PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG
110803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA
PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Diajukan untuk melengkapi tugas dan memenuhi syarat
mencapai gelar Sarjana Sains
TULUS JOSEPH HERIANTO MARPAUNG
110803054
DEPARTEMEN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SUMATERA UTARA
MEDAN
2015
i
PERSETUJUAN
Judul : Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga
Kategori : Skripsi
Nama : Tulus Joseph Herianto Marpaung
Nomor Induk Mahasiswa : 110803054
Program Studi : Sarjana (S1) Matematika
Departemen : Matematika
Fakultas : Matematika Dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Sumatera Utara
Disetujui di Medan, Juli 2015
Komisi Pembimbing :
Pembimbing 2, Pembimbing 1,
Drs. Marihat Situmorang, M.Kom Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP. 196312141989031001 NIP. 196209011988031002
Disetujui Oleh
Departemen Matematika FMIPA USU Ketua,
Prof. Dr. Tulus, M.Si. Ph.D NIP. 196209011988031002
ii
PERNYATAAN
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA
SKRIPSI
Saya mengakui bahwa skripsi ini adalah hasil karya sendiri. Kecuali beberapa kutipan dan ringkasan yang masing-masing disebutkan sumbernya.
Medan, Juli 2015
Tulus Joseph Herianto Marpaung 110803054
iii
PENGHARGAAN
Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus atas bimbingan-Nya yang telah memberikan kekuatan dan kebijaksanaan kepada penulis dalam menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Penerapan Persamaan Navier-Stokes Pada Pergerakan Fluida Dalam Tabung Dengan Metode Elemen Hingga.”
Sesuai dengan judul tulisan ini, diharapkan tulisan ini menjadi salah satu batu loncatan dalam pengembangan analisis persamaan Navier-Stokes dengan metode elemen hingga dalam kehidupan kita. Disamping itu, tulisan ini juga merupakan salah satu syarat dalam menempuh ujian Sarjana Sains jurusan Matematika di FMIPA USU Medan yang harus dipenuhi.
Dengan terwujudnya tulisan ini, penulis mengucapkan terimakasih banyak kepada :
1. Bapak Dr. Sutarman, M.Sc, selaku dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,
2. Bapak Prof. Dr. Tulus, M.Si, Ph.D, selaku Dosen Pembimbing 1 dan Ketua Departemen Matematika yang selalu memberikan tenaga dan pikiran untuk mendorong serta mengarahkan penulis dalam penulisan skripsi ini.
3. Bapak Drs. Marihat Situmorang, M.Kom, selaku Dosen Pembimbing 2 yang memberikan motivasi dan ilmu pengetahuan kepada penulis. 4. Bapak Drs. Ujian Sinulingga, M.Si selaku Dosen Pembanding 1 yang
memberikan ilmu tentang persamaan diferensial parsial yang lebih mendalam.
5. Bapak Dr. Sawaludin, M.IT selaku Dosen Pembanding 2 yang membantu dalam perbaikan penulisan pada skripsi ini.
6. Bapak Victor E. Ginting, Universitas of Wyoming, AS dalam yang memberikan pengarahan dalam menghubungkan persamaan differensial tekhususnya persamaan Navier-Stokes dengan metode elemen hingga. 7. Seluruh Staf Pengajar Departemen Matematika dan Staf Administrasi
FMIPA USU khususnya Staf Administrasi di Departemen Matematika FMIPA USU.
iv
8. Orang tua saya Saidi Posma Hamonangan Marpaung (+) / Risma Ida Anita br. Tambunan yang selalu mendoakan saya dan menyemangati saya dalam penulisan skripsi ini serta memberikan semua yang saya butuhkan dalam penyusunan skripsi ini.
9. Kakak saya Rissa Isabella Taruli Marpaung, S.Pd yang membantu ilmu, motivasi dan doa selalu dari awal sampai akhir.
10. Adik saya Roni Genevent Tonang yang membantu dalam penyusunan skripsi ini.
11. Keluarga semua yang tidak bisa saya sebut satu persatu dalam doa dan dukungan selalu kepada saya untuk menjadi seseorang yang lebih baik. 12. Kekasih saya, Dewi Murni br. Simarmata yang memberikan motivasi dan doa selalu kepada saya disaat saya merasakan jenuh dalam penyusunan skripsi ini.
13. Kawan-kawan seperjuangan Matematika stambuk 2011.
14. Akun facebook Kartun Ngampus yang memberikan hiburan selalu.
Terakhir, penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam penulisan ini, oleh karena itu penulis meminta kritik dan saran yang membangun dari pembaca sekalian. Akhir kata penulis mengucapkan terimakasih atas perhatian saudara dan saudari. Semoga tulisan ini bermanfaat dalam dunia pendidikan dan kiranya Tuhan memberikan karunia-Nya kepada kita semua. Amin.
Medan, Juli 2015 Hormat Penulis
Tulus Joseph. H. Marpaung NIM. 110803054
v
PENERAPAN PERSAMAAN NAVIER-STOKES PADA PERGERAKAN FLUIDA DALAM TABUNG
DENGAN METODE ELEMEN HINGGA ABSTRAK
Banyak bencana alam sering terjadi. Salah satu bencana alam tersebut yaitu kejadian atau peristiwa yang sering berhubungan dengan fluida. Misalnya, banjir dan angin topan. Banjir yang terjadi merupakan pergerakan berlebihan dari suatu fluida cair. Dimana banyak penyebab yang membuat fluida tersebut bergerak secara tidak wajar. Umumnya Persamaan Navier-Stokes serangkaian persamaan yang menjelaskan pergerakan dari suatu fluida seperti cairan dan gas. Persamaan-persamaan ini menyatakan bahwa perubahan dalam momentum partikel-partikel fluida bergantung hanya kepada gaya viskos internal dan gaya viskos tekanan eksternal yang bekerja pada fluida. Oleh karena itu, persamaan Navier-Stokes menjelaskan keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada fluida. Gaya-gaya yang bekerja pada suatu fluida adalah gaya-gaya benda (body forces) dan gaya-gaya permukaan (surface forces). Untuk menyelesaikan penurunan persamaan Navier Stokes, maka diselesaikan dengan cara Analitik atau Teori, yakni Metode Elemen Hingga dengan mensubtitusi tegangan normal dan tegangan geser pada gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida maka akan diperoleh keseimbangan gaya-gaya yang bekerja pada elemen fluida, dan kemudian disubtitusi ke persamaan kontinutas dan viskositas kinematik sehingga diperoleh persamaan kekekalan momentum yang dikenal dengan persamaan Navier Stokes. Persamaan ini berlaku untuk fluida dengan viskositas tidak sama dengan nol. Penelitian ini dimaksudkan agar diperoleh cara untuk menanggulangi bencana alam yang berhubungan dengan pergerakan fluida berlebihan pada suatu wadah.
Kata kunci : Metode Elemen Hingga, Persamaan Navier-Stokes, model aliran fluida, tegangan normal, tegangan geser
vi
APPLICATION OF NAVIER-STOKES EQUATIONS FLUID MOVEMENT IN THE TUBE
FINITE ELEMENT METHOD ABSTRACT
There are so many natural disasters are common. One of the natural disaster which happened that are often associated with the fluid. For example, floods and hurricanes. Flooding that occurs is excessive movement of a fluid liquid. Where many causes that make the fluid move unnaturally. Generally the Navier-Stokes equations that describe the movement of a set of equations of a fluid such as liquid and gas. These equations states that the change in the momentum of fluid particles depend only on the viscous force of internal and external pressure the viscous force acting on the fluid. Therefore, the Navier-Stokes equation describes the balance of the forces acting on the fluid. The forces acting on a fluid are styles of objects (body forces) and surface forces (surface forces). To complete decline Navier Stokes equations, then solved by Analytical or theory, namely the Finite Element Method to substitute the normal stress and shear stress on the forces acting on the fluid element will be obtained the balance of the forces acting on the fluid element, and then substituted into the equation so that the kinematic viscosity continuity and momentum conservation equation known as the Navier Stokes equations. This equation applies to fluids with viscosities not equal to zero. This study aimed to obtain a way to cope with natural disasters related to the movement of excessive fluid in a container.
Keywords: Finite Element Method, Navier-Stokes equations, fluid flow models, normal stress, shear stress
vi DAFTAR ISI Halaman Persetujuan i Pernyataan ii Penghargaan iii Abstrak iv Abstract v Daftar Isi vi
Daftar Tabel vii
Daftar Gambar x Bab 1. Pendahuluan 1.1. Latar Belakang 1 1.2. Rumusan Masalah 2 1.3. Batasan Masalah 2 1.4. Tujuan Penelitian 3 1.5. Manfaat Penelitian 3 1.6. Metodologi Penelitian 4
Bab 2. Tinjauan Pustaka
2.1. Dasar Fluida 5
2.2. Bilangan Reynolds 5
2.3. Laminar dan Turbulent Flow 6
2.4. Persamaan Navier-Stokes 7
2.5. Metode Elemen Hingga 10
2.6. Elemen Linier 1 Dimensi 12
2.7. Elemen Hingga 17
2.8. Formula Weak 23
2.9. Metode Galerkin 25
Bab 3. Metode Penelitian
3.1. Rancangan Penelitian 26
3.2. Teknik Analisis Data 26
3.3. Diagram Alir Penelitian 27
Bab 4. Hasil Pembahasan
4.1. Persamaan Dasar dalam Dinamika Fluida 28
4.2. Kondisi Awal dan Batas 29
4.3. Aliran Asimetrik 31
4.4. Formulasi Weak 32
4.5. Metode Standar Galerkin 34
vii
Bab 5. Kesimpulan dan Saran
5.1. Kesimpulan 41
5.2. Saran 41
viii
DAFTAR TABEL
Nomor Judul Halaman Tabel
2.1. Data Elemen 16
2.2. Data Elemen 22
ix
DAFTAR GAMBAR
Nomor Judul Halaman Gambar
1.1. Penuangan Air 1
2.1. Visualisasi zat warna yang beruntun dan pengukuran kecepatan aliran saluran (setelah percobaan terkenal oleh Osborne Reynolds pada tahun 1883): (a) aliran laminar, Re rendah, (b) aliran transisi,
Re moderat, dan (c) aliran turbulen, Re besar 7
2.2. Elemen Linier 12
2.3. Fungsi Bentuk Linier 14
2.4. Elemen Satu Dimensi untuk Pendekatan Distribusi Temperatur 15
2.5. Batang Termal dengan Beberapa Elemen 16
2.6. Fungsi Berat untuk Nodal 3 18
2.7. Fungsi-fungsi Berat untuk (a) Nodal Pertama ,(b) Nodal Bagian
Dalam (c) Nodal Terakhir dalam Grid 1 Dimensi 19
2.8. Batang Tumpuan Sederhana 23
4.1. Contoh buatan dengan wilayah 𝛺 dan batas-batas 𝛤1, 𝛤2, 𝛤3 𝑑𝑎𝑛 𝛤4 33
4.2. Mesh dengan elemen segiempat 36
4.3. Besar gaya pada permukaan 37
4.4. Grafik Kecepatan Partikel terhadap Waktu 37
4.5. Pergerakan Fluida dalam Tabung 38
4.6. Pergerakan Fluida dalam tabung Setelah Satu Detik 39
4.7. Tekanan pada saat : a. t=0 detik ; b. t = 0,025 detik ; c. t = 0,075
