Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Jenderal Soedirman

(1)

Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik

Universitas Jenderal Soedirman

Statistika dan Probabilitas

Probo Hardini

▸ Baca selengkapnya: contoh soal rab teknik sipil

(2)

Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik Universitas Jenderal Soedirman

Reliabilitas

• Fenomena

yang

dapat

diobservasi

memuat

banyak

ketidakpastian (uncertainty)

• Ketidakpastian



hasilnya tidak dapat diprediksi dengan

pasti

• Dalam

terminologi

keteknikan

kepastian

probabilitas

performance kinerja dinyatakan dalam reliabilitas

• Reliabilitas berkaitan juga dengan ketidakpuasan kinerja

ataupun risiko dan kegagalan

• Penilaian reliabilitas dalam sistem keteknikan menggunakan

metode probabilitas dan statistik

(3)

Probabilitas

• Eksperimen atau percobaan dalam statistika diartikan sebagai

semua kegiatan yang membangkitkan/generate data

• Data yang dibangkitkan dari suatu jenis percobaan yang

sama seringkali berbeda. Tidak dapat dipastikan hasilnya.

• Teori peluang adalah teori yang membahas tentang

kemungkinan hasil dari suatu percobaan.

(4)

Pengantar Teori Himpunan

(5)

• Hasil dari eksperimen disebut sebagai ‘outcome’ atau hasil

• Outcome tidak dapat diramalkan secara pasti; yang bisa dilakukan

adalah

kemungkinan

dari hasil atau outcome

• Himpunan dari semua kemungkinan outcome yang mungkin

muncul dari suatu eksperimen disebut sebagai

ruang contoh ‘S’

• Anggota dari ruang contoh disebut sebagai titik contoh (sample

point)

(6)

(7)

• Untuk kondisi normal, maka masing-masing titik contoh akan

mempunyai kemungkinan keluar yang sama (equally likely)

• Kemunculan masing-masing titik contoh meniadakan kemunculan

titik contoh lainnya (mutually exclusive)

(8)

• Kumpulan/himpunan dari beberapa atau seluruh titik contoh

• Bagian dari ruang contoh

• Anggota peristiwa bisa seluruh anggota ruang contoh atau sebagian

anggota ruang contoh

Peristiwa atau kejadian (event)

C

A

B

(9)

• Semua kejadian atau percobaan mempunyai ruang contoh

(sample space)

• Sample space memuat titik contoh

• Kejadian (event) yang tidak memiliki ruang contoh disebut

himpunan kosong (null set)

ø

• Jika sebuah kejadian berisi semua titik contoh dari ruang

contoh maka akan disebut kejadian yang pasti (certain event)

• Semua titik contoh yang tidak menjadi anggota dari suatu

kejadian E akan menjadi komplemen kejadian E’

(10)

contoh

• Di Kota A kebutuhan air dipenuhi melalui pompa dari

reservoir bawah tanah dan sungai. Air disimpan dalam tanki

air untuk kebutuhan yang akan datang. Pada musim

kemarau pemompaan dari reservoir bawah tanah bisa 2 m, 3

m, atau 4 m dilihat dari ketinggian tanki penyimpanan air.

Ketersediaan air dari sungai sebesar 4 m per hari dari

ketinggian tanki. Permintaan air jika dilihat dari tanki sebesar

7 m, 8 m, atau 10 m. Jika di pagi hari, tanki reservoir sudah

menyiman 20 m:

a. Bagaimana kombinasi yang mungkin untuk penyediaan

dan permintaan air per hari?

b. Bagaimana ketinggian air dalam tanki reservoir yang

mungkin di akhir hari?

(11)

Penyelesaian

Persediaan air

permintaan

Kemungkinan

ketinggian air

2 + 4 = 6

7 6 – 7 + 20 = 19

2 + 4 = 6

8 6 – 8 + 20 = 18

2 + 4 = 6

10 6 – 10 + 20 = 16

3 + 4 = 7

7 7 – 7 + 20 = 20

3 + 4 = 7

8 7 – 8 + 20 = 19

3 + 4 = 7

10 7 – 10 + 20 = 17

4 + 4 = 8

7 8 – 7 + 20 = 21

4 + 4 = 8

8 8 – 8 + 20 = 20

4 + 4 = 8

10 8 – 10 + 20 = 18

(12)

penyelesaian

a. Kombinasi yang mungkin (6 , 7), (6 , 8), (6 , 10), (7 , 7), (7 , 8),

(7 , 10), (8 , 7), (8 , 8), (8 , 10)

b. Kemungkinan ketinggian air dalam tanki reservoir 16, 17, 18,

19, 20, atau 21

(13)

Ven Diagram

(14)

definisi

• Adalah

suatu

diagram

yang

digunakan

untuk

mengekspresikan sebuah ruang contoh, titik-titik contoh atau

kejadian di dalamnya

E1

E1E2 E2

Andaikan

E1

adalah

keterbatasan material dan E2

adalah

keterbatasan

tenaga

kerja,

Diagram

Venn

menggambarkan keterlambatan

proses kontruksi

(15)

• Irisan kejadian/intersection

: irisan kejadian A dan B adalah

kejadian yang mengandung unsur A dan B

Teori himpunan

A

A∩B

B

A∩B = {x|x

∈

A dan x

∈

B}



Gabungan kejadian/union

: gabungan kejadian A dan B adalah kejadian yang mengandung unsur A atau B

(16)



Kejadian terpisah

:

kejadian A dan B adalah kejadian

terpisah jika A ∩ B = ф

A

B

A∩B = ф



Peristiwa A atau A’

bukan A atau komplemen A

:

kejadian A

yang titik-titik contohnya adalah titik-titik sampel di luar A

(17)

• Probabilitas dari suatu peristiwa adalah jumlah dari titik-titik

contoh yang ada dari suatu peristiwa. Jika A adalah suatu peristiwa

dan titik-titik contohnya adalah a

₁

, a

₂

, a

₃

,…, a

_n

maka

P (A) =

_𝑖=1𝑛

𝑃(𝑎)

• Jika suatu peristiwa A mungkin terjadi dari m cara dari n

kemungkinan, dengan kemungkinan n mempunyai kesempatan

yang sama untuk terjadi (

equiprobable

), maka probabilitas A akan

sama dengan

𝒎

𝒏

.

P (A) =

𝒎_𝒏

• Nilai probabilitas suatu kejadian antara 0 dan 1

𝟎 ≤ 𝑷 ≤ 𝟏

(18)

• Jika A dan B adalah suatu kejadian sembarang maka

P

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵 − 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵

• Untuk kejadian yang saling terpisah

P

𝐴 ∪ 𝐵 = 𝑃 𝐴 + 𝑃 𝐵

• Untuk kejadian berkomplemen A dan A’

P (A) + P (A’) = 1

Penjumlahan probabilitas

A

A∩B

B

(19)

• Jika A dan B saling terpisah, dan P(A)= 0,3 P(B) = 0,5.

Hitunglah:

A. P(AUB)

B. P (A’)

(20)

Kejadian saling bebas/independent event:

• Dua buah kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya salah

satu kejadian tidak mempengaruhi terjadinya kejadian yang

lainnya

• Dua buah kejadian dikatakan saling bebas jika terjadinya salah

satu kejadian tidak memperbesar atau memperkecil terjadinya

kejadian yang lainnya

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 × 𝑃 𝐵

• Jika terdapat n kejadian maka:

(21)

• Kejadian tidak saling bebas: Dua kejadian A dan B disebut sebagai

kejadian yang tidak saling bebas jika terjadinya atau tidak

terjadinya

A

memperbesar

atau

memperkecil

probabilitas

terjadinya B.

𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 = 𝑃 𝐴 𝑃 𝐵|𝐴

• Kejadian bersyarat P

𝐵|𝐴 :

peluang terjadinya B bila A telah

terjadi.

P

𝐵|𝐴 =

𝑃 𝐴∩𝐵_{𝑃 𝐴}

(22)

Teori Probabilitas Total

Jika suatu kemunculan/terjadinya kejadian A

tergantung

pada

kemunculan

kejadian-kejadian lain E1, E2, E3,…,En

E1, E2, E3,…,En mutualy exclusive, collectively

exhaustive, dan bersifat partisi dari semesta

himpunan

s

En

E1 E2 A E3

P(A) = P(AE1) + P(AE2) + P(AE3) +…+ P(AEn)

P(A) =P(E1)P(A|E1) + P(E2)P(A|E2) + P(E3)P(A|E3) +…+ P(En)P(A|En)

(23)

Teorema Bayes

Jika kejadian E

₁

, E

₂

, E

₃

,..E

_n

adalah partisi dari kejadian E

Merupakan kebalikan dari teori probabilitas total

Untuk menghitung kejadian E

_i

P(A) P(Ei)P(A|Ei) P(Ei|A) =

(24)

contoh

Seseorang dapat bepergian dari rumahnya ke kota A dengan

menggunakan mobil pribadi (P), bus (B), motor (M), kereta api (K).

Dalam satu tahun dia melakukan sebanyak 50, 5, 20, dan 25 kali

perjalanan masing-masing menggunakan moda O, B, M, dan K. Jika

probabilitas terjadinya kecelakaan dalam perjalanan dengan

menggunakan masing-masing moda diperkirakan sebesar 10

-5

_{, 5 x 10}

-5

_{, 10}

-6

_{, dan 5 x 10}

-5

_{maka hitunglah}

a.

Probabilitas kecelakaan P(C) dalam perjalanan

b.

Jika terjadi suatu kecelakaan, berapakah besarnya probabilitas

(25)

Penyelesaian soal

Diketahui: P(P) = 50 50 + 5 + 20 + 25 50 100 = = 0,5 P(B) = 5 100 = 0,05 P(M) = 20 100 = 0,2 P(K) = 25 100 = 0,25 P(C|P) = 10-5 P(C|B) = 5 x 10-5 P(C|M) = 10-6 P(C|K) = 5 x 10-5

(26)

Penyelesaian soal

a. Teori probabilitas total

b. Teori Bayes P(C) =P(C|P)P(P) + P(C|B)P(B)) + P(C|M)P(M) + P(C|K)P(K) P(C) =10-5 _{x 0,50 + 5 x 10}-5 _{x 0,05 + 10}-6_{x 0,2 + 5 x 10}-5 _{x 0,25} P(C) P(C|P)P(P) P(P|C) =

(27)

• Walpole, Ronald E., 1982, Introduction to Statistics 3rd Edition,

• Pasaribu, Amudi, 1967, Pengantar Statistik, Percetakan Imbalo, Medan

references

(28)

Jurusan Teknik Sipil, Fakultas Teknik

Universitas Jenderal Soedirman

PENGUJIAN HIPOTESIS

STATISTIKA DAN PROBABILITAS

(29)

Pengantar

• Perumusan sementara mengenai suatu hal yang dibuat

untuk menjelaskan hal tersebut dan yang dituntut untuk

melakukan pengecekan terhadap perumusan yang telah

dilakukan

• Hipotesis adalah pernyataan keadaan populasi yang akan

diuji kebenarannya menggunakan data/informasi yang

dikumpulkan melalui sampel

• Jika pernyataan dibuat untuk menjelaskan nilai

parameter populasi, maka disebut hipotesis statistik

• Hipotesis statistik adalah suatu asumsi atau pernyataan

yg mungkin benar atau mungkin salah mengenai satu atau

lebih populasi berdasarkan ukuran yang mungkin terjadi

(30)

Pengujian Hipotesis

Pengujian hipotesis adalah:

 pengujian apakah hipotesis benar atau salah

 Penentuan apakah suatu hipotesis dapat diterima (dianggap

benar) atau harus ditolak (dianggap salah) Contoh

Pernyataan bahwa rata-rata IPK mahasiswa teknik sipil Unsoed

sekitar 3,00 adalah suatu pernyataan yg mungkin benar atau mungkin juga salah mengenai populasi mahasiswa teknik unsoed. Dalam kasus di atas pernyataan mengenai rata-rata IPK mahasiswa teknik unsoed adalah suatu hipotesis.

Untuk membenarkan atau menyalahkan hipotesis maka dilakukan

pengujian hipotesis

Syarat hipotesis yang baik: A good hypothesis must be based on a good research question. It should be simple, specific and stated in advance

(31)

Tipe Kekeliruan

• Kekeliruan tipe I: adalah menolak hipotesis yang seharusnya

diterima, dinamakan kekeliruan



_,



_{: peluang membuat kekeliruan tipe I disebut juga taraf}

signifikan, taraf arti, taraf nyata (



= 0,01 atau



= 0,05)

Membacanya:



_{= 0.05 : taraf nyata 5%, artinya kira-kira 5 dari tiap 100}

kesimpulan akan menolak hipotesis yang seharusnya

diterima. Atau kira-kira 95% yakin bahwa kesimpulan yang

dibuat benar. Peluang salahnya/kekeliruan sebesar 5%

• Kekeliruan tipe II: adalah menerima hipotesis yang

seharusnya ditolak, dinamakan kekeliruan



,



: peluang

membuat kekeliruan tipe II

(32)

keputusan Ho benar Ho salah

Terima Ho Tepat Salah jenis II (β) Tolak Ho Salah jenis I (α) Tepat

(33)

Terminologi Taraf Nyata

Terminologi signifikansi (taraf nyata) dan daerah

kepercayaan

• Signifikasi + kepercayaan = 1

• Jika taraf nyata



(kesalahan tipe 1), maka

(34)

Pengujian Hipotesis

Langkah pengujian hipotesis:

• Rumuskan Ho yang sesuai

• Rumuskan hipotesis tandingannya (H1 atau A) yang sesuai • Pilih taraf nyata pengujian sebesar α

• Pilih uji statistik yg sesuai dan tentukan daerah kritisnya • Hitung nilai statistik dari contoh acak berukuran n

• Buat keputusan: TOLAK Ho jika statistik mempunyai nilai

(35)

Pengujian Parameter

_θ

(ada 4)

a. Hipotesis mengandung pengertian sama

1. Ho : θ = θ

₀

2. Ho : θ = θ

₀

H1 : θ = θ

₁

H1 : θ ≠ θ

₀

3. Ho : θ = θ

₀

4. Ho : θ = θ

₀

H1 : θ > θ

₀

H1 : θ < θ

₀

• Dengan θ

₀

dan θ

₁

adalah dua harga yang diketahui.

Pasangan nomor 1 dinamakan pengujian sederhana lawan

sederhana, sedangkan lainnya pengujian sederhana lawan

komposit

(36)

• b. Hipotesis mengandung pengertian maksimum

H : θ

≤ θ0

A : θ

> θ0

c. Hipotesis mengandung mengertian minimum

H : θ

≥ θ0

(37)

Arah Pengujian



Pengujian 2 sisi (two-tail test) : Dipakai jika hasil tidak dapat

dinyatakan dengan pasti.

Ho :

θ

=

θ

_o

, H1 :

θ

≠

θ

_o



Pengujian 1 sisi (one-tail test) : Dipakai jika hasil yang

diharapkan dapat dinyatakan dengan pasti.

Ho :

θ

≤

θ

_o

, H1 :

θ

>

θ

_o

(38)

Hipotesis Alternatif H1

(39)

Jika alternatif H1 mempunyai perumusan tidak

sama

• Maka dalam distribusi statistik yang digunakan terdapat

dua daerah kritis masing-masing pada ujung distribusi.

Luas daerah kritis pada tiap ujung adalah ½



. Karena

adanya dua daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis

dinamakan uji dua pihak

• Kriteria yang didapat : terima hipotesis H jika harga

statistik yang dihitung jatuh antara d1 dan d2, dalam hal

lainnya H ditolak

(40)

Jika alternatif H1 yang mempunyai

perumusan lebih besar

• Maka dalam distribusi statistik

yang digunakan terdapat satu daerah yang letaknya diujung sebelah kanan. Luas daerah kritis adalah . Karena adanya satu daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji satu pihak yaitu pihak kanan

• Kriteria yang didapat : tolak H

jika statistik yang dihitung berdasarkan sampel tidak kurang dari d dalam hal lainnya terima H

(41)

Untuk alternatif H1 yang mempunyai

perumusan lebih kecil

• Maka dalam distribusi statistik

yang digunakan terdapat satu daerah yang letaknya diujung sebelah kiri. Luas daerah kritis adalah . Karena adanya satu daerah penolakan ini, maka pengujian hipotesis dinamakan uji satu pihak yaitu pihak kiri

• Kriteria yang digunakan : terima H

jika statistik yang dihitung berdasarkan penelitian lebih besar dari d sedangkan dalam hal lainnya ditolak

(42)

(43)

Pengujian Dua Arah

Untuk menguji hipotesis mengenai nilai rata-rata populasi,

maka dapat dibuat perumusan hipotesis sebagai berikut:

Ho : µ = µo

H1

: µ ≠ µo

Pengujian dilakukan dengan uji z atau uji t untuk menguji

perbedaan variable yang yang dihipotesiskan

(44)

Untuk

σ

diketahui



Untuk Hipotesis : H

_o

: μ = μ

₀

H

₁

: μ ≠ μ

₀



Nilai kritis dirumuskan

:



Ho diterima jika –z

_½(1-α)

< z < z

_{½ (1-α)}



Ho ditolak dalam hal lainnya

H

diterima

(45)

contoh

Pengusaha pakan menyatakan bahwa pakannya tahan simpan

sekitar 800 jam. Akhir-akhir ini timbul dugaan bahwa masa

simpan pakan tersebut telah berubah. Untuk menentukan itu

dilakukan penelitian dengan jalan menguji 50 karung pakan.

Ternyata rata-ratanya 792. dari pengalaman, diketahui bahwa

simpangan baku masa simpan pakan 60 jam. Selidiki dengan

taraf nyata 0,05 apakah kualitas pakan sudah berubah atau

belum?

Penyelesaian:

Hipotesis

H : μ = 800 jam

A : μ ≠ 800 jam

σ

= 60 jam

x = 792 jam

n = 50

Dari daftar normal baku untuk uji dua pihak dengan

α

= 0.05

yang memberikan z

_0.475

= - 1.96

(46)

 _{Terima Ho jika z hitung terletak antara -1.96 dan 1.96.} _{Dalam hal}

lainnya Ho ditolak

 Dari penelitian sudah didapat z hitung = -0.94 dan terletak di daerah

penerimaan Ho

 Jadi Ho diterima, kesimpulan masa simpan pakan belum berubah

(47)

Untuk

σ

TIDAK DIKETAHUI atau DATA KECIL

• Untuk Hipotesis :

Ho : μ = μ

₀

H1 : μ ≠ μ

₀

• Nilai Kritis di rumuskan

n s

o x

(48)

Contoh

Seperti soal sebelumnya, dimisalkan simpangan baku populasi tidak

diketahui, tetapi dari sampel diketahui simpangan baku s = 55 jam

• Jawab:

s = 55 jam

𝑥

= 792 jam

µ = 800 jam

n = 50



Dari daftar distribusi student dengan α = 0.025 dan dk = 49 untuk uji dua

pihak diperoleh t = 2.01.



t hitung



Kriteria pengujian : Terima H jika t hitung terletak antara -2.01 dan 2.01.

Di luar itu H ditolak



Dari penelitian didapat t = -1.029 dan terletak di daerah penerimaan Ho



Jadi Ho diterima, kesimpulan masa simpan pakan belum berubah masih

sekitar 800 jam

50 55 800 792  t

(49)

Uji satu arah mengenai nilai rata-rata populasi

Untuk menguji hipotesis mengenai nilai rata-rata populasi

dengan melihat satu sisi saja

Ho : µ = µ o

Ho : µ > µ o

Ho : µ < µ o

Ho : µ = µ o

lawan

(50)

Uji satu arah – pihak kanan

1. Untuk σ DIKETAHUI atau data berjumlah besar



RUMUS UMUM : H

_o

: μ = μ

₀

H

₁

: μ > μ

₀



KRITERIA

:Tolak H

_o

jika z > z

_{0,5- ά}

atau

Tolak H

_o

jika z > z

_½_∝

(tergantung tabel z

yang digunakan)

(51)

• Carbon steel adalah baja yang terdiri dari elemen-elemen (selain elemen baja) carbon, manganese, silicon, dan copper. Suatu pabrikan baru sedang menginisiasi pembuatan baja. Perusahaan ini menyatakan bahwa baja yang diproduksinya masuk dalam katagori medium carbon dengan kandungan carbon tidak melebihi 0,30%. Nyatakan hipotesa nol dan alternatifnya yang akan digunakan untuk menguji pernyataan perusahaan baja tersebut, dan tentukan wilayah kritiknya.

Jawab

• Pernyataan perusahaan tersebut harus ditolak hanya bila µ lebih besar dari 0,30% dan harus diterima jika µ lebih kecil atau sama dengan 0,30%. Karena hipotesa nol harus menyatakan suatu nilai tunggal bagi parameternya maka pengujian hipotesa akan:

Ho : µ = 0,30% H1 : µ > 0,30%

 Meskipun hipotesa nol ditulis sama dengan namun hal ini mencakup semua nilai yang tidak dicakup nilai-nilai hipotesis alternatifnya.

 Menerima Ho tidak boleh diartikan bahwa µ tepat sama dengan 0,30% tetapi kita tidak mempunyai cukup bukti untuk mendukung H1.

 Dengan uji satu arah. Lambang “>” menunjukkan bahwa seluruh wilayah kritiknya terletak di ekor kanan sebaran statistik 𝑥.

(52)

Pada suatu pabrik pakan dihasilkan rata-rata 15.7 ton sekali produksi. Hasil produksi mempunyai simpangan baku = 1.51 ton. Metode produksi baru, diusulkan untuk mengganti yang lama, jika rata-rata per sekali produksi menghasilkan paling sedikit 16 ton. Untuk menentukan apakah metode yang lama diganti atau tidak, metode pemberian pakan yang baru dicoba 20 kali dan ternyata rata-rata per sekali produksi menghasilkan 16.9 ton. Pemilik bermaksud mengambil resiko 5% untuk menggunakan metode baru apabila metode ini rata-rata menghasilkan lebih dari 16 ton. Bagaimana keputusannya

(53)

Menggunakan metode komposit

• Diketahui: x = 16.9 ton n = 20 σ = 1.51 µo = 16

• Hipotesis

Ho : µ ≤ 16, berarti rata-rata hasil metode baru paling tinggi 16 ton, maka metode lama dipertahankan

H1 : µ ≥ 16, berarti rata-rata hasil metode baru lebih dari 16 ton, maka metode lama dapat diganti

Dari daftar normal standar dengan α = 0.05 diperoleh z = 1.645 (lihat dari tabel z  Nilai antara 0.9505 dan 0,9495)

 _{Kriteria pengujian : Tolak H jika z hitung lebih besar atau sama dengan}

1.645. Jika sebaliknya H diterima

 _{Dari penelitian didapat z = 2.65, maka Ho ditolak}  Kesimpulan metode baru dapat digunakan

(54)

2. Untuk σ TIDAK DIKETAHUI atau data berjumlah kecil



RUMUS UMUM

:

Ho : μ = μ

₀

H1 : μ > μ

₀



KRITERIA

:Tolak H jika t

_hitung

> t

_α

(55)

Dengan suntikan hormon tertentu pada ayam/ikan akan menambah berat

badannya rata-rata 4.5 ton per kelompok. Sampel acak yang terdiri atas 31

kelompok ayam/ikan yang telah diberi suntikan hormon memberikan

rata-rata 4.9 ton dan simpangan baku = 0.8 ton. Dengan menhambil tarf nyata

sebesar 0,01, apakah pernyataan tersebut diterima? Bahwa pertambahan

rata-rata paling sedikit 4.5 ton

Contoh

Penyelesaian

Hipotesis H : µ = 4.5, berarti penyuntikan hormon pada ayam/ikan tidak

menyebabkan bertambahnya rata-rata berat

badan dengan 4.5 ton

A : µ > 4.5, berarti penyuntikan hormon pada ayam/ikan

menyebabkan bertambahnya rata-rata berat

badan paling sedikit dengan 4.5

𝑥

= 4.9 ton

n = 31

s = 0.8 ton

µo = 4.5 ton

78 .

2

31 /

8 .

0

5 .

4

9 .

4 

_



t

(56)

Dengan mengambil



= 0.01, dk = 30 didapat t

_tabel

= 2.457

Kriteria tolak hipotesis Ho jika t

_hitung

≥ 2.457 dan terima Ho jika sebaliknya

t

_hitung

= 2.78

2,78 ≥ 2.457

Hipotesis Ho ditolak

Kesimpulan : Penyuntikan hormon terhadap ayam/ikan dapat menambah

berat badan rata-rata paling sedikit dengan 4.5 ton

78 .

2

31 /

8 .

0

5 .

4

9 .

4 

_



t

(57)

Uji satu arah – pihak kiri

1. σ

DIKETAHUI atau data besar

• RUMUS UMUM

:

H

_o

: μ = μ

₀

H

₁

: μ < μ

₀

KRITERIA

: Tolak H jika z ≤ - z

_0,5- _ά

: Terima H jika z > - z

_0,5- _ά

(58)

Hasil evaluasi tahunan diduga bahwa:

a. Kualitas mengajar dosen tahun 201 5 paling tinggi 70% dari rata-rata nilai ideal. b. Kualitas mengajar dosen tahun 2015 paling rendah 70% dari rata-rata nilai ideal. c. Kualitas mengajar dosen tahun 2015 tidak sama dengan 70% dari rata-rata nilai

ideal.

Dengan pernyataan tersebut, ditindaklanjuti atau dibuktikan oleh dengan suatu penelitian di berbagai fakultas. Kemudian disebar kepada 61 dosen untuk mengisi angket yang isinya mengenai kualitas mengajar pada tahun 2015.

• Jumlah pertanyaan angket penelitian sejumlah 15 buah dengan skala penilaian dengan nilai:

• 4= sangat baik; 3= baik; 2= cukup baik; dan 1= kurang baik.

• Taraf signifikansi α = 0,05.

• Data diperoleh sebagai berikut:

(59)

(60)

(61)

• Penyelesaian uji pihak kiri:

1. Menentukan hipotesis penelitian

Ho : Kualitas mengajar dosen tahun 2009 sama dengan 70% dari rata-rata nilai ideal. Ha : Kualitas mengajar dosen tahun 2015 paling tinggi 70% dari rata-rata nilai ideal.

2. Menentukan hipotesis statistik Ho : µo = 42 Ha : µo < 42

(62)

Contoh

6. Membandingkan t_hitung dengan t_tabel

Ternyata – t_tabel < t_hitung atau – 1,671 < 41 maka Ho diterima dan Ha ditolak 7. Menarik kesimpulan

Ho : Kualitas mengajar dosen tahun 2015 sama dengan 70% dari rata-rata nilai ideal diterima, sedangkan

H1 : Kualitas mengajar dosen tahun 2015 paling tinggi 70% dari rata-rata nilai ideal ditolak.

(63)

2. σ TIDAK DIKETAHUI atau data kecil

• RUMUS UMUM : H_o : μ = μ₀ H₁ : μ < μ₀ KRITERIA : Tolak H jika t ≤ - t_ά

(64)

Uji kesamaan dua rata-rata

(65)

(66)

Contoh Pengujian dua arah

(67)

Untuk sampel berukuran kecil atau

𝜎

tidak diketahui

𝑡 =

𝑥2− 𝑥1 𝑠_𝑝 1 𝑛1+ 1 𝑛2

dengan

𝑠

_𝑝

=

𝑛1−1 𝑠_𝑛 12+ 𝑛2−1 𝑠22 1+𝑛2−2

(68)

(69)

Untuk sampel berukuran besar atau σ diketahui rumus Ho : p = p_o

H1 : p_o > p_o

Kriteria terima Ho jika z < z_1-ά tolak Ho jika z ≥ z_1-ά rumus Ho : p = p_o

H1 : p_o < p_o

Kriteria terima Ho jika z > -z_1-ά tolak Ho jika z < -z_1-ά

Untuk sampel berukuran kecil atau σ tidak diketahui rumus Ho : p = p_o

H1 : p_o > p_o

Kriteria terima Ho jika t < t_1-ά tolak Ho jika t ≥ t_1-ά rumus Ho : p = p_o

H1 : p_o < p_o Kriteria terima Ho jika t > -t_1-ά

tolak Ho jika t < -t_1-ά

(70)

Uji proporsi – uji dua arah



RUMUS UMUM :

H

_o

: p = p

₀

H

₁

: p ≠ p

₀



KRITERIA

:Terima H

_o

jika

–z

_tabel

<

z

_hitung

< z

_tabel

–z

_½α

<

z

_hitung

< z

_½α

Tolak H

_o

jika sebaliknya

 

o o o o o p q q np np x z n n x z

p

       1 1 0 0

(71)

Uji proporsi – uji satu arah

 RUMUS UMUM : H_o : p = p₀

H₁ : p > p₀

 KRITERIA :Terima H_o jika z_hitung < z_tabel

z_hitung < z_α Tolak H_o jika sebaliknya

 RUMUS UMUM : H_o : p = p₀

H₁ : p < p₀

 KRITERIA :Terima H_o jika z_hitung > -z_tabel

z_hitung > -z_{(1- α)} Tolak H_o jika sebaliknya

(72)

Contoh

Pejabat mengatakan bahwa paling banyak 60% anggota masyarakat berada dalam garis kemiskinan. Sampel acak diambil terdiri dari 8500 orang di wilayah kerja pejabat tersebut. Berdasarkan survei tersebut ternyata 5426 orang termasuk di bawah garis kemiskinan. Dengan mengambil α = 0,01 benarkah pernyataan tersebut?

Penyelesaian

Hipotesis H_o : p = 0,60 H₁ : p > 0,60

Kriteria pengujian tolak Ho jika z hitung > z tabel tolak Ho jika z hitung < z tabel z_tabel = z_{(1 – α)}  z_{(1 – 0,01)} = 2,33





79 , 2 8500 60 , 0 1 60 , 0 60 , 0 8500 5426     z z z hitung > z tabel Ho ditolak

Kesimpulan: Persentase anggota masyarakat yang hidup di bawah garis kemiskinan melebihi 60%