Matematika za prvi razred gimnazije

(1)

f

.::re l >f

rap.

ma

• (

'-J130METPJ1JE

,1J;HpeKTHe H HHp;HpeKTHe H30MeTpHje (234)

A )J;wpeKTHe H HH,n;wpeKTHe H30MeTpwje; ¢wKcHe TaqKe H30MeTp

Hje (234) B OcHOBHe TeopeMe o H30MeTpwjaMa ca ,n;Be ¢wKcHe TaqKe

(236)

OcHa CHMeTpHja (237)

A 01rnc OCHe CHMeTpHje H OCHOBHe oco5HHe; OCHa CHMeTpHqffOCT ¢wrype (237)

IJ;eHTpairna CHMeTpHja

(240)

A Orrwc u;eHTpaiIHe CHMeTpwje H ocHOBHe oco5wHe; u;eHTpaJIHo CHMeTpwrne ¢wrype (240)

CHMeTpHje H npaBHJIHH MHoroyrJioBH (242)

A IlpaBHJIHH MHoroyrnoBH; KapaKTepwcTwqaH Tpoyrao rrpaBHJIHor

MHoroyrna (242)

PoTa~Hja

(244)

A Orrwc poTau;wje H ornoBHe oco5wHe

(244)

TpaHcJia~uja

(246)

A Orrwc TpaHcnau;wje H ornoBHe oco5wHe (246)

KoMH03H~Hje H30MeTpHja paBHH (247)

B K0Mrro3wu;wje H30MeTpwja paBHH (247) PaBaHcKa CHMeTpuja

(249)

A Orrwc paBaHcKe rnMeTpwje H ocHOBHe oco5HHe (249)

(2)

A

Aiocxowa Il4 (crpa.Ha 137}. Hen cy A, B H C rpH pa.3:IH1UITe ra'iKe H

· \ n B₁Ta'IKe npau

p

TaKBe :ia ·e • .\B :=.\B₁. Ta:ia y no;rypairnn Koja

je o;wcl)eaa npa.BoM p nocroju je::omcrneHa

Ta<nra

c

.

Ta.ICBa ;::ia je A.C:=.4..C₁uBC:=B₁C₁•

rrpe

234

0

H30MeTpHj~ia nm rOBOpIDili Ha noqeTKY IIOffiaB.iba

II09y9apHodU.

0BOM npmnt:KOM neMO ;:i;era.Jbrutje IIpl1Ka3aTif HeKe cneqMjaJIHe BpcTe U30Merpnja.

~

IlpBO ;:i;ecpHmrmeMO OCHOBifY nop;eJIY

.[{ecpmrnu;Hja H30MeTpHje. 113oMeTpHja I paBHH 7t je <PYHI<u;Hja

I:

n-+n TaKBa ,n;a 3a CBaI<e ,n;se TaqKe A H B paBHH 7t aI<O je I(A) =A' H I(B) =B', oH,n;a H30MerpHja Ha TilK03BaHe W£PeKTHe J1

HH,JJ;HpeKTHe H30MeTpHje.

jeAB:A'B'.

)];a 8u fomo jaCHHje o Ka.KBoj nop;eJIB je peq, pa3MOTpHheMo jep;aH rrpHMep y Be311 ca "J130Merpl1'Illml npeMeIIITaiheM TaqaKa paaHM", CJIWiaH OHJ1Ma Koje CMO HaBeJIJ1 Ha crpaHa.Ma

139-141.

Ilp11Mep

I.

TpH )KeTOHa cy nocTaBJbeHa Ha rnaxoBCKJ TaOJIY Kao Ha CJJKI.µ1 rreBo, a 3aTHM

cy

p;aa (n;pBeHJ1 ca II03~Hje

A

11 nnaBH ca II03~Hje B) npeMernTeHJ1 Ha p;pyry Ta8JIY (pep;oM Ha II03~e A₁H B₁) TaKO p;a je pacTOjalhe Mel)y IDJ1Ma OCTaJIO HCTO

(AB =A

₁

B

₁).

fp;e Tpe8a rrocTaBJ1TJ1 Tpen11 )KeTOH (3erreH11 ca rro311u;11je C) TaKO p;a pacTOjaIDa l13Mel)y cBaKa p;sa )l(eToHa ocTaHy HenpoMelbeHa

(CA=C

₁

A

₁11 CB=C

1

~

1

)?

HHje TeIIIKo yoq11T11 p;a Tpen11 )l(eToH MO)l(eMo rrocTaB11T11 Ha A.Be rro311n;11je. Ha crr11n;11 p;ecHo Te p;Be rro311n;11je cy 03HaqeHe Ca C₁J1

c

;

.

IIpeMa OCHOBHOj TeopeMH 0 J130MeTp11jaMa (cTpaHa

141),

rpojKe (A, B, C) 11 (A₁, B

1, C1) op;pel)yjy jep;HHCTBeHy H30Merp11jy

I

Ta.KBY p;a je 'I(A) =A₁, 'I(B) =B

1 11

'I(C)

= C1• TaKol)e, J1 TpojKe (A, B, C) H (Al, Bl,

c;)

op;pel)yjy

jep;JmCTBeHY H30MeTpHjy I' Ta.KBY p;a je I'(A) =A.1, I'(B) =Bl

H'I'(C)=c

;

.

IIo qeMY ce pa3JIJ1K)'jy l130MeTpHje

IHI'?

0CHOBHa TeopeMa 0 H30MeTpHjaMa. AKO cy AKo IIa)l(JbHBHje norrrep;aMo CJIHKY, yo'Il1lieMo p;a

J130MerpHja

I

He Mel:ba opHjeHTaqMjy

MBC,

3a pa31IHKJ op; H30MeTpHje I'. TpoyrrroBH

ABC

11 A₁B₁C₁cy HCTe opHjeHrnn;Hje, p;oK cy op11jeHTan;11je TpoyrnoBa

ABC

H AIBI

c

;

pa3IDf'D!Te . •

(A, B, C) H (A', B ', C) ,n;Be TpojKe HeKOJIHHeapHHX TaqaKa paBHH 7t

T'}KBe ,n;a je AB :A'B', BC:B'C'H CA:C'A', OH,n;a IlOCTOjH je,n;HHCTBeHa H30MeTpHja I paBHH

n

TaKBa ,n;a je I(A) =A', I(B) =B'H I(C) =C'.

3

;n1epaB

_:=

Y

OBOI ;n1 cpm1

(3)

Hje.

.

\ 7tJe ,qa3a BHH 7t ',ott,qa ~ca I Ha B:

~

:,

reHa llKBa ,qa

ic)=C'.

vfaoMeTpHja

I

paBHH 7t je .n;upeKTHa aKO qYBa opujeHTau;ajy paBHH, TO jecT aKO

CBaKH Tpoyrao oBe paBHH rrpecrrHKaBa y Tpoyrao HCTe opujeHTalµfje .

I

L

lifaoMeTpuja

I

paBHH n je HH.n;HpeKTHa aKo Melba opujeHTau;ujy paBHH, TO jecT

aKO CBaKH Tpoyrao OBe paBHH rrpeCJIHKaBa y Tpoyrao c~pOTHe opHjeHTau;Hje.

3a.n;aTaK

y

Kaa,n;paTHOj Mpe)KH rrpHKa3aHoj Ha CJIHl.l;H

,n;ecHo, TaqKe A, B H C cy rrpecJIHKaHe

H30MeTpHjOM

I

y rnqKe

A

'

, B'

H

C'.

)J,a JIH je oBa

H30MeTpuja ,n;upeKTHa HJIH HH,ll;HpeKTHa? Hal)HTe rnqKe y Koje ce OBOM H30MeTpHjOM rrpeCJIHKaBajy rrpeocTaJie ,n;aTe rnqKe, rra yrrope,n;HTe

opujeHTau;Hjy

MYZ

ca opujeHTau;ujoM lbHXOBe

cJIHKe

M'YZ '.

A

,

I

1 B

c

x

z

y

C

'

3aKJbyqaK ,n;o Kora cMo ,n;oIIIJIH y rrpeTxo,n;HoM rrpHMepy CYIIITHHa je Hape,n;He TeopeMe, Kojy HeneMo CTporo ,n;oKa3HBaTH.

AKo cy AB HA 'B' ,n;Be rro,n;y,n;apHe ,ll;y)KH paBHH n, oH,n;a rrocrnje rnqHo ,n;Be

H30MeTpHje oBe paBHH Koje

A

H

B

rrpecJIHKaBajy y

A

'

H

B

'

,

rrpu qeMy je je,n;tta

,n;upeKTHa, a ,n;pyra HH,n;MpeKTHa H30MeTpHja.

IlpHMep2.

IIpHJIHKOM ,,H30MeTpuqHJ1X rrpeMeIIITalba TaqaKa" He Mopajy cBe Ta'!Ke bHTH

rrpeMeIIITeHe.

I '

Ha CJIHl.l;H ,n;ecHo rrpeMeIIITeHH cy caMo :>KeTOHH ca II03Hu;Hja

A

H B Ha HOBe rro3uu;uje A₁H B₁, ,n;oK )KeTOH ca II03Hu;Hje C HHje

rroMepaH. TpojKe (A, B, C) H (A₁, B

1, C) o,n;pel)yjy Hery H30MerpHjy

I. Y

OBOM cnyqajy, rro3uu;uja :>KeToHa

C

rrpe,n;cTaBJba HeIIoKpeTHy

HJIH <PuKcHy~Mernje

I. +

~

B

~

.

c

'·

_•

"

B

i

<l>HKCHa Ta'IKa H30MeTpHje

I:

n-+n je CBaKa Ta'!Ka

X

paBHH n TaKBa ,n;a je

I

(

X)

=X.

-,ne4Jttmnm_ia

"'fo::.Ke ce :tmra3aTu

,qa aKO K30Merpzja

'l}'Ba opajeennmjy jeJJ,Hor TJ>O)fila, oa:;ra

'I)'Ba opujeBTannjy H CBJiX OCTat"IHX rpoyr;:mBa.. reopeMa <l>JIKCHe Ta'l:Ke 1130ArerpHja Jle¢~!HlfUJl°.1

(4)

B

TeOpeMa KouHuuge11uuja je pe"I nanmcKor nopex..1Ia ll 3Ha'IH iioK..:iaua1t1e, '.JeiiWgo6Ho 36usa1be. TeopeMa

IlpeMa OCHOBHOj Teope~m 0 ff30Merpl1ja.'da, aI<O HeKa H30MeTp11ja paBHH HMa IpU qntKCHe HeKOillrneapHe Ta'll<e, OHAa cy l1 CBe OCTaJie TaqKe Te paBHH cpHKCHe (HenmcpeTHe). 0Ba Jt30MeipJrja w:.'da H noce8aH Ha3HB.

J1aoMeipnja paBHH Koja cBrucy rnqicy Te paBIDI rrpec1111KaBa y ce8e Ha3HBa ce KO~e~ja Te paBIDL ,UaKJie, KOJ1Hl_\HAeHu;11ja paBHH 7t je rrpeCJIHKaBalbe

£:

7t~7t TaICBO Aa je £(X)

=X,

3a CBaicy rnqKy

x

E

7t.

--

~

y HapeAHOM rrpruiepy paaMorpiffieMO jeAH)' l130MeTp11jy Koja HMa cpHKCHe TaqKe, a Koja mrje KOifHI.V1,l.J,eHu;Mja.

Ilp1D1ep 3.

HeKa

cy

AH B ABe rrpott3BOJbHe TaqKe paBHH rr. ITpeMa TeopeM11 ca rrpeTXOAHe CTpaHe, rrocTOje Ta'IBO ABe 1.rnoMeTpttje

I

, H

I

₂, q11je cy cpHKCHe TaqKe A l1

B: I

1(A) =A,

I₁(B) =B l1

I

₂(A) =A,

I

2 (B) =B. JeAHa op; lbHX je p;11peKTHa H30MeTp11ja, HeKa je TO

I

1,

AOK je APyra

I

₂IDi,ll;HpeKTHa.

KoHHu;Hp;eHu;Hja paBHH rr je H30MeTp11ja Kojoj cy CBe rnqKe paBHH rr cp11KcHe, rra cy crreu;HjaJIHo cp11KcHe 11 AH B, IIITO 3Haq11 p;a

I

₁, 8yp;ytrn p;a je p;11peKTHa H30MeTp11ja, Mopa 0l1Tl1 KOl1Hll;l1)l;eHu;11ja.

Haje TeIIIKo 3aKJbyqHTH Aa H30MeTp11ja

I

₂cBe TaqKe paBHH rr Koje H11cy KomrneapHe ca A H B ,,rrpe8au;yje" ca Apyre cTpaHe

rrpaBe AB ,, qyBajyhK" pacTOjalba Te Ta'lKe op; A H B, Kao 11 p;a cBe Ta'll<e Koje cy KOJIHHeapHe ca A H B ,,He rroMepa': BepyjeMo Aa rrperro3HajeTe orny cJ.tMeTpHjy. •

IIpen:OAffJi rrpHMep HJiyCTpyje CJieAeha OIIIIITa TBpljelba.

n

\1~I

2

(A)=A

15'

<?

"'-c0

://-·

r

--··----~

.P

I

2 ( C)

----

l

~

--

~

₂

(B)=B

i

,UHpeKTHa J130Merp.11ja Koja J1Ma ABe pa3JIJ1qJ1Te cpHKCHe TaqKe je KOl1Hll;l1,ll;eHu;.11ja.

A.Ko JmAHpeKTHa H30MeTp11ja HMa ABe pa3JIH'il1Te cp11KCHe TaqKe, OHp;a cy l1 CBe Ta'-!Ke KOJIJ1HeapHe ca OBHM TaqKaMa TaKol)e cp.11KCHe.

:-IeKa je l ::paBoj

.s

opM<L'II

3a

Ta'!Ke .:;rueTp Haorrm 0BaICB0 HeKa sje ,l01W3. I ~,(Y)

=

:-aqaKa C' • OCH OBY

-

c~,

-npaBoj :\a je

S

)

p(Y,

Y

1

:i;ecpHHl Cap;a ui c11ep;11 ~

3.

CJI] .I

(

X$

Si aHa11113

(5)

ce

e

:, a Koja TpaHe,

OL

1,

;

y

ja, A)=A , 0

T

2

(C)

B)=B ~ja. Be

OcHa c11MeTp11ja

HeKa je

s

qni:KrnpaHa npaBa paBHH re. AKo je

X

Tal.J:Ka paBHH re, Koja He npHna.u;a

npaBoj S, HeKa je n HOpMarra Ha S, KOja ca.n;p:>KH Tal.J:KY

x.

03HaqJ1Mo ca

s

IlO)l;HO:>Kje OBe HOpMarre. Ta.n;a nocTOjH je.u;HHCTBeHa Tal.J:Ka X' paBHH re TaKBa .n;a je X-S-X' H XS=SX. 3a Ta"IKe

X

H X' Ka:>KeMo .u;a cy cHMeTpwrne y op;Hocy Ha npaBy

s.

Ta"IKe npaBe

s

CHMeTpH"IHe cy caMe ce8H.

Ha OilHCaHH Hal.J:HH, CBaKoj Tal.J:KH paBHH re .n;o.n;eJbeHa je je.n;HHCTBeHa Tal.J:Ka HCTe paBHH. 0BaKBO npH.u;py:>KHBalbe Ha3HBaMO OCHOM CHMeTpHjOM.

HeKa je

s

<i>HKCHpaHa npaBa paBHH re. OcHa CHMeTpHja paBHH re y o.n;Hocy Ha npaBy

s

je npecrrHKaBalhe

Ss :

re_.re Koje cBaKoj Ta"IKH

X

paBHH re .n;o.n;eJbyje Ta"IKY X' HCTe

paBHH Koja je CHMeTpH"IHa ca

x

y O,D;Hocy Has.

OcHa CHMeTpHja je H30MeTpHja paBHH.

on..~3. Tpe8a .n;oKa3aTH .n;a 3a bHrro Koje .n;Be Tal.J:Ke

X

H YpaBHH re, aKo je

S

s

(X)

=X' H

Ss( Y)

= Y', oH.n;a je XY =X'Y'. Pa3JIHKOBalieMo BHUie crryqajeBa y 3aBHCHOCTH o.u; o.u;Hoca

Tal.J:aKa

X

H

Y

ca npaBOM

s.

l

c ./'-ta)

AKO X, YE s, OH,D;a je

S

s

(X)

=X H

S

,

(Y)

= Y, TO jecT X =X' H Y = Y', na Ha oCHoBy pe<PrreKCHBHOCTH perraQHje = Ba:>KH XY =X'Y'.

2

c }- l IlpeTnocTaBHMO .n;a je.n;tta o.u; yoqeHmc Ta"IaKa npHna.u;a

npaBoj

s,

a .n;pyrn He; HeKa je XE

s

H Y ~

s.

IlpHMernMo Hajnpe

.n;a je

S,(X)

=X =X'. 03Hal.J:HMO ca 0 npeceK npaae

p(Y, Y') H npaBe

s.

Ta.n;a je p(Y, Y') .l

s

H YO= OY' no

.n;e<l>HHHQHjH CHMeTpH"IHe Tal.J:Ke.

y

0 s

y

Ca.n;a H3 OX =XO, YO= OY' H dOY = < Y'OX, npHMeHOM CTaBa no;i;y.n;apHocrn CYC,

crre.n;H .n;a je H XY =X'Y'.

" <.. ' IlpeTnocTaBHMO .n;a HHje.n;tta o.n; yoqeHHX Tal.J:aKa He npHna.u;a npaaoj

s

(X ~

s

H y ~

s).

0Baj crryqaj npenyUITaMO BaMa, y3 HaIIOMetty .n;a je IlOTpebHO aHaJIH3apHTH crryqajeBe Ka.n;a npaBa Kp03

X

H

Y

ceqe ocy

s

IDIH joj je naparre;rna.

\ ,.%~

I

/ _"'\"'"'

_x

_X'

x

.. .:

_\

_X'

J

I : I

L

: l y

_Is

Y' y

_Is

Y' y

_I~

Y'

I

.

-A

s

xo

s

xo

)("

II X

xo

x=

11 X

o

x·

A

.

(6)

Teope 1a

s =s' oL

X=X'

Axo je Q aeKa paBBa <i>HIYPa u I moMerpuja OI!TOBapajyhe paBHH, ca I( Cl>) 03Ha'laBaMO Cl>.l'Il

c."TIIK<l raqaxa H3 Cl>, ro jeer CBJIX raqa.ira I(X),

XE Cl>.

x=I

z

2,P)

1

2 3 x

238

HasoJ:piMO HeKOJrnKO OCHOBHHX oco5mrn OCHe c:~1MeTJ'Hje.

Oma CHMeTpHja je KH,n;HpeKTHa H30MeTpHjcKa TpaHc<PopMan;Hja.

OcHOM CKMerpHjoM ce cse Ta'IKe oce rrpernHKaBajy y ce5e. Ba>1<H H o5pHyTo, axo ocHa CJrnerpHja npecmfKaBa Hery Ta'IKY y ce5e, oH,n;a Ta Ta'IKa rrpHrra,n;a OCH Clll!eTpMje.

OcHoM cJL.~erpHjoM ce csaKa npasa HOpMaJIHa Ha ocy rrpecJIHKaBa y ce5e.

L AKo je

S.(X)

=X',

mma je

S,(X')

=X.

.>.

AKo je

S,(

<l>)

=

<D ', oe.n;a je

S.(

<D ') = <D.

AKo je <D' =

S,

(

<D ), Ka.>KeMo .n;a cy <l>Hrype <D H <D'

OCHO CKMeTp:wrne y O)l;HOCY Ha rrpasy

s.

Ha ornoBy oIIIIITe .n;e<Pmrn:u;Mje no.n;y,n;apHoCTM

J1 'IlflDeID1.ll;e .n;a je OCHa CJ1MeTpHja H30MeTpHja

3aKJbyqyjeMO .n;a cy OCHO CJ1MeTpK'iHe <l>Hrype no.n;y,n;apee. 1. AKo

p

E

p

n

s

Ji S,(p) =p', OH,n;a

p

E

p'.

2. AKo je p

II

s

H S,(p) =p', OH,n;a je Hp'

II

s.

J{oKaJ. OmUTa ,n;eqni:mi:QHja no,n;y,n;apHOCTH.

)];Be qmrype Cl> H 'I' cy

no,n;y,n;apae, y 03HaQH Cl> ~'I',

aKo nocrojH H30MerpHja I Koja

npecJIHKaBa Cl> aa 'I', ro jeer aKo

je I( cI>) ='I'.

1

J.13

p Es

CJie)l;H ,n;a je P=S,(P), ,ll;OK H3

p E

p CJie,n;H ,n;a S,(P)

E

s.(p)

=p'.

)J;aKJie, p

E

p

'

.

.., HeKa rrpase pH

s

HeMajy 3aje)l;ID1tIKe TatIKe. ,1J;oKa3aneMo ,n;a Ta,n;a HH p' HeMa

3aje,n;HJ1'1Ke TatIKe ca

s.

AKo 5H IIOCTOjana TaqKa P' E p'

n

S, OH,n;a 5HCMO HMaJIH ,n;a je S,(P') =P'. Mel)yTHM,

KaKO je S,(p') = p, cne,n;H ,n;a P'

E

p, IUTO je HeMoryhe, jep p H

s

HeMajy 3aje,n;HH'IKe

Ta'll<e.

ITpHMeTMTe ,n;a y cnyqajy .n;a je

p

=s,

HMaMo ,n;a je

Hp'

=s.

•

3a;i;aTaK

- O.n;pe,n;H KOOp,n;HHaTe raqaxa KOje cy CHMeTpJf'IHe TaqKH P(x, y) y o,n;Hocy Ha

Koop,n;HHaTHe oce.

" O.n;pe,n;H Koop,n;HHaTe TaqaKa Koje cy CHMeTpH'IHe Ta'IKH P(x, y) y o,n;Hocy Ha rrpase

x =a Hy=

b,

r.n;e cy a H

b

HeKH <PHKcHpaHM 5pojeBH.

- - ---\ AKO

IIp

'

Ha CJIHKa ThHXOB~

IIp

_ yttyTpa an;HMa JqHfJie,U, :ro pernd :::::ocTyrrlfi J;oceTKa :Ja3JIOr 3~ :::-eoMeTp AKo Ha,n;o npecJIHKa o5HM Tpo Mel)ylh~ cy rrpecell

(7)

:o, OCH a

y

:::'¥, IKoja CTaKo QYTHM, '!Ke 1paBe

AKO IIOCTOjH OCHa CHMeTpHja (TO jecT oca) KOjOM ce HeKa qmrypa rrpecJI.HKaBa y

caMy ce8e, oHp;a KCl)f(eMo p;a je Ta cpttrypa ocuo C.HMeTpWIHa.

' IIp1iMep

1.

Ha cnHKaMa HCIIOp; rrpHKa3aHe cy HeKe Il03HaTe OCHO CHMeTp:wIHe cpttrype ca CBHM lbHXOBHM ocaMa CHMeTpHje.

4&,

+

1 L.

i$$

I IlpHMep

2.

Y YHYTPaIIIlbOCTH KOHBeKCHor yrna

aOb

p;aTa je rnqKa

C.

Op;pep;HMO TaqKe

A

M

B

Ha

KpaQHMa

Oa

H

Ob

p;aTOr yrna TaKO p;a o8HM Tpoyrna

ABC

8y;a;e Haj.MaH>H.

Oqttrnep;Ho ,,rroraJ)albeM" (cnyqajH.HM H38opoM) Tpa)KeHHX Ta':IaKa HeheMo .n;oh.H

p;o peIIIelba. YlrraK, cnyqajHH H38opH Ha.M Mory rroMohM .n;a ce p;oceT.HMO KaKO Tpe8a

rroCTyrrHTH.

,,,[J;oceTKa" Koja 8p30 p;OBOAH p;o peIIIelba, a y Be3H je ca OCHOM CKMeTpHjOM, rnamrn je

pa3nor 38or Kora je oBaj 3ap;aTaK rrocTao He3ao8ttna3aH rrpKMep y MHonw YJ,I8eHHWfMa reoMeTpttje.

o~b

b

)~

_.

C

"

AKo Hap;oBe)l(eMo cTpattHQe TpoyrnoBa (Koje cMo cnyqajHo 8ttpaJI.H) ca cmu<e mH~,

rrpecJIHKaBajyhtt TaqKy Cy o,11;Hocy Ha KpaKe

Oa

H

Ob

y Ta''lKe C' H C", yoqaB~10 p;a je o8HM Tpoyrna A~,C (i = 1,2) jep;HaK ,!l;y)l(J.fH.H H3JIOMJbeHe JIJ.fHJ.fje

CA»

C.

Hajh.-paha

Me~y lbHMa je cBaKaKo ,!l;y)I( C'C". Cap;a je je,n;HoCTaBHO o.n;peAJ.iTH rpCl)f(eHe Ta<JKe: A H B

cy rrpeceQH p;~M C'C" ca

Oa

H

Ob.

CTpor p;oKa3 p;a cy oBaKo KOHCTPYHCaHe Ta':IKe 3aJ1CTa TpCl)f(eHe Ta'!Ke 3acmma ce aa

Hejep;HaKOCTH Tpoyrna. •

c

~

0

(8)

A

x

0 0

s

:~

~

C' A'

y

I I

X(J,2)

I

I I

-2 -1 1 2 3 x

240

HeKa je

S

<PuKc:ttpaHa Ta'!Ka paBID11!. YoqKMo rrpoH3BOJbH)' TaqI<y

X

paBHH n, pa3IDflilIT)' o;i;

s.

TaAa IIOCTOjH je,1:vrncTBeHa TaqKa

X'

paBHH 1! TaKBa p;a je

x

-S

-X'

H

XS:=SX'.

Krut<e~o ;i;a cy Ta'!Ke

X

H

X'

cHMeTpJ111He y oµ;Hocy Ha yaqicy

S.

Oqttrnep;Ho, rrpH OBaKBOj ornerpMjH TaqKa

s

je CHMeTpHqHa CaMOj ce8H.

Ha OBaj Haq}fff, CBa.KOj Ta~ paBHH 1! p;op;eJbeHa je jep;HHCTBeHa TaqKa Te HCTe paBHH. 0BaKBO IIpH,D;p)')KJ1BaJDe Ha3KBaMO ~eHTpaJIHOM CHMeTpHjOM.

HeKa je

S

cpMKcMpaHa Ta'!Ka paBHH n. IJ;eHTpa11Ha CHMeTpHja paBHH n y op;Hocy Ha Taqey

S

je rrpecIDU<aBalbe

S

_5:n~n, Koje csaKoj rnqKH

X

paBHH n p;op;elbyje rnqKy

X'

HCTe paBHH, Koja je CHMeTpHqHa ca

X

y op;Hocy Ha

S.

-lleHTpaJIHa CHMeTpHja je H30MeTpttja.

:Io

·ru.

Tpe8a p;oKaJarn: p;a 3a fomo Koje p;Be TaqKe X H YpaBHH

n,

aKo je

S

5(X) =X' H

SsCY)

=

Y',

oH,U;a je

XY

=X'Y

'

.

Pa3mncyjeMo p;Ba crryqaja.

~

c·

q.:.; Ta'!Ka S HHje KomrneapHa ca

X

H

Y.

KaKo je

SX

=:

SX'

H

SY= SY',

ami: H

<XSY

=:

<X'SY'

(jep cy yHaKpcHH yrnoBH rrop;yp;apirn), rrpeMa CTaBY CYC, cnep;H p;a je

XY

=:X'Y',

UITO je H Tpe8ano p;oKa3aTH.

-· c:"1aj. Ta'll<a

S

je KommeapHa ca

X

H

Y.

~oKa3 y OBOM crryqajy 3aBHCH op; pacrrope.a;a oma: rnqa.Ka. Ha rrpKMep, aKo je

S - X - Y,

KMaMO p;a je

XY

=:SY -SX,

rra H3

SX

=:

SX'

H

SY=: SY'

cnep;H p;a je

X'Y'

=SY

'

- SX' =SY - SX

=:XY.

CJIHqffO ce rrocTyna rrpH ocTaJIHM pacrropep;HMa H Ta pa3Marp<UDa OCTaBJbaMO BaMa .•

3a;:1.aTaK

Y' Y'

X'

Op;pe.a;H Koop.a;miaTe TaqKe Koja je cKMeTpffqHa TaqKH P(x, y) y op;Hocy Ha Koopp;H.Hanrn rroqeTa.K.

3a;:1.aTaK

s

x

y

Tpoyrao ABC rrpecJIHKaj ~eHTpaJIHoM CHMeTpHjOM y o,n;Hocy Ha lheroso Te)l(HUITe T. ~a JIM. je T Te)l(HUITe H Tpoyrna

S/

MBC)?

(9)

-X'M

'

paBHH. cytta 1qKyX' ~-rX'H y

7 ~

X'

"y

\_ re

T .

.D:a

J1cn1qeMo tteKe ocHOBHe ocoforne QeHTpaJIHe cHMeTpHje.

UettTpantta CHMeTpHja je AHpeKTHa H30MeTpHjcKa Tpattc<t>opMaQHja.

- . JeAHHa TaqKa Koja ce QeHTpaJIHOM CHMeTpHjOM npeCJIHKaBa y CaMY ce8e je QeHTap Te CHMeTpHje.

" IlpaBe Koje CaAp)f(e QeHTap CHMeTpHje cy jeAHHe npaBe Koje ce OBOM CHMeTpHjOM

npecJIHKaBajy y ce8e (norneAajTe CJIHKY AeCHo ).

I. AKo je

S

₅

(X)

=X', OHAa je

SiX')

=X. - AKo je

Si<l>)

=<1>', OHAa je

Si<l>')

=<1>.

AKo je <1>' =

S

₅( <1> ), Ka)f(eMo Aa cy <l>Hrype <1> H <1>' QettTpaJIHo cHMeTpH~e y OAffocy

Ha TaqKy

s.

IlOIIITO je QeHTpaJIHa CHMeTpHja H30MeTpHja, CJieAlf p;a cy QeHTpaJIHO CHMeTpHqHe <l>Hrype IIOAYAaptte.

AKo

S ft.pH Sip) =p',

OHAa je

p

II

p

'.

/1,.mcaJ.

IlpeTIIOCTaBHMO Aa npaBe

pH p'

HMajy 3ajeAIDPIKe TaqKe. HeKa je p

E

p

n

p'.

Ilo npernocTaBQH

S

ft_

p,

na je

P:t:S.

HeKa je

P'

=S

₅

(P).

TaAa je

P:t:P

'

(jep je Qemap rnMeTpHje jeAHHa TaqKa Koja ce CJIHKa y ce8e). J13

PE

p

CJieAJf Aa

P'

=S

s<

P)

E

S

₅

(p)

=p

'.

TaKol)e, IIOIIITO je

p =S

s

(p'),

npeMa OCObHHH

(5),

H3 p

E

p'

CJieAlf Aa je

P'

=

Ss<P)

E

S

₅

(p ')

=

p .

.D:aKJie, npaBe

p Hp'

HMajy ABe 3aje)::IJIWIKe TaqKe, mm 3Ha'IJ1 .n;a

cy

je.n;ttaKe. To .n;albe 3HaqJf, npeMa ocobHHH

(3),

.n;a

SE

p

cynpoTHO npernocTaBQlf. •

AKO IIOCTOjH QeHTpaJIHa CHMeTpHja KOjOM ce HeKa <t>Hrypa npeCJilfKaBa y ca..'d)' ce8e,

L--~

ott.n;a Ka)f(eMo p;a je Ta <l>Hrypa ~eeTpaJIHo CHMeTpJ[llJla.

Ilp1111ep 1.

IlapanenorpaM je QeHTpanHo cHMeTp~a <t>Hrypa. HMje TeIIIKo yo'IlH.H .n;a je rrpeceK p;Hjarottana napanenorpaMa QeHTap CHMeTpHje.

Ha CJIHQH HCIIOA npHKa3aHe cy jom HeKe QeHTpaJIHo cMMeTpH'IHe <t>irrype.

s

₀

oco6m1e

a= a'

Teope!!.1

(10)

A

CHMeTp11je 11

npaBIDIHH MHoroyrrroBH

Ilpm1ep I.

Peq CUMeiilpuja je rp'Il<or nopeKJia H 3HaqH CKllagHociil, cJlaiaHJe. Ha cHMeTpHqHe

08ID1Ke HannaaJfMO cBy,na Ha rrpHMep, y OHJbHOM H )KJIBOTHlbCKOM cBeTy jep;HHKe

ce own1K}iY cnMerpwrnomhy, a Ha BHIIDlM cTyrrlheBHMa pa3soja, peq je rrpe CBera o

cm1erp:uju nese n p;eCHe crpatte, TaK03BaHoj fornaTepaJIHoj CHMeTpHjH. Bpno qeCTo ce

ori;crynalbe og )l(eJbeHe CJiMerpHje TJMaq:11 Kao HecnocoOHOCT jep;HHKe ,u;a ce npasmrno

pa3BJtje H rrpHRarO,lUi CBOM OKpf)l(elhy.

CHe)l(He naxyn,Kne Mory OHTH paaJIHqHTIDC oOJIHKa,

an:u cse noce~jy ,,BHCOK cTeneH" cHMeTpHje.

3am1MJhHBO je ,u;a y oOJIHQHMa naxyn,HQa Hajqemhe

3ana)l(aMo yrnose OJI,

120°,

rnTo je nocnep;IDJ;a q}flbeHKqe ,u;a y MOJieK)'JIY so,u;e aTOMH BO,UOHHKa

ca

aTOMOM KHCeOHHKa o8paayjy yrao op;

120°.

-

·

•

BepoBaTHo noyqeHH HCKYCTBOM H3 rrpHpo,u;e, aJIH H rrop;cTaKHYTH c:11MeTp:11joM csor

Tena, JbYIUf Te)l(e ,na H OHO IIlTO CTBapajy 8y,u;e neno y CMHCJIY CHMeTpHqHOCTH . •

Cm1erp}fqHJf OOJJ~ He Ca.MO ,u;a neno H3rne,u;ajy, sen rroce,u;yjy J1 ,UOCTa ,,Jierrmc"

ocoOHHa Ta.Ko, Ha rrpHMep, Met)y CBHM TpoyrnoBHMa, je,u;HaKocTpaHJ1qHH Tpoyrnos:11

nocep;yjy HajBel'rn: 8poj oca CHMerp:11je (Tp:11), rra cy rnMe ,,HajrnMeTpHqHHjH

rpoyrnoBH': To je H rnasHH y3poK 8pojHmc crreQHqrnqHOCTH osmc TpoyrnoBa, Koje H11:cy

CBOjCTBeHe OCTaJH1M: TpoyrnosHMa.

TaKolje, IIOIIlTO qeTBopoyrao MO)Ke HMaTH Hajsmne qeTHpH oce CHMeTpHja, KBa,u;paTH

cy

,,HajCIDfeTpJiqHHjH qeTBpoyrnoBH':

3a,llaTa

,Ua ffif je jeAHaKOCTpaHH"'laH Tpoyrao qeHTpanHo c11MeTp:11qatt? 08pa3JIO)KH o,u;roBop.

CffifqHO ce H Met)y OCTaJJHM BpCTaMa MHOroyrnosa J13,IJ;Bajajy OHJ.1 KOjH rroce,u;yjy BHCOK

,,CTeneH CHMerpJiqHOCTJ.1".

L

-no,u;yp;apHH Ha3HBa ca npaBHmm MHoroyrao.

-

--IlpHMeTHMO ,n;a CaMO y CJI)"lajy Tpoyrnosa H3 je,n;HaKOCTH CTpaHHQa cne,n;H je,n;HaKOCT yrnosa. PoM5 xojH HHje KBa,n;paT je npHMep

qeTBopoyrna xojH HHje rrpasHnaH Haxo cy CBe l:berose CTpaHHQe je,n;HaKe. Je,n;HOCTaBHO ce KOHCTpymrre rreTOyrao tfl1je cy cTpaHHQe

pa3JIJ1qJ1Te, aJIJ1 cy CBH H>erOBH yrnOBJ1 Mel)yco5Ho je,n;HaKH (no 108°).

CB

e

cm ::LHOfO

:.:e

Hra

p

!HOfO .

..

_"')Kl{ •ret)y -CKOr

rm·u

oa

• illorn paKTi i lOIIITO OHCJP. 08jac .:::(aTaK() :rop:11c .,meCT peq rne 3a KoHc

(11)

e '

f

Ke era o ecTo ce lBJ1JIHO CB Or ill03J1

oje

Hl1CY APaTJ1 DB Op. rBHCOK OBJ1 '-Ba

F

T

1ep

r:o

~e .. .._,

CBe c11MeTpane cTpatt11n;a 11 cBe CHMeTpane yttyTpamlhHX yrnoBa rrpaBHJIHor

MHoroyrna ceKy ce y je,n;ttoj Ta'IKH Koja ce Ha3HBa u;euTap Tor Muoroyr11a.

QettTap rrpaBHJIHor MHoroyrna je, ,n;aKJie, n;ettTap 11 on11catte 11 yrr11catte Kp)')KHHD;e Tor MHoroyrna.

,[(y:arn Koje crrajajy n;eHTap rrpaBHJIHOr n-TOyrna ca IberoBHM TeMettHMa pa3llaYKY ra Ha

n Mel)yco8tto rro,n;y,n;apttHX je,n;ttaKoKpaKHX TpoyrnoBa. 3aTO ce rrpoyqaBalhe ocoforaa tteKor rrpaBHJIHor Mttoroyrna yrnaBHOM CBO,n;H Ha rrpoyqaBalbe je,n;ttaKoKpaKor -rpoyrna Koj11 o8pa3yjy n;ettTap Tor MHoroyrna 11 IheroBa ,n;Ba cyce,n;tta TeMetta.

KapaKTepHCTHqau Tpoyrao rrpaBHJIHor MHoroyrna je Tpoyrao Koj11 o8pa3yjy ,n;Ba cyce,n;tta TeMeHa 11 n;ettTap MHoroyrna.

KapaKTep11cT11'1aH Tpoyrao rrpaBHJIHOr n-Toyrna je je,n;ttaKOKpaKH rpoyrao tUrja je

360°

octtoB11n;a je,n;HaKa cTpatt11n;11 Tor MHoroyrna, a yrao ttacrrpa.'1 OCHOBHn;e je - - .

n

Mttor11 eneMeHTH npaBHJIHOr MHoroyrna cy y ,n;11peKTHoj Be3H ca &eroBHM KapaKTep11cTH'IHHM TpoyrnoM. Ha rrp11Mep, KpaK KapaxTep11cTWIHor Tpoyrna je IIOJiyrrpe'IHJ1K OIIHCaHOr Kpyra rrpaBHJIHOr MHOroyrrra. BHCHHa KapaKTepHCTWIHOr

Tpoyrna Koja o,n;rOBapa IberoBoj octtoB11n;11 je nonyrrpe'IHHK y:rrHcattor Kpyra IIpaBHJIHor Mttoroyrna. TaKol)e, ,n;a 811cMo KOHcTpYff CaJIH tteKH rrpaBHJiaH MHoroyrao, ,n;oBOJbHO je

KOHCTPJHCaT11 IberoB KapaKTepHCTWiaH Tpoyrao.

IlpHMep2.

IlmIITO ce rrpaBHJiaH mecToyrao caCToj11 113 meCT je,n;ttaKocTpamrnrn:x rpoyrnoBa, KOHCTpy:Kn;11ja OBOr MHOroyrna je je,n;HOCTaBHa JKOJIHKO je Il03HaTa aeroBa CTprumn;a. Ol5jacH11Te 315or qera je rnecTOyrao KOHCTPJHCaH Ha CJIHn;M ,n;eCHo IIpaBHJiaJI.

,[(am KOHcTpyKn;11ja npaBHJIHOr mecTOyrna je rro3HaTa o,n; ,n;aBinma. 3aBaTmrje

cy

je Kop11cT11Jie 3a rrpeMepaBalbe ,n;tta 3a 15ypa,n; (rroMony patIBacre rpaBe) 11 Ha3HBami je ,,rnecrnpeibe" jep ce Kpyr ,n;eJIH Ha meCT je,n;ttaKKX ,n;enoBa. O,n; oBe pe'Ili BOAJi rropeKJio n

peq rnecrnp.

+

3a,n;aTaK

a.

~

Aetfmum.vra T-eopeMa A.Ko _ie s~ 38np YJ!YTP3IIIlbHX ymo.sa n-rnyma. oa:ra ie S =(n -2)-I

(12)

-A

0

C'

244

--+

HeKa je

0

cp1iKCKpa.Ha Taqxa paBIDi TI H a opHjeHTHcairn yrao oBe paBHH. YoqHMO

IIpOH3BOThH)' Ta'!KY

x

paBHH TI pa3Jllf'IHTY o.n;

0.

TiocTOjH je.n;HHCTBeHa TaqKa

X'

TaKBa

---+ --+

ga je OX=

OX'

H

<rXOX'

=a. Ka_)l(eMo .n;a je Taqxa

X'

.n;o8HjeHa poTa1v1joM TaqKe X oKo

--+

raqxe

0

3a opajeHn1cairn yrao a. HapaBHO, Taqxa

0

ce poTa:u;HjoM OKO TaqKe

0

3a

8uno Koju opHjeHTHCa.HH yrao rrpecIDU<:aBa y CaAfY ce8e.

--+

HeKa je

0

cpHKCKpaHa Ta'!Ka paBHH TI H a opHjeHTHCaHH yrao oBe paBHH.

--+

Poran;Hja paBHH TI oKo TaqKe

0

3a opHjeHTHCaHH yrao a je rrpecnHKaBalhe

R.

_{0 .... : n}-n, Koje cBaKoj Ta'l.l<M

X

paBHH n .n;o.n;eJhyje TaqKy

X'

HCTe paBHH, Koja je

~ --+

.<lOfoijeaa poTa:u;HjOM OKO TaqKe

0

3a opHjeHTHCaHH yrao a. TaqKa

0

ce Ha3HBa . --+ •

:u;eHrap oBe poTa:u;HJe, a a yrao poTall;HJe.

PoTa:u;Hja je H30MeTpHja.

;:.o

r·.

AKo cy X H Y rrpoH3BOJhHe TaqKe paBHH n H aKo je

'R.

₀,-;;(X)

=X'

H

'R

₀,Q'(Y)

=

Y',

lpe8a JJ;OKa3arn p;a je

XY :=X'Y'.

11MajynH Ha YMY .n;ecpHHHll;Hjy poTa:u;Hje, 3aKJhyqyjeMo Aa je OX=

OX'

H OY

=

OY'. )J;a 8HCMO .n;oKa3arr11 .n;a je 11 XY

:=X'Y',

rrpeMa CTaBY CYC,

)l;OBOJhHO je )l;OKa3aTH .n;a je <rXOY

=

<rX'OY'. Tio.n;y.n;apHOCT OBIDC yrrroBa .n;oKa3yjeMO

pa3nHKOBaibeM cnyqajeBa y 3aBHCHOCTH o.n; Mel)yco8Hor rrorro:lKaja rrorryrrpaBmc

[OX),

[OY),

[OX')

H [OY'). Ha Hape.n;HHM CJIHKaMa rrp11Ka3aHa cy .n;Ba KapaKTepHcrnqHa

cnyqaja.

y y

Y'

0

OcTaBJha.\io BaMa .n;a y CBaKoM o.n; oBa .n;Ba cnyqaja o8pa3JIO)KJ1Te 3alllTO je

<rXOY

=

<rX'OY'. •

Y'

-

..

(13)

[MO "TatCBa ~XOKO

!

ha

e

=Y', tryjeMo

;

Ye,

jeMo [OX), la \,.

HaBop;11Mo ocHOBHe ococ511He poT~11je.

PoTaQ11ja je p;11peKTHa 1130MeTpajcKa TpaimpopMaQ11ja.

- Jep;11Ha TaqKa Koja ce poT~11joM rrpecn11KaBa y caMy cecSe je QeHTap Te poTaQHje.

PoTaQHja 3a orrpp1<eH yrao je QeHTpanHa rnMeTp11ja. PoTaQ11ja 3a rrytt yrao je

K011HQH,IJ;eHQ11ja.

AKo je

R

₀,;(X) =X', oHp;a je

R

₀._;(X') =X.

IlpHMep

I.

4

,[(aT11 cy TaqKa

0,

op11jeHT11caH yrao a 11 rrpaBa

p.

Jep;aH op; Haq11Ha p;a ce op;pep;11

R

₀

,

;(p)

je p;a ce ponrpajy

p;Be rrpo113BOJbHe TaqKe oBe rrpaBe. ~

l

~x

Mo)l(eMo rrocTyrr11T11 11 ,o;pyraqaje.

AKo je

N

rrop;HO)l(je Hop Mane 113

0

Hap 11

R

₀,;(N) =

N',

oHp;a je Hop Mana Ha

ON'

y TaqKJ1

N'

Tpa)l(eHa cn11Ka

p'

rrpaBe

p

p;aTOM pOTaQ11jOM.

Oc5jacH11Te 3alllTO je oBa rrornep;Iba KOHCTpYKQ11ja

KopeKTHa. (CernTe ce p;a 1130MeTp11je ,,qyaajy" yrnoBe.)

+

3ap;aTaK

0 p

A_

0 p

AKo je

_{R 0,60.(p)}

=

p

',

op;pep;11 yrao 113Mel)y rrpaBKX

p Hp

'.

<l>opM}'1Il1IllJf oIIDITe TBpl)eH>e o yrny 113Mel)y rrpaBe 11 lbeHe CJI11Ke HaKOH HeKe pOTaQ11je.

fipHMep2.

KoHcTpYJ1llll1MO jep;HaK0KpaKo-rrpaBoyrn11 Tpoyrao

ABC

aKo je p;arn TeMe rrpaaor yrna

C 11 rrpaBe

a

11

b

Koj11Ma rrp11rrap;ajy TeMeHa

A

H

B.

HajBa)l(H11je je rrp11Mernrn p;a je Rc,

90.(A) =B. Jib ycnoBa

p;aA

E

arnep;11p;aB=Re,90°(A)

E

Re,90°(a)=a'.)J,aKJie,

BE a"

n

b.

KoHCTPYKJ..\l1ja Ha ocHoBy HaBep;eHe attam13e je

rrp11Ka3aHa Ha CJI11Ql1 p;ecHo. (IlpHMenne p;a Kap;a

a

pornpaMo y cyrrpoTHOM cMepy, p;oc511jaMo jolll jep;Ho

pelllelbe.)

,[(oKa3 11 p;11cKyc11jy rrpeIIYlllTaMO BaMa.

+

c

b\

ocofame

YoOH'lajeHo je n:a ce

Mepe yrnoBa KOjJt cy opHjeHTHcaHH y

CMepy cynpoTHOM KpeTaJDY Ka3aJbKe

Ha caTy H3p<l)KaBajy

Il03HTJtBHJfM OpojeBIDola, a Mepe OHJ!X KOjH

cy

opnjeHrn:cam1

y

ot:epy Ka3alI>Ke Ha caT)· HeranraHJ!M. 4 Axo je a opnjeHTUCIBll ~ yrao, ca -a 03HaqaBru.i:o yrao cyIIpOTHe opHjemau;nje.

(14)

-A

-+

~

x~x

·

B' OCoOI!He

246 T

paHcrran;11j a

-+

Hexa je

v

;ram Benop Koj11 mrje H)11la-seKTop H 'llijH je rrpasa.Q rrapaneJiaH ca paBHH

n. Yo'IIDdo npmt3BOJbHY TatfK}'

X

pasHH n. T~a, npeMa TeopeMH ca CTpatte

216,

~-+

nocrnju jewmcTBeHa rnqxa

X'

TaKBa p;a je XX'

=

v

.

KCDKeMo p;a je TaqKa

X'

p;o8Hjetta

. -+

TpaHCJiaqJ1JOM Taqxe

x

3a BeKTOP

v.

-+

Hexa je

v

.n;arn BeKTop qJijH je npaBau; rrapaneJiatt ca paBHH n.

Tpa11c

11 an;u

j

a

pasm1

-+

JC 3a BeKTop

v

je npeCIDfKaBa!he

T-. :

n-+n, Koje csaKoj TaqKH

X

paBHH n p;op;eJbyje

• -+

TatfK}'

X'

HCTe paBHH, Koja je p;o811jeHa TpattcJiau;HjOM 3a BeKTOp

v.

Tpattcnau;Hja je H30MeTpHja.

· .

OKa3. HeKa cy X H Y npoH3BOJbHe TaqKe paBHH n H HeKa je

'T-;(X)

=X' H 'T-;(Y) = Y'. Ha

ornoBy TeopeMa ca CTpaHe 180, cnep;H p;a je XY=:X'Y'.

•

Haso,!P{Mo OCHOBHe ocoforne TPaHCJiau;Hje.

l TpattCJiau;Hja je p;HpeKrna H30MeTpHjcKa TpattccpopMau;Hja.

2 He IIOCTOjH Taqxa Koja ce TpaHCJiau;HjOM rrpeCJIHKaBa y CaMY ce8e .

. CBaKa npasa napaneJIHa BeKTopy Tpattcnau;Hje rrpecJIHKaBa ce y caMy ce8e.

4

TpattCJia.QHjOM ce rrpaBa rrpernHKaBa y rrapanentty rrpaBy .

.:: AKo je

'T-;(X)

=X', ottp;a je T_-;(X') =X.

IIpHMep

1.

,ll;aTe cy Taqxe A H B H npase c H d. KoHcTpYJiIIHIMO napanenorpaM ABCD TaKO p;a

CE CHD

Ed.

0Baj KOHCTP}'KTHBHH 3ap;aTaK ce pemasa

aHaJiaraO npHMepy

2.

Ha npeTXop;ttoj CTpaHH,

c THM IIITO OBora rryTa Tpe8a rrpHMeHHTH

TPaHCJia.QHjy.

IlpHMeTI1Mo p;a je

TBA'( C)

=

D.

:Vfa yrnoBa

C E

c

rnep;H Aa

D =TBA'(C) E

TM'(c) =c'.

,ll;aKJie,

D

E c'

n

d.

,ll;OKa3 Ji p;Hc:rycajy OCTaBJbaMO BaMa. •

3a~anlK

A

,ll;aTe cy Taqxe A H B H Kp)')KID11\e

k

₁H k₂• KottcTpYJiIIIH napanenorpaM ABCD TaKO p;a

CE k

l

HD E

k2.

K0Mrro3 rrpecnm

AoB,T

CJIHKY 'I1 .[fo1ca3. paBHH. p;oKa3a1 AKoca

XY=:XI

IIpeMa na KaKe Haj3a

3

3~ Op;pe;"I 1

T-

_-u

(15)

paBHH 1, fjeHa paBHH elhyje

=Y'.Ha

~a

.

y

~

xo,n;a

KoMn03HD;Hje H30MeTpHja pa

BHH

KoMIT03HQHja ,n;Be H30MeTpuje je 3arrpaBo KOMrro3~11ja ,n;Be cpyma~11je Koje

rrpernHKaBajy HeKy paBaH y ce8e. ITo,n;cehaMo ,n;a CJilfKY HeKe Ta'll<e X rrpu KOMIT03:i.~jn

A o B, TO jecT A o B(X) oi:1pel)yjeMo TaKO IIITO rrpBo o,n;pe,n;MMo B(X), a 3aTirn o,n;pe~m

CJIHKY Te raqKe rrpu

A.

K0Mrro3~uja ,n;Be H30MeTpHje je H30MeTpuja.

,lloKaJ. HeKa cy AH B ):\Be H30MeTpuje paBHH. ,ll;OKa)KJ{MO ,n;a je H Ao B H30MerpHja paBHH. HeKa cy X H Y ):\Be rrpoH3BOJhHe Ta'll<e H X' =Ao B(X) H Y' =Ao B(Y). Tpe5a ):IOKa3arn i:1a je XY =X'Y'.

AKO ca

xi

H YI 03HaqHMO B(X) H B(Y), OH,n;a, ITOIIITO je B H30MerpHja, CJie,ll;M ,n;a je

XY=XX1·

ITpeMa i:1ecp11H11Q11j11 KOMIT0311Q11je,

X'=A o B(X) =A(B(X)) =A(X₁₎

11

Y'=A o B(Y) =A(B(Y)) =A(Y₁),

rra KaKO je 11 A 1130MeTp11ja, CJie,n;11 ):la je

x

i

YI =X'Y'.

Haj3a):\, 113 XY

=x

i

YI 11

xi

YI =X'Y' CJiep;M ,n;a je XY =X'Y' .•

3aµ;aTaK

Koje 1130MeTp11je rrpe,n;cTaBJhajy cnei:1ehe KOMII0311QMje:

1)

Ro

,

ft

o

Ro

,

C:•

2)

T;

o

T,;?

A

A_

A

y

"Z

3aµ;aTaK

O,n;pei:111 cne,n;ehe KOMIT0311QMje:

A"

R

₀

,

r;

o

R

_{0 :;}=

R

_{0 ,}--;

.r;

T-.

0

T-.

=

T-. ...

V U Y +U 1)

T_-;;

o

T,:;

2)

R

₀,--; o

R

₀,_--;;

3 S

s

o

S

s

;

'"±

S oS.

p p B A' A" B"

B

S

_S

o

S

_so~_r oR _o.~ (~ .. ABC)

c

~

_.

/

r

I \

··-... .

.... ...,,

_.

.

,

.

f

....

~

B

\ Q~:~:oA

!

i

,..:·

;

· :L;

J

l

~·. ~s ---:--:----

.

!

.

.o. ••••• ::· ... S ,~

-

~

>···

... __.

::o.

..

¥#,; - ..

-

~

.,

-+ -+ A.Ko cy ynmBH a H

I'

ucTo opHjeHTHcaHH, mua

-+ -+

ce 3bnp a

+I'

o;rpel)yje

ObJf'IJIMM HaJ{OBe3JIBa.!LeM

H HMa ucry opujemamtjy

Kao u caOHpJ:Ut. YKoJIHKo

-+ -+

cy

a

H

p

cynporne

opujeHT~je, oima

o,IJ, Beher yrna Tpeoa

'-oey3eni: MaH>H H rrp11 TOM je ,IJ,OOHjeHa pa3JIHKa

op11jeHTHCaHa Kao BehH yrao.

Teope;a,u

(16)

-:reopeMa

CBe poramrje (rra THM:e Jt ueHip<mHe

CHMerpnje) n CBe Ipa.HuJ:auuje ce

ory npmra3arn Kao

Kc 031nurje .J:Be ocHe

01.Me-IpUje.

3anaraK

Koje H30MeTpHje rrpeACT<IBJbajy crreAehe KOMII03Hn;Hje:

S

oS

aKOjepllq;

,

s

>

s.

aKO je

p .l

q

J1

p

n

q

= {

O};

sq

0

s;:

aKO ce

p

J1

q

ceKy IIOA yrrroM OA 45° y rnqKH O?

I I I I

Ha oCHoBy rrperxm:µmr 3aAaTKa ttacrrynyjy ce crreAena orrIIITa rnpl)e1na.

KoMII03Jtn;Hja

S

o

S

ABe orne CHMeTpHje q11je cy oce rraparrerrtte je Tpattcrran;11ja 3a

q p -+ ~

BeKTop

v =2PQ,

rAe je

PE

p,

Q

E

q

11

PQ .l

p.

Kol\m03IDJ;Hja

S

_qo

S

_pABe orne c11MeTp11je q11je ce oce ceKy y TaqK11

0

je p0Tan;11ja crnju je n;eHTap TaqKa

0,

a yrao je ABa rryrn Ben11 OA yrrra Koje 3axBaTajy oce 11

op11jettT11caH je ,,OA Op Ka Oq':

HeheMO HaBOAlfTH AOKa3 rrpeTXOAHHX rnpljelba Ben neMO CaMO HaBeCTH ABe

cyrecTHBHe HJIYCTP~Hje.

p

q

X'

x

.

XO

3a;i:araK

X"

,lJ;aTa je Taq}(a

0,

rrpasa

p

Koja caAP)l(J{

0

11 op11jettT11caH yrao a. KottcTpYJ1IIIH rrpaBy

q

TaKOAajeR₀_.a...

=S

_q

oS .

_p

3a;i:a-aK

L{aTa je Taq}(a

0

11 rrpasa

p

Koja caAP)l(J{

0.

Kojy H30MeTp11jcKy Tpattc<f>opMan;11jy

rrpeACTaBJba KOMIT03Hn;Hja

S

₀o

S/

.

~-rrpe Oco8Ml rrpoCT~ •A • rrp • yr • rrp •Ta

L

Ko nm CHM el -

(17)

-r-

t

+-~

Hja bX" ~ '-)aayq ;~;

...

".~~

PaBaHcKa CHMeTpHja

,[(o CaAa CMO ce 5aBH!U1 HCKJb)"IHBO H30MeTpHjaMa paBHH. nonrytto aHaJIOrHO ce )7BOAe ' H30MeTpHje npocTOpa. 03Ha'IHMO ca

!El

CKyn CBHJC Ta'!aKa (npocTOp).

J.13oMerpu:ja npocTopa je ¢YHKQHja

I:

IEl~IEI TaKBa Aa 3a cBaKe A13e Ta'!Ke

AH

B

H3

!El,

aKo je 'I(A) =A' 11 'I(B) =B', OHAa je AB ~A 'B'.

vfaOMeTpHje npOCTOpa 3aMHllIJbaMO KaO ,,rrpeMell!TaH>a" Ta'!aKa npOCTOpa HaKOH qera Ce pacTOjaH>e Mel)y OArOBapajytrnM Ta'IKaMa HHje rrpoMeHHJIO. ilocebHO HCTWieMO paBaHCKY CHMeTp11jy.

HeKa je a ¢11KrnpaHa paaaH. AKo je

X

Ta'!Ka rrpocTOpa Koja He np11naAa paaHH a, HeKa je

n

(jeAHHCTBeHa) HOpMaJia Ha

a

Koja CaAp)l(Jll Ta'IKY

x.

03Ha'IHMO ca

s

IlOAHO)l(je OBe HOpMane. TaAa nocTOjH jeAHHCTBeHa Ta'!Ka

X'

TaKBa Aa je

X - S

-

X'

H XS~

SX

'.

3a Ta'!Ke

X

H

X

'

Ka)l(eMo Aa cy CHMeTpH'IHe y OAHocy Ha paBaH

a.

Ta'!Ke paBHH

a

cy cHMeTPJ1qlie

caMe ce511. Ha orr11caHH Ha'IHH, cBaKoj Ta'IKH npocTopa AOAeJbeHa je jeAJ1HCTBeHa Ta'!Ka. OaaKBO rrpHApy)fmBaH>e Ha3HBaMO paaaHCKOM c11MeTp11joM.

HeKa je

a

¢11KrnpaHa paaaH. PaBaHcKa cHMeTpu:ja y OAHocy Ha paBaH

a

je npecn11KaBaH>e

Sa:

IEl~IEI, Koje cBaKoj Ta'IKH

X

npocTOpa AOAeJbyje Ta'IKY

X',

Koja je

c11MeTpH'IHa ca

X

y OAHocy Ha

a.

Ococ511He paaaHCKe c11MeTp11je rrocTajy HHTYffTHBHO jaCHe YKOJIHKO oay H30MeTPHjy

rrpocTopa 3aMHllIJbaMO Kao rrpecm1KaBaH>e o5jeKaTa y orneAany. PaBaH orneAana je TaAa paBaH CHMeTpHje.

PaaaHCKOM c11MeTp11joM ce rrpecn11Kasajy:

AY)l(H y IIOAYAapHe AY)l(H (rra je paaaHcKa CHMeTp11ja H30MeTpHja rrpocrnpa);

• npaae y rrpaae;

c yrnoBH y IIOAYAapHe

yrnoae;

• rrpaae HOpMaJIHe Ha paaaH c11MeTp11je y caMe

ce5e;

• Ta'IKe CHMeTpanHe paBHH y

ce5e

HTA.

AKO IIOCTOjH paBaHCKa CHMeTpHja

(TO

jecT paaaH) KOjOM ce HeKa ¢urypa rrpecJIHKaBa y CaM}' ce5e, OHAa Ka)l(eMo Aa je Ta ¢urypa

CHMeTpH'IHa y OAHocy Ha TY paBaH.

a](a

KonHKO HMa paBHH y OAHocy Ha Koje je CHMeTpHqHa KOL\Ka?

-A

X .n X' eqntttH'-\1tja ..1

(18)

A

E

250 3aµ;a~:u

Ocna CJL'1eTpHja

• _ Ha cmrro1 11crrop; rrpm<a.3aHe

cy

rp.11 CTaKJieHe ITJioqe

A, B

.11

C,

rrp.11 qeM)' cy 8enoM 8ojoM 03HaqeHJt: ,,rrpOBMWflt:" rpoyrnoBH rnaKe op; IMDC. IlJioqe A .11 B, Kao .11 B

u C

cy

crrojeHe JI)')I( rrop;ebJbaHHX IDfIDlja, rrp.11 qeM)' crroj H.11je qmKrnpaH. AKo ce

B

rrpeKJIOII.11 UJioq~rn A .11 C lJ.Y)I( rrop;e8JbaHKX JIHH.11ja, KOJIMKO ,,rrpoB.11p;H.11X" rpoyrJIOBa ne Ce BHp;eTH?

A B C

"-..___-/'~

2.

IlpecJIJfl(aj Tpoyrao

ABC

OCHOM c.11MeTp.11joM y op;Hocy Ha rrpaBy Koja cap;p:am Te:>KJmIHY lJ.Y)I( H3 TeMeHa

c.

3. IlpaBe p .11 q ce OCHOM c.11..~eTp.11joM y op;Hocy Ha rrpaBy

s

rrpecnMKaBajy y rrpaBe p' .11 q'.

Koje peqemrr~e

cy

Taqae?

' AKo je p

II

q, mrp;a je p'

II

q'. 2) AKo je

p

II

s,

OHp;a je

p

II

p'.

3 AKo je p .l q, oHp;a je p' .l q'. 4 AKO je

p

.l

s,

OHp;a je

p

.l

p'.

...,. Op;peWt: 8poj oca cMMeTp.11je qmrypa rrp.11Ka3aH.11x Ha cmu~.11.

.5.

1 Aa JI.11 je rronyrrpaBa ocHo cMMeTp11'IHa? 2) ,D;a JIJ1 je rronypaBaH ocHo rnMeTp.11qHa?

b KoHCTJJymII.11 KBap;paT

ABCD

aKo je p;arn TeMe

A

.11 rrpaBa

p

Kojoj rrp.11rrap;ajy TeMeHa

B .11 D.

-_ )];an je rrpaBa

t,

Ta~a

T

Ha rrpaBoj

t

.11 TaqKa

A

Batt oBe rrpaBe. KoHCTPYJ1IIIM Kp)')KIDilzy Koja cap;p)f(M Ta~y

A

.11 p;op;.11pyje rrpaBy

t

y TaqK.11

T.

)laT je KOHBeKcatt yrao

aOb

.11 Ha KpaKy

Oa

TaqKa

P.

KottcTpy.11III.11 Kpy)lrnmw Koja cap;p:>KH Ta~

P

.11 p;oWfpyje KpaKe p;arnr yrna.

S'. ;:J:aTe cy Kp)7)KIDU.\e

k

₁.11 k₂.11 rrpaBa

p.

KottcTpYJ1III.11 TaqKe

A,

M A

2 TaKo p;a

A

1 E

k,

w

A₂E k₂M p;a A

1 M A2 8yp;y c.11MeTp11'IHe y op;Hocy Ha rrpaBy

p.

10. ,D;a11 CHi Yu) KOH 11. Ha C'I'p

Yu

J

12. Ha MJ11 13. ,D;a1 TpO op;r 14. Km A)')l

16. Tpc

17. Hai 18. ,D;a1 KO 20. ,D;a Kp;

23 '

.

Ha je~ )J;q qe

(19)

PM ' p'H q'. rwrna? H:eHa \.. Dja

kl

J1

10. )J;aTe cy rrpaBa s H p;Be Kpy:aarnu;e k

1 H k2• KoHcTpy1mm KBa,n;paT KOMe

cy

Te:c\.feHa A H C Ha rrpaBoj

s,

a TeMeHa

B

H

D

Ha KPY)Iarnu;aMa

k

₁H

k

₁•

YuymcillBo. IlpHMeTH p;a je rrpaBa

s

oca cHMeTpHje KBa,n;paTa KojH Tpe8a KOHCTPYJf CaTH.

11. Ha cTpaHHI.l;H AB Tpoyrna ABC p;aTa je raqKa P. KoHCTPYJfIIIH TaqKe

Q

H R Ha cTpaHHu;aMa BC H CA TaKO p;a Tpoyrao PQR Byp;e HajMalher ofo1Ma.

YuymcillBo. Ilornep;aj rrpHMep

2. Ha cTpaHH 239.

12. Ha CTpaHHu;aMa Tpoyrna ABC op;pep;H raqKe P, Q HR TaKO p;a Tpoyrao PQR 8yp;e MHHHManHor ObHMa.

13. )J;aTe cy p;Be rrpaBe b H c Koje ce ceKy H raqKa A BaH lhKX. KoHCTPYHIIIH

Tpoyrao ABC TaKo p;a rrpaBe b H c cap;p)l(e cHMeTpane yrnoBa ABC H BCA J.fIDl

op;roBapajynHX crroJbanilbHX yrnoBa.

14. KoHcTpYJflIIH qeTBopoyrao ABCD KOMe cy cTpaHHu;e AB, BC, CD H DA nop;yp;apHe p;y)l(HMa a, b,

c

H

d

H qHja p;HjaroHana AC rronoBH yrao DAB.

IJ;eHTparrHa

CHMeTpHja

l

5

)J;aTe cy TPH HeKonHHeapHe TaqKe A, B H T. Op;pep;H raqKy

C

TaKO p;a T Byp;e Te)l(HlIITe MBC.

16. Tpoyrao ABC rrpecnHKaj u;eHTpanHOM CHMeTpHjoM y op;ttocy Ha TeMe A.

17. Hau;pTaj 8ap qeTHpH u;eHTpanHo rnMeTpHqtte cpttrype.

18. )J;aTe cy p;Be Kpy)l(ttHu;e

k

₁H

k

₂Koje ce cery. Kpo3 jep;tty op; 3aje,n;:HWIKHX Taqaxa KOHCTPYJflIIH rrpaBy

p

Koja Ha p;aTHM Kp~m.:i;aMa op;ceu;a nop;yp;apHe Tenme.

19

)J;aTe cy rrpaBe a H

b

H TaqKa

S

Koja HM He npm1ap;a. KoHCTPYHIIIH Taqry

A

Ha npaBoj a H TaqKy

B

Ha rrpaBoj

b

TaKO p;a S Byp;e cpep;HlIITe A)')KM AB.

20. )J;aT je yrao aCb Hy lberoBoj YHYTPaIIIlbocrn Taqxa S. KoHCTPYHIIIH rnqry A Ha KpaKy Ca H TaqKy B Ha Kpary Cb TaKO p;a je CS Te)l(J1IlIHa ,ll;y)l( rpoyrna ABC.

21. )J;aTe cy tteKonHHeaptte TaqKe 0, M H

N.

KoHcTpYJfmH KBa,n;paT ABCD TaKaB p,a 0 8yp;e u;ettrap oBor KBap;parn, a p;a raqKe M H N rrpHIIap;ajy IIpaBaMa Koje o,n;pel)yjy HacrrpaMHe cTpattHu;e AB H

CD.

B

A

E

R

22. )J;aT je rrpaBoyraottHK ABCD, rrpH qeMY je AB

>

BC. Ha crpaHJfl.J;M BC

p;ara je TaqKa P. O,n;pep;H TaqKe Q,

R

H

S

Ha cTpattHu;aMa

CD, DA

H AB

TaKO p;a qeTBopoyrao PQRS Byp;e npaBoyraoHHK.

Sq

6 'a

23. Hap; cBaKOM cTpamn.:i;oM rrapanenorpaMa ABCD KOHCTPYJfCaHH

cy

jep,HaKocTpattHqHH TpoyrnoBH ABP, BCQ, CDR H DAS ca cnoJba.IIIJDe crpane. )J;oKa)l(J1 p;a u;eHTpH OBHX TpoyrnoBa obpa3yjy jep,aH napanenorpa.\f. )J;a Jrn: je n qeTBopoyrao PQRS rrapanenorpaM?

(20)

A

E

A

E

252 P0Tan;11ja

24.

Tpoyrao ABC poTiipaj oKo TeMeHa A 3a yrao ~ y II03JIITJIIBHOM cMepy. 25.0.a;pe):{Jt yrao mMeljy rrpaBe

a

J1I lheHe CJIJIIKe

a'

IIpJII poTan;J1IjJ11

Ra.a:·

26. Op;peAJII poTaqKje KOjKMa ce:

• , je;:1;mu<0crpamfqaH -rpoyrao;

3

rrpaBJIIJiaH IIIecToyrao; rrpecilliKaBa y ce8e.

27. KoHcrpymmt KBap;paT ABCD qJl.(jJII je n;eHTap p;aTa TaqKa 0, a TeMeHa A J1I B

rrpJmap;ajy ;J,BeMa p;aTJIIM rrpaBaMa a J1I

b.

2 ,UaTe

cy

AEe Kp~e

k

1 J1I

k

1 J11 TaqKa B. KoHCTPJJIIIIIJII KBap;paT ABCD TaKaB p;a

A

E

k

₁J1I

CE

k

₂•

TpaHcrran;11ja

29. Tpoyrao ABC TpaHCJIJiIPaj 3a BeKTop

BC.

3"

,IJ;aTa je )J;y)I( AB, rrpaBa

p

J1I Kp)')KHJIIn;a k. KoHcTpJJIIIIIJII TaqKy C Ha rrpaBoj

p

J1I TaqKy

D Ha Kp)T)KHJllI\JII

k

TaKO p;a ABCD 8me rrapanenorpaM.

31

,[(are cy AEe Kp)7)KHJllD;e

k

1(01, r1) J1I

k

2

(0

2, r2) J1I rrpaBa

p.

KoHcTpJJIIIIIJll rrpaBy

q

napanellHJ

cap

TaKO p;a je

q

n

kl(Ol, rl) = {A,B},

q

n

k2(02, r2) ={C,D} Jll AB ~CD. 32 ,[(aTe cy AEe napaneJIHe rrpaBe

a

J11 b J1I TaqKe A, B J1I C TaKBe p;a A E

a,

B E b J1I

A-C-B. KoHCTpymrnt npaBy c TaKO p;a

c

EC, c

n

a

={X},

c

n

b

={Y}

Jll

AX+

BY~d,

me

je

d

p;aTa )J;y)I(.

rre.m

Ilo

B

H3TI

Paul

He

Jlmt

JlHB B Jbt:~ CH E E E JlHH E