1
UJI LIKELIHOOD RASIO UNTUK PARAMETER
DISTRIBUSI WEIBULL
Sartika1), Wayan Somayasa2), Rahmaliah Sahupala 2)
1)Mahasiswa Program Studi Matematika
2)Dosen Program Studi Matematika
Jurusan Matematika F-MIPA UHO Kendari
ABSTRAK
Uji Likelihood Rasio merupakan salah satu metode yang digunakan dalam menguji suatu hipotesis dengan membandingkan fungsi likelihood antara hipotesis majemuk dan alternatifnya. Tujuan dari uji likelihood rasio adalah untuk meperoleh kesimpulan terhadap hipotesis pada tingkat signifikansi pada suatu nilai parameter distribusi Weibull, dengan mengestimasi parameternya yaitu dan . Estimasi parameter dilakukan untuk memperoleh nilai penduga maksimum menggunakan metode Maksimum Likelihood (MLE) dengan bantuan iterasi Newton-Raphson. Metode MLE ( Estimasi maksimum likelihood), merupakan metode untuk pemperoleh penduga maksimum jika dapat membentuk suatu persamaan yang kongkrit, tetapi persamaan yang dibentuk tidak kongkrit atau berbentuk persamaan nonlinear, nilai penduga maksimum dapat di cari dengan bantuan pendekatan Newton-Raphson.
Selanjutnya dengan teorema likelihood rasio diperoleh
untuk hipotesis terhadap dan
untuk hipotesis terhadap dapat ditunjukkan bahwa hipotesis di tolak atau tidak ditolak.
Kata Kunci: Uji Likelihood Rasio,MLE, Newton-Raphson, Distribusi Weibull.
I. PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang
Secara umum statistika inferensi dibagi menjadi dua yaitu estimasi parameter dan uji
hipotesis. Estimasi parameter adalah
penaksiran (pendugaan) terhadap nilai-nilai parameter populasi (misalnya mean, standar deviasi, proporsi, dll) berdasarkan data atau sampel yang diambil dari popolasi tersebut. Estimasi parameter terbagi atas dua yaitu
estimasi titik dan estimasi interval.
Sedangkan Hipotesis adalah pernyataan tentang model distribusi suatu populasi. Pengujian hipotesis statistik adalah suatu
proses pengambilan keputusan apakah
menerima atau menolak hipotesis tersebut[16].
Menurut Sudjana (1996), populasi
mempunyai karakteristik tertentu yang
disebut parameter. Karakteristik yang sama juga dimiliki sampel yang dipilih dari populasi tersebut. Masalah penting dalam
inferensi statistik adalah merumuskan
bagaimana parameter suatu populasi. Hal ini disebut juga kegiatan estimasi terhadap nilai parameter suatu populasi. Karena pada umumnya nilai parameter suatu populasi
tidak diketahui sehingga penarikan
kesimpulan terhadap parameter memerlukan konsep probabilitas yang baik.
Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi dan memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk, atau
2
memberikan metode pengujian dari suatu
hipotesis sederhana terhadap hipotesis
alternatif majemuk. Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood. Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik, namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang
meminimumkan kesalahan uji[12].
Menurut Somayasa (2008) Likelihood
Rasio Test (LRT) merupakan salah satu uji
yang berhubungan langsung dengan
Maksimum Likelihood Estimator (MLE) yang
merupakan metode pendugaan parameter dari gugus data yang mengikuti sebaran distribusi tertentu. Dalam hal ini MLE merupakan
metode yang diterapkan untuk
memaksimumkan fungsi kemungkinan
(Likelihood Function) suatu distribusi
sehingga dapat menghasilkan penduga
parameter dengan kemungkinan maksimum. Distribusi Weibull sering diaplikasikan dalam menganalisis data uji hidup, serta
memiliki dua parameter, yaitu sebagai
parameter bentuk ( ) yang
menggambarkan bentuk distribusi pada
distribusi Weibull dan sebagai parameter skala (scale) yang menggambarkan sebaran
data pada distribusi[2]. Distribusi Weibull
merupakan distribusi yang mempunyai
aplikasi paling luas dalam menganalisa data uji hidup. Data uji hidup atau uji reliabilitas
merupakan peluang bahwa komponen
tersebut akan berfungsi sebagaimana
mestinya, sampai jangka waktu tertentu dalam percobaan yang telah ditentukan (Hazhiah, 2012).
Estimasi parameter model distribusi Weibull tidak dapat dilakukan secara konkrit, melainkan dengan pendekatan menggunakan iterasi Newton-Raphson begitu juga dalam pengujian hipotesis, terhadap parameter distribusi weibull tidak dapat dilakukan secara konkrit dengan rumus matematika yang diturunkan langsung dari pdf Weibull,
melainkan dengan metode pendekatan[17].
II. KAJIAN PUSTAKA 2.1 Model Distbusi Weibull
Model distribusi Weibull adalah salah satu distribusi kontinu yang pertama kali
diperkenalkan oleh fisikawan Swedia
bernama Waloddi Weibull pada tahun 1939. Distribusi Weibull sering digunakan untuk menghitung peluang masa hidup suatu alat, dan disebut juga distribusi waktu tunggu hingga gagal (Desfina, 2012). Distribusi Weibull sering digunakan dalam pemodelan analisis kelangsungngan hidup yang memiliki ruang sampel bilangan real positif dengan variabel acak kontinu. Distribusi Weibull paling banyak digunakan untuk waktu hidup dalam tekhnik ketahanan. Distribusi ini adalah distribusi serbaguna yang dapat mengambil karakteristik dari jenis distribusi lain, berdasarkan pada nilai dari bentuk
parameter (Lawless , 1982).
Definisi 2.1. Distribusi Weibull termaksuk
distribusi acak kontinu dengan parameter
dan , dan mempunyai fungsi
kepadatan peluang sebagai berikut :
(2.1)
dimana sebagai parameter skala yang
menskala variabel x, dan parameter sebagai parameter bentuk yang menentukan fungsi
dasar x. Sedangakan fungsi distribusi
komulatifnya adalah :
(2.2)
Devinisi 2.2. Fungsi Gamma di definisikan
sebagai
(2.3)
hasil integral fungsi Gamma akan
menghasilkan .
(Walpole & Myers, 1995)
Teorema 2.3. Misalkan X adalah suatu
variabel acak berdistribusi Weibull dengan
parameter dan , maka rata-rata dan
variansinya adalah :
, dan (2.4)
3 2.2 Estimasi Parameter
Model distribusi peluang suatu populasi bergantung pada nilai satu atau lebih parameter. Tujuan dari statistika adalah
memberikan nilai pendugaan terhadap
parameter-parameter tersebut berdasarkan sampel yang diambil dari populasi tersebut. Salah satu metode yang sering dipakai adalah
metode Maklimum Likelihood[2].
2.2.1 Estimasi Maksimum Likelihood (MLE)
Definisi 2.4. (Fungsi Likelihood)
Fungsi kepadatan peluang bersama dari sampel acak berukuran n yang dihitung pada titik pengamatan (sampel) adalah di anggap tetap, sedangkan dianggap berubah-ubah jika
maka disebut
fungsi likelihood untuk dan dituliskan
dengan .
Definisi 2.5. (Penaksir Maksimum Likelihood)
Misalkan ,
adalah fungsi kepadatan peluang bersama dari . Untuk suatu titik pengamatan suatu nilai di dimana
maksimum, disebut sebagai penaksir
maksimum likelihood dari . Dengan
demikian adalah suatu nilai dari yang memenuhi
.
Jika adalah suatu selang terbuka, dan
jika dapat diturunkan terhadap dan
dapat diasumsikan mencapai maksimum pada , maka penduga maksimum likelihood
(MLE) untuk adalah suatu penyelesaian
dari persamaan maksimum likelihood berikut: , (2.5) nilai estimasi didapatkan apabila persamaan turunan pertama membentuk persamaan yang kongkrit. Apabila persamaan yang terbentuk tidak kongkrit maka diperlukan analisis numerik lanjutan untuk penyelesaiannya.
2.2.1 Metode Newton Rapson
Metode Newton-Rapson adalah
metode yang digunakan untuk mencari akar-akar persamaan dari suatu fungsi non-linear
. Metode Newton-Rapson
merupakan proses iterasi yang dilakukan dalam metode numerik yang dapat digunakan untuk mencari solusi atau pemecahan suatu persamaan. Proses iterasi adalah suatu teknik
penghampiran yang dilakukan secara
berulang-ulang, dimana setiap pengulangan disebut iterasi. Pada umumnya para ahli
statistik sering menggunakan metode
Newton-Rapson untuk menghampiri nilai
parameter dari suatu persamaan[2].
Metode Newton-Rapson untuk mencari
pemecahan dari sehingga :
Kemudian misalkan adalah turunan
parsial dari terhadap atau dapat ditulis
sebagai ,
selanjutnya dibentuk kedalam sebuah matriks yang disebut dengan matriks jacobian, yaitu:
, (2.6)
kemudian dicari invers dari persamaan (2.7), yaitu :
. (2.8)
Selanjutnya misalkan
adalah nilai hampiran pada iterasi ke- dan
misalkan adalah nilai-nilai
yang berhubungan dengan fungsi ,
yaitu :
, ,
4
.
Dan misalkan adalah elemen dari
yang dihasilkan pada ,
maka hampiran iterasi selanjutnya dapat dibentuk secara umum, yaitu :
,
, (2.15)
,
proses iterasi dapat di mulai dengan penentuan nilai-nilai awal terlebih dahulu.
Penggunaan metode Newton-Raphson
dilakukan dengan menggunakan iterasi-iterasi hingga didapatkan hasil yang konvergen.
Persamaa umum Newton-Raphson dari
penurunan deret Taylor sebagai berikut: , atau
, (2.9)
dengan adalah vektor gradien
berukuran dimana adalah jumlah
parameter dari turunan pertama
terhadap parameternya. adalah
matriks jacobian berukuran yang berisi
turunan kedua fungsi terhadap
parameternya. Iterasi dapat berhenti apabila .
2.3 Uji Hipotesis Dengan
Membandingkan Fungsi Likelihood (Likelihood Rasio Test)
Suatu bentuk yang sangat populer dari pengujian hipotesis adalah uji dengan
membandingkan fungsi likelihood
(Likelihood Rasio Test = LRT), yang merupakan generalisasi dari tes optimal untuk hipotesis sederhana yang dikembangkan oleh Neyman dan Pearson. Uji LR didasarkan
pada fungsi kemungkinan
dan intuisi bahwa fungsi kemungkinan cenderung tertinggi dekat nilai sebenarnya dari θ. Memang, ini juga dasar untuk estimasi kemungkinan maksimum.
Definisi 2.6. (Somayasa, 2008)
Misalkan merupakan
fungsi likelihood dengan variabel random . Misalkan
(2.10)
Tes berukuran untuk hipotesis
adalah
dimana adalah konstanta yang
tidak diketahui yang ditentukan dari
persamaan
. (2.23)
Misalkan adalah untuk pada
daerah yang dibatasi (MLE yang dibatasi
pada ( )) dan adalah MLE untuk pada
daerah (MLE yang tidak dibatasi). Maka daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga titik-titik sampel mempunyai rasio yang kecil.
III. PEMBAHASAN
Estimasi titik untuk parameter model distribusi Weibull tidak ditemukan motode estimasi yang dapat dihitung dengan rumus yang kongkrit. Estimasi dengan metode Maksimum Likelihood dengan pendekatan iterasi Newton-Raphson.
3.1 Metode Maksimum Likelihood (MLE)
Metode maksimum likelihood adalah salah satu metode yang digunakan dalam
mengestimasi parameter dari sebuah
distribusi. Dalam penelitian ini akan
menggunakan metode tersebut untuk
menentukan parameter dari distribusi
5
Misalkan diberikan sampel acak
berdistribusi Weibull dengan
parameter tidak diketahui. Fungsi kepadatan
peluang dari distribusi Weibull dapat
ditunjukkan sebagai berikut :
untuk , (3.1)
sedemikian hingga untuk mencari penduga maksimum dari distribusi weibull yaitu dan , dengan membentuk fungsi likelihood dari distribusi Weibull, sedemikian hingga fungsi likelihoodnya yaitu :
(3.2) (4.2)
Persamaan (3.1) merupakan fungsi
likelihood dari distribusi Weibull. Jika di pandang parameter dan sebagai variabel.
Setelah diperoleh fungsi likelihood,
selanjutnya akan ditentukan penduga
maksimum likelihood dengan mencari dan yang memaksimumkan nilai fungsi logaritma likelihood, yaitu :
(3.3)
Untuk
Selanjutnya penduga untuk dan
dari distribusi Weibull diperoleh dengan cara mencari turunan pertama dari
terhadap dan dan menyamakannya
dengan nol.
3.1.1 Penduga untuk
Penduga parameter dari distribusi
Weibull dapat diperoleh dengan
memaksimumkan dengan metode
diferensial, yaitu :
Sehingga diperoleh :
(3.4)
3.1.2 Penduga untuk
Menentukan penduga maksimum
likelihood untuk dari distribusi Weibull
dapat dilakukan dengan mendiferensialkan terhadap , yaitu :
Sedemikian hingga diperoleh penduga
untuk adalah
(3.5)
Dengan mensubtitusikan pada
Persamaan (3.5) ke Persamaan (3.4) diperoleh bentuk sebagai berikut :
dimisalkan sedemikian
hingga,
(3.6) (4.6)
Persamaan terakhir tidak dapat
diselesaikan secara kongkrit untuk karena berbentuk persamaan non-linear, dimana variabel berderajat tidak sama dengan satu dan mengandung nilai fungsi nonlinear. Oleh karena itu penyelesaian persamaan tersebut
akan ditentukan dengan menggunakan
pendekatan iterasi Newton-Raphson.
3.1.3 Iterasi Newton Raphson
Dalam iterasi Newton-Raphson
terlebih dahulu ditentukan nilai
6
turunan parsial pada fungsi loglikelihood pada Persamaan (4.3) terhadap dua parameter
yang dimilikinya dengan cara
mensubtitusikan nilai parameter awal yang telah diperoleh sebelumnya, yaitu :
(4.7)
. (4.8)
Selanjutnya mencari matriks Jacobian
menggunakan persamaan, (3.7) dimana : . . . Invers/balikan dari matriks Jacobian adalah (3.8)
,
dan misalkan juga , maka nilai
parameter dan dihitung dari persamaan
(3.9)
Untuk
Dengan demikian nilai untuk masing-masing
pada iterasi ke adalah
, dan
Iterasi akan berhenti apabila
untuk suatu nilai yang ditentukan
kemudian.
Pada penelitian ini diperagakan aplikasi metode Newton-Raphson pada data Leukimia yang diberikan oleh Cox dan Oaskes (1984). Data yang dipresentasikan pada Tabel 4.1. menggambarkan sisa waktu hidup penderita penyakit Leukimia :
Tabel 4.1.
Sisa waktu Penderita Penyakit Leukimia 56 65 17 7 16 22 3 4
2 3 8 4 3 30 4 43
(sumber: Storvik (2011)).
Akan dicari nilai penduga maksimum likelihood dengan metode Newton-Raphson dengan mengambil sembarang nilai awal
dan . misalkan diambil dan
dan .
Nilai turunan pertama untuk parameter
dan
T
urunan Kedua untuk parameter dan diberikan yaitu
,
maka matriks jacobian dapat terbentuk dari persamaan :
dan invers dari matriks jacobiannya adalah
.
Maka nilai parameter untuk dan , dan
persamaan
dengan demikian ,
sedemikian hingga, dengan menggunakan persamaan,
7
,
Nilai untuk masing-masing adalah
pada iterasi pertama,
16,9548
Dengan menggunaan program yang
dijalankan dengan computer dapat diperoleh nilai dan pada iterasi-iterasi selanjutnya.
Nilai dan untuk ,
selanjutnya diperoleh pada Tabel 4.2.
Tabel 4.2. Itersi Newton-Raphson
dan S 0 17,0000 1,0000 -62,2138 1 16,9548 0,8632 -62,1555 0,1820 36 17,2018 0,9218 -62,0962 0,0001 37 17,2019 0,9219 -62,0962 0,0002 38 17,2019 0,9219 -62,0962 0,0000
Tebel 4.3. Itersi Newton-Raphson
dan , dimana S 0 10,0000 2,0000 139,6702 1 9,9718 -0,5565 #NUM! 2,58470 3 9,7632 0,0099 -126,1565 0,77500 95 17,2018 0,9218 -62,0962 0,00010 96 17,2019 0,9219 -62,0962 0,00020 96 17,2019 0,9219 -62,0962 0,00000
Dari hasil komputasi dengan program R yang ditampilkan pada Tabel 4.2. dan Tabel
4.3. dapat disimpulkan beberapa hal penting,
yaitu :
1. Nilai penduga maksimum likelkihood
untuk dan tidak berhantung pada
pemilihan nilai awal dan
2. Pemilihan nilai awal dan
mempengaruhi jumlah iterasi yang
dibutuhkan sampai menghasilkan
pendekatan yang kontinu.
3. Nilai penduga maksimum likelihood untuk data Leukimia adalah
.
3.2 Menurunkan prosedur uji LR berukuran α
Penggunaan rasio ( perbandingan ) dua fungsi densitas sebagai dasar pengujian hipotesis dapat dimodifikasi dan memberikan metode untuk pengujian hipotesis majemuk terhadap hipotesis alternatif majemuk, atau memberikan metode pengujian dari suatu
hipotesis sederhana terhadap hipotesis
alternatif majemuk. Metode ini membawa kepada suatu pengujian yang disebut Uji Rasio Likelihood. Uji Rasio Likelihood belum tentu merupakan suatu uji terbaik, namun pengujian ini mempunyai sifat-sifat yang
meminimumkan kesalahan uji[12].
Misalkan menyatakan n
peubah acak yang masing-masing mempunyai
pdf , dengan
. Himpunan yang terdiri pada
semua titik parameter
dinotasikan dengan yang biasa disebut
ruang parameter. Misalkan adalah subset
dari ruang parameter . Misalkan ingin
melakukan pengujian hipotesis (sederhana
atau majemuk) dengan
terhadap semua
hipotesis alternatif. Definisi fungsi likelihood adalah:
(4.14)
dan
, (4.15)
dimana merupakan fungsi likelihood
8 likelihood pada . Misalkan dan
adalah nilai dari dan yang
dihitung pada titik yang
memaksimumkan dari dan .
(3.10)
Tes berukuran untuk hipotesis
adalah
(3.11)
dimana adalah konstanta yang
tidak diketahui yang ditentukan dari
persamaan
. (4.18)
Misalkan adalah untuk pada
daerah yang dibatasi (MLE yang dibatasi
pada ( )) dan adalah MLE untuk pada
daerah (MLE yang tidak dibatasi). Maka daerah kritik dari tes LR dikonstruksikan dengan cara sedemikian rupa sehingga titik-titik sampel mempunyai rasio yang kecil.
Teorema 4.1.[12] Misalkan
adalah peubah acak yang memiliki distribusi identik yang saling bebas dengan pdf
, , dimana adalah subset dari
dengan dimensi , dan misalkan adalah
subset dari yang berdimensi . Misalkan
himpunan dimana pdf bernilai positif, tidak bergantung pada , maka dibawah beberapa kondisi tambahan yang regular, distribusi
asymptotic dari adalah , untuk
, dan saat .
3.2.1 Uji LR untuk Distribusi Weibull a) Uji tentang
Diberikan sebuah Hipotesis : = vs
: ≠ , dimana diketahui atau
ditentukan oleh eksperimen dan merupakan parameter yang diketahui dari sebuah sampel
acak yang berdistribusi Weibull ( ,
sedemikian hingga berlaku uji LR sebagai berikut :
Pada kasus ini ruang parameter untuk dan adalah :
. Persamaan Likelihood Rasio,
,
(3.12) diketahui bahwa
, dan
, (3.13)
subtitutusi kedalam Persamaan (3.12),
maka diperoleh : . Misalkan , maka . (3.13)
9
Sedemikian hingga,
, (3.14)
Jadi ditolak jika, ,
.
Maka uji hipotesis untuk menolak sebesar
jika
. (3.15)
b) Uji tentang
Diberikan sebuah Hipotesis :
vs : ≠ , dimana diketahui atau
ditentukan oleh eksperimen dan merupakan parameter yang tidak diketahui dan diestimasi dari sebuah sampel acak yang berdistribusi
Weibull ( , sedemikian hingga berlaku uji
LR sebagai berikut :
Persamaan (4.14) Likelihood Rasio, , dimana dan
, (3.16) diketahui:
disubtitusi pada persamaan diatas sedemikian hingga
. (3.17)
Jadi ditolak jika,
Maka pada
tingkat signifikansi , ditolak jika
. Maka uji
hipotesis untuk menolak yaitu
.
3.2.2 Aplikasi Uji Likelihood Rasio a. Uji tentang
Distribusi yang diaplikasikan untuk menganalisis data kelangsungan hidup untuk penderita penyakit Leukimia pada Tabel 4.1. adalah distribusi Weibull. diberikan hipotesis pada
tingkat signifikansi dan diberikan
pdf Weibull pada Persamaan (3.1). Akan diturunkan Test LR untuk hipotesis jika kedua parameternya tidak diketahui:
Sedemikian hingga,
.
Dimana
dan
,.
Dengan menggunakan bantuan program R
diperoleh nilai
10
maka ditolak, tetapi jika
tidak ditolak.
Karena LR dimana terhadap
lebih besar, maka
hipotesis yang menyatakan bahwa
ditolak . hal ini berarti pada
tingkat signifikansi , tidak terdapat
cukup bukti bahwa sampel berada di daerah penerimaan.
b. Uji tentang
Diberikan sebuah Hipotesis : =
0,90 vs : ≠ 0,90 pada data kelangsungan
hidup untuk penderita penyakit Leukimia pada Tabel 4.1. dimana data diambil dari populasi berdistribusi Weibull dengan tingkat
signifikansi , sedemikian hingga
berlaku uji LR untuk hipotesis, sebagai berikut :
Persamaan Likelihood Rasio,
,
dimana dan . Dengan
mensubtitusikan dan pada Persamaan
(4.31) diperoleh hasil
sedemikian hingga atau
. hal ini berarti untuk
hipotesis yang menyatakan = 0,90 pada
tingkat signifikansi , tidak terdapat
cukup bukti bahwa sampel berada di daerah penerimaan.
IV. Kesimpulan dan Saran
Dari hasil penelitian yang dilakukan dapat ditarik beberapa kesimpulan :
1. Penduga maksimum likelihood tidak dapat
ditentukan dengan rumus kongkrit
melainkan dengan itersi Newton-Raphson, dimana iterasi Newton-Raphson tidak
bergantung pada .
2. Uji Likelihood Rasio (LRT) dapat
dilakukan terhadap sampel dari distribusi Weibull dengan bantuan iterasi Newton-Raphson. Untuk hipotesis berbentuk
,
Menghasilkan prosedur uji yang menolak pada tingkat signifikansi
jika
Sedangkan untuk hipotesis yang berbentuk
: vs : ≠
Menghasilkan prosedur uji yang menolak pada tingkat signifikansi
jika
3. Aplikasi Metode Uji Likelihood Rasio terhadap data Leukimia yang bersumber
pada Storvik (2011) menghasilkan
kesimpulan bahwa hipotesis
ditolak pada
begitupun untuk hipotesis :
dengan tingkat signifikansi
ditolak.
5.1 Saran
Adapaun yang dapat saya sarankan untuk penelitian selanjutnya yaitu Uji Likelihood Rasio pada parameter distribusi Weibull pada Pendekatan Asimtotiknya.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Bain, L.J and Engelhardt, M. 1991.
11 Mathematical Statistics. Second Edition.
Duxbury Press: California.
[2] Desfina, A.P; Erdini, M. 2012. Distribusi
Weibull Dan Pareto Untuk Data Tinggi Gelombang Tsunami Aceh Jurnal Sains
Tekonologi Dan Industri vol 9(2)
[3] Cox, D.R & Oakes, D. (1982). Statistical
Models and Method for Lifetime Data: New York : John Wiley & Sons.
[4] Geir. S. 2011. Numerical Optimation Of
Likelihoods: Additional Literature For STK2120. University Of Oslo
[5] Lawless, J. F. (1982). Statistical Models
and Method for Lifetime Data. New York:
John Wiley & Sons.
[6] Lehman, E.L;Romano, J.P. 2005. Testing Statistical Hypotesis (3rd Edition). Spingers: New York
[7] Mustafid. 2003. Statistika Elementer. Semarang: Universitas Diponegoro. [8] Somayasa, W. 2001. Diktat Kuli ah
Bagian I Statistika Elementer. Kendari:
Universitas Halu Oleo.
[9] , 2001. Diktat Kuliah Bagian II
Statistika Elementer. Kendari: Universitas
Halu Oleo.
[10] . 2008. Diktat Kuliah Statistika
Matematika I. Kendari: Universitas Halu
Oleo.
[11] Rinne, H. (2009). The Weibull
Distribution A Handbook. Chapman &
Hall/CRC
[12] Roussas, G.G. 1997. A Course in
Mathematical Statistics (2nd Edition). USA: Academic Press.
[13] Shafira. 2011. Penaksir Parameter
Distribusi Binomial Negatif Pada Kasus
Overdispersi. Depok : Universitas
Indonesia.
[14] Sudjana. 1996. Metode Statistik Edisi
ke-6. Bandung : Tarsiro.
[15] Subanar. 2013. Statistika Matematika. Yogyakarta: Graha Ilmu.
[16] Walpole, R .E dan Myers, R. H. 1995.
Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan Ilmuwan Edisi ke - 4. Alih
bahasa oleh Sembiring, R.K. Penerbit ITB: Bandung.
[17] Yustika. D.W.S. dan Stikno. 2013.
Estimasi Parameter Generalized
ParetoDistribution Pada Kasus Identifikasi Perubahan Iklim di Sentra Produksi Padi Jawa Timur. JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 2, No.2, (2013) 2337-3520 (2301-928X Print)
