EUCLIDEAN VECTOR SPACES

Chapter 4.

EUCLIDEAN VECTOR SPACES

•EUCLIDEAN n –SPACE

•LINEAR TRANSFORMATION R

n

_{to R}

m

•PROPERTIES OF LINEAR TRANSFROMATION R

n

_{to R}

m

EUCLIDEAN n - SPACES

Vektor Dalam Ruang Berdimensi n : R

n

Jika n adalah suatu bilangan bulat positif, maka ganda n berurut

adalah sederet n bilangan real (a

₁

, a

₂

,…,a

_n

) . Himpunan semua

ganda n berurut disebut ruang berdimensi n dan dinyatakan

R

n

_.

Ex : R

3

_{: (a}

1

, a

2

, a

3

)

Pasangan tiga berurut

bisa diintepretasikan

secara geometris sebagai

suatu titik atau vektor

coordinate

Definisi

Dua vektor u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

) dan v=(v

₁

,v

₂

,…, v

_n

) dalam R

n

_{disebut equal jika}

Dimana:

dan jika

k adalah sebuah skalar, perkalian skalar ku adalah

n n

v

u

,...,

v

, u

v

u

_{1 1 2 2}

)

,...,

,

_{2 2} 1 1

v

u

v

u

n

v

n

(u

v

u

)

,...,

,

(

ku

₁

ku

₂

ku

_n

ku

Operasi penambahan dan perkalian skalar pada definisi ini disebut

standard operations

pada R

n

_.

• Vektor nol (

Zero vektor

) pada R

n

_{dinyatakan oleh 0 dan}

merupakan vektor 0=(0,0,…,0)

• Jika u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

) adalah sebarang vektor di R

n

_{, maka}

negatif ( or kebalikan positif) dari u dinyatakan dgn –u;

-u=(-u

₁

,-u

₂

,…,-u

_n

)

• Beda vektor pada R

n

_{dinyatakan sbb:}

v-u=v+(-u

)

v-u =(v

₁

-u

₁

,v

₂

-u

₂

,…,v

_n

-u

_n

)

• Jika u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

), v=(v

₁

,v

₂

,…, v

_n

)

, dan

w=(w

₁

,w

₂

,…, w

_n

) adalah vektor-vektor pada R

n

dan

k

dan l adalah skalar, maka:

(a) u+v = v+u

(b) u+(v+w) = (u+v)+w

(c) u+0 = 0+u = u

(d) u+(-u) = 0; that is u-u = 0

(e) k(lu) = (kl)u

(f) k(u+v) = ku+kv

(g) (k+l)u = ku+lu

(h) 1u = u

• Jika u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

), v=(v

₁

,v

₂

,…, v

_n

)

adalah

vektor-vektor dalam R

n

_{, maka}

_{Euclidean Inner}

Product u v

dinyatakan oleh

n

n

v

u

v

u

v

u

₁

₁

₂

₂

...

v

u

• Perkalian titik Euclidean pada vektor

u

=(-1,3,5,7) dan v=(5,-4,7,0)

pada R

4

_adalah

• Jawab :

• u v=(-1)(5)+(3)(-4)+(5)(7)+(7)(0)=18

1. EUCLIDEAN n - SPACES

Contoh:

Hitung perkalian titik Euclidean berikut; a.

b.

Sifat-sifat dari Perkalian Titik Euclidean

• Jika u, v dan w are vektor in R

n

_{dan k sebarang skalar,}

maka

(a) u v = v u

(b) (u+v) w = u w+ v w

(c) (k u) v = k(u v)

Contoh 2

(3u+2v) (4u+v) = (3u) (4u+v)+(2v) (4u+v)

= (3u) (4u)+(3u) v +(2v) (4u)+(2v) v

=12(u u)+11(u v)+2(v v)

Norma/Panjang dan Jarak pada Ruang berdimensi-n

Euclidean

• Norma/Panjang Euclid dari suatu vektor u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

) pada R

n

dengan

• Jarak Euclid antara dua titik u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

)

dan v=(v

₁

, v

₂

,…,v

_n

)

pada R

n

_{dinyatakan oleh}

2 2 2 2 1 2 1

...

(

u

u

)

u

u

u

_n

u

2 2 2 2 2 1 1

)

(

)

...

(

)

(

)

,

(

u

v

u

v

u

_n

v

_n

d

u

v

u

v

• Jika u=(1,3,-2,7) dan v=(0,7,2,2), maka pada ruang

berdimensi Euclidean R

4 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 7 ( ) 2 2 ( ) 7 3 ( ) 0 1 ( ) , ( 7 3 63 ) 7 ( ) 2 ( ) 3 ( ) 1 ( v u u d dan

1. EUCLIDEAN n - SPACES

Contoh :

Hitung Euclidean Norm of the vector : 1. v= (3,4,0, -12)

2. u = (-2,1,1,-3,4)

1. EUCLIDEAN n - SPACES

Hitung Euclidean Distance between u and v: 1.

2. 3.

Ketaksamaan Cauchy-Schwarz pada R

n

• Jika u=(u

₁

,u

₂

,…,u

_n

)

dan v=(v

₁

, v

₂

,…,v

_n

)

adalah vektor in R

n

_{, maka}

v

u

v

u

In each part, verify that the Cauchy–Schwarz inequality holds:

1. 2. 3.

Sifat-sifat panjang dan jarak pada R

n

• Jika u dan v adalah vektor pada R

n

_{dan k adalah}

sebarang skalar, maka

Segitiga)

an

(Ketak sama

v

u

v

u

(d)

u

k

u

k

(c)

0

u

jik a

hanya

dan

jik a

u

(b)

u

(a)

0

0

Sifat-sifat Jarak pada R

n

• Jika u, v, dan w adalah vektor pada R

n

_{dan k sebarang}

skalar, maka:

segitiga)

an

(Ketaksama

)

,

(

)

,

(

)

,

(

(d)

)

,

(

)

,

(

(c)

jika

hanya

dan

jika

0

)

,

(

(b)

0

)

,

(

(a)

v

w

w

u

v

u

u

v

v

u

v

u

v

u

v

u

d

d

d

d

d

d

d

Teorema

• Jika u, v adalah vektor pada R

n

_{dengan hasil}

kali dalam Euclidean, maka

2 2

4

1

4

1

v

u

v

u

v

u

1. EUCLIDEAN n - SPACES

Definisi Keorthogonalan

• Dua vektor u dan v pada R

n

_disebut

orthogonal Jika u v=0

1. EUCLIDEAN n - SPACES

0

)

1

)(

4

(

)

0

)(

1

(

)

2

)(

3

(

)

1

)(

2

(

karena

,

orthogonal

)

1

,

0

,

2

,

1

(

dan

)

4

,

1

,

3

,

2

(

vektor

Euclidean

ruang

Pada

4

v

u

v

u

R

Teorema Pythagoras pada R

n 2 2 2

v

u

v

u

maka

Euclidean,

dalam

kali

hasil

dengan

R

pada

orthogonal

vektor

adalah

v

dan

u

Jika

n

Notasi Alternatif untuk vektor pada R

n

n n n n n n n n n n

k u

k u

k u

u

u

u

k

u

k

,

v

u

v

u

v

u

v

v

v

u

u

u

v

u

u

...

u

u

u

or

u

u

u

u

column

matrik s

atau

baris

matrik s

sebagai

matrik s

notasi

dalam

ditulis

bisa

R

di

)

u

,...,

u

,

u

(

u

Vek tor













2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1

Notasi Alternatif untuk vektor pada R

n

)

(

)

...,

,

,

(

)

,

...

,

,

(

vektor

operasi

dengan

sama

yang

nilai

an

menghasilk

...

...

...

atau

2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 n n n n n n n n n n

v

, ..., u

v

, u

v

u

v

v

v

u

u

u

... ku

ku

ku

u

u

u

k

k

v

... u

v

u

v

u

v

v

v

u

u

u

v

u

v

u

u

Formula Matriks untuk perkalian titik

u

v

v

u

v

u

T

product

inner

Euclidean

for the

formula

follow ing

the

have

e

notation w

matrix

column

in

s

for vector

Thus,

and

vectors

for the

notation

matrix

column

use

we

If

2 1 2 1 n n

v

v

v

u

u

u





v

u

v

u

u

v

T

2 2 1 1 2 1 2 1 n n n n

u

v

u

v

...

u

v

u

u

u

... v

v

v



Formula Matriks untuk perkalian Titik

v

u

v

u

v

u

v

u

v

u

u)

v

)u

v

u

v)

v

u

v

u

u

v)

u

v

u

v

v

u

T T T T T T T T T T T T

A

A

A

A

A

A

A

A

A

A

n

n

A

(

(

(

A

(

A)

(

)

A

(

A

that

transpose

the

of

properties

then

matrix,

a

is

If

T

Contoh

A

u

v

u

A

T

v

11

)

1

(

4

)

4

(

2

)

7

)(

1

(

11

)

5

(

5

)

0

(

10

)

2

(

7

1

4

7

5

0

2

1

1

3

0

4

2

1

2

1

5

10

7

4

2

1

1

0

1

1

4

2

3

2

1

Maka

5

0

2

,

4

2

1

,

1

0

1

1

4

2

3

2

1

:

bahwa

Misalkan

v

u

v

u

v

u

v

u

T T

A

A

A

A

A

Pandangan hasil kali titik mengenai perkalian

matriks

rj j j ir i i rj ir j i j i ij ij

b

b

b

j

... a

a

a

i

b

a

b

a

b

a

AB

ij

n

r

b

B

r

m

a

A



2 1 2 1 2 2 1 1

.

-ke

kolom

B

dan vektor

.

-ke

bari

A

vektor

dari

titik

kali

hasil

merupakan

yang

...

adalah

dari

-ke

anggota

maka

,

matriks

sebuah

adalah

dan

matriks

sebuah

adalah

Jika

b

r

r

r

x

r

x

r

x

r

b

x

c

r

c

r

c

r

c

r

c

r

c

r

c

r

c

r

c

r

c

c

c

r

r

r

of

entries

the

are

,...,

,

and

,

of

vectors

row

the

are

...,

where

(11)

as

form

product

dot

in

expressed

be

can

system

linear

A

(10)

as

expressed

be

can

product

matrix

then the

,

...,

are

of

tors

column vec

the

and

...,

are

of

vectors

row

the

if

Thus,

2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 m m m m n m m m n n n m

b

b

b

A

,

,

b

b

b

A

AB

AB

,

,

B

,

,

A

















1. EUCLIDEAN n - SPACES

0

8

5

5

4

7

2

1

4

3

3 2 1 3 2 1 3 2 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

0

5

1

)

,

,

(

)

8

,

5

,

1

(

)

,

,

(

)

4

,

7

,

2

(

)

,

,

(

)

1

,

4

,

3

(

3 2 1 3 2 1 3 2 1

x

x

x

x

x

x

x

x

x

Sistem

Bentuk Perkalian Titik

1. EUCLIDEAN n - SPACES

Transformasi Linier

R

n

to R

m

Fungsi berbentuk w = f(x) dimana:

• peubah bebas x : vektor dalam R

n

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

b = f(a)

codomain

of f domain of _f

Function is a rule f that associates with each element in a set A one and only one element in a set B

Fungsi dari R

n

_{ke R}

Formula Contoh Klasifikasi Deskripsi

Fungsi bernilai real dari suatu peubah real

Fungsi dari

R ke R

Fungsi bernilai real dari dua peubah real

Fungsi dari

R

2

ke R

Fungsi bernilai real dari tiga peubah real

Fungsi dari

R

3

ke R

Fungsi bernilai real

dari n peubah real

Fungsi dari

_R

n

ke R

)

(x

f

2

)

(

x

x

f

)

,

(

x

y

f

f (x, y) x2 y2

)

,

,

(

x

y

z

f

_{2 2} 2 ) , , ( z y x z y x f

)

,...,

,

(

x

₁

x

₂

x

_n

f

2 2 2 2 1 2 1

...

)

,...,

,

(

n n

x

x

x

x

x

x

f

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Fungsi-fungsi dari R

n

ke R

m

• Jika domain dari suatu fungsi f adalah R

n

_dan

kodomain adalah R

m

_{, maka f disebut sebuah map}

atau transformasi dari R

n

_{ke R}

m

_{, dan kita menyatakan}

bahwa fungsi

f

maps R

n

_{ke R}

m

_{. Kita tuliskan dengan}

f

:

Pada kasus dimana m=n transformasi f :

adalah disebut suatu

operator

pada R

n

m n

R

R

m n R R

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

• Misalkan f

₁

,f

₂

,…,f

_m

adalah fungsi bilangan riil dengan n

variabel, dimana;

w₁=f₁ (x₁,x₂,…,x_n) d w₂=f₂ (x₁,x₂,…,x_n) w_m=f_m (x₁,x₂,…,x_n)

Persamaan-persamaan m diatas menempatkan suatu titik

unik (w

₁

,w

₂

,…,w

_m

) dalam R

m

_{setiap titik (x}

1

,x

2

,…,x

n

) dalam

R

n

_{dan dengan demikian mendefinisikan suatu transformasi}

dari R

n

_{ke R}

m

_{. Jika kita menyatakan transformasi ini dengan}

T, maka dan

T(x

₁

,x

₂

,…,x

_n

)= (w

₁

,w

₂

,…,w

_m

)





m n

R

R

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

)

3

,

6

,

1

(

)

2

,

1

(

example,

for

Thus,

)

,

3

,

(

)

.

ation

transform

a

define

3

equations

The

2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 3 2 2 2 2 1 3 2 1 2 2 1 1

T

x

x

x

x

x

x

,x

T(x

R

T:R

x

x

w

x

x

w

x

x

w

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Contoh 1:

n mn m m m n n n n

x

a

x

a

x

a

w

x

a

x

a

x

a

w

x

a

x

a

x

a

w

...

...

...

2 2 1 1 2 2 22 1 21 2 1 2 12 1 11 1









Matriks

A=[a

_ij

]

disebut

Matriks Standar

untuk

transformasi linier

T, dan

T

disebut

perkalian

dengan A.

T : R

n

R

m

w = Ax

if n = m : linier transformation

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Beberapa masalah notasi

• Kita menyatakan transformasi linear dg

dimana,

Vektor dinyatakan dalam suatu matrik kolom.

Jika matrik standar utk T dinyatakan dengan simbol [T], maka

Kadangkala, dua notasi untuk matriks standar akan dicampur,

dimana kita mempunyai hubungan :

m n

R

R

T

T

_A

R

n

R

m

x

x

A

T

_A

(

)

x

x

)

[

]

(

T

T

A

T

_A

]

[

x

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Geometry of Linear Transformations

T

₀

(x) = 0x=0



zero transformation from R

n

_{to R}

m

_.

T

_I

(x) = Ix=x

 identity operator on R

n

_.

Misal :

Operasi Linier yang

penting pada R

2

_{ke R}

3

_:

- Pencerminan

- Proyeksi

Operator Pencerminan

• Secara umum R

2

_{dan R}

3

_{yang memetakan setiap}

vektor bayangan simetrisnya terhadap suatu garis

atau

bidang

disebut

operators

pencerminan.

Operator-operator tersebut linear.

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Operator R2 dan R3 yang memetakan setiap vektor ke bayangan

simetrisnya terhadap suatu garis atau bidang disebut operator

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Use matrix multiplication to find the reflection of (1,3) about x –axis.

Find :

-Reflection on y-axis

-Reflection on the line y=x

So the reflection of (1,3) is (1,-3).

Use matrix multiplication to find the reflection of (2, −5, 3) about the xy -plane

so the reflection of (2, –5, 3) is (2, –5, –3).

Find :

-Reflection on xz-plane -Reflection on yz-plane

Operator Proyeksi

Secara umum, sebuah

operasi

proyeksi (atau lebih tepatnya

operator projeksi

orthogonal

) pada R

2

_{atau R}

3

_{adalah sebarang operator yang memetakan}

setiap vektor ke proyeksi ortogonalnya pada suatu garis atau bidang yang

melalui titik asal.

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Tinjau Operator T : R

2

 R

2

_{yang memetakan setiap vektor ke proyeksi}

orthogonalnya pada x-axis. Persamaan yang menghubungkan komponen x

dan w=T(x) adalah;

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Basic Projections Operators on R

2

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Basic Projections Operators on R

2

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Operator Rotasi

• Operasi yang merotasikan setiap vektor dalam R

2

_{melalui sudut}

_tetap

disebut operator rotasi pada R

2

_.

• Untuk menunjukkan bagaimana hasil-hasil ini diturunkan, tinjau operator

rotasi yg merotasikan setiap vektor berlawanan dgn jarum jam pd suatu

sudut tetap

. Untuk mencari persamaan yang menghubungkan x dan w

= T (x), Anggap

adalah sudut sumbu-x positif ke x dan anggap

panjang x dan w masing-masing adalah r.

θ

θ

θ

θ

T

T

θ

y

θ

x

w

θ

y

θ

x

w

θ

r

θ

r

w

θ

r

θ

r

w

)

(θ

r

), w

(θ

r

w

r

, y

r

x

cos

sin

sin

cos

]

[

adalah

untuk

standar

Matriks

cos

sin

(16)

sin

cos

an

menghasilk

(14)

si

mensubtitu

dan

sin

cos

cos

sin

sin

sin

cos

cos

didapat,

(15)

pada

etri

trigoneom

identitas

n

menggunaka

dengan

(15)

sin

cos

(14)

sin

cos

dasar

tri

trigonome

dari

Maka

2 1 1 1 2 1

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Rotation Operators

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Rotation Operators

Vektor rotasi pada R

3

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Rotasi vektor pada R3 _{diuraikan sebagai sinar yang}

berasal dari titik asal yang disebut sumbu rotasi.

Sudut rotasi diukur searah jarum jam atau berlawanan arah dengan jarum jam .

Misal vektor w dihasilkan dengan merotasi vektor x berlawanan arah jarum jam terhadap sumbu l dengan sudut .

Sudut positif jika rotasi berlawanan arah jarum jam dan negatif jika searah dengan jarum jam.

• Operator Rotasi R

3

_{merupakan operator linier yang merotasikan setiap vektor}

dalam R

3

_{terhadap beberapa sumbu rotasi dengan suatu sudut tetap}

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Gunakan perkalian matriks untuk mencari bayangan vektor (−2, 1, 2) jika dirotasikan berlawanan arah jarum jam 45o _{terhadap sumbu y}

• Standard matriks untuk suatu rotasi berlawanan arah jarum

jam dengan sudut terhadap suatu sumbu R

3

_{, yang ditentukan}

oleh suatu vektor satuan

yang memiliki titik

pangkal di pusat, adalah:

)

,

,

(

a

b

c

u

Vektor rotasi pada R

3

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

(simpelnya : tabel 7, dirotasikan thdp sumbu, bila dirotasikan terhadap vektor u, maka persamaannya spt diatas.

Jika

adalah suatu skalar

non-negatif, maka operator

pada R

2

atau

R

3

disebut

suatu

penyempitan dengan faktor jika

dan

suatu

pelebaran

dengan

faktor,

jika

.

1

0

k

1

k

k

k

Operator Penyempitan dan Pelebaran

Operator Penyempitan dan Pelebaran

Operator Penyempitan dan Pelebaran

Komposisi Transformasi Linear

] T ][ T [ ] T T [ : dengan ditulisk an juga dapat ini Rumus T T T )x BA ( x) A ( B )) x ( T ( T ) x )( T T ( k arena linear adalah T T Komposisi )) x ( T ( T ) x )( T T ( Thus ). " T lingk aran T " (baca T T dengan dinyatak an dan T DENGAN T KOMPOSISI disebut ini i Tranformas . R k e R si transforma an menghasilk yang T oleh diik uti T penerapan Jadi, . R dlm vek tor merupak an yang , )) x ( T ( T menghitung bisa k ita k emudian dan , R dalam vek tor merupak an yang ), x ( T dulu menghitung dapat k ita R pd x setiap untuk mak a linear, si transforma adalah R R T dan R R T Jik a B A A B A B A B A B A B A B A B A B A B m n B A m A B k A n m k B k n A 1 2 1 2      

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Contoh : Komposisi 2 Rotasi

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Let T₁ : R2 _R2 _{and T}

2 : R2 R2 be the linear

operators that rotate vectors through the angles θ₁and θ₂ respectively. Thus the operation

first rotates x through the angle θ₁ , then rotates through the angle θ₂ . It follows that the net effect of T_{2 0} T₁ is to rotate

each vector in R2 _{through the angle} θ

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

The standard matrices for these linear operators are:

With the help of some basic trigonometric identities, we can show that this is so as follows:

Contoh : Composition is not Comunicative

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Jika T₁ : R2R2 _{adalah operator pencerminan}

terhadap y=x , dan T₂: R2  R2 _{adalah proyeksi}

orthogonal terhdap y-axis. Gambar disamping menunjukkan T_{2 0} T₁ dan T_{1 0} T₂ mempunyai dampak yang berbeda pada suatu vektor x. Artinya matriks – matriks standar untuk T₁ dan T₂ tidak komunitatif.

Contoh : Composition of Two Reflection

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Jika T₁ : R2  R2 _{adalah pencerminan terhadap y-axis, dan T}

2 : R2  R2

pencerminan terhadap sumbu x. T₁ oT₂ and T₂ o T₁ sama, keduanya memetakan setiap vektor x=(x,y) menjadi negatifnya –x=(-x.-y)

Kesamaan T₁ oT₂ dan T₂ o T₁ bisa juga didapatkan dengan menunjukkan bahwa matriks-matriks standard untuk T₁ dan T₂ komunitatif:

Operator T(x)=-x pada R2 _{atau R}3 _{disebut pencerminan terhadap}

titik asal. Matriks standar untuk operator ini pada R2 _adalah

Compositions of Three or More Linear Transformations

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

We define the composition by

Contoh : Composition of Three Transformation

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Find the standard matrix for the linear operator T: R3 _R3 _{that first rotates a}

vector counterclockwise about the z-axis through an angle θ, then reflects the resulting vector about the yz-plane, and then projects that vector orthogonally onto the xy- plane.

T₁ is the rotation about the z-axis, T₂ is the reflection about the yz-plane, and T₃ is the orthogonal projection on the xy-plane

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Find the standard matrix for the stated composition of linear

operators on R

2

_{a rotation of 60°, followed by an orthogonal}

projection on the x-axis, followed by a reflection about the line

Transformasi Linier R

n

_{to R}

m

Find the standard matrix for the stated composition of linear operators on R3:

- A rotation of 270° about the x-axis,

- Ffollowed by a rotation of 90° about the y-axis, - Followed by a rotation of 180° about the z-axis.

SIFAT-SIFAT TRANSFORMASI LINIER

Transformasi Linear Satu-Satu

Transformasi linear

T=R

n

_→R

m

_{disebut satu satu jika T memetakan}

vektor-vektor (titik-titik) yang berbeda pada R

n

_{ke vektor-vektor}

(titik-titik) yang berbeda pada

R

m

Untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satu-satu T, tepat ada satu-satu vektor x sedemikian sehingga T(x)=w.

Figure 4.3.1

Distinct vectors u and v are rotated into

distinct vectors T_(u)and T_(v).

Figure 4.3.2

The distinct points P and Q are mapped into the

Jika A adalah nxn matrix dan T

_A

: R

n

_→R

n

_adalah

perkalian dengan A, maka pernyataan berikut

ini ekuivalen:

(a) A dapat dibalik

(memiliki A

-1

₎

(b) Daerah hasil dari T

_A

adalah R

n

(c) T

_A

adalah satu-satu

( untuk setiap vektor w dalam daerah hasil transformasi linear satu-satu T, tepat ada satu vektor x sedemikian

sehingga T(x)=w)

Jika T

_A

: R

n

R

n

_{adalah operator linier satu-satu, maka matriks A}

dapat diinvers. Jadi T

_A-1

_{: R}

n

R

n

_{adalah sebuah operator linier}

dan disebut Invers dari T

_A;

dimana :

Secara equivalen ; ,

Jika w adalah bayangan x dibawah T_A, maka T_A-1 _{memetakan kembali w ke}

x karena :

Show that the linear operator T:R2 _R2 _{defined by the equations}

is one-to-one, and find

Properties of Linear Transformations from R

n

_{to R}

m

Transformasi T : R

n



_R

m

_{adalah linier jika dan hanya}

jika hubungan u dan v pada R

n

_{dan setiap skalar c}

a. T(u+v) = T(u) + T(v)

b. T (cu) = cT(u)

Properties of Linear Transformations from R

n

_{to R}

m

Jika

T : R

n



_R

m

_{adalah suatu transformasi linear, dan e}

1

,

e

₂

, …,e

_n

adalah vektor basis standar untuk R

n

_{, maka}

matriks standart untuk

T adalah:

Digunakan untuk mencari matriks-matriks standar dan menganalisis dampak geometris dari suatu operator linear.

T: R3  R3 _{adalah proyeksi orthogonal pada bidang xy, dan terbukti}

secara geometris bahwa :

Properties of Linear Transformations from R

n

_{to R}

m

Interpretasi Geometris Vektor Eigen

Jika A

_(nxn)

, λ = eigenvalue dari A dimana ;

Ax=λx

(λ = skalar),

λx-Ax=0

by inserting identity matrix:

λx-Ax=0

(λI-A)x=0

Jika T: R

n

R

n

_{adalah suatu operator linier, maka suatu skalar}

λ disebut eigenvalue dari T jika ada suatu x tidak nol pada R

n

sedemikian sehingga

T(x) = λx

Vektor-vektor tak nol x yang memenuhi persamaan ini disebut

Interpretasi Geometris Vektor Eigen

Dimana:

1. Nilai eigen T tepat merupakan nilai eigen dari matrik standarnya A.

2. X adalah suatu vektor eigen dari T yang berpadanan dengan λ jika dan hanya jika x adalah suatu vektor eigen dari A yang berpadanan dengan λ .

Jika A adalah matriks standar untuk T, maka :

Properties of Linear Transformations from R

n

_{to R}

m

Jika

λ adalah nilai eigen dari A an x adalah vektor eigen , maka

A(x) =

λx



sehingga perkalian dengan A memetakan x kesuatu

penggandaan dirinya sendiri.

Pada R

2

_{dan R}

3

 perkalian dengan A memetakan setiap vektor

eigen x ke suatu vektor yang terletak pada garis yang sama dengan

x.

Eigenvalues of a Linear Operator

T:R3  R3 _{be the orthogonal projection on the xy-plane }

(λI-A)x=0 Contoh :

Persamaan Karakteristik dari A adalah:

:

Properties of Linear Transformations from R

n

_{to R}

m

Vektor Eigen dari matriks A yang bersepadanan dengan nilai eigen λ adalah penyelesain tidak nol dari :

Jika λ=0