METRIK MEDAN GRAVITASI BENDA BERMUATAN LISTRIK SIMETRI BOLA. Oleh: Bansawang BJ Lab. Fisika Teori dan Komputasi Jurusan FMIPA Unhas

METRIK MEDAN GRAVITASI BENDA BERMUATAN LISTRIK SIMETRI BOLA

Oleh: Bansawang BJ

Lab. Fisika Teori dan Komputasi Jurusan FMIPA Unhas

Abstrak

Telah diperlihatkan cara perumusan persamaan medan gravitasi kovarian Einstein melalui prinsip integral aksi dan sistem yang ditinjau adalah benda bermuatan listrik simetri bola. Solusi yang diperoleh menghasilkan dua jari-jari yang masing-masing bergantung pada massa benda dan muatan total benda, sehingga metriknya tidak menghasilkan singularitas.

Kata kunci: Medan gravitasi, tensor metrik

I. PENDAHULUAN

Salah satu tema utama dalam perkembangan fisika adalah mencari teori terpadu yang dapat menjelaskan perilaku partikel dan interksinya di alam semesta. Gravitasi menjadi salah satu topik yang sangat penting dalam fisika teori sebab mempunyai implikasi pada fisika partikel maupun pada teori medan. Oleh karena itu, relativitas umum Einstein atau teori medan gravitasi kovarian adalah salah satu teori yang sangat mendapat perhatian orang.

Sehubungan dengan hasrat para fisikawan teoritik untuk menyatukan gaya-gaya fundamental alam semesta, maka beberapa dekade belakang ini, kajian medan gravitasi kovarian telah menjadi sesuatu yang sangat penting dalam fisika teori. Setelah Einstein berhasil membangun persamaan medan yang didalamnya memuat prinsip ekivalensi, telah banyak memberikan kontribusi pada kajian bidang lain, misalnya pada teori String yang belakangan ini banyak fisikawan berharap menjadi teori yang dapat menyatukan ke empat gaya fundamental yakni gravitasi, lemah, elektromagnet dan nuklir.

Meskipun persamaan medan gravitasi Einstein merupakan persamaan diferensial parsial yang sangat tidak linear, namun solusi eksak maupun non-eksaknya banyak diperoleh. dari berbagai sistem fisis khusus dengan konsekuensi fisis yang ditimbulkannya. Seperti halnya persamaan dinamika dalam teori medan klasik, persamaan gravitasi kovarian umum dapat pula diturunkan dari formalisme Lagrange atau formalisme Hamilton dengan mendefenisikan suatu fungsi keadaan yang memenuhi formalisme ini.

Tulisan ini bertujuan memformulasikan persamaan medan gravitasi Einstein melalui formalisme Lagrange dan mencari penyelesaiannya (tensor metrik) untuk benda bermuatan listrik simetri bola. Dalam tulisan ini terdiri atas beberapa bagian, yakni pendahuluan, integral aksi untuk medan gravitasi, tensor energi momentum medan Maxwell-Einstein, metrik simetri bola benda bermuatan dan bagian akhir berisi kesimpulan.

II. TINJAUAN PUSTAKA

II. 1 Integral Aksi Untuk Medan Gravitasi

Dalam fisika klasik benda titik, biasanya fungsi Lagrange dipilih sebagai fungsi dari pada beberapa parameter, seperti koordinat, momentum dan waktu. Sedangkan dalam teori medan klasik yang merupakan generalisasi dari mekanika benda titik, yaitu dengan mengambil banyaknya titik-titik menjadi tak berhingga sehingga variabel-variabel yang digunakan adalah variabel kontinu _ dalam ruang datar , maka aksinya adalah:

I 



x x d4x , ( )) ), ( £(_ _ (2. 1)

dengan ££(_(x),_,(x))menyatakan fungsi kerapatan Lagrange (Lagrange density) Persamaan medan gravitasi dalam relativitas umum dapat pula diperoleh melalui prinsip variasi, dengan integral aksi diungkapkan sebagai1):



K



d x g

I _



_{ £ G 2 £M} 4

 (2. 2)

di mana £M adalah rapat Lagrangian dari materi, £G = R adalah rapat Lagrangian untuk

medan gravitasi. sedang R adalah kelengkungan skalar Ricci yang diungkapkan sebagai 

_R g

R  dengan Rμν adalah tensor Ricci, yakni:

              





























x

x

R

_(2.3)

dengan                                  x g x g x g g g 2 1 2 1 (2.4)

adalah lambang Christoffel.

Kerapatan Lagragian skalar £G dinyatakan dalam lambang Christoffel jenis kedua diturunkan dari bagian gravitasional Lagrangian Hilbert, yakni:

                                              x x g g g I_G £_G (2.5)

. Dengan melakukan variasi terhadap R dari integral aksi pada persamaan (2.2), _{ } maka untuk suku bagian pertama, akan diperoleh:

x d g g R g R x d g I_{G G} 4 4 2 1 £                 _   





  (2.6)

di mana telah digunakan d g  gg_dg

2 1

.

Sedangkan untuk suku kedua persamaan (2.2), variasi integral aksinya akan diperoleh:









x d g g g x g g K x d K g I M M M M 4 , 4 £ £ 2 £ 2           





                      (2.7)

di mana medan yang berkaitan dengan integral Gauss telah diambil sama dengan nol. Selanjutnya dengan memasukkan persamaan (2.6) dan (2.7) ke dalam persamaan (2.2) dan mengambil variasi aksi, I 0 , akan diperoleh persamaan medan gravitasi, yakni:     R g R KT G    2 1 (2.8)

dengan tensor energi-momentum T adalah:









                           _     , M M £ £ 2 g g x g g g T (2.9)

III. Tensor Energi-Momentum Medan Maxwell-Einstein

Untuk perumusan persamaan Maxwell dalam bentuk kovarian, terlebih dahulu dengan mencari tensor kekuatan medan elektromagnet. Untuk maksud tersebut maka kita tinjau persamaan Maxwell, yakni3):

1. 0 .     E  3.1a 2.  B.  0 3.1b 3. t B E x         3.1c 4. t E J B x           0 0 0   3.1d Dengan memperkenalkan potensial skalar  dan potensial vektor A, maka komponen-komponen medan magnet dan medan listrik dinyatakan dalam  dan A masing-masing adalah: j k ijk i A_x B    3.2a t A x E i i i _ _ 3.2b

Tensor kekuatan medan elektromagnet F__ A_ _ A_ dengan komponen-komponennya F_ij _ijkB_k dan F_0i E_i , i,j,k=1,2,3 masing-masing dinyatakan dalam bentuk kovarian dan kontravarian F_{ }dan F , yakni: 

                     0 0 0 0 x y z x z y y z x z y x B B E B B E B B E E E E F_{ } 3.3a











































0

0

0

0

x y z x z y y z x z y x

B

B

E

B

B

E

B

B

E

E

E

E

F

 _3.3b

Selanjutnya rapat Lagrangian medan elektromagnet tanpa arus dalam medan gravitasi dinyatakan dengan tensor kekuatan

F

 , yakni :

 



g

F

F

L







16

1

(3.4)

dengan F seperti pada persamaan (3.3a). _{ }

Bila rapat Lagrangian medan elektromagnet pada persamaan (3.4) di atas disubstitusi ke dalam persamaan (2.9) maka diperoleh:



      

_

F

F

g

g

g

F

F

g

L



























2

16

1

(3.5)

Dengan menggunakan hubungan _{ }

g g g g g g        2 1 1

, maka persamaan (3.5) dapat ditulis menjadi:













_













      

_

F

F

F

F

g

g

g

L

4

1

8

1

3.6b 0 ,      g L . 3.6c

Dengan demikian diperoleh tensor energi-momentum medan elektromagnet dalam medan gravitasi, yakni:













_



      

_

g

F

F

F

F

T

4

1

4

1

3.7

IV. Metrik Simetri Bola Benda Bermuatan

Tensor metrik simetri bola secara umum diungkapkan dalam elemen garis sebagai2):



2 2 2



2 2 2 2 2

_e



_c

_dt

_e



_dr

_r

_d

_

_sin

_

_d

_

dS









4.1

di mana υ dan λ merupakan fungsi dari koordinat r dan waktu t. Tensor metriknya adalah:

                       2 2 2 sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r e e g 4.2a

dan bentuk kontravariannya:

                            2 2 2 sin 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r r e e g 4.2b

Untuk mendapatkan solusi persamaan Einstein untuk metrik simetri bola, perlu terlebih dahulu dihitung lambang Christoffel seperti pada persamaan (2.4). Komponen-komponennya yang tidak lenyap adalah:

2 1 1 2 2 1 11 3 13 2 12 1 22 1 00 0 00                        r r e r e            cot cos sin sin 2 2 2 3 23 2 33 2 1 33 0 11 1 01 0 01                  e r e   4.3

Dengan menggunakan lambang Christoffel di atas, akan dihitung ungkapan tensor Ricci dan tensor Einstein masing-masing dengan menggunakan persamaan (2.3) dan (2.8). Diperoleh komponen tensor campuran Einstein G yang tidak lenyap, memberikan _ persamaan medan, yakni:

2 2 2 2 1 1 2 2 1 0 0 0 2 2 2 2 2 1 2 2 2 1 1 1 2 1 1 1 KT e r e KT r r r e KT r e KT r r r e                                    _                                             4.4 Komponen tensor 3 3 3 3 2 2 G KT

G   dan yang lainnya lenyap.

Potensial vektor Aμ sangat menentukan dalam medan elektromagnet. Untuk potensial simetri bola, maka hanya komponen A0 dan A1 yang tidak lenyap sedangkan komponen lainnya lenyap yakni A2=A3=0 (x0=ct, x1=r, x2=θ, x3=). Disamping itu, potensial elektromagnet berlaku pula sifat invarian terhadap transformasi gauge yang berbentuk:     x A A      4.5

di mana  adalah fungsi skala yang bergantung pada jari-jari r dan waktu t sehingga dapat dipilih (r,t) sedemikian sehingga 1 1 _ 0

    r A

A



, dan hanya komponen A0 yang tidak lenyap.

Sekarang kita akan menghitung tensor energi-momentum medan elektromagnet. Untuk maksud tersebut, tinjaulah tensor kekuatan medan elektromagnet pada pers.(3.3) dan komponen-komponennya yang tidak lenyap adalah:

10 0 01 f r A f     4.6

Komponen-komponen kontravariannya fgg f_ dapat diperoleh dengan menggunakan persamaan (4.2b), maka:

  r A e f g g f        0 01 11 00 01   _4.7

Dan seluruh komponen yang lain lenyap. Dengan menggunakan persamaan (3.7) kita akan dapatkan ungkapan tensor energi-momentum, yakni:













_



        

_

g

g

f

f

f

f

T

4

1

4

1

4.8

Dengan menguraikan komponen-komponennya, tensor energi-momentum dapat diungkapkan sebagai:                            1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 8 1 ₀ 2 r A e T_    4.9

Selanjutnya akan ditinjau solusi tensor metrik gabungan persamaan Maxwell-Einstein. Dengan menggunakan persamaan (4.2a-42b) diperoleh determinan tensor metrik sebagai:

 

_



    2 4 2 2 2 sin sin 0 0 0 0 0 0 r e r r e e g         4.10a det_{g  g e}/2_r2sin _4.10b

Persamaan Maxwell yang diungkapkan sebagai



_



  _ J c x f g g 4 1 _     dengan

rapat arus J =0 dapat direduksi menjadi dua persamaan,yakni:

 







 





/2 2sin ₀



0 01          _e  _{r e}  _A r r f g   _   _4.11a  



/2 2sin



_{0 0} 01            t A r e t f g    4.11b Dari persamaan (4.11a-4.11b) di atas, setelah diintegralkan diperoleh:

  _{A tetapan} e r     0 2 / 2   _4.12

Konstanta sebelah kanan pada persamaan (4.12) di atas tidak bergantung pada koordinat t dan r, dan ini dapat diperiksa pada jarak yang jauh. Dalam limit fungsi eksponensial cenderung menuju ke satuan dan ini diperoleh r2A₀ tetapan _atau

2 0 r e dr dA  sehingga r e

A ₀ . Jika A0 berada dalam medan gravitasi dan e adalah muatan total benda sumber gravitasi, maka dapat disimpulkan bahwa konstanta tersebut sama dengan –e. Persamaan (4.12) dapat dituliskan sebagai:

 /2 2 0   







e

r

e

A

4.13

Selanjutnya dengan menggunakan persamaan (4.9), akhirnya kita peroleh tensor energi-momentum medan elektromagnet dalam medan gravitasi benda, yakni :

               1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 8 4 2 r e T    4.14

Dengan memasukkan tetapan 8 ₄ c

G

K   dan tensor energi-momentum medan elektromagnet persamaan (4.14) ke dalam persamaan medan gravitasi (4.4), maka diperoleh persamaan medan, yakni:

4 4 2 2 2 1 1 r c Ge r r r e           _4.15a 4 4 2 2 2 1 1 r c Ge r r r e           _4.15b 0 _4.15c

Dengan menjumlahkan dua persamaan pertama (4.15a-4.15b) pada persamaan di atas akan memberikan persamaan, yakni:

0       4.16 atau ) (_x0 f    4.17

dimana f(x0) adalah tetapan integrasi yang hanya fungsi dari x0. Sekarang kita dapat membuat sebuah transformasi koordinat masih memuat bentuk elemen garis tidak berubah bentuk (invarian). Dalam hal ini koordinat waktu berbentuk _{x }0 _h(_x0)_{dan ruang}

k

k _x

x  dengan k=1,2,3. Dapat ditandai bahwa tensor metrik g bertransformasi sebagai: _{ }       g x x x x g      4.18

Komponen waktunya diperoleh

00 2 00 2 0 0 00 g h g x x g _           4.19

Sekarang jika dipilih fungsi _         2 ) ( exp 0 0 0 _{f x} x d dx

h dengan _f(_x0)_{sama dengan}

persamaan (4.17), maka kita dapatkan g e e

00 .

Selanjutnya bila persamaan (4.15a) diintegralkan dengan menuliskannya dalam bentuk integral, yaitu:





C r c r Ge re dr r c Ge re d                





4 2 2 4 2 1   4.20 sehingga diperoleh 4 2 2 1 c r Ge r C e e      _4.21

Dengan C adalah konstanta integrasi, yang dalam relativitas dikenal sebagai jari-jari Schwarschild yakni

r c

Gm

r_S  2₂ dengan m adalah massa total dari benda sumber gravitasi. Tensor metrik ini dikenal sebagai metrik Reissner-Nodstrom.

Akhirnya diperoleh solusi persamaan medan gravitasi untuk benda bermuatan listrik simetri bola yang dinyatakan dalam elemen garis berikut:



2 2 2



2 2 1 4 2 2 2 2 0 4 2 2 2 2 sin ) 2 1 ( ) )( 2 1 (    d d r dr c r Ge r c Gm dx c r Ge r c Gm dS          4.21 V. Kesimpulan

Persamaan medan gravitasi kovarian dalam relativitas umum dapat pula diperoleh melalui variasi prinsip aksi dengan merumuskan rapat Lagrangiannya. yang terdiri atas dua bagian yakni rapat Lagrangian meteri dan rapat Lagrangian medan gravitasi

Solusi medan gravitasi benda bermuatan listrik simetri bola yang telah diperoleh menunjukkan hasil yang mirip dengan solusi Schwarschild, namun metriknya ada suku tambahan yang bergantung pada muatan total benda. Dengan suku tambahan ini menunjukkan metriknya tidak menuju singularitas seperti pada solusi Schwarschild.

Daftar Pustaka

1. Cameli, M, 1990, “ Gravitation: SL(2,C) Gauge Theory And Conservation Laws” , World Scientific, Singapore.

2. Cameli, M, 1982, “ Classical Field: General Relativity and Gauge Theory, John Wiley & Sons Inc., New York

3. Jackson, J.D (1988), Classical Electrodynamics, Wiley Eastern Limited, New Delhi 4. Bose, S.K, 1980; An Intoduction to General Relativity, Wiley Eastern Limited, New

Delhi