 cm jika m
awab
dan magnet yang dihasilkan satu kawat di posisi 5.55)
C
asing-masing dialiri arus 35 A dalam arah yang sama?
J
Diberikan L = 45 m dan A = 6 cm = 0,06 m. Me kawat lainnya adalah
a B o I
π µ
= 2
Gaya magnet pada kawat lainnya akibat medan ini adalah a L
ILB I
F o
2
2π
= µ
=
06 45 , 0 ) 35 10 2 (
2
7 × ×
×
= − = 0,184 N
5.12 Definisi Satu Ampere
Berdasarkan gaya antara dua kawat sejajar yang dialiri arus listrik, kita bisa mendefinisikan besar arus satu ampere. Misalkan dua kawat sejajar tersebut dialiri arus yang tepat sama, I1 = I2
= I. Maka gaya per satuan panjang yang bekerja pada kawat 2 adalah
a f o I
2
21 2π
= µ (5.56)
Jika I = 1 A dan a = 1 m maka
7 2
21 1 2 10−
×
=
=
= µo µo
f N/m
2 1
2π π
Dengan dem
atu ampere jika gaya per satuan panjang yang bekerja pada kawat adalah 2 × 10-7 N/m.
) Satu berkas electron diarahkan dalam arah tegak lurus ke kawat yang berarus listrik. Arah arus dalam kawat adalah dari kiri ke kanan. Ke mana arah pembelokan electron?
Gambar 5.25
Jawab
ertam nggunakan aturan tangan
rah medan tampak pada Gbr 5.26
ikian kita dapat mendefinisikan arus yang mengalir pada kawat sejajar besarnya s
Soal-Jawab 1
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
I× × ×
P a kita tentukan arah medan yang dihasilkan arus dengan me kanan. A
× × ×
× × ×
I× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
I× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
I× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
× × ×
Gambar 5.26
Dari arah depan electron merasakan medan magnet yang berarak ke bawah. Karena electron bermuatan negatif dan kecepatannya menuju kawat berarah ke belakang maka arah gaya Lorentz yang dilakukan medan di bagian depan kawat adalah ke kanan.
i belakang kawat electron melihat medan magnet yang berarah ke atas. Dengan demikian arah aya Lorentz yang bkerja pada elekrton menjadi ke kiri.
kawat, electron membelok ke kanan dan ketika meninggalkan kawat,
rus dipisahkan sejauh a.
asing-masing kawat dialiri arus I1 dan I2. Berapa kuat medan magnet pada titik tepat antara dua kawat?
Jawab
ambar 5.27 D
g
Jadi selama electron menuju electron membelok ke kiri.
2) Dua buah kawat lurus panjang dalam posisi saling tegak lu M
×
a I2
×
B1B2
×
a I2
×
B1B2
I1 I1
G
Dengan menggunakan hokum Biot-Savart kita mendapatkan
a I a
B1 o I1 o 1 2
/
2 π
µ π
µ =
=
a I a
B2 o I2 o 2 2
/
2 π
µ π
µ =
=
Dengan menggunakan aturan tanga diperoleh arah B1 ke belakang dan arah B2 ke kiri. Dengan B1 dan B2 saling tegak lurus. Besar medan magnet total adalah
n kanan maka
2 2 2 1 1
2 1 2 2
1 I I
a I a
B I B
B o o ⎟ = o +
⎠
⎜ ⎞
⎝ +⎛
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
= ⎛ +
= π
µ π
µ π
µ 2 2
a
Arah B membentuk sudut 45o dari kiri ke belakang.
3) Dua kawat panjang membawa arus yang sama I. Ke dua kawat tersebut saling tegak lurus, tetapi tidak bersentukan. Tentuka c yang bekerja pada kawat.
Jawab
Kita lukiskan posisi masing-masing kawat
ersebut sama tetapi arahnya berbeda.
Gaya Lorentz yang bekerja pada masing-masing elemen hanya disumbangkan oleh komponen medan yang tegak lurus arus. Besar komponen medan magnet yang tegak lurus arus pada pada dua lemen tersebut samam besar tetapi berlawanan arah. Jadi Gaya Lorentz yang bekerja pada dua elemen sama besar dan berlawanan arah.
Karena tiap elemen memiliki pasangan yang berseberangan dan ke duanya mengalami gaya dalam arah berlawanan, maka secara total dua sisi kawat ditarik oleh gaya yang sama besar tetapi arah berlawanan. Gaya ini menyebabkan kawat censerung berputar.
) Berapa percepatan sebuah model pesawat yang memiliki massa 175 g dan membawa muatan bergerak dengan laju 1,8 m/s pada jarak 8,6 cm dari suatu kawat yang sedang ialiri arus 30 A? Arah pesawat sama dengan arah kawat.
n gaya magneti
Gambar 5.28
Misalkan lokasi perpotongan dua kawat berada pada koordinat nol. Tinjau elemen yang bereseberangan dari titik nol yang panjangnya masing-masing dx. Kuat medan magnet pada ke dua elemen t
4
18,0 C ketika d
I
× a
x dx
O B⊥
B
B
B//
x //
B
I
B⊥
× a
x dx
O B⊥
B
B
B//
x //
B
B⊥
awab
Terlebih dahulu kita hitung kuat medan magnet pada lokasi pesawat.
J
5
7 7 10
086 , 0 ) 30 10 2 2 (
−
− = ×
×
=
= a
B o I π
µ T
agnet. Maka, gaya orentz pada kawat adalah
N
Karena arah gerak pesawat sama dengan arah kawat sedangkan arah medan magnet tegak lurus arah kawat, maka arah kecepatan pesawat selalu tegak lurus arah medan m
L
3 5) 2,3 10 10
7 ( 8 , 1 0 ,
18 × × × − = × −
=
= qvB F
Percepatan yang dialami pesawat akibat gaya Lorentz
013 , 175 0 , 0
10 3 ,
2 3
× =
=
= −
m
a F m/s2
5) Sebuah jarum kompas diletakkan 20 cm di selatan sebuah kawat lurus vertical yang memiliki m kompas mengarah? Anggap komponen horizontal edan magnet bumi pada posisi jarum kompas adalah 0,45 × 10-4 T dan sudut deklinasi adalah 0o.
Jawab
Karena sudut deklinasi 0o maka arah jarum kompas tepat mengarah ke kutub utara.
arus 30 A ke arah bawah. Ke manakah jaru m
×
UGambar 5.29
Pada lokasi jarum kompas, ada dua medan magnet yang muncul, yaitu medan magnet bumi ke arah utara dan medan yang dihasilkan arus ke barat. Medan total adalah jumlah vektor dua medan tersebut dan arah jarum kompas mengikuti arah medan total.
S
T B
a = 20 cm
B Bb
×
UT B
Ba
a = 20 cm
B Bb
U
T B
S Ba S
esarnya medan yang dihasilkan arus adalah B
6
7 3 10
2 , 0 10 30 2 2
−
− = ×
×
=
= a
Ba o I π
µ T
Sudut yang dibentuk jarum kompas dengan arah utara adalah θ yang memenuhi
067 , 10 0 45 , 0
10
tan 3 4
6
× =
= ×
= − −
b a
B θ B
atau θ = 3,8o
) Suatu berkas proton melewati suatu titik dalam ruang dengan laju 109 proton/s. Berapa medan
ita tentukan dahulu arus yang dihasilkan proton
Karena muatan satu proton adalag e = + 10-19 C maka muatan yang mengalir per detik, ang tidak lain merupakan arus listrik, adalah
= 109 × 1,6 × 10-19 = 1,6 × 10-10 A
Kuat medan magnet pada jarak 2,0 m dari berkas proton adalah 6
magnet yang dihasilkan pada jarak 2,0 m dari berkas tersebut?
Jawab K
1,6 × y
I
17 10
7 1,6 10
2 10 6 , 10 1 2 2
− −
− × = ×
×
=
= a
B o I π
µ T
7) Pasangan kawat yang panjang dialiri arus dc 25,0 A ke dan dari sebuah alat. Kawat tersebut emiliki dialeter yang dapat diabaikan. Kedua kawat terpisah sejauh 2,0 mm. Berapa kuat
magnet pada jarak 10,0 cm dari tengah-tengah kawat? (lihat Gambar 5.30) m
medan
Gambar 5.30
= 9,9 cm = 0,099 m uat medan magnet yang dihasilkan kawat pertama
Jawab
Jarak titik pengamatan ke kawat pertama adalah r1 = 10,0 cm + 1,0 mm = 10,1 cm = 0,101 m Jarak titik pengamatan ke kawat kedua adalah r2 = 10,0 cm - 1,0 mm
K
5
7 25 4,95 10
10
2× − = × −
=
= I
B o
1
1 2π r 0,101
µ T
Kuat medan magnet yang dihasilkan kawat kedua
5 7
2
2 2π r 0,099 5,05 10
10 25
2× − = × −
=
= o I
B µ
T
arena arus mengalir dalam arah berlawanan maka ke dua medan tersebut juka memiliki arah berlawanan. Dengan demikian, kuat medan total pada titik pengamatan adalah
T.
) Kawat yang diperlihatkan pada Gambar 5.30 membawa arus i. Berapa kuat medan magnet asilkan di pusat C oleh (a) masing-masing segment lurus yang panjangnya L, (b) egmen lengkung, dan (c) total
) Karena lokasi titik C tepat berimpit dengan perpanjangan segment lurus kawat maka kuat medan magnet di titik C yang dihasilkan oleh masing-masing segmen lurus adalah nol.
) Karena segmen lengkung memiliki sudut θ = 180o = π, maka kuat medan magnet di pusat K
6 5
5 1
2 − =5,05×10− −4,95×10− =1,0×10−
=B B B
8
yang dih s
Gambar 5.31
Jawab a
b
lingkaran yang dihasilkan segmen ini adalah
R I I
I o o
o π µ µ
θ ⎞µ ⎛ ⎞
⎛
R B R
4 2
2 2
2π ⎟⎠ π =⎜⎝ π⎟⎠ π =
⎜⎝
=
c) Kuat medan total di titik C menjadi
R B oI
4
= µ
Soal Latihan
1) Sebuah kawat tembaga 10-gauge (diameter 2,6 mm) dialiri arus 50 A. Berapa kuat medan magnet di permukaan kawat?
2) Kuat medan magnet pada jaran 88,0 cm dari kawat lurus panjang adalah 7,30 µT. Cari arus yang mengalir pada kawat
3) Tentukan kuat medan magnet di tengah-tengah antara dua kawat yang terpisah sejaun 2,0 cm.
alah satu kawat membawa arus I dan kawat lainnya membawa arus 15 A. Cari medan tersebut ka (a) arus mengalir dalam arah berlawanan, dan (b) arus mengalir dalam arah yang sama.
m kompas menyimpang ke timur dari arau utara sebesar 20o. Namun jika jarum rsebut ditempatkan 8,0 cm di sebelah timur sebuah kawat berarus listrik maka sudut
pangannya terhadap arah utara 55o. Berapa besar dan ke mana arah arus dalam kawat?
k a) 10 6) Sebuah solenoid yang mengandung 1000 lilitan dan panjang 0,1 m ditegakkan sehingga sumbunya sejajar dengan garis medan magnet bumi, seperti tampak pada Gambar 53.33. Kuat 0 µT. Berapa arus yang harus dialirkan pada solenoid agar dihasilkan medan magnet yang sama besarnya dengan medan magnet bumi?
Gambar 5.32
7) Dua buah kawat lurus panjang dan sejajar dipisahkan sejauh 0,1 m. Masing-masing kawat mebawa arus 5,0 dan 3,0 A dalam arah yang sama. Hitung kuat medan magnet di titik tengah-tengah antara dua kawat.
8) Suatu kumparan berbentuk lingkaran mengandung 20 lilitan ditempatkan dalam posisi orisontal. Jari-jari lingkaran adalah 0,15 m. Arus sebesar 0,5 A dilewatkan melalui kawat lilitan S
ji
4) Sebuah jaru te
penyim
Besar medan magnet di tempat tersebut adalah 0,50 × 10-4 T dan memiliki sudut inklinasi 0o.
5) Cari kuat medan magnet di dekitar kawat lurus panjang yang dialiri arus 10 A pada jara cm dari kawat, (b) 20 cm dari kawat, dan (c) 100 cm dari kawat.
medan magnet bumi pada posisi solenoid adalah 7
h
