Lampiran 1 Penentuan titik tetap Model Gyllenberg-Webb
Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (3.7)-(3.8) diperoleh dengan menentukan 0 dan 0, sehingga diperoleh:
1 ln 0 (1)
1 ln 0 (2)
(3) Substitusikan dari persamaan (3) ke persamaan (1), diperoleh
1 ln 1
1 ln 0
1
dengan 1 ln
Substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
1 ln 1 1 ln 0 1 1 0 Substitusikan , diperoleh 1 1 1 0 0 0 0 , 4 2
0 ln ,
2 4
2
0
0
Substitusikan 0 untuk mendapatkan N dan Q.
1 ln N 1 ln N 1
, karena 0 dan 0 maka 0.
0 dan 0 tidak dapat digunakan karena 0 tak terdefinisi.
Substitusikan untuk mendapatkan dan
. 1 ln N 1 ln N 1 1 ln N 1 ln N 1 karena maka 1 ln N 4 2 Sehingga diperoleh,
, karena dan
Maka
Sehingga diperoleh titik tetap , , sebagai berikut
,
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 diperoleh
, 0.67, 1.67
Substitusikan untuk mendapatkan dan
. 1 ln N 1 ln N 1 1 ln N 1 ln N 1 karena maka 1 ln N 4 2
Sehingga diperoleh,
, karena dan
maka
sehingga diperoleh titik tetap , sebagai berikut
, ,
substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 diperoleh
, 0.027, 0.068
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk menentukan titik tetap sebagai berikut: Solve μp 1 Log , 1 1 Log , 0, 1 Log , 1 1 Log , μq 0 , , Diperoleh,
Solve 1 μp Log
1 Log
0, 1 Log μq 1
1 Log
Lampiran 2a Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb
Substitusikan ke persamaan (3.7)-(3.8), Misalkan sistem persamaan (3.7)-(3.8) ditulis sebagai berikut:
, 1 ln
, 1 ln
dengan melakukan pelinearan didapat matriks Jacobi sebagai berikut :
dimana β 1 ln 1 ln ln ln 1 ln 1 ln 1 ln μq ln 1 ln
Lampiran 2b Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb di ,
Kestabilan sistem di titik tetap ,
, ,
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
,
Dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
sehingga nilai eigen adalah
,
√
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 sehingga pelinearan titik tetap , lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :
, .. ..
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
, sehingga diperoleh,
. .
. .
. .
jadi nilai eigen adalah
. .
sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil.
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai
eigen di sekitar titik tetap , sebagai berikut :
J[P_,Q_, β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp-(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P +Q)])*P-((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] P=0.67;Q=1.67; β=0.7;μp=0.2;μq=0.2; J[P,Q,β,μp,μq]; J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]];
Lampiran 2c Analisis kestabilan Model Gyllenberg-Webb di ,
Kestabilan sistem di titik tetap ,
, ,
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
,
dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
sehingga nilai eigen adalah
, √
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1, sehingga pelinearan titik tetap , lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :
, .. ..
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
, , sehingga diperoleh
. .
. .
. .
jadi nilai eigen adalah
.
.
sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul tak stabil
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai
eigen di sekitar titik tetap , sebagai berikut :
J[P_,Q_, β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp-(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P +Q)])*P-((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] 0.027; 0.068;
Lampiran 2f Lanjutan β=0.7;μp=0.2;μq=0.2; J[P,Q,β,μp,μq]; J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]];
Lampiran 3 Penentuan Titik Tetap Model Modifikasi
Titik tetap dari sistem persamaan diferensial (3.9)-(3.10) diperoleh dengan menentukan 0 dan 0, sehingga diperoleh:
1 ln 0 (1)
1 ln 0 (2)
(3) Substitusikan dari persamaan (3) ke persamaan (1), diperoleh
1 ln 1 1 ln 0 c 1 ln 1 1 ln 0 dengan , 1 ln N 1 ln 1 1 ln 1 dengan 1 ln
Substitusikan ke persamaan (2), diperoleh
1 ln 1
1 ln 0
substitusikan , diperoleh
1 1
1 1 1 0 0 0 0 , 4 2 0 ln , 2 4 2 0 0
Substitusikan 0 untuk mendapatkan N dan Q.
1 ln N 1 ln N 1 ,
karena
, karena 0 dan 0 maka 0.
0 dan 0 tidak dapat digunakan, karena ln 0 tak terdefinisi.
Substitusikan untuk mendapatkan
dan .
1 ln N 1 ln N 1
karena maka 1 ln N 4 2 sehingga diperoleh, , karena dan maka
sehingga diperoleh titik tetap , sebagai berikut :
, ,
dimana
substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 dan tabel 3 diperoleh
Substitusikan untuk mendapatkan dan . 1 ln N 1 ln N 1 1 ln N 1 ln N 1 karena maka 1 ln N 4 2 sehingga diperoleh, , karena dan maka
sehingga diperoleh titik tetap , sebagai berikut :
dimana
substitusikan nilai-nilai parameter diperoleh
, 0.0027 ,0.0066
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk menentukan titik tetap sebagai berikut: Solve µp km kp 1 Log , 1 1 Log , 0,km kp 1 Log , 1 1 Log , µq 0 , , diperoleh, Solve 1 Log µp km 1 Log kp 0,km 1 Log kp µq 1 1 Log 0 , ,
Lampiran 4a Analisis kestabilan Model Modifikasi
Analisis kestabilan untuk titik tetap dapat dilakukan melalui langkah- langkah sebagai berikut:
substitusikan ke persamaan (3.9)-(3.10), misalkan sistem persamaan (3.9)-(3.10) ditulis sebagai berikut:
, , 1 ln
, , 1 ln
Matriks Jacobi adalah
dimana μ P 1 ln P Q Q 1 ln P Q P P Q 1 ln P Q Q 1 ln P Q P 1 ln P Q Q 1 ln P Q P P Q 1 ln P Q Q 1 ln P Q μ
Lampiran 4b Analisis kestabilan Model Modifikasi di ,
Kestabilan sistem di titik tetap ,
, ,
dimana
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
1, 1
dimana
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
sehingga nilai eigen adalah
,
√
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 dan tabel 3, sehingga pelinearan titik tetap , akan lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :
, .. ..
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
, , sehingga diperoleh
. .
. .
. .
jadi nilai eigen adalah
.
.
sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul stabil
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai
J[P_,Q_, β_,μp_,μq_]=D[{(β-μp-(1+Log[©,(P+Q)]))*P+(1/(1+Log[©,(P+Q)]))*Q,(1+Log[©,(P +Q)])*P-((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] P=124078;Q=310196; β=0.7;μp=0.2;μq=0.2;Km=0.134;Kp=2.76; J[P,Q,β,μp,μq]; MatrixForm[%] J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]]; MatrixForm[%]
Lampiran 4c Analisis kestabilan Model Modifikasi di ,
Kestabilan sistem di titik tetap ,
, ,
dimana
dapat diperoleh dengan melakukan pelinearan pada persamaan sistem sehingga diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut
2, 2
dimana
k k
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
sehingga nilai eigen adalah
,
√
Substitusikan nilai-nilai parameter dari tabel 1 dan tabel 3 sehingga pelinearan titik tetap , akan lebih mudah, maka akan diperoleh matriks Jacobi sebagai berikut :
, .. ..
kemudian di cari nilai eigennya dengan menggunakan persamaan karakteristik
, , sehingga diperoleh
. .
. .
. .
jadi nilai eigen adalah
.
.
sehingga kestabilan titik tetapnya bersifat simpul tak stabil.
Program dengan menggunakan Mathematica 7 untuk matriks Jacobi dan nilai
eigen sebagai berikut :
J[P_,Q_,
+Q)])*P-((1/(1+Log[©,(P+Q)]))+μq)*Q},{{P,Q}}]//Simplify; MatrixForm[%] P=0.0027;Q=0.0066; β=0.7;μp=0.2;μq=0.2;Km=0.134;Kp=2.76; J[P,Q,β,μp,μq]; J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]; Det[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]] Eigenvalues[J[P,Q,β,μp,μq]-λ IdentityMatrix[2]]; MatrixForm[%]
