Barisan Dan Deret Tak Hingga

BARISAN TAK HINGGA DAN DERET TAK HINGGA

Banjar/Barisan Tak Hingga

Barisan tak hingga {Sn} = S1, S2, S3, … , Sn, … adalah suatu fungsi dari n dimana

daerah domainnya adalah himpunan bilangan bulat positif (bilangan asli). Contoh:

Bila n = 1, 2, 3, ……….., maka fungsi _n1₁

+ menghasilkan urutan atau banjar

Suku-suku ,... 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1

banjar ini disebut Banjar Tak Berhingga untuk menunjukkan bahwa tak ada suku terakhir. Fungsi

1 n

1

+ disebut suku umum atau

ke-n dari banjar.

Suatu banjar tak berhingga dinyatakan dengan menutup suku umum dalam kurung kurawal seperti       +n 1 1

, atau dapat ditulis : ... , 1 n 1 5 1 , 4 1 , 3 1 , 2 1 ..., , + Contoh lain: 1. {1, 2, 3, 4, ……… Un} → Un = n 2. {3, 6, 9, 12, ……… Un} → Un = 3n 3. n 1 n n 4 1 , 3 1 , 2 1 _{,......U } U .} 1, { → = 4. 1, 4, 7, 10, 13, …  an = 3n – 2, n ≥ 1 5. , 5 4 , 4 3 , 3 2 , 2 1 0,  , n 1 n 1 -1 a_n = ≥

6. , 7 6 , 6 7 , 5 4 , 4 5 , 3 2 , 2 3 0,  , n 1 n 1 (-1) 1 b n n = + ≥ 7. , 7 6 - , 6 7 , 5 4 , 4 5 , 3 2 - , 2 3 0,  , n 1 n 1 (-1) c n n = + ≥ 8. 0.999, 0.999, 0.999, 0.999, …  dn = 0.999, n ≥ 1

Barisan {Sn} dikatakan terbatas jika terdapat bilangan-bilangan P dan Q

sehingga : P ≤ Sn ≤ Q untuk semua n.

Contoh: ... , 2n 1 n 2 , ... , 6 7 , 4 5 , 2 3 +

adalah terbatas karena untuk semua n : 1 ≤ Sn ≤ 2

Tetapi 2, 4, 6, ... , 2n, ... adalah tidak terbatas. Barisan {Sn} dikatakan tidak turun jika S1 ≤ S2 ≤ … ≤ Sn ≤ …

Dan dikatakan tidak naik jika S1 ≥ S2 ≥ … ≥ Sn ≥ …

Contoh: Barisan 1. , ... 5 16 , 4 9 , 3 4 , 2 1 1 n n2 =      

+ adalah barisan tidak turun.

2. {2n - (-1)n_{} = 3, 3, 7, 7, … adalah barisan tidak turun.}

3. , ... 4 1 , 3 1 , 2 1 1, n 1 ₌      

adalah barisan tidak naik. 4. {-n} = -1, -2, -3, -4, … adalah barisan tidak naik

Limit Barisan

Jika titik-titik berurutan yang diperoleh dari barisan : (*) ... , n 1 -2 ...., , 5 9 , 4 7 , 3 5 , 2 3 1,

terletak pada garis bilangan, dan untuk n cukup besar akan terletak disekitar titik 2. Keadaan seperti ini dikatakan bahwa Limit barisan adalah 2.

 Jika x adalah peubah yang jangkauannya barisan (*), maka dikatakan bahwa x mendekati 2 sebagai limit atau x menuju 2 sebagai limit dan ditulis : x → 2

 U lim (2-_n1) 2 lim n n n = = ∞ → ∞ → Kekonvergenan

Barisan {Sn} dikatakan konvergen ke bilangan berhingga S sebagai limit,

[

limS_n S

]

n→+∞ = , jika untuk setiap bilangan positif ∈, bagaimanapun kecilnya, terdapat

bilangan bulat positif m sehingga untuk n > m akan berlaku S -S_n < ∈ Jika suatu barisan memiliki limit, maka disebut barisan konvergen. Jika suatu barisan tidak memiliki limit, maka disebut barisan divergen.

Barisan {Sn} dikatakan divergen ke ∞,

[

_n lim_→+∞Sn =∞

]

, jika untuk setiap bilangan

positif M, bagaimanapun besarnya, terdapat bilangan bulat positif m sehingga untuk n> m maka S_n > M.

Jika Sn > M maka _n lim_→+∞Sn = +∞.

Jika Sn < -M maka _n lim_→+∞Sn = -∞.

Jadi dapat disimpulkan: Definisi

- Barisan {an} dinamakan konvergen menuju L atau berlimit L dan ditulis sebagai:

L a lim _n

n →∞ =

- Apabila untuk tiap bilangan positif ε , ada bilangan positif N sehingga untuk

- Suatu barisan yang tidak konvergen ke suatu bilangan L yang terhingga dinamakan divergen.

Teorema-Teorema Barisan

1. Setiap barisan tidak turun atau tidak naik dan terbatas adalah konvergen. 2. Setiap barisan yang tidak terbatas adalah divergen.

3. Barisan konvergen atau divergen akan tetap konvergen atau divergen sesudah n suku pertama dihapus.

4. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal.

 Andaikan {sn} dan {tn} barisan-barisan yang konvergen dan k sebuah konsatanta,

maka

Jika _n lim_→+∞sn= s dan _n lim_→+∞ tn = t

5. Lim (k.sn) = k _n lim_→+∞sn = ks dimana k konstanta

6. _n lim_→+∞

(

sn ± tn

)

= _n lim_→+∞sn ± _n lim_→+∞tn = s± t

7. _n lim_→+∞

(

sn. tn

)

= _n lim_→+∞sn. _n lim_→+∞tn = s. t

8. _{lim t} s_t s lim t s lim n n n n n n n = =    ∞ + → ∞ → ∞ +

→ jika t ≠ 0 dan tn ≠ 0 untuk semua n

9. Jika {sn} adalah barisan suku-suku tidak nol dan jika :

∞ = ∞ + → s lim _n n , maka lim Sn 0 1 n →+∞ =

10. Jika a > 1, maka _n lim_→+∞an = +∞ 11. Jika r < 1, maka lim rn 0

n →+∞ = Jumlah :   s s s s S _{1 2 3 n} 1 n n = + + + + +

∑

∞ = ... (1) Dan barisan tak hingga {Sn} disebut deret tak hingga.

S1 = s1 S2 = s1 + s2 S3 = s1 + s2 + s3  Sn = s1 + s2 + s3 + … + sn 

Jika _n lim_→+∞Sn = s suatu bilangan hingga, maka deret (1) dikatakan konvergen dan s

disebut jumlahnya.

Jika _n lim_→+∞Sn = tidak ada, maka deret (1) dikatakan divergen.

Suatu deret adalah divergen karena _n lim_→+∞Sn = ∞ atau jika n membesar maka Sn

membesar dan mengecil tanpa mendekati suatu limit. Contoh :

Deret : 1 – 1 + 1 – 1 + ...

Untuk deret ini : s1 = 1, s2 = 0, s3 = 1, s4 = 0 , ……

Contoh-Contoh:

1. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

{ }

1-_n1 adalah konvergen.

Penyelesaian :

Barisan

{ }

1-_n1 adalah terbatas karena 0 ≤ Sn ≤ 1 untuk semua n. Karena :

1) n(n 1 S 1) n(n 1 n 1 1 1 n 1 1 S n 1 n + + = + + = + = +

Berarti bahwa Sn+1 ≥ Sn , merupakan barisan yang tidak turun.

Jadi barisan ini konvergen ke s = 1

2. Gunakan Teorema 1 untuk memperlihatkan bahwa barisan

      ..(2n) 2.4.6.8... 1) -..(2n 1.3.5.7... adalah konvergen. Penyelesaian : Barisan ..(2n) 2.4.6.8... 1) -..(2n 1.3.5.7...

adalah terbatas, karena 0 ≤ Sn ≤ 1 untuk semua n.

Karena : Jika ..(2n) 2.4.6.8... 1) -..(2n 1.3.5.7... S_n = Maka : n 1 n S . 2 2n 1 2n 2) ..(2n 2.4.6.8... 1) ..(2n 1.3.5.7... S + + = + + = +

Berarti barisan ini tidak naik, jadi barisan konvergen ke s = 0 3. Limit dari barisan konvergen adalah tunggal.

Misalkan berlaku kebalikannya sehingga: s

S lim _n

n →∞ = dan n lim→∞Sn = t , dimana s- t > 2ε > 0

i) Tidak memiliki titik-titik persekutuan

ii) Masing-masing memiliki semua suku-suku barisan kecuali sejumlah berhingga dari suku-suku tersebut.

Jadi s = t dan limitnya adalah tunggal.

4. Jika a > 1, maka _n lim_→∞an = +∞ Ambil M > 0, betapapun besarnya. Misalkan a = 1 + b dimana b > 0, maka :

(

)

M nb 1 ... b 1.2 1) -n(n nb 1 b 1 a 2 n n > + > + + + = + = Jika b M n >

Karena an _{> M dan jika}

b M

n > untuk M betapapun besarnya maka

∞ + = ∞ → a lim n n

5. Deret aritmatika tak hingga a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n-1)d] divergen jika a2 _{+ d}2 _{> 0}

Untuk deret a + (a + d) + (a + 2d) + ….. + [a + (n-1)d] Sn = ½ n [2a + (n-1)d] dan _n lim_→∞Sn = ∞

Kecuali untuk a = d = 0

Jadi deret divergen jika a2 _{+ d}2 _{> 0}

6. Deret geometri tak hingga a + ar + ar2 _{+ ….. + ar}n-1 _{+ ….., dimana a ≠ 0}

Konvergen ke r -1

a

jika r <1 dan divergen jika r ≥1 Untuk deret a + ar + ar2 _{+ ….. + ar}n-1 _:

1 r , r r -1 a r -1 a r -1 ar -a S n n n ≠ = =

Jika r <1, maka _n lim_→∞rn = 0 sehingga

r -1 a S lim _n n→∞ =

Jika r >1, maka _n lim_→∞rn = ∞ sehingga Sn divergen.

Jika r =1, deretnya berbentuk a + a + a + a + a + ………. Atau a – a + a – a + a + ………… yang divergen.

7. Untuk deret n 1 ... 4 1 3 1 2 1 1 + + + + + ,

Jumlah bagiannya adalah : S4 > 2 S8 > 2 ½ S16 > 3 S32 > 3 ½ S64 > 4 

Jadi barisan jumlah-jumlah bagiannya tidak terbatas dan divergen, Jadi deretnya divergen.

Uji Konvergensi dan Divergensi dari Deret Positif Uji Integral

Misalkan f(n) menyatakan suku umum Sn dari deret ∑ Sn yang suku-sukunya

semua positif. Jika f(x) > 0 dan tidak pernah naik dalam interval x > ξ , dimana ξ suatu bilangan bulat positif, maka deret ∑ Sn konvergen atau divergen tergantung kepada apakah

∫

+∞

ξ

dx

f(x) ada atau tidak ada.

Suatu deret positif ∑ Sn adalah konvergen jika setiap suku (mungkin sesudah

sejumlah berhingga) adalah lebih kecil atau sama dengan suku yang bersesuaian dari suatu deret positif konvergen yang diketahui ∑ cn

Uji Banding untuk Divergensi

Suatu deret positif ∑ Sn adalah divergen jika setiap suku (mungkin sesudah

sejumlah berhingga) adalah sama dengan atau lebih besar dari suku yang bersesuaian dari suatu deret positif divergen yang diketahui ∑ dn

Uji Rasio

Deret positif ∑ Sn konvergen jika 1

S S lim n 1 n n < + ∞

→ , dan divergen jika

1 S S lim n 1 n n > + ∞ → . Jika _S 1 S lim n 1 n n = + ∞

→ uji ini tidak dapat dipakai.

Contoh :

Selidiki konvergensi dari : 

9 1 7 1 5 1 3 1 + + + +

Dengan menggunakan uji integral. Penyelesaian : f(n) = Sn = 1 2n 1 + , n = 1, 2, 3, ... Ambil f(x) = 1 2x 1 +

Pada interval x > 1, f(x) > 0 dan menurun jika x naik. Ambil ξ = 1 dan pandang :

∞ = + = + = + = ∞ → ∞ → +∞ → +∞

∫

∫

3 1 2u lim 1 2x lim 1 2x dx lim dx f(x) u u 1 u 1 u u 1

Nilai integralnya tidak ada, jadi deret divergen.

Soal :

Dengan menggunakan uji integral selidiki kekonvergensian dari :

1. ... 64 1 36 1 16 1 4 1 + + + + 2. π ... 4 1 sin 16 1 π 3 1 sin 9 1 π 2 1 sin 4 1 sin π + + + + 3. ... (p 0) 5 1 4 1 3 1 2 1 1 + _p + _p + _p + _p + > Uji Banding

Suku umum dari deret yang diketahui yang akan diuji konvergensinya akan dibandingkan dengan suku umum dari deret yang diketahui konvergensinya atau divergensinya. Deret-deret berikut akan berguna sebagai deret uji :

a) Deret geometri a + ar + ar2 _{+ ….. + ar}n _{+ ….., dimana a ≠ 0 akan konvergen jika}

b) Deret   n 1 4 1 3 1 2 1 1 + _p + _p + _p + + _p +

konvergen jika p > 1 dan divergen jika p ≤ 1 Contoh :

Selidiki konvergensi dari :  

1 n 1 17 1 10 1 5 1 2 1 ₂ + + + + + + +

Dengan menggunakan uji banding. Penyelesaian :   1 n 1 17 1 10 1 5 1 2 1 ₂ + + + + + + + Suku umum n _{2 2} n 1 1 n 1 S < + =

Jadi suku-suku deret ini adalah lebih kecil dari suku-suku deret :   n 1 9 1 4 1

1 + + + + ₂ + yang konvergen karena p = 2

Jadi deret yang diketahui juga konvergen. (Uji integral juga dapat digunakan disini) Lanjut Soal :

Dengan menggunakan uji banding, selidiki konvergensi dari :

4.  4 1 3 1 2 1 1 1 + + + + 5.  4! 1 3! 1 2! 1 1 + + + + Tugas

Selidiki konvergensi dari deret-deret dengan menggunakan uji banding :

1.  4 5 3 4 2 3 2 + ₃ + ₃ + ₃ +

2.  4 1 3 1 2 1 1 + ₂ + ₃ + ₄ + 3.  1 4 1 4 1 3 1 3 1 2 1 2 1 ₃2 ₃2 ₃2 + + + + + + + + + + Uji Rasio

Deret positif ∑ Sn konvergen jika 1

S S lim n 1 n n < + ∞ →

Dan divergen jika 1 S S lim n 1 n n > + ∞ → . Jika 1 S S lim n 1 n n = + ∞

→ uji ini tidak dapat dipakai

Contoh :

Dengan menggunakan uji rasio, selidiki konvergensi dari :  3 4 3 3 3 2 3 1 4 3 2 + + + + Penyelesaian : Suku umum n _n 3 n S = , maka n 1 _{n 1} 3 1 n S ₊ = +₊ 3n 1 n n 3 . 3 1 n S S n 1 n n 1 n ₌ + ₌ + + + Maka 1 3 1 3n 1 n lim S S lim n n 1 n n = < + = ∞ → + ∞

→ sehingga deret konvergen

Lanjut Soal :

Dengan menggunakan uji rasio, selidiki konvergensi dari :

6.  3 4! 3 3! 3 2! 3 1 4 3 2 + + + +

7.  1.3.5.7 1.2.3.4 1.3.5 1.2.3 1.3 1.2 1 + + + + 8.  4.2 1 3.2 1 2.2 1 1.2 1 4 3 2 + + + + 9. + + + + 4 1 4 5 4 1 3 4 4 1 2 3 2 _{2 3} Tugas:

1. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji integral : a).

∑

n 1 b).

∑

₊ 1) n(n 50 c).

∑

n ln n 1 d).

∑

₍

₊

₎₍

₊

₎

2 n 1 n n 2. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji banding :

a).

∑

1 -n 1 3 b).

∑

_n3 2 -n c).

∑

₃ n 1 d).

∑

+5 n 1 2

3. Tentukan apakah konvergen atau divergen dengan uji rasio : a).

∑

(

+

)(

+

)

n! 2 n 1 n b).

∑

n! 5n c).

∑

_2n 2 n d).

∑

+n n 3 2 1 -2n

4. Tentukan apakah konvergen atau divergen :

a).  13 1 10 1 7 1 4 1 2 2 2 2 + + + + b).  4 3 3 3 2 3 3 3 3 3 + + + + c).  5.6.7.8 1 4.5.6 1 3.4 1 2 1 _{+ + + +} d) + + + + 32 9 27 11 4 3 3