KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER DISTRIBUSI
GENERALIZED WEIBULL DENGAN MENGGUNAKAN METODE
GENERALIZED MOMEN
(Skripsi)
Oleh
ANDZIRNIE BIL HAQQI
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
ABSTRACT
CHARACTERISTICS OF PARAMETER ESTIMATOR GENERALIZED WEIBULL DISTRIBUTION USING GENERALIZED METHOD OF
MOMENT
By
Andzirnie Bil Haqqi
Generalized weibull distribution is a generalization of the weibull distribution by adding one new parameter that a location parameter . Related to paramater estimation for continuous distribution we know several methods of estimation,one of methods is a generalized method of moment. In this study, we examine the characteristics of parameter estimator of generalized weibull distribution using generalized method of moment. We investigate the characteristics of unbiasness, minimum varianced, and consistent. The results show that the characteristics of parameter estimators ( ̂ ̂ ̂) are unbiased and have minimum variances. The variances attain Rao-Cramer lower bound. By using software R version 3.1.2, this research also present the graphs of probability density function with different values of parameters.
ABSTRAK
KARAKTERISTIK PENDUGA PARAMETER
DISTRIBUSI GENERALIZED WEIBULL MENGGUNAKAN METOGE GENERALIZED MOMEN
Oleh
Andzirnie Bil Haqqi
Distribusi generalized weibull merupakan perumuman dari distribusi weibull dengan menambahkan satu parameter baru yaitu parameter lokasi . Berkaitan dengan pendugaan parameter distribusi kontinu dikenal beberapa metode pendugaan salah satunya metode generalized momen. Pada penelitian ini mengkaji tentang karakteristik penduga parameter distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan konsisten. Hasil yang diperoleh menunjukkan bahwa penduga parameter ( ̂ ̂ ̂) memiliki karakteristik penduga yang baik yaitu tak bias, ragam minimum karena mencapai batas bawah Rao-Cramer dan konsisten. Selain itu, disajikan pula kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull menggunakan software R versi 3.1.2, untuk beberapa nilai parameter yang berbeda.
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan pada tanggal 28 Oktober 1993 di Yukum Jaya, Lampung
Tengah. Penulis merupakan anak pertama dari empat bersaudara yang merupakan buah cinta dari Bapak A. Encep Syaifullah dan Ibu Alis Lisnawati.
Penulis menempuh jalur pendidikan di mulai dari pendidikan taman kanak-kanak
di TK Proklamasi 45 Bandar harapan, Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 1999. Kemudian menempuh pendidikan sekolah dasar di SD
Proklamasi 45 Bandar harapan, Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 2005. Lalu melanjutkan pendidikan ke jenjang sekolah menengah pertama di SMP Negeri 1 Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang
diselesaikan tahun 2008. Selanjutnya melanjutkan pendidikan ke jenjang sekolah menengah atas di SMA Negeri 1 Terbanggi Besar, Lampung Tengah yang diselesaikan tahun 2011.
Penulis diterima sebagai mahasiswi baru Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui jalur
SNMPTN tertulis pada tahun 2011. Selama menjadi mahasiswi Universitas Lampung, penulis pernah menjadi anggota GEMATIKA 2011/2012, anggota
bendahara Dinas Kreativitas Mahasiswa BEM F 2013/2014. Selain itu, penulis
pernah menjadi asisten mata kuliah Eksplorasi Data di Jurusan matematika dan Statistika di Jurusan Ilmu Komputer. Pada bulan Januari-Maret tahun 2014
MOTTO
“...Sesungguhnya, Allah
beserta orang-orang yang sabar
”
(Qs. Al-Baqarah : 153)
“Barang siapa merintis jalan mencari ilmu, maka Allah akan
memudahkan baginya jalan ke syurga”
(HR. Muslim)
Keberuntungan adalah sesuatu yang terjadi ketika
kesempatan bertemu dengan kesiapan.
PERSEMBAHAN
Puji syukur kehadirat Allah SWT, karena atas izin dan ridho-Nya
skripsi ini dapat terselesaikan, dan dengan setulus hati, ku
persembahkan karya sederhanaku ini teruntuk:
Kedua orangtuaku tercinta Mamah dan Bapak untuk setiap do’a,
dukungan, semangat dan kasih sayang serta perhatian yang selalu
menemani disetiap hariku. Adik-adikku Syifa, Faqih dan Fatwa yang
selalu memberikan keceriaan dan kerinduan. Nenekku yang selalu
memberikan nasihat-nasihatnya selama ini. Rizki yang selalu
memberikan do’a, perhatian,bantuan dan semangat selama ini
Keluarga, sahabat dan teman-teman yang senantiasa memberikan do’a
dan semangat selama ini.
SANWANCANA
Puji syukur atas kehadirat Allah SWT, karena atas rahmat dan hidayah-Nya
terselesaikanlah skripsi dengan judul “Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull Menggunakan Metode Generalized Momen”.
Penulis menyadari, bahwa banyak pihak yang telah membantu dan memberikan
dukungan, kritik, serta saran yang membangun dalam menyelesaikan penulisan skripsi ini. Untuk itu, iringan do’a dan ucapan terimakasih penulis sampaikan kepada:
1. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc., selaku dosen pembimbing pertama yang telah memberikan nasihat, bimbingan, pengarahan dan semangat sehingga dapat terselesaikan skripsi ini dengan baik.
2. Bapak Warsono, Ph.D., selaku dosen pembimbing kedua yang senantiasa memberikan nasihat, pengarahan, dan bimbingan sehingga dapat
terselesaikannya skripsi ini dengan baik.
3. Bapak Mustofa Usman, M.A., Ph.D., selaku pembahas yang telah memberikan saran dan kritik sehingga dapat terselesaikannya skripsi ini
dengan baik.
4. Ibu Wamiliana, Ph.D., selaku Pembimbing Akademik yang telah
iii 5. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si., yang senantiasa ikhlas membantu penulis dalam hal
pemrograman serta semangat sehingga skripsi ini terselesaikan dengan baik. 6. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., Ph,D., selaku Ketua Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 7. Bapak Prof. Suharso, Ph.D., selaku Dekan FMIPA Universitas Lampung. 8. Mamah, Bapak, Umi, Syifa, Faqih, dan Fatwa yang selalu mendoakan,
menasihati, dan memberikan semangat tanpa rasa lelah hingga dapat terselesaikannya skripsi ini..
9. Teman seperjuanganku Rizka, Dian, Nika, Ofi, dan Dewi yang setia memberikan bantuan pemikiran dan tenaga hingga skripsi ini selesai.
10. Sahabat-sahabat superku Rizka, Dian, Fara, Eka, Nafis, Nika, Yunita, Udya, Sherly, Wulan, Deni, Dewi, Ofi dan Mba Nova yang selalu memberikan dukungan dan candatawa serta teman-teman Matematika angkatan 2011.
11. Rizki yang selalu memberikan bantuan, nasihat serta dukungan selama ini. 12. Keluarga besar HIMATIKA FMIPA UNILA.
13. Seluruh pihak lainnya yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah
berperan dalam penulisan skripsi ini baik langsung maupun tidak langsung.
Akhir kata, Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, akan tetapi sedikit harapan semoga skripsi yang sederhana ini dapat berguna dan
bermanfaat bagi kita semua. Aamiin.
Bandar Lampung, Februari 2015
DAFTAR ISI
2.2 Distribusi Generalized Weibull ... 7
2.3 Penduga parameter ... 8
2.4 Penduga parameter dengan Metode Generalized Momen ... 9
2.5 Matriks Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter dari Metode Generalized Momen ... 14
III. METODOLOGI PENELTIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 16
3.2 Metode Penelitian ... 17
v
4.1.7 meningkat ... 25
4.2 Fungsi Distribusi Kumulatif dari Distribusi Generalized Weibull ... 25
4.3 Fungsi Invers ... 27
4.4 Momen Peluang Terboboti ( ) untuk Distribusi Generalized Weibull ... 28
4.5 Menduga Parameter Distribusi Generalized Weibull Menggunakan Metode Generalized Momen ... 31
4.5.1 Penduga Parameter ... 31
4.5.2 Penduga Parameter δ ... 32
4.5.3 Penduga Parameter α ... 33
4.6 Karakteristik Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 35
4.6.1 Memeriksa Ketakbiasan Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 35
4.6.1.1Penduga Parameter ... 35
4.6.1.2Penduga Parameter δ ... 36
4.6.1.3 Penduga Parameter α ... 37
4.6.2 Memeriksa Varians Minimum Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 39
4.6.2.1Matriks Informasi Fisher dari Penduga Parameter pada Distribution Generalized Weibull ... 39
4.6.2.2Pertidaksamaan Rao-Cramer untuk Ragam dari Penduga parameter Distribusi Generalized Weibull ... 40
4.6.3 Memeriksa Kekonsistenan Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull ... 41
4.6.3.1Penduga Parameter ... 41
4.6.3.2Penduga Parameter δ ... 43
4.6.3.3 Penduga Parameter α ... 45
4.7 Matriks Varian-Kovarian Asimtotik Penduga Parameter Distribusi Generalized Weibull MenggunakanMetode Generalize Momen ... 48
V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
1. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada
Saat Nilai Saat Tetap ... 19
2. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada
Saat Nilai Saat Meningkat ... 20
3. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada Saat Nilai Saat Tetap ... 21
4. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada
Saat Nilai Saat Tetap ... 22
5. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada
Saat Nilai Saat Meningkat ... 23 6. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada
Saat Nilai Saat Meningkat .... 24
7. Kurva Fungsi Kepekatan Peluang Distribusi Generalized Weibull pada
I. PENDAHULUAN
1.1Latar Belakang
Menurut Douglas (2007), statistika adalah ilmu dan seni tentang pengumpulan,
pengaturan, menampilkan, analisis, dan penafsiran data untuk membantu pengambilan keputusan dengan lebih efektif. Statistika dibagi menjadi dua yaitu statistika deskriptif dan
inferensia statistik. Statistika deskriptif adalah metode-metode yang berkaitan dengan pengambilan dan penyajian suatu gugus data sehingga memberikan informasi yang berguna. Inferensia statistika merupakan proses pengambilan keputusan tentang suatu
parameter (populasi) berdasarkan suatu statistik (sampel). Dalam statistika matematika terdapat distribusi khusus baik diskrit maupun kontinu. Salah satu contoh distribusi kontinu yaitu distribusi weibull.
Distribusi weibull memiliki dua parameter, yaitu parameter skala (β) dan parameter bentuk (δ). Distribusi Weibull sering digunakan untuk memodelkan waktu kegagalan
dari banyak sistem fisik. Parameter dalam distribusi ini memungkinkan fleksibilitas
untuk memodelkan sistem dengan jumlah kegagalan bertambah terhadap waktu, berkurang terhadap waktu, atau tetap konstan terhadap waktu. Akan tetapi distribusi
2
nonmonotonik. Oleh karena itu distribusi weibull ini dikembangkan menjadi
distribusi generalized weibull dengan menambahkan parameter lokasi ( ). Sehingga
parameter dari distribusi generalized weibull berjumlah tiga parameter yaitu parameter skala, bentuk dan lokasi. Kegunaan dari distribusi generalized weibull
banyak diaplikasikan dalam model sebaran data, antara lain waktu hidup produk-produk elektronik dan analisis kelangsungan hidup.
Untuk mengetahui karakteristik dari suatu distribusi, digunakan metode pendugaan.
Beberapa metode pendugaan di antaranya Ordinary Least Square (OLS), Maximum Likelihood, Method of Moments (MM) dan Generalized Method of Moments (GMM). Metode Least Square memang baik dalam proses pendugaan, namun memiliki keterbatasan diantaranya tidak bisa digunakan untuk truncated variable dan menentukan conditional covariance. Maximum Likelihood merupakan metode pendugaan yang prinsip kerjanya dengan cara memkasimumkan fungsi likelihoodnya. Namun untuk metode ini mempunyai kelemahan yaitu hanya bisa digunakan pada
sampel yang berukuran besar. Tidak seperti metode pendugaan lainnya,yang diperlukan Methode of Moments hanyalah persamaan moment yang diperoleh dari model. Umumnya MM hanya dapat digunakan untuk kasus pendugaan dimana
persamaan moment yang dihasilkan sama dengan banyaknya parameter yang diduga.
Sementara itu metode Generalized Moment bisa digunakan untuk pendugaan
3
Metode Generalized Moment merupakan perluasan dari metode Momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Hansen pada tahun 1982 yang didefinisikan sebagai metode pendugaan parameter yang meminimalkan bentuk kuadrat dari kondisi
momen sampel yang terboboti matriks WT. Metode ini telah lebih awal digunakan pada bidang ilmu hidrologi.
Berdasarkan uraian tersebut, penulis tertarik untuk mengkaji karakteristik pendugaan
distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen.
1.2Batasan Masalah
Dalam penelitian ini, yang menjadi batasan masalah adalah mengkaji karakteristik pendugan distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen yang meliputi sifat tak bias, ragam minimum, dan kekonsistenan serta menentukan varian dan kovarian asimtotik.
1.3Tujuan Penelitian
Adapun tujuan penelitian ini adalah
1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang dari distribusi generalized weibull
untuk beberapa nilai parameter.
2. Menentukan penduga parameter dari distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen.
4
varians minimum, dan kekonsistenan.
4. Menentukan varians dan kovarians asimtotik penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen
1.4Manfaat Penelitian
II.TINJAUAN PUSTAKA
Dalam proses penelitian untuk mengkaji karakteristik pendugaan distribusi generalized weibull menggunakan metode generalized momen ini, penulis menggunakan definisi dan konsep dasar yang berkaitan dengan distribusi weibull, distribusi generalized weibull, pendugaan parameter dan metode generalized momen
sebagai berikut:
2.1 Distribusi weibull
Distribusi Weibull diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Wallodi Weibull. Distribusi Weibull sering digunakan dalam permodelan analisis
kelangsungan hidup yang memiliki daerah fungsi peluang densitas positif dengan peubah acak kontinu. Distribusi Weibul memiliki dua parameter, yaitu:
: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi
weibull.
6
Definisi 2.1
Misalkan adalah peubah acak dari distribusi Weibull dengan dua parameter, maka
menurut Kundu dan Mangalick (2004), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak
weibull adalah sebagai berikut:
{
(2.1)
Fungsi distribusi kumulatif dari distribusi Weibull didefinisikan sebagai:
(2.2)
Nilai harapan dari distribusi weibull adalah:
(2.3)
Ragam (variance) distribusi weibull adalah:
(2.4)
(Kundu dan Mangalick, 2004)
7
2.2 Distribusi Generalized Weibull
Distribusi Generalized Weibull (Generalized Weibull Distribution) merupakan perluasan dari distribusi Weibull dengan menambahkan satu parameter lokasi,
sehingga distribusi generalized weibull memiliki tiga parameter yaitu parameter lokasi, parameter skala dan parameter bentuk.
Definisi 2.2
Misalkan X adalah peubah acak dari distribusi generalized weibull dengan tiga parameter, maka menurut Jhonson dan Kotz (1970), fungsi kepekatan peluang dari peubah acak tersebut adalah
(2.5)
dengan
X : Peubah acak yang didefinisikan sebagai waktu gagal (failure time). : Parameter lokasi yang menunjukan lokasi waktu, dimana pada saat
lokasi waktu tersebut belum ada objek pengamatan yang gagal maupun
8
: Paramater skala yang menunjukan besarnya keragaman data distribusi
weibull.
: Parameter bentuk
(Jhonson dan Kotz, 1970)
Subbab selanjutnya akan dibahas mengenai pendugaan parameter dengan metode generalized momen.
2.3 Pendugaan Parameter
Dalam statistika inferensial, dibutuhkan pemahaman mengenai kaidah-kaidah
pengambilan kesimpulan tentang suatu parameter populasi berdasarkan karakteristik sampel. Hal ini membangun apa yang disebut dengan pendugaan titik dari suatu fungsi kepekatan peluang parameter yang tidak diketahui.
Definisi 2.3
Misal suatu peubah acak X memiliki fungsi kepekatan peluang yang bergantung pada suatu parameter tak diketahui θ dengan sebarang nilai dalam suatu himpunan ruang
parameter Ω , maka dinotasikan dengan
(Hogg and Craig, 1995).
9
Definisi 2.4
Misal X1, X2, … , Xn berdistribusi bebas stokastik identik dengan fungsi kepekatan peluang f(x,θ), θϵ Ω . Suatu statistik U(X1, X2, … , Xn) = U(X) yang digunakan untuk menduga g(θ ) disebut sebagai penduga bagi g(θ ) (Hogg and Craig, 1995).
Selanjutnya akan dibahas mengenai pendugaan parameter dengan GMM.
2.4 Pendugaan Parameter dengan Metode Generalized Momen
Metode Generalized Moment merupakan bentuk pengembangan dan perumuman dari metode momen. Metode ini pertama kali diperkenalkan oleh Lars Petrus Hansen
pada tahun 1982, dimana metode Generalized Moment ini digunakan untuk memperoleh penduga parameter dari model statistik. Metode tersebut telah banyak
digunakan dalam bidang ekonomi dan seringkali diaplikasikan pada masalah keuangan. Metode Generalized Moment didasarkan pada kondisi momen populasi, yakni
(2.6)
Dengan merupakan vektor dari parameter yang akan diduga, merupakan vektor
dari peubah acak, dan merupakan suatu vektor fungsi (Hall,2009).
Untuk menduga parameter dari suatu distribusi, studi oleh Rasmussen (2001), dan
oleh Askhar dan Mahdi (2003), menggunakan bentuk PWM:
∫
10
∫ (2.7)
Dimana x adalah invers dari distribusi komulatif F(x), l merupakan momen ke-l dan r
adalah statistik tataan ke- +1. ini bertindak sebagai suatu dasar untuk
Definisi 2.5 (Penduga Tak Bias)
Penduga U(X) dikatakan sebagai penduga tak bias bagi g( θ ) jika Selanjutnya akan dibahas definisi mengenai sifat penduga konsisten.
11
Berkaitan dengan pemeriksaan sifat penduga yang konsisten, digunakan teorema
pendukung sebagai berikut:
Teorema 2.1 (Chebyshev’s Inequality)
Misalkan X variabel acak dengan rata-rata dan ragam . Untuk ,
| |
atau
| |
( Larsen dan Marx, 2012).
Teorema 2.2
Jika merupakan rangkaian dari penduga suatu parameter , maka berlaku:
→
→
Untuk , merupakan rangkaian penduga konsisten dari suatu
parameter (Casella and Berger, 2002).
Selanjutnya akan dibahas sifat penduga lainnya yaitu penduga varians minimum
Definisi 2.7 (Penduga Varians Minimum)
12
tak bias bagi disebut penduga varians minimum jika ( ) untuk setiap , dimana
( ) ( )
(Bain and Engelhardt, 1992).
Berkaitan dengan sifat pendugaan varian minimum dibutuhkan beberapa faktor pendukung seperti informasi fisher, matriks informasi fisher dan pertidaksamaan
cramer-rao bound atau cramer-rao lower bound.
Definisi 2.8 Informasi Fisher
Misalkan X variabel acak dengan fungsi kepekatan (p.d.f) f(x,θ), θ Information Fisher dinotasikan dengan I(θ) , dimana
{[ ] }
Atau
[ ]
13
Berkaitan dengan informasi fisher tersebut, selanjutnya akan dibahas mengenai
matriks informasi fisher.
Sehingga matriks informasi fisher sebagai berikut:
Setelah informasi fisher dan matriks informasi fisher didapatkan, kemudian
digabungkan kedalam pertidaksamaan cramer-rao bound atau cramer-rao lower bound seperti yang akan dijelaskan berikut ini.
Definisi 2.10 Pertidaksamaan Cramer-Rao Bound (CRB) atau Cramer-Rao Lower Bound (CRLB)
Menurut Elandt-Johnson (1971), ketidaksamaan Cramer-Rao Bound (CRB) dapat
14
disebut sebagai Lower bound of the variance dari penduga
Definisi 2.11
Misalkan Y merupakan penduga tak bias dari suatu parameter dalam kasus
pendugaan titik. Statistic y disebut penduga efisien dari jika dan hanya jika ragam dari Y mencapai batas bawah Cramer- Rao (Hogg and Craig, 1995).
2.5 Matriks Varian dan Kovarian Asimtotik Menggunakan Metode Generalized Momen
Matrik varian dan kovarian asimtotik dari ̂ dan ̂ merupakan suatu sistim operasi
penjumlahan varian dan kovarian dari momen sampel ̂ dan ̂ . Sehingga bentuk
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2014/2015, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan
Alam Universitas Lampung.
3.2 Metode Penelitian
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Membuat kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull
untuk beberapa nilai parameter menggunakan software R versi 3.1.2
2. Melakukan pendugaan parameter pada distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen
3. Memeriksa sifat ketakbiasan penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull
4. Memeriksa sifat varians minimum penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull
17
Menentukan pertidaksamaan Cramer-Rao untuk ragam dari penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi generalized weibull
5. Memeriksa sifat kekonsistenan penduga parameter (α,β,δ) pada distribusi
generalized weibull
6. Mencari varians dan kovarians asimtotik penduga parameter dari
V. KESIMPULAN
Adapun kesimpulan yang diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Berdasarkan kurva fungsi kepekatan peluang distribusi generalized weibull
dengan menggunakan software R versi 3.1`2 diperoleh bahwa merupakan
parameter lokasi yang menunjukka pergeseran kurva yaitu apabila nilai
parameter naik maka pergeseran kurva kearah kanan atau positif sedangkan
untuk nilai parameter turun maka pergeseran kurva kearah kiri atau negatif.
Parameter merupakan parameter skala yang menunjukkan keragaman data
apabila nilai nya naik maka keragamannya semakin besar sedangkan apabila
nilainya turun maka keragamannya semakin kecil. Dan parameter
merupakan parameter bentuk dimana apabila nilainya naik maka kurva semakin meruncing sedangkan apabila nilai nya turun maka kurva semakin melebar.
66
3. Penduga parameter dari distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen merupakan penduga yang baik karena memenuhi sifat tak bias, varians minimum, dan sifat kekonsistenan.
4. Matriks varian dan kovarian asimtotik dari penduga parameter distribusi generalized weibull dengan menggunakan metode generalized momen adalah
DAFTAR PUSTAKA
Ashkar, F dan Mahdi, S. 2006. Fitting the log-logistik distribution by generalized moments. Journal of Hidrology. 328, 694-703.
Brain, I.J. and Engelhardt, M. 2000. Introduction to Probability and Mathematical Statistics. Brooks/Cole. Duxbury.
Cassela, G. and Berger, R. L. 2002. Statistical Inference. Second Edition. Thomson Learning Inc., USA.
Hall, A.R. 2009. Generalized Methode Of Moments. The University of Manchester. Manchester, UK2 .
Hermita. R.S. 2008. Pendugaan Parameter Distribusi Generalized Weibull Dengan Menggunakan Metode Kemungkinan Maksimum. (Skripsi). Universitas Lampung. Bandar Lampung.
Hogg, R.V. dan Craig,A.T. 1995. Introduction to Mathemathical Statistics. Prentice-Hall Inc. New Jersey.
Jhonshon, N.L. and Kotz, S. 1970. Continous Univariate Distribution. John Wiley, New York.
Kundu, D. dan Mangalick, A. 2004. Discriminating Between the Weibull and Log Normal Distribution. Journal.
Larsen, R.J. and Marx, M.L. 2012. An Introduction to mathematical statistics and its applications. Fifth Edition. Pearson Education Inc., United States of America.
