SIMULASI MODEL ISING
DENGAN KOMPUT ASI P ARALEL TERDISTRIBUSI AriefWicaksono'
ABSTRAK
SIMULASI MODEL ISING DENGAN KOMPUTASI PARALEL TERDISTRIBUSI. Model ISING merupakan model yang dapat menjelaskan fenomena feromagnetik. Penggunaan komputasi paralel terdistribusi untuk simulasi model Ising dua dan tiga dimensi dengan algoritma Metropolis telah dilakukan menggunakan PVM. Untuk dekomposisi model, digunakan paralelisasi geometri, dengan membagi kisi menjadi subdornain-subdornain yang berukuran kecil. Perhitungan basil numerik daTi percepatan sistem dilakukan untukjumlah prosesor dan besar kisi yang bervariasi.
ABSTRACT
ISING MODEL SIMULATION USING DISTRIBUTED PARALLEL COMPUTATION. Ferromagnetic phenomena can be described using ISING model. Using parallel distributed computing, two and three dimensional Ising model simulation is done by the Metropolis Algorithm using PVM
parallel programming environment. The parallelization is done geometrically by dividing lattice into small subdomains. We provide numerical parallel system speed-up for variational numbers of processors and lattice sizes.
PENDAHULUAN
Dalam fisika statistik, pemodelan clan pensimulasian model merupakan salah satu cara menjelaskan fenomena yang terjadi di suatu sistem hingga ke skala mikroskopik. Untuk molekul, atom atau elektron, model akan berhadapan dengan
derajat kebebasan yang besar (sekitar 1023). Karena itu, metode statistik tertentu digunakan untuk menghitung besaran-besaran termodinamika. Pendekatan yang dilakukan dalam fisika statistik dapat dibagi menjadi beberapa langkah:
1. Definisi Hamiltonian daTi model sebagai fungsi daTi komponen mikroskopik.
2. Menentukan distribusi probabilitas daTi komponen mikroskopik pada keseimbangan termal.
3. Menghitung
probabilitas.
be saran makroskopik clari
sistem
dengan distribusiKarena keterbatasan memori daD kecepatan prosesor, maka simulasi dibatasi oleh ukuran sistem. Untuk sistem berukuran besar, komputer berprosesor banyak yang bekerja paralel dengan tipe MIMD (Multiple mstruction Multiple Data) merupakan sistem yang cocok [1]. Tetapi komputer komersial dengan banyak prosesor memiliki harga yang tinggi.
Pilihan untuk pemrosesan paralel selain dengan mesin tunggal berprosesor banyak adalah dengan sistem komputasi terdistribusi [2]. Pada sistem ini sejumlah workstation atau komputer pribadi dihubungkan dengan jaringan lokal (LAN) berkecepatan tinggi.
Paralelisasi dalam simulasi komputer dapat dilakukan dengan membagi domain kerja menjadi subdomain-subdomain yang dapat ditempatkan di tiap komputer (paralelisasi geometri). Dalam makalah ini penulis mengaplikasikan metode ini pada model Ising ferromagnetik dua dimensi (kisi bujursangkar) daD tiga dimensi (kisi simpel kubik).
Metode penulisan makalah ini terdiri daTi bagian 2 yang berisi pendahuluan model Ising, daD simulasi komputemya dengan algoritma Metropolis, serta pengimplementasian model dalam sistem multiprosesor. Bagian 3 mendeskripsikan perangkat keras daD perangkat lunak yang digunakan termasuk lingkungan pemrograman PVM [3]. Bagian 4 berisi algoritma daTi proses simulasi, daD basil berada di bagian 5.
MODEL ISING
Pada model ISING [4], spin-spin atom sejurnlah N tersusun di dalam kisi, dan dinyatakan dalam Si = ::1:1, yang terdiri dari spin up dan spin down.' Hamiltonian model ini tanpa medan magnet luar berbentuk:
Hising = -JISiS j. (I)
<i,j>
J adalah energi interaksi antar spin yang bemilai positif untuk interaksi ferromagnet , < i, j > menyatakan spin i hanya berinteraksi dengan tetangga terdekatnya (nearest neighbour interaction). Untuk menghindari efek tepi pada model maka digunakan syarat batas periodik. Kisi dua dimensi bujursangkar dan kubik tiga dimensi (simpel) beserta syarat batas periodik ditunjukkan pada gambar 1.
Simulasi Model Ising dengan Kornputasi Paralel Terdistribusi (AriefWicaksono)
Gambar 1. Geometri kisi Ising dua dimensi (a) clan tiga dimensi (b), beserta syarat barns periodilrnya
Nilai ekspektasi daTi be saran fisis seperti magnetisasi dapat dihitung daTi fungsi partisi:
(2) dengan H r adalah energi untuk sistem pada keadaan r, fJ = -.!.- dengan k adalah
kT
konstanta Boltzmann. Solusi eksak daTi model Ising hanya terdapat di model satu clan dua dimensi. Oleh karena itu di banyak kasus simulasi komputer dapat berguna untuk menghitung be saran fisis.
Simulasi komputer untuk model Ising terdiri daTi:
1. Algoritma metropolis [5] menghasilkan konfigurasi spin berdasarkan rantai markov, sehingga fungsi probabilitas ~ daTi konfigurasi r mendekati distribusi seimbang Pr ~ ePHr dengan langkah:
-Menginisialisasi spin di kisi awal dengan semua spin "down" -Untuk tiap spin i di dalam kisi:
-Mencoba membuat konfigurasi baru dengan membalik spin Sf
-Melakukan perhitungan perubahan energi sistem ( 8H = H baru -H lama) -Untuk 8H < 0 maka pembalikan diterima konfigurasi barn diterima -Untuk 8H > 0 maka dibandingkan antara bilangan random terdistribusi
seragam r (0,1] dengan probabilitas transisi W = e-P 8H , jika r < W maka keadaan diterima. Untuk keadaan lain maka spin kembali ke keadaan awal.
2. Perhitungan ekspektasi be saran fisis 0 dengan sampling Metropolis menjadi
1 m
< 0 >= -L 01 , dengan m adalah banyaknya sampling. m 1=1
Penghitungan 8H di setiap percobaan pembalikan spin, tidak dilakukan dengan menghitung semua interaksi, tetapi cukup dengan melihat tanda spin S i clan menghitung jumlah tetangganya clan menghitung probabilitas transisi:
W=exp(-2j3JSi=p ISj)
nn,i=p(3)
dengan p adalah spin yang dikerjakan. Fenomena transisi fase daTi ferromagnet ke paramagnet terjadi di temperatur Curie dapat dilihat daTi besaran magnetisasi
M = L S j yang merupakan jumlah dari spin.
j
hlteraksi yang terjadi hanya dianggap terjadi pada tetangga terdekat, maka simulasi model Ising dapat diparalelisasi dengan cara membagi kisi menjadi subkisi-subkisi yang lebih kecil yang diletakkan di tiap prosesor. Komunikasi antara subkisi-subkisi hanya terjadi apabila dibutuhkan pengetahuan tentang tetangga spin yang berada di prosesor yang berbeda, maka komputasi terdistribusi dengan menggunakan PC dengan kecepatan komunikasi medium dapat digunakan untuk paralelisasi model Ising.
PERANGKA T KERAS DAN LUNAK SISTEM
Perangkat keras yang untuk 1ingkungan komputasi terdiri daTi empat buah PC
P-4 1700 MHz, dengan 256 MB memori utama, dan dihubungkan dengan jaringan
100 Mb/s Ethernet me1a1ui Switch. Semua mesin menja1ankan sistem operasi GNU/Linux dengan kernel versi 2.4.19.
Untuk pemrograman para1e1, digunakan program penghantar pesan (message passing) PVM (Parallel Virtual Machine) versi 3.4.3 dengan paradigma pemrograman master-slave, dimana da1am paradigma ini proses master berada di satu tempat clan
mengenda1ikan beberapa proses slave. Tiap proses PVM memi1iki identitas kerja Till
(task id), sehingga pengiriman data dapat di1akukan ke satu proses dengan mengarahkannya ke Till tertentu. Komunikasi antar Proses PVM di1akukan me1a1ui daemon dengan protoko1 TCP IP clan UDP.
Simulasi Model Ising dengan Kornputasi Paralel Terdistribusi (AriefWicaksono)
ALGORITMA
Pada simulasi ini, dibuat program sekuensial dan kemudian akan didekomposisi menjadi bentuk paralel. Program sekuensial yang dibuat terdiri dari langkah:
1. Memberikan parameter untuk sistem: ukuran kisi n x x n y untuk kisi dua dimensi , n x n x n untuk tix y z
g
a dimensi, dan nilai J / kT2. Membentuk konfigurasi awal untuk keadaan spin-spin dalam model. 3. Melakukan metode Monte Carlo yang di dalamnya mengandung prosedur
Metropolis untuk semua spin.
4. Melakukan analisis dan perhitungan besaran magnetisasi.
Untuk melakukan perhitungan besaran magnetisasi, maka perhitungan tidak dilakukan setiap kali setiap sapuan dilakukan di satu kisi. Satu kali sapuan untuk satu kisi disebut dengan satu MCS Monte Carlo Step. Untuk menunggu kestabilan sistem yang masih berada dalam rase transien, maka untuk beberapa MCS tidak dilakukan perhitungan besaran. Setelah MCS transien dilalui, maka perhitungan besaran barulah dilakukan denganjeda beberapa MCS untuk mengurangi korelasi antar sampel. Program serial yang telah dibuat akan didekomposisi ke paralel. Karena prosesor yang digunakan jumlahnya bervariasi maka pembagian subkisi dilakukan hanya pada arab x, sehingga masing masing prosesor mendapatkan sub kisi yang berukuran
nxsub x ny untuk dua dimensi clan nxsub x ny x nz untuk tiga dimensi.
Kinerja di setiap kornputer belum tentu sarna (di satu kornputer tertentu terdapat proses master clan slave), rnaka dibuat suatu algoritma benchmark di tiap kornputer. Dan hasil dari waktu benchmark akan dikonversi ke ukuran kisi. Algoritma paralel terdiri dari dua bagian yaitu, proses Master clan proses Slave.
-Proses Master:
3.
4.
5.6.7.
Menentukan ukuran kisi awal, jumlah MCS, MCS transien dan jeda sampling.
Mendeteksi jumlah host (nhost) yang ada di sistem.
Menjalankan spawn proses slave dan mengumpulkan Till tiap slave yang di spawn dalam bentuk vektor Till[i] dimana i=l,...,nhost.
Mengirimkan pesan ke tiap slave berisi perintah untuk menjalankan subrutin benchmark.
Menerima hasil benchmark daTi tiap slave. Membagi kisi menjadi sub kisi sejumlah nhost.
Mengirimkan sub kisi (dengan ukuran yang berbeda-beda untuk tiap host) dan parameter di butir 1 ke tiap slave.
8. Mengirirnkan nilai J / kT yang akan dihitung magnetisasinya dalam bentuk matriks probabilitas transisi ke tiap slave.
9. Mengumpulkan nilai besaran daTi sub kisi yang berada di tiap slave. 10. Menghitung Magnetisasi perspin untuk kisi keseluruhan daD kembali
ke butir untuk J / kT lain.
11. Mengirimkan pesan ke tiap slave untuk menghentikan program. -Proses Slave
I. Menerima sinyal daTi master untuk menjalankan subrutin benchmark. 2. Mengirim waktu eksekusi program benchmark ke proses master. 3. Menerima ukuran sub kisi dan parameter jumlah MCS, MCS transien,
jeda sampling.
4. Menginisialisasi sub kisi dengan spin down (= -I).
5. Menerima matriks probabilitas transisi untuk nilai J / kT tertentu. 6. Memulai sapuan, melakukan 2 komunikasi antar slave untuk tiap
MCS.
7. Menghitung besaran untuk sub kisi di tiap kali pensamplingan dan mengirimkan hasilnya ke master.
8. Menjalankan sapuan berikutnya.
9. Menerima sinyal pemberhentian proses sebagai tanda selesai.
Subrutin PVM blocking receive digunakan untuk menerima pesan pada program ini sehingga mensinkronkan komunikasi. Penyapuan spin di tiap kisi pada proses slave dilakukan dua kali. Sapuan di tiap kisi, yang pertama dilakukan setelah prosesor mendapatkan deretan spin yang paling ares dari prosesor yang di atasnya, kemudian sapuan berhenti di setengah ukuran sub kisi, setelah prosesor menerima deretan spin bagian bawah dari prosesor yang di bawahnya. Sapuan dilanjutkan kembali.
BASIL DAN PEMBAHASAN
Kinerja daTi sistem paralel dapat dilihat dari perbandingan waktu eksekusi program sekuensial dengan program paralel. Percepatan daTi sistem paralel dengan
p prosesor didetinisikan oleh :
Ts
s =
P T
P
dengan T s adalah waktu eksekusi program sekuensial dan T p waktu eksekusi program paralel dengan p prosesor.
(4)
Simulasi Model Ising dengan Komputasi Paralel Terdistribusi (AriefWicaksono)
Untuk melihat efektivitas sistem paralel, dibuat plot antara percepatan sistem terhadap ukuran kisi pada sistem dua clan tiga dimensi, yang terdapat pada Gambar 2 clan Gambar 3.
Gambar 2. Percepatan sistem paralel untuk ukuran kisi bervariasi pada simulasi model dua dimensi
Gambar 3. Percepatan sistem paralel untuk ukuran kisi bervariasi pada simulasi model tiga dimensi
2000 3000 ukuranSiSi kiSi2D
Gambar 4. Percepatan sistem terhadap penambahan host pada simulasi model dua dimensi
Gambar 5. Percepatan sistem terhadap penambahan host pada simulasi model tiga dimensi
Gambar 4 clan 5 menunjukkan percepatan sistem paralel terhadap penambahan host pada ukuran kisi tertentu. Untuk model dua dimensi terlihat bahwa paralelisasi efektif untuk kisi berukuran diatas 1000x 1000, sedangkan di model tiga dimensi, simulasi untuk ukuran kisi dibawah 25 x 25 x 25 akan berlaku tidak efektif.
Di model dua dimensi percepatan sistem untuk ukuran kisi terbesar yang diambil datanya, penambahan prosesor akan menambahkan kecepatan secara linear. Dengan faktor p, tetapi hal ini tidak terjadi untuk model tiga dimensi (faktor < p) . Hal ini terjadi karena terjadinya pengiriman lembaran spin yang berukuran besar, sehingga apabila diubah ke bentuk vektor pengiriman akan membutuhkan waktu.
Simulasi Model Ising dengan Komputasi Paralel Terdistribusi (AriefWicaksono)
KESIMPULAN
Hasil daTi penelitian ini menunjukan, paralelisasi simulasi model Ising, dengan algoritma Metropolis, untuk model dua dimensi dan tiga dimensi berjalan cukup baik untuk ukuran kisi besar. Paralelisasi geometri yang digunakan pada model ini, menjadikan pemrosesan dapat digunakan dengan jumlah prosesor yang beragam, dengan komunikasi antar prosesor yang minim.
AIokasi pemerataan beban kerja (load balancing), antara prosesor diperlukan untuk komputasi jenis ini, karena kinerja komputer tidak persis sarna, selain itu terdapat proses master clan slave yang di kerjakan di prosesor yang sarna, sehingga membutuhkan beban kerja yang berbeda.
UCAP AN TERIMA KASIH
Penulis mengucapkan terima kasih untuk izin pemakaian fasilitas komputer yang dimiliki oleh PPS FISIKA VI, Dr. Dedi Suyanto, Dr. Terry Mart dan Dr. Leonard L.
DAFTAR PUSTAKA
AKL, S.G., The Design and Analysis of Parallel Algorithm, Prentice-Hall (1989)
2. GEIST, A., eta!., PVM A User~ Guide and Tutorial for Networked Parallel Computing, Cambridge, MIT Press (1994)
3.
BEGUELIN, A., etal., September 1994, PVM 3 User's Guide and Reference Manual, Technical Report ORNL/TM-12 1 87, Oak Ridge National Laboratory 4. E. Ising, Z. Physik 31 (253) (1925)5. N. METROPOLIS, A.W. ROSENBLUTH, M.N. ROSENBLUTH, A.H. Teller, E. Teller, J. Chern Phys. 21 (1087) (1953)
DISKUSI
RULIY ANTI P ARDEWI
1. Simulasi model ISING dengan komputasi pararel terdistribusi, menggunakan software yang dapat memproses suatu perhitungan dengan cara mendistribusi pemrosesan di beberapa CPU daTi beberapa komputer yang terhubung melalui jaringan, pada waktu sedang bekerja apa komputer tersebut masih dapat digunakan
untuk pekerjaan lain?
ARIEF WICAKSONO
I. Masih bisa dijalankan karena proses PUM berjalan secara background, untuk sistem operasi Multiuser PUM berada pada level user, sehingga user lain dapat digunakan tetapi penggunaan untuk aplikasi, dapat mengurangi speed daTi eksekusi program pararel.
DAFTARRIWAYAT HIDUP
1. Nama : AriefWicaksono
2. TempatfTanggal Lahir : Jakarta, 21 September 1979 3. Instansi : Universitas Indonesia 4. Pekerjaan / Jabatan : Mahasiswa
5. Riwayat Pendidikan : (setelah SMU sampai sekarang) .SI Jurusan Fisika, FMIPA-Universitas Indonesia 6. Organisasi Profesional :
