Model Trinomial Dalam Teori Penentuan Harga Opsi Tipe Eropa

Model Trinomial Dalam Teori Penentuan Harga Opsi

Tipe Eropa

Abdurakhman, Subanar, Suryo Guritno Universitas Gadjah Mada

December 17, 2004

Abstract

In this paper we study the Trinomial model for European option pricing theory using lse-hedge strategies in particular for call options as a kind of derivative securities. We use pseudoinverse matrix to find pseudo arbitrage probability and option price. Key words : Trinomial, pseudo arbitrage probability, least square errors.

Latar Belakang

Model binomial dalam teori penentuan harga opsi mempunyai beberapa kelema-han antara lain dipandang terlalu ekstrim karena kelema-hanya memandang dua kejadian perubahan harga saham saja, yaitu harga saham naik dengan peluang q1 atau

harga saham turun dengan peluang q2. Sementara itu terdapat banyak

kemu-ngkinan perubahan harga saham, seperti model trinomial yang melibatkan tiga kemungkinan atau bahkan model multinomial yang melibatkan n kemungkinan harga saham, sehingga lebih fleksibel dalam menjembatani dengan kenyataan di lapangan. Mengingat solusi untuk model trinomial tidak tunggal maka pemodel-an harga opsi model trinomial masih spemodel-angat terbuka.

Dalam paper ini akan dibahas pemodelan trinomial harga opsi pada pasar diskrit yang dibangun oleh dua asset rekening bank (B) yang tidak beresiko dan saham (S) yang sangat beresiko yang sering disebut dengan pasar (B, S) .

Penelitian pada model binomial dalam pasar(B, S)menunjukkan dapat diperoleh strategi(β, γ)yang merupakan strategi hedging, dan secara sempurna dapat digu-nakan untuk menurunkan rumus harga opsi yang rasional. Yang dimaksud dengan sempurna di sini adalah dengan strategi (β, γ) di atas bebas resiko , sedangkan

yang dimaksud dengan harga opsi yang rasional adalah dipenuhinya prinsip ke-samaan keuntungan antara pembeli opsi dan penjual opsi yang menginvestasikan hasil penjualan opsinya dalam pasar(B, S).

Pada model trinomial masalahnya menjadi lebih komplek karena persamaan linear yang diperoleh overdetermined, yaitu jumlah persamaan hedging yang ada lebih banyak dari parameter strategi yang dicari. Model penentuan harga opsi tipe Eropa distribusi binomial telah banyak dibahas oleh pakar ilmu keuangan antara lain Cox,Ross, Rubenstein (1979)[1] ,Boyle[3] ,Shiryaev 1994[4] melalui pendekatan martingale.

Penggunaan matrik dalam matematika membawa perubahan kemudahan yang sangat signifikan. Disamping lebih efisien dalam notasi dengan adanya matrik perhitungan jadi lebih mudah dan cepat. Selain Inverse suatu matrik bujur sangkarAn×n , dikenal juga pseudoinverse atau invers semu suatu matrik persegi

panjang Am×n. Untuk suatu matrik Am×n diperoleh matrik pseudoinverse yang

dinotasikan dengan lambangA+ _{dan harus memenuhi empat sifat berikut}

a. AA+A = A b. A+_AA+_{= A}+

c. (AA+₎′ _{= AA}+

d. (A+_A)′

= A+_A

Pseudoinverse suatu matrik A dapat dicari dengan memanfaatkan teorema aljabar di bawah ini :

Teorema 1 _{Misalkan dipunyai matrik Am×n dan memenuhi P AQ =} 

B 0 0 0

 , B adalah matrik berukuran r × r yang non singgular maka pseudo invers matrik

Am×n adalah A+n×m= Q  B−1 _U V W  P, dengan U = −B−1_P 1P2+, V = −Q+2Q1B−1 W = Q+2Q1B−1P1P2 Pm×m=  P1 P2  Qn×n=  Q1 Q2  P₂+= P2′  P2P ′ 2 −1 Q+₂ =Q′2Q2 −1 Q′2

P dan Q adalah matrik hasil operasi elementer baris dan kolom matrik Am×n ,

sedangkan r adalah rank matrik Am×n.

Opsi

Logika dalam opsi adalah jika pada waktu T harga saham atau barang di

pasar lebih besar dari pada harga kontrak dalam opsi (ST > K) maka pemegang

opsi otomatis akan menjalankan opsinya dan memperoleh keuntungan sebesar

(ST− K) . Jika yang terjadi sebaliknya yaitu harga saham lebih kecil maka

pe-megang opsi tidak akan menjalankan opsinya dan tidak memperoleh untung. Dapat disimpulkan bahwa didalam teori penentuan harga opsi terdapat fungsi keuntungan fT = max {0, ST − K} .Sementara itu bagi penjual opsi yang

memper-oleh hasil penjualan opsi sebesar C bisa mengalokasikan hasil penjualan opsinya dalam pasar diskrit (B, S) pada rekening bank dan saham dengan strategi (β, γ).

Sudah menjadi suatu prinsip apabila dalam penentuan harga opsi diusahakan keuntungan pemegang opsi dan penjual opsi sama.

Pada model diskrit trinomial dibentuk suatu model pasar diskrit (B, S) yang beroperasi pada waktu diskritt = 0, 1, 2...T. Model ini sering disebut dengan model multiperiode. Rekening bank dan saham untuk model diskrit diusulkan mengikuti hubungan matematis seperti di bawah ini :

Bt = (1 + r)Bt−1, (1)

St = (1 + ρt)St−1, (2)

radalah suku bunga dan ρt adalah koefisien perubahan naik turun harga saham,

(Ω, ℑ) dengan Ω adalah ruang realisasi (ρ1), yaitu Ω = {a1, a2, a3}T dan ℑ adalah

sigma aljabar dan dipenuhi P (ρt= ai) = pi, p1+ p2+ p3= 1.

Misalkan dipunyai β0 Obligasi(rekening Bank), dan dipunyai γ0 saham pada

waktut = 0, Sehingga diperolehX0= (β0B0+ γ0S0) danπ0= (β0, γ0) adalah strategi

pada waktu t = 0. Diperbolehkan dalam interval (0, 1) investor mengubah strate-ginya menjadi π1 = (β1, γ1) sebelum harga saham yang baru diumumkan.

Diper-oleh X0= (β1B0+ γ1S0). Pada waktu t = 1 modal menjadi X1= (β1B1+ γ1S1).

Dari gambaran di atas jelas dari pasar (B, S) dimungkinkan orang dengan modal awal X0 akan memperoleh modalnya menjadi X1 pada waktu 1 dengan

strategi tertentu. Prinsip di atas dapat diterapkan oleh penjual opsi dengan mengalokasikan uang hasil penjualan opsinya pada pasar (B, S), dengan strategi

(β1, γ1) .

Pada model trinomial prinsip kesamaan keuntungan tidak dapat dipenuhi, sehingga dipandang perlu untuk menggunakan prinsip lse hedging, yaitu prinsip meminimalkan selisih fungsi keuntungan opsi dengan membentuk model linear

X1+ ǫ = f1 .

Bagaimana agar harga opsi yang disepakati adalah harga yang adil bagi kedua belah pihak ? Bagaimana kriteria harga yang fair ? Yang dimaksud dengan harga yang fair di sini adalah suatu harga yang menganut prinsip lse hedging, dimana apabila penjual opsi memutar uang hasil bersih penjualannya untuk usaha yang sama maka pada waktu T fungsi keuntunganya mempunyai kesalahan yang min-imal dibandingkan dengan keuntungan yang diperoleh pembeli saham. Apabila penjual tidak mau memutarkan uangnya juga tidak apa-apa. Jadi kedua belah pihak diberi kesempatan (peluang) yang sama untuk mendapatkan keuntungan yang sama pula. Kriteria di atas diadopsi dalam definisi berikut :

Definisi 2 Dipunyai suatu strategi _π dan modal awal _{x > 0, π} dikatakan

seba-gai suatu (x, f1) −least square errors hedging untuk x > 0 jika untuk sembarang

ω ǫ Ωberlaku :

Xπ

0 (ω) = x dan

Xπ

1 (ω) + ǫ = f1

Dalam model binomial Pelim (1992), Shiryaev (1994),Tham (2000), memper-oleh rumus harga opsi singleperiode sebagai harga ekspektasi fungsi keuntungan opsi yaitu

C = (1 + r)−1

(C1× (p∗1) + C2× (p∗2))

dimana C1= max {0, Snaik− K}dan C2 = max {0, Sturun− K}masing-masing adalah

fungsi keuntungan opsi ketika harga saham naik dan harga saham turun. Pada model trinomial dipunyai dugaan yaitu opsi merupakan harga ekspektasi fungsi keuntungan opsi juga yaitu :

C = (1 + r)−1 3 X i=1 Ci× p ∗ i

Akan diteliti secara analitis apakah dugaan di atas masih berlaku atau tidak.

HASIL DAN PEMBAHASAN

Inti dari model trinomial adalah adanya pergerakan naik-turunnya harga sa-ham (S) . Diasumsikan harga saham mengikuti proses trinomial multiplikatif

se-lama periode waktu diskrit. Nilai return saham tersebut menjalani harga dengan tiga kemungkinan yaitu (1 + ai) , i = 1, 2, 3 dengan peluang masing-masing qi,

di-manaPqi= 1.Jadi jika harga saham sekarangS, maka harga saham satu periode

ke depan adalah (1 + ai) S.Kejadian ini dapat digambarkan sebagai berikut :

S0− ≺

(1 + a1) S0, probq1

(1 + a2) S0, probq2

(1 + a3) S0, probq3

Pada model ini diasumsikan bahwa suku bunga bebas resikor ≥ 0relatif konstan, seorang investor boleh meminjam dan menginvestasikan uang sebanyak yang di-kehendaki. Diasumsikan juga tidak ada pajak atas pembelian, biaya transaksi, dan tidak ada pembatasan permintaan saham dan rekening bank.

Opsi Satu Periode

Pertama-tama dibahas bagaimana menentukan harga opsi model trinomial su-atu saham pada situasi yang cukup sederhana yaitu model waktu ekspirasi ssu-atu periode. Model satu periode cukup mewakili dalam aplikasi karena sangat flek-sibel. Satu periode bisa mengambil waktu satuan hari, minggu, bulan, semester atau tahun, bahkan lebih lama lagi. Selanjutnya dimisalkan C adalah nilai opsi saat ini, C1 adalah nilai opsi pada akhir periode jika harga saham naik menjadi

(a1+ 1) S0, begitu juga dengan C2, C3 adalah nilai opsi pada akhir periode jika

harga saham menjadi (a2+ 1) S0 dan (a3+ 1) S0. Kemudian diperoleh rumus

un-tukCi = max {0, (ai+ 1) S0− K} , i = 1, 2, 3.NotasiCisering juga dinamakan dengan

fungsi keuntungan opsi. Dalam bentuk diagram dapat diperlihatkan seperti di bawah ini,

C − ≺

C1= max {0, (a1+ 1) S0− K} , prob q1

C2= max {0, (a2+ 1) S0− K} , prob q2

C3= max {0, (a3+ 1) S0− K} , prob q3

Dalam dunia investasi sudah umum mengalokasikan modal dengan memben-tuk portofolio. Portofolio yang dipakai disini adalah susunan banyaknya saham

(γ)dan banyaknya rekening bank (β). Portofolio (γ, β) pada model trinomial ini dimaksudkan untuk meminimalkan resiko kerugian. Penjual opsi yang menerima uang hasil penjualannya menginvestasikannya dalam portofolio dengan strategi

(γ, β)sehingga pada waktu ekspirasi memperolehX1= γ (ai+ 1) S0+ rβ.Pemegang

opsi pada waktu ekspirasi akan memperoleh fungsi keuntungan f1 = (S1− K)+.

Dengan mengambil nilai rekening bank (B) = 1 diperoleh nilai portofolio awal

γS0+ β. Pada akhir periode nilai portofolio mempunyai tiga kemungkinan

pe-rubahan

γS0+ β − ≺

γ (a1+ 1) S0+ (r + 1) β, prob q1

γ (a2+ 1) S0+ (r + 1) β, prob q2

Dengan asumsi bahwa nilai perubahan saham akan bersesuaian dengan nilai keuntungan opsi yang terletak dalam satu hubungan linear, portofolio(γ, β)dipilih

dengan menyamakan nilai portofolio pada akhir periode dengan nilai opsi akhir periode untuk masing-masing keadaan. Kondisi ini memenuhi harapan bahwa keuntungan penjual opsi yang menginvestasikan uang penjualan opsinya dengan portofolio (γ, β) di atas akan minimal terhadap keuntungan opsi. Selanjutnya diperoleh sistem persamaan linear :

  SS00(1 + a(1 + a12) 1 + r) 1 + r S0(1 + a3) 1 + r    γ β  =   CC12 C3  

Persamaan di atas overdetermined, yaitu suatu sistem persamaan dengan jum-lah persamaan yang lebih banyak daripada jumjum-lah variabel yang dicari. Untuk mendapatkan strategi (γ, β) yang tunggal dipergunakan pseudoinverse matrik.

Untuk lebih mudahnya dinotasikan kembali nilai return saham sebagai berikut :

a1= b, a2= c, a3= a.Selanjutnya diperoleh  γ β  =  _{1 0} −S0(1+c) 1+r 1 1+r  " 1 0 (− 1 2)c−2a+b (c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc)S 0 0 1 1 2 (a−b)(−b+c) c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc # ×   1 S0(b−c) − 1 S0(b−c) 0 0 1 0 c−a b−c a−b b−c 1     CC12= k= l C3= m   =         −1₂kc + ka − 2kb − 2lc + la + lb + mc − 2ma + mb (c2_{− ca + a}2_{− ab + b}2_{− bc) S} 0 1 2 _kc2_{− kbc + kc − 2kb + ka + ka}2_{− kab − lbc − lca − 2lc + la}2_{+ lb + lb}2_{+ la} (1 + r) (c2_{− ca + a}2_{− ab + b}2_{− bc)} + mc − 2ma + mb + mc 2_{− mca − mab + mb}2 (1 + r) (c2_{− ca + a}2_{− ab + b}2_{− bc)}         

Jelas sekali strategi (γ, β) yang diperoleh melalui pseudoinverse di atas tidak dapat memenuhi hedging karena diambil dari persamaan yang overdetermined. Secara ekonomi hal ini dapat diartikan bahwa strategi (γ, β) tidak bebas resiko seperti pada model binomial dan membawa konsekuensi keuntungan penjual opsi yang menginvestasikan uang penjualan opsinya dengan portofolio di atas tidak akan selalu sama dengan keuntungan opsi. Walaupun begitu menurut sifat pseu-doinversematriks strategi(γ, β)mempunyai sifat jumlah kuadrat kesalahan fungsi keuntungan yang minimal dibandingkan dengan strategi lain. Jadi dalam model linear portofolio saham dan rekening bank strategi ini memberikan kesalahan yang minimal dan bisa dikatakan sebagai strategi yang terbaik. Setelah menemukan

strategi(γ, β)dapat ditentukan harga opsi sebagai berikut : C = S0 1   γ β  = 1₂−kab−lar−kar+2kbr+2lcr−lca−lbc+kc2 +ka2 +la2 +lb2 −kbc−kcr−lbr (1+r)(c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc) +1 2 −mcr+2mar−mab−mca+mc2 +mb2 −mbr (1+r)(c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc) = (1 + r)−11 2 2rb−ra−rc−ab−bc+a2 +c2 c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc C1+ 1 2 2rc−ra−rb+b2 +a2 −bc−ac c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc C2 +1 2 2ra−rb−rc+c2 +b2 −ac−ab c2_−ca+a2_−ab+b2_−bc C3 

Nilai harga opsi di atas berlaku untuk harga C ≥ S − K, dan jika tidak maka diambil C = S − K.

Harga opsi model trinomial di atas dapat disederhanakan dengan mengambil

E(ρ1− r) = 0,yaitu asumsi bahwa ekspektasi koefisien naik turunnya harga saham

relatif sama dengan bunga bebas resiko. Asumsi ini cukup masuk akal karena pada dasarnya keduanya berasal dari satu istilah return. Seterusnya diperoleh sistem persamaan linear

a1p1+ a2p2+ a3p3= r (3)

p1+ p2+ p3= 1

Persamaan di atas dapat ditulis dalam bentuk matrik

 a1 a2 a3 1 1 1   pp12 p3   =  r 1  A2×3pe3×1 = er2×1 e p3×1 = A+3×2er2×1

Vektor pseudoprobabilitas untuk model trinomial dicari dengan memanfaatkan teorema (1) . Untuk lebih mudahnya dinotasikan kembali nilai return sebagai berikut :

Dengan menggunakan teorema (1) diperoleh : Q3×3 =   1 −c b−c c−a (b−c) 0 b b−c − b−a b−c 0 0 1    B−1 V  =   1 0 0 1 1 2 (b−c)(−c+a) c2_−ac+a2_+b2_−ab−bc − 1 2 −c2 +ac−b2 +ab c2_−ac+a2_+b2_−ab−bc   P2×2 = " 1 b 0 −1 b 1 #

sehingga diperoleh pseudoinverse matrikA :

A+3×2=        −1₂ −2b + a + c c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} 1 2 −ab − bc + a2_{+ c}2 c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} −1 2 b − 2c + a c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} 1 2 b2_{− bc − ac + a}2 c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} 1 2 −c + 2a − b c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} − 1 2 −c2_{+ ac − b}2_{+ ab} c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc}       

selanjutnya diperoleh vektor probabilitas sebagai berikut :

e p =        p1= 1₂ 2rb − ra − rc − ab − bc + a2_{+ c}2 c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} p2= 1₂ −rb + 2rc − ra + b2_{− bc − ac + a}2 c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc} p3= 1₂ 2ra − rc − rb + c2_{+ b}2_{− ac − ab} c2_{− ac + a}2_{+ b}2_{− ab − bc}        (4)

Dikatakan sebagai probabilitas semu karenapidalam persamaan(4)di atas

bukan-lah probabilitas nyata perubahan harga saham akan tetapi merupakan proba-bilitas yang diperoleh dari hubungan E(ρ1− r) = 0. Nilai probabilitas ini selalu

lebih besar dari nol dan lebih kecil dari satu, sehingga pi mempunyai sifat-sifat

probabilitas sehingga sering disebut dengan probabilitas semu. Selanjutnya me-manfaatkan vektor probabilitas pada persamaan di atas harga opsi dapat ditulis dalam bentuk yang cukup sederhana

C = (1 + r)−1 3 X i=1 pi× Ci = (1 + r)−1_{E (C} T=1)

Setelah melihat rumus harga opsi model trinomial di atas dan model binomial yang sudah cukup terkenal maka dapat disimpulkan di sini secara umum bahwa harga opsi untuk model satu periode merupakan harga harapan nilai keuntungan opsi untuk semua keadaan yang mungkin yang terdiscount oleh kenaikan tingkat suku bunga (1 + r).

Jika dilihat rumus harga opsi di atas diperoleh suatu catatan yaitu bahwa peluang qi, i = 1, 2, 3 tidak muncul dalam rumus. Ini berarti probabilitas dunia

nyata naik turunnya harga saham tidak mempunyai peran yang berarti dalam penentuan harga opsi. Jadi walaupun para investor mempunyai perbedaan be-rapa besar peluang naik turunnya harga saham, mereka masih dapat menerima pada hubungan rumus C yang dibangun oleh unsur-unsur S, ai, dan r. Rumus

harga opsi di atas berlaku dalam kondisi E (ρ1− r) = 0,tidak untuk kondisi yang

lain.

Hubunganaidanrdapat diturunkan dari asumsiE (ρ1− r) = 0.Dari persamaan

(3) di atas diperoleh hubungan antarap2 dan p1

p2 = r − a1 a2− a1 +a1− a3 a2− a1 p1≥ 0 = r − a1+ (a1− a3) p1 a2− a1 a2− a1 < 0 ⇐⇒ r − a1+ (a1− a3) p1≤ 0 0 < p1≤ a1− r a1− a3 < 1

Selanjutnya diperoleh hubungan antara p3 dan p1 sebagai berikut :

p3 = r − a2 a1− a2 + (a2− a3) p1 a1− a2 ≥ 0 = r − a2+ (a2− a3) p1 a1− a2 a1− a2 > 0 ⇐⇒ r − a2+ (a2− a3) p1≥ 0 p1 ≥ a2− r a2− a3 ≥ 0

Dari hubungan di atas diperoleh

a3< 0 ≤ r ≤ a2< a1

Hasil perhitungan matematis di atas dapat dituangkan dalam sebuah teorema tentang harga opsi model trinomial satu periode sebagai berikut :

Teorema 3 _{Harga opsi tipe Eropa model trinomial satu periode dengan fungsi}

ke-untungan Ci= max{0, S0(1 + ai) − K} adalah sebagai berikut :

C = (1 + r)−1

((C1× p1) + (C2× p2) + (C3× p3))

= (1 + r)−1

E (C1)

dengan p_eadalah probabilitas semu pada persamaan (4).

Opsi

n

Periode

Setelah berhasil merumuskan harga opsi untuk waktu ekspirasi satu periode dan menuangkannya dalam sebuah teorema, selanjutnya akan diteliti model harga opsi untuk periode yang lebih umum yaitu nperiode. Untuk melihat model ini

dimulai dengan model trinomial dua periode, diperoleh diagram pergerakan harga saham seperti di bawah ini :

S ≺ (1 + a1)2S, (1 + a1) S ≺ (1 + a1) (1 + a2) S (1 + a1) (1 + a3) S (1 + a2) (1 + a1) S (1 + a2) S ≺ (1 + a2)2S, (1 + a2) (1 + a3) S (1 + a1) (1 + a3) S (1 + a3) S ≺ (1 + a2) (1 + a3) S (1 + a3)2S,

dengan cara yang sama akan diperoleh diagram untuk nilai opsi sebagai berikut di bawah ini : C ≺ C11= max{0, (1 + a1)2S − K} C1≺ C12= max{0, (1 + a1) (1 + a2) S − K} C13= max{0, (1 + a1) (1 + a3) S − K} C21= max{0, (1 + a2) (1 + a1) S − K} C2≺ C22= max{0, (1 + a2)2S − K} C23= max{0, (1 + a2) (1 + a3) S − K} C31= max{0, (1 + a3) (1 + a1) S − K} C3≺ C32= max{0, (1 + a3) (1 + a2) S − K} C33= max{0, (1 + a3)2S − K}

Notasi C11 menyatakan nilai opsi dalam dua periode jika harga saham bergerak

naik (1 + a1) pada setiap periodenya, notasi Cij analog nilai opsi setelah dua

pe-riode untuk setiap kemungkinan harga saham. Selanjutnya dengan memandang peluang pi selalu tetap maka diperoleh hubungan antara Ci dan Cij sebagai

berikut : C1= (1 + r) −1 (C11× (p1) + C12× (p2) + C13× (p3)) C2= (1 + r) −1 (C21× (p1) + C22× (p2) + C23× (p3)) C3= (1 + r) −1 (C31× (p1) + C32× (p2) + C33× (p3))

Karena nilai β danγ mempunyai bentuk fungsional yang sama di setiap perioda, harga opsi sekarang C untuk model dua periode dapat direpresentasikan dalam

rumus C = (1 + r)−1 3 X i=1 pi× Ci = (1 + r)−2 p21C11+ 2p1p2C12+ p22C22+ 2p1p3C13+ p23C33+ 2p2p3C13 = 2 P i=0 2 P j=0 2! i!j!(2−i−j)!p i 1p j 2p 2−i−j 3 max n 0, (1 + a1)i(1 + a2)j(1 + a3)2−i−jS − K o (1 + r)2 ≧berlaku untuk i + j ≤ 2

Lebih lanjut rumus di atas dapat digeneralisasi untuk n periode dan diperoleh

rumus harga opsi model trinomial sebagai berikut :

C = n P i=0 n P j=0 n! i!j!(n−i−j)!pi1p j 2p n−i−j 3 max n 0, (1 + a1) i (1 + a2) j (1 + a3) n−i−j S − Ko (1 + r)n ≫berlaku untuk i + j ≤ n

Hasil generalisasi di atas untuk modelnperiode dapat dituangkan dalam sebuah teorema tentang harga opsi sebagai berikut :

Teorema 4 _{Harga opsi tipe Eropa model trinomial n periode dengan suku bunga} r ≥ 0relatif konstan adalah sebagai berikut :

C = n P i=0 n P j=0 n! i!j!(n−i−j)!p i 1p j 2p n−i−j 3 max n 0, (1 + a1)i(1 + a2)j(1 + a3)n−i−jS − K o (1 + r)n ≥berlaku untuk i + j ≤ n

dengan p_eadalah probabilitas semu pada persamaan (4).

Sampai di sini cukup jelas bahwa penurunan rumus yang dibuat pada model satu periode berhasil digeneralisasi untuk sebarang n periode. Secara khusus

dapat dilihat bahwa harga opsi merupakan bentuk ekspektasi dari fungsi keun-tungan opsi itu sendiri terdiskount oleh suku bunga dalam ruang probabilitas semu.

Berikut ini diberikan satu contoh untuk memperjelas teori-teori dan hasil-hasil yang diperoleh pada model opsi trinomial di atas.

Contoh 5 _{Diberikan contoh aplikasi rumus teori penentuan harga opsi model}

1$ yang diukur dalam rupiah. Misalkan S0= 1$ = 8000 rp. Perubahan nilai dolar

dalam kurs rupiah diasumsikan mengikuti distribusi binomial Jika kurs dollar naik maka diprediksikan hargaS1= 8800atau nilai a1=₁₀1 dan jika kurs dollar

tu-run maka diprediksikan harga S1= 7200 atau nilai a3=−₁₀1, dana2= 0. Disepakati

harga kontrakK = 8000rp . Diambil B0= 1 rp dan r = 0. Jadi pada contoh ini

di-ambil pengaruh dari rekening bank nol atau dinonaktifkan. Selanjutnya diperoleh vektor probabilitas p_e∗

= [1/3, 1/3, 1/3]. Harga opsi dapat ditentukan :

C = (8800 − 8000) × 1 3+ (8000 − 8000) × 1 3 + 0 = 800 3 rupiah

Selanjutnya dengan menggunakan strategi lse-hedge dapat diperoleh strategiγ∗ 1 =

0.5 dan β∗

1 = −3733.3 yang dapat diartikan bahwa dengan menjual opsi seharga

800/3 rp dan meminjam sebesar 3733.3 penjual opsi dapat memiliki 0.5 saham. Selanjutnya diperoleh kemungkinan berikut :

a Pada saat harga saham turun. Penjual opsi memiliki setengah saham seharga 3600 dan ia mempunyai hutang sebesar 3733.3sehingga ia masih mempunyai minus sebesar −133.3.sedangkan pembeli opsi mendapatkan nol.

b Pada saat harga saham tetap. Penjual opsi memiliki setengah saham seharga 4000dan ia mempunyai hutang sebesar3733.3sehingga ia masih untung 266.7.

sedangkan pembeli opsi mendapatkan nol.

c _{Pada saat harga saham naik. Penjual opsi memiliki setengah saham seharga} 4400dan ia mempunyai hutang sebesar 3733.3sehingga ia masih untung666.7.

sedangkan pembeli opsi mendapatkan keuntungan 800.

Dapat dilihat dari ketiga kemungkinan yang terjadi hedging tidak mampu dipenuhi. Sebagai perbandingan dengan menggunakan model binomial tanpa mengikutkan kemungkinan harga saham tetap diperoleh risk neutral probability p_e∗

= [1/2, 1/2]

dan akhirnya dapat ditentukan harga opsi

C = (8800 − 8000) ×1 2 + 0 = 400 rupiah

Selanjutnya dengan menggunakan strategi hedge bebas resiko dari model binomial dapat diperoleh strategi γ = 0.5 dan β = −3.600 yang dapat diartikan bahwa den-gan menjual opsi seharga 400 rp dan meminjam sebesar 3600 penjual opsi dapat memiliki 0.5 saham.

Pada uraian di atas diperoleh bahwa strategi (γ, β) akan bersifat least square error, yaitu mempunyai jumlah kuadrat yang minimal. Pada contoh di atas dapat dibuktikan bahwa strategiγ = 0.5dan β = −3733.3memberikan hasil jumlah kuadrat error yang minimal dibandingkan dengan strategi-strategi lainnya. Hal ini dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

γ β Xnaik fnaik Xtetap ftetap Xturun fturun M se 0 266.67 266.67 800 266.67 0 266.67 0 426666.7 0.05 −133.33 306.67 266.67 266.67 365866.7 0.1 −533.33 346.67 266.67 186.67 311466.7 0.15 −933.33 386.67 266.67 146.67 263466.7 0.2 −1333.33 426.67 266.67 106.67 221866.7 0.25 −1733.33 466.67 266.67 66.67 186666.7 0.3 −2133.33 506.67 266.67 26.67 157866.7 0.35 −2533.33 546.67 266.67 26.67 135466.7 0.4 −2933.33 586.67 266.67 −13.33 119466.7 0.45 −3333.33 626.67 266.67 −53.33 109866.7 0_{.5 −3733.33 666.67 266.67 −93.33} 106666.7 0.55 −4133.33 706.67 266.67 −133.33 109866.7 0.6 −4533.33 746.67 266.67 −173.33 119466.7 0.65 −4933.33 786.67 266.67 −213.33 135466.7 0.7 −5333.33 826.67 266.67 −253.33 157866.7 0.75 −5733.33 866.67 266.67 −293.33 186666.7 0.8 −6133.33 906.67 266.67 −333.33 221866.7 0.85 −6533.33 946.67 266.67 −373.33 263466.7 0.9 −6933.33 986.67 266.67 −413.33 311466.7 0.95 −7333.33 1026.67 266.67 −453.33 365866.7 1 −7733.33 1066.67 266.67 −493.33 426666.7

Dapat diperlihatkan juga bahwa harga opsi C = 266.67 memberikan jumlah kuadrat error yang minimal dibandingkan dengan harga yang lain pada strategi di atas. Hasilnya dapat dilihat pada tabel di bawah ini :

C 230 233.3 236.67 240 243.3 246.67 250 M se 110700 110000 109366.7 108800 108300 107866.7 107500 C 253.33 256.67 260 263.33 266.67 270 273.33 M se 107200 106966.7 106800 106700 106666.7 _{106700 106800} C 276.67 280 283.33 286.67 290 293.33 296.67 M se 106966.7 107200 107500 107866.7 108300 108800 109366.7

Ilustrasi di atas membuktikan bahwa strategi (γ, β) merupakan strategi yang layak diterapkan dalam investasi model diskrit karena memberikan jumlah kuadrat error yang minimal dan hargaCadalah harga opsi yang dipandang fair bagi kedua belah pihak karena jumlah kuadrat error yang minimal.

KESIMPULAN

Dari hasil penelitian dan pembahasan di bab sebelumnya mengenai penentuan harga opsi model trinomial pada pasar diskrit dapat diambil kesimpulan sebagai berikut :

1. Rumus harga opsi untuk model trinomial merupakan suatu pengembangan dari rumus harga opsi model binomial yang lebih sederhana

2. Rumus harga opsi model trinomial merupakan harga harapan fungsi keun-tungan opsi

3. Pada harga opsi model trinomial diperoleh probabilitas bebas resiko yang

tidak tunggal, dan diantara probabilitas bebas resiko yang tidak tunggal tersebut dapat diperoleh probabilitas semu bebas resiko yang meminimalkan jumlah kuadrat kesalahan.

DAFTAR PUSTAKA

1. J.C.Cox, R.A.Ross, M.Rubeinstein, Option Pricing : A Simplified Ap-proach, Journal Financial Economic, 1976,7, pp 229-263.

2. J.M.Harrison, D.M. Kreps, Martingale and Arbitrage in Securities Markets, Journal Economic Theory,1979, pp. 381-408.

3. P.P. Boyle, Options and The Management of Financial Risk, Society of -Actuaries, 1992.

4. Shiryaev.A.N, Toward the theory of options of both European and American