MAKALAH TUGAS AKHIR DIMENSI PARTISI PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K 1 +mk n

(1)

1 MAKALAH TUGAS AKHIR

DIMENSI PARTISI

PADA PENGEMBANGAN GRAPH KINCIR DENGAN POLA K1+mKn Oleh :

MOHAMMAD IQBAL 12 06 100 061

Pembimbing :

Drs. Suhud Wahyudi, M.Si. 19600109 198701 1 001

ABSTRAK

Graph adalah himpunan pasangan terurut (V,E) dimana V adalah himpunan vertex dan E adalah himpunan edge yaitu pasangan vertex dari V. Jika G adalah graph terhubung, misalkan S ⊆ V(G) dan titik v ∈ V(G), jarak antara v dengan S adalah d(v,S) dengan d(v,S) = min { d(v,x)| x ∈ S}. Misalkan k buah partisi dan himpunan terurut Π = {S1, S2,..., Sk} dari vertex – vertex dalam graph terhubung G dan vertex v pada V(G), representasi dari v terhadap Π adalah r(v| Π) dengan r(v| Π) = (d(v,S1), d(v,S2),..., d(v,Sk)). Jika k-vektor r(v| Π), untuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, maka Π disebut himpunan resolving partisi dari V(G). Himpunan resolving partisi dengan kardinalitas minimum dari V(G) disebut dimensi partisi dari G dan dinotasikan dengan pd(G). Pada Tugas Akhir ini ditentukan dimensi partisi pada pengembangan graph kincir 𝑤_𝑛𝑚 dengan pola K1 + mKn dengan m≥2, n≥3. Dari analisis yang telah dilakukan diperoleh hasil bahwa dimensi partisi 𝑤_𝑛𝑚, pd(𝑤_𝑛𝑚)=k dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚, untuk m≥2, n≥3, m,n bilangan bulat positif.

Kata Kunci : himpunan resolving, dimensi partisi, graph kincir. I. PENDAHULUAN

Graph merupakan salah satu bidang dalam matematika dan struktur dasar dari ilmu komputer. Graph adalah sebuah diagram yang memuat titik – titik, disebut vertex, dan garis yang menghubungkan vertex - vertex disebut edge, didefinisikan G=(V,E), dimana V adalah kumpulan dari vertex dan E adalah kumpulan dari edge. Setiap edge menghubungkan tepat dua vertex, dan setiap vertex dapat memiliki banyak edge yang menghubungkan dengan vertex yang lainnya. Dari permasalahan yang terdapat pada berbagai disiplin ilmu dapat diselesaikan dengan membuat model graph. Misalkan graph merepresentasikan bentuk molekul air yang terdiri dari atom oksigen dan hidrogen. Masalah dan solusi yang didapat dari contoh kasus tersebut merupakan teknik dari teori graph.

Teori graph dapat digunakan untuk menyelesaikan beberapa permasalahan suatu bidang. Sebagai contoh, dalam pembuatan game, graph memegang peranan penting terutama pada penggunaan untuk navigasi atau

pathfinding, lalu jika terdapat agent maka diperlukan dependency graph dan state graph, lalu dalam menyelesaikan permasalahan deadlock atau proses dalam sistem operasi yang tidak berjalan karena tidak ada komunikasi lagi dalam proses tersebut, digunakan graph sebagai visualisasi untuk pendeteksian. Demikian, beberapa contoh dari

sekian banyak aplikasi graph yang

mencangkup disiplin ilmu yang luas.

Berikut diberikan gambaran mengenai dimensi partisi. Misalkan sebuah propinsi pada suatu negara terdapat berbagai kota. Kemudian kota – kota tersebut dibagi menjadi beberapa kelompok dengan ketentuan dalam sebuah kelompok tersebut tidak terdapat kota yang sama. Hitung jarak minimum dari masing – masing kota terhadap semua kelompok, jika terdapat dua kota yang berjarak sama maka ubah kembali pembagian kelompok tersebut sampai didapatkan jarak minimum tiap kota berbeda. Banyaknya kelompok yang dibuat seminimal mungkin ini dinamakan dengan dimensi partisi.

(2)

2

Sejauh ini dimensi partisi pada pengembangan graph kincir dengan pola K1 +

mKn belum ditemukan, sehingga pada Tugas

Akhir ini dibahas mengenai dimensi partisi pada pengembangan graph kincir dengan pola K1 + mKn.

II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Graph

Graph tak berarah, selanjutnya disebut sebagai Graph G, didefinisikan sebagai pasangan terurut G(V,E) dimana V adalah himpunan hingga tidak kosong {𝑣₁, 𝑣₂, … , 𝑣_𝑛} dan E adalah himpunan bagian dari VxV dimana berlaku (u,v) ∈ E mengakibatkan (v,u) ∈ E. Anggota dari V disebut vertex digambarkan sebagai lingkaran atau titik dan edge digambarkan sebagai ruas garis yang menghubungkan dua buah vertex. Banyaknya vertex dari G dilambangkan dengan |V| = p dan banyaknya edge dari G dilambangkan dengan |E| = q. Secara umum suatu graph G

yang mempunyai p-vertex dan q-edge

dituliskan dengan (p,q)-graph G. (Harary, 1969).

Suatu graph dikatakan terhubung jika dapat dibuat lintasan yang menghubungkan setiap dua vertex pada graph tersebut. Contoh dari graph terhubung dan graph tidak terhubung dapat dilihat pada Gambar 2.1.

e1 _e2 e3 e4 _e5 e6 e1 _e2 e3 e4 e5 v1 _v1 v2 v3 v2 v3 v4 v5 v5 v4

Gambar 2.1 Contoh Graph Terhubung dan

Graph Tidak Terhubung

Graph sederhana adalah graph yang tidak memuat loop dan sisi rangkap (multiple edge). Loop adalah sisi yang menghubungkan suatu titik dengan dirinya sendiri. Jika terdapat lebih dari satu sisi yang menghubungkan dua titik, maka sisi-sisi tersebut dinamakan sisi rangkap (multiple edge). Graph tak-berarah (undirected graph) adalah graph yang sisinya tidak mempunyai orientasi arah, dan urutan pasangan titik- titik yang dihubungkan oleh sisi tidak diperhatikan.(Harary, 1969).

2.2 Operasi Jumlahan dari Graph

Misalkan G1 dan G2 adalah dua buah

graph. Penggabungan graph G1 dan G2 yaitu

graph G1 ∪ G2, dengan himpunan vertex

𝑉(𝐺1∪ 𝐺2) = 𝑉(𝐺1) ∪ 𝑉(𝐺2) dimana 𝑉(𝐺1∩ 𝐺2) = ∅ dan himpunan edge 𝐸(𝐺1∪ 𝐺2) = 𝐸(𝐺1) ∪ 𝐸(𝐺2). Maka definisi operasi jumlahan pada graph G1 dan G2 adalah graph

G= G1 + G2 dengan himpunan vertex

𝑉(𝐺) = 𝑉(𝐺1) ∪ 𝑉(𝐺2) dan himpunan edge-nya 𝐸(𝐺) = 𝐸(𝐺₁) ∪ 𝐸(𝐺₂) ∪ {𝑢𝑣 |𝑢 ∈ 𝑉(𝐺1) dan 𝑣 ∈ 𝑉(𝐺2)}. Berikut contoh ilustrasi operasi penjumlahan pada graph terlihat pada gambar 2.2.

u1 u2 u3 v1 v2 v3 Graph G1 Graph G2 u1 u2 u3 u1 u2 u3

v1 v2 v3 v1 v2 v3 Graph G1∪G2 Graph G1+G2

Gambar 2.2 Operasi penjumlahan graph

G= Graph G1+G2 2.3 Jenis – Jenis Graph

Berikut ini akan dijelaskan beberapa jenis dari graph khusus, didalamnya diberikan penjelasan tentang pengertian graph, disertai dengan contoh-contohnya.

1. Graph Lengkap

Graph lengkap adalah sebuah graph sederhana dimana setiap dua buah vertex yang berbeda dan dinotasikan dengan 𝐾_𝑛. Pada umumnya graph lengkap mempunyai jumlah vertex dan edge masing – masing adalah |V(𝐾_𝑛)| = 𝑛 dan |𝐾_𝑛| = 𝑛 (𝑛−1)

2 . Akibatnya, tiap titik di 𝐾_𝑛 bertetangga dengan titik lainnya di 𝐾_𝑛 sehingga setiap titik di 𝐾_𝑛 memiliki jumlah tetangga yang sama 𝑑_𝐾_𝑛(𝑣) = 𝑛 − 1. 𝐾_𝑛 memiliki diameter 𝐷(𝐾_𝑛) = 1 atau disebut juga dengan unit distance. (Purwono, 2009)

K5: K6:

(a) (b)

Gambar 2.3 Graph K5 dan K6 2. Graph Kincir

Graph kincir dinotasikan dengan 𝑊₂𝑚 adalah graph yang dibangun dengan

(3)

3

menghubungkan semua vertex mK2

dengan sebuah vertex yang disebut vertex pusat c. Secara matematis graph kincir 𝑊2𝑚 = K1 + mK2. Vertex pusat dalam

graph kincir diberi nama c, sedangkan ui

dan vj untuk dua vertex luar dibilah i

dimana 1 ≤i ≤m. (Purwono, 2009). Sebagai contoh graph kincir dengan 4-bilah (𝑊₂4) dapat dilihat pada Gambar 2.4.

c y11 y12 y42 y41 y22 y21 y32 y31

Gambar 2.4 Graph kincir dengan 4-bilah

(𝑊₂4)

3. Pengembangan Graph Kincir K1+mKn

Jenis graph berikut ini merupakan pengembangan dari graph kincir K1+mKn,

sehingga mempunyai pola K1+mKn

dimana daun kincir yang digunakan adalah graph lengkap (Kn). Sebagai contoh

pengembangan pada graph kincir dengan pola K1+mKn dapat dilihat pada Gambar

2.5. y11 y11 y12 y12 y21 y21 y13 y13 y32 y32 y31 y31 y33 y33 y22 y22 y23 y23 c c y41

y41 y42y42 y43

y43

Gambar 2.5 Graph kincir dengan pola K1 + 4K3

2.4 Eksentrisitas

Jarak (distance) antara vertex u dan v pada graf G, dinotasikan dengan d

( )

u,v

adalah panjang lintasan terpendek antara u dan v pada graf G. Jika tidak ada lintasan antara u dan v, maka d(u,v)=∞

Gambar 2.6 Graph dengan 7 vertex dan 7

edge Contoh 2.1 Pada Gambar 2.6 𝑑(𝑣1, 𝑣3) = 2, 𝑑(𝑣3, 𝑣5) = 1, 𝑑(𝑣1, 𝑣5) = 2, 𝑑(𝑣1, 𝑣4) = 1, 𝑑(𝑣2, 𝑣4) = 2, 𝑑(𝑣3, 𝑣7) = ∞, 𝑑(𝑣3, 𝑣4) = 2, 𝑑(𝑣5, 𝑣6) = ∞.

Eksentrisitas vertex v pada graf G, dinotasikan dengan ecc

( )

v adalah jarak terjauh (maksimal lintasan terpendek) dari v ke setiap vertex di G, dengan kata lain

( )

v

{

d

( )

u v u V

( )

G

}

ecc =max , ∈ .

Contoh 2.2

Pada Gambar 2.6

( )

v₁ =2

ecc dengan vertex eksentrik v3

( )

v₁ =2

ecc dengan vertex eksentrik v5

( )

v3 =2

ecc dengan vertex eksentrik v₄

Diameter pada graf G, dinotasikan dengan

( )

G

diam didefinisikan sebagai eksentrisitas maksimum dari G, atau dengan kata lain jarak maksimum antara dua vertex pada G

( )

G

{

ecc

( )

x

}

{

d

( )

x y

}

diam G G xyV V x max , max ,∈ ∈ = = . Contoh 2.3

Pada Gambar 2.6, diam

( )

G =2

Radius pada graf G, dinotasikan dengan

( )

G

rad didefinisikan sebagai eksentrisitas minimum dari G. rad

( )

G

{

ecc

( )

x

}

G

V x∈

= min .

Contoh 2.4

Pada Gambar 2.6, rad

( )

G =1

2.5 Dimensi Partisi

Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dengan V(G) adalah himpunan titik – titiknya, S ⊆ V(G) dan titik v ∈V(G), jarak antara v dengan S yang dinotasikan d(v,S) didefinisikan sebagai

𝑑(𝑣, 𝑆) = min{𝑑(𝑣, 𝑥)|𝑥 ∈ S}.

Misalkan terdapat sebuah graph terhubung G dan k buah partisi dan untuk himpunan terurut

(4)

4

Π = {S1, S2,..., Sk} dari vertex – vertex dalam

graph terhubung G dan vertex v pada V(G), representasi dari v terhadap Π adalah k-vektor. r(v| Π) = (d(v,S1), d(v,S2), d(v,S3),..., d(v,Sk))

Jika k-vektor r(v| Π), untuk setiap vertex v pada V(G) berbeda, maka Π disebut himpunan resolving partisi dari V(G).

Himpunan resolving partisi dengan

kardinalitas minimum disebut dimensi partisi dari G dinotasikan dengan pd(G).(Syah, 2008).

Lemma 2.1 jika 𝑑(𝑢, 𝑤) = 𝑑(𝑣, 𝑤), untuk

semua 𝑤 𝜖 𝑉(𝐺) − {𝑢, 𝑣} maka u dan v harus berada di kelas partisi yang berbeda. (Chartrand, Salehi, Zhang:2000)

Proporsi 2.1 Misal G adalah graph terhubung

orde n≥2. Jadi, pd(G) = 2 jika dan hanya jika G=Pn.(Syah, 2008).

Proporsi 2.2 Misal G adalah graph terhubung

orde n ≥ 2. Jadi, pd(G) = n jika dan hanya jika G = Kn.(Syah, 2008).

Sehingga berdasarkan proporsi 2.1 dan 2.2, semua graph G selain graph Pn dan Kn

memiliki 3 ≤ pd(G) ≤ n-1. Contoh 2.5

Diberikan graph kincir dengan 3-bilah daun kincir G = 𝑤₂2 seperti yang ditunjukkan pada Gambar 2.7, ditentukan dimensi partisi dari graph 𝑤₂2 tersebut. c y11 y12 y21 y22

Gambar 2.7 Graph Kincir dengan 2-bilah

(𝑤₂2)

Misal diambil Π = {S1, S2, S3}, dimana S1 =

{c, u1, v2}, S2 = {v1}, S3={u2} maka diperoleh

representasi setiap vertex pada graph 𝑤₂2 relatif terhadap Π adalah :

r(c|Π)=(0, 1, 1), r(u1|Π)=(0, 1, 2),

r(u2|Π)=(1, 2, 0),

r(v1|Π)=(1, 0, 2),

r(v2|Π)=(0, 2, 1).

Oleh karena itu representasi setiap vertex pada 𝑤22 berbeda, maka didapatkan Π merupakan himpunan resolving partisi dari 𝑤₂2, sehingga Π adalah himpunan resolving partisi minimum dari 𝑤₂2 dibuktikan dari teorema 2.1 dan 2.2, maka graph 𝑤₂2 tidak mungkin mempunyai dimensi partisi lebih dari 3 yaitu pd(G)=3.

2.6 Graph Kincir K1+mKn

Pengembangan Graph kincir

𝑤𝑛𝑚=K1+mKn adalah graph dengan vertex

pusat c dan c terhubung pada semua vertex graph mKn, dimana m, n bilangan bulat positif

dan m≥2, n≥3,. Graph 𝑤_𝑛𝑚 ini mempunyai m daun kincir dan setiap daun kincir mempunyai n vertex yang dinotasikan dengan {𝑦𝑖1, 𝑦𝑖2, 𝑦𝑖3, … , 𝑦𝑖𝑛}, untuk setiap daun kincir 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚. Pengembangan graph kincir 𝑤𝑛𝑚 adalah G(V,E) dengan himpunan vertex V(𝑤_𝑛𝑚) = {𝑣₁, 𝑣₂, 𝑣₃, …, 𝑣𝑚, 𝑣𝑚+1} dengan 𝑣1= {𝑦11, 𝑦12, 𝑦13, … , 𝑦1𝑛},𝑣2= 𝑦21, 𝑦22, 𝑦23, … , 𝑦2𝑛 , … , 𝑣𝑚 = {𝑦𝑚1, 𝑦𝑚2, 𝑦𝑚3, … , 𝑦𝑛𝑚}, 𝑣𝑚+1 = {𝑐} , sedangkan edge 𝐸(𝑤_𝑛𝑚) = {𝑐𝑦_𝑖1, 𝑐𝑦_𝑖2, 𝑐𝑦_𝑖3, … , 𝑐𝑦𝑖𝑛, … , 𝑦𝑖1𝑦𝑖2, 𝑦𝑖1𝑦𝑖3, … , 𝑦𝑖(𝑛−1)𝑦𝑖𝑛|1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚. Jumlah vertex dan edge masing – masing adalah |V(𝑤_𝑛𝑚)| = 𝑛𝑚 + 1 dan |𝐸(𝑤𝑛𝑚)| =𝑛(𝑛+1)₂ 𝑚..

Sebagai contoh untuk m=5 dan n=3 yang dapat dilihat pada Gambar 2.8.

Gambar 2.8 Graph Kincir dengan pola

K1+mKn

2.7 Dimensi Partisi Pada Graph Kincir K1+mKn

Dimensi Partisi pada Graph kincir G hasil dari operasi jumlahan (operasi +) graph lengkap (K1), dan m graph lengkap (Kn),

dimana m, n bilangan bulat positif dan n≥3, m≥2, dinotasikan G=K1+mKn, diperoleh

melalui kardinalitas minimum dari himpunan resolving partisi dari graph G=K1+mKn. III. METODOLOGI PENELITIAN

Metode penelitian yang digunakan dalam Tugas Akhir ini meliputi :

(5)

5

2. Analisis permasalahan. 3. Evaluasi.

4. Penyimpulan Hasil Penelitian.

IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN

Pada bab berikut dijelaskan mengenai analisis permasalahan beserta pembahasannya dalam menyelesaikan Tugas Akhir ini. Dalam bab berikut dibahas mengenai dimensi partisi dari pengembangan graph kincir dengan pola K1+mKn secara umum dengan n≥3, m≥2,

dengan n,m bilangan bulat positif. Untuk mendapatkan dimensi partisi tersebut maka dilakukan dengan menentukan kardinalitas minimum dari himpunan resolving partisi.

Untuk mendapatkan kardinalitas minimum dari himpunan resolving partisi maka digunakan beberapa lemma dan teorema berikut:

Lemma 4.1 Misalkan terdapat graph kincir

dengan pola K1+mKn dengan n≥3, m≥2 maka

berlaku,

Bukti : jika u dan v pada satu daun kincir

yang sama dan graph yang digunakan pada daun kincir adalah graph lengkap untuk graph kincir dengan pola K1+mKn, maka jarak dari

setiap vertexnya adalah 1, hal ini disebabkan karena setiap vertex terhubung dengan sebuah edge, sedangkan jika u dan v pada daun kincir yang berbeda, maka jarak antara u dan v adalah 2, sedangkan jarak setiap vertex terhadap pusat kincir c adalah 1.

4.1 Dimensi Partisi Graph Kincir K1+mKn Dengan n=3

Secara umum graph kincir K1+mKn

dengan n=3, dinotasikan dengan 𝑤₃𝑚 dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.1.

... y21 y22 y23 y11 y12 y13 c y32 y31 y33 y42 y41 y43 y52 y51 y53 ym2 ym3 ym1

Gambar 4.1 Graph Kincir 𝑤_𝑛𝑚 dengan n=3, m secara umum.

Untuk menentukan dimensi partisi dari graph 𝑤₃𝑚, pd(𝑤₃𝑚) dibutuhkan Lemma 4.2 dan 4.3 berikut yang berhubungan dengan kardinalitas partisi yang memuat atau tidak memuat titik pusat :

𝑤3𝑚 dengan pola K1+mK3 dengan m≥2. Misal

c adalah titik pusat dan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan resolving partisi dari 𝑉(𝑤₃𝑚). Jika 𝑐 𝜖 𝑆1 maka |𝑆1| ≤𝑘

2_−3𝑘+4

2 .

Bukti : Misalkan 𝑐 𝜖 𝑆₁, maka koordinat titik pusat c adalah 𝑟(𝑐|Π) = (0,1,1, … ,1) dan untuk setiap 𝑣 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, 𝑟(𝑣|Π) = (0,1, … ). Dari Lemma 4.1 elemen vektor dari koordinat 𝑟(𝑣|Π) untuk 𝑣 𝜖 𝑆1\{𝑐} hanya boleh diisi oleh angka 1 dan 2. Akan tetapi, boleh diisi paling banyak 2 elemen yang bernilai 1. Hal ini disebabkan oleh derajat setiap titik 𝑣 𝜖 𝑆1\{𝑐} adalah 3, yaitu terhadap titik pusat c dan titik 𝑢 𝜖 𝑉\{𝑐, 𝑣} dan titik 𝑡 𝜖 𝑉\ {𝑐, 𝑣, 𝑢}. Lebih lanjut, 𝑣 𝜖 𝑆1\{𝑐} tidak boleh bertetangga dengan titik 𝑢 𝜖 𝑆₁\{𝑐} dan 𝑡 𝜖 𝑆1\{𝑐} karena akan mengakibatkan 𝑟(𝑣|Π)=.𝑟(𝑢|Π)= 𝑟(𝑡|Π)=(0,2,2,2, … ,2) Sehingga, paling tidak (𝑘 − 1) posisi yang hanya boleh diisi dengan 2 buah angka 1 kemudian sisanya dapat diisi dengan angka 2. Jadi, bila ditambahkan dengan titik pusat, maka terdapat paling banyak 1 + �𝑘−1₂ � koordinat yang berbeda, atau

|𝑆1| ≤ 1 + �𝑘−1₂ � = 1 +_{(𝑘−3)!2!}(𝑘−1)! =2+𝑘2−3𝑘+2 2 =𝑘2−3𝑘+4 2

(6)

6

Jadi, |𝑆₁| ≤𝑘2−3𝑘+4 2 .

c adalah titik pusat dan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan resolving partisi dari 𝑉(𝑤₃𝑚). Jika 𝑐 𝜖 𝑆1 maka |𝑆𝑖| ≤𝑘

2_−3𝑘+2

2 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

Bukti : Ambil sebuah himpunan resolving

partisi selain 𝑆₁, misalkan 𝑐 𝜖 𝑆₁, sebut 𝑆₂ yang tidak memuat titik pusat. Koordinat untuk setiap 𝑤𝜖𝑆₂ adalah 𝑟(𝑤|Π) = (1,0, … ). Terdapat (𝑘 − 2) posisi didalam vektor koordinat yang dapat diisi paling banyak dua buah angka 1 dan sisanya dapat diisi angka 2. Jadi, terdapat paling banyak �𝑘−2₂ � + �𝑘−2₁ � koordinat yang berbeda untuk setiap 𝑤𝜖𝑆₂, atau |𝑆𝑖| ≤ �𝑘−2₂ � + �𝑘−2₁ �, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 =_{(𝑘−4)!2!}(𝑘−2)! +_{(𝑘−3)!1!}(𝑘−2)! , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 =𝑘2−3𝑘+2₂ , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Jadi, |𝑆_𝑖| ≤𝑘2−3𝑘+2 2 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

Lemma 4.4 Untuk graph kincir 𝑤₃𝑚 dengan pola 𝐾₁+ 𝑚𝐾₃ dengan m secara umum 𝑚 ≥ 2, bilangan bulat positif, maka berlaku pd(𝑤₃𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₃� ≥ 𝑚.

Bukti : Untuk membuktikan ditentukan batas

atas dan batas bawah dari dimensi partisi 𝑤₃𝑚. • Misal graph kincir 𝑤₃𝑚 dengan m buah daun kincir dan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan himpunan resolving partisi dari V(𝑤₃𝑚). Misal c adalah titik pusat dan 𝑐𝜖𝑆₁, dari Lemma 4.2 dan 4.3, maka |𝑉(𝑤3𝑚)| = |𝑆1| + |𝑆𝑖|, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 3𝑚 + 1 ≤𝑘2−3𝑘+4₂ +𝑘2−3𝑘+2₂ , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 3𝑚 + 1 ≤𝑘2−3𝑘+4₂ + (𝑘 − 1)𝑘2−3𝑘+2₂ 6𝑚 + 2 ≤ 𝑘3_{− 3𝑘}2_{+ 2𝑘 + 2} 6𝑚 ≤ 𝑘3_{− 3𝑘}2_{+ 2𝑘} 𝑚 ≤𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)_3! 𝑚 ≤ �𝑘₃� .

Dan jika Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘−1} maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat 𝑑�𝑢, 𝑆_𝑗� = 𝑑�𝑣, 𝑆𝑗�, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1, maka sesuai dengan Lemma 2.1 u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan resolving partisi, maka pd(𝑤₃𝑚)≥k.

Jadi, pd(𝑤₃𝑚)≥k dengan k integer terkecil yang memenuhi �𝑘₃� ≥ 𝑚 ...(1)

• Misalkan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan himpunan resolving partisi dari V(𝑤₃𝑚).

 Perhatikan (𝑘−1)(𝑘−2)

2 daun kincir.

(𝑘−1)(𝑘−2)

2 buah titik yang berlabel 1 merupakan anggota 𝑆₁, sedangkan (𝑘−1)(𝑘−2)

2 titik lainnya adalah anggota (𝑘 − 1) partisi selain 𝑆1.

 Kemudian, perhatikan (𝑘−1)(𝑘−2)

2 − 1

daun kincir selanjutnya. (𝑘−1)(𝑘−2)

2 − 1

buah titik yang berlabel 1 adalah

anggota 𝑆₂, sedangkan untuk

(𝑘−1)(𝑘−2)

2 − 1 titik yang lainnya

adalah anggota (𝑘 − 2) partisi selain 𝑆1 dan 𝑆2.

 Proses ini diteruskan sampai tersisa 1 daun kincir dimana kedua titiknya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, titik berlabel ganjil adalah anggota 𝑆_𝑘−1 dan titik berlabel genap anggota dari 𝑆𝑘.

Dengan menggunakan Lemma 4.1 maka akan diperoleh koordinat dari setiap titik.

r(y11| 𝛱)=(0,1,1,2,2,...,2), r(y12| 𝛱)=(1,0,1,2,2,...,2), r(y13| 𝛱)=(1,1,0,2,2,...,2), r(y21| 𝛱)=(0,1,2,1,2,...,2), r(y22| 𝛱)=(1,0,2,1,2,...,2), r(y23| 𝛱)=(1,1,2,0,2,...,2), ... r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2) 2 1| 𝛱)=(0,1,2,2,...,1,2,...,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2) 2 2| 𝛱)=(1,0,2,2,...,1,2,...,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2) 2 3 | 𝛱)=(1,1,2,2,...,0,2,...,2), ... 𝑐 = (0,1,1, … ,1) Jadi, terdapat (1+3+6+...+(𝑘−1)(𝑘−2) 2 ) daun kincir atau 1 + 3 + 6 + ⋯ +(𝑘−1)(𝑘−2)₂ ≥ 𝑚 𝑘(𝑘−1)(𝑘−2) 6 ≥ 𝑚 𝑘(𝑘−1)(𝑘−2) 3! ≥ 𝑚 �𝑘 3� ≥ 𝑚

(7)

7

Jadi, 𝑝𝑑(𝑤₃𝑚) ≤ 𝑘 dengan k adalah bilangan terkecil yang memenuhi �𝑘₃� ≥ 𝑚...(2)

Sehingga, dari persamaan (1) dan (2) maka diperoleh pd(𝑤₃𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₃� ≥ 𝑚.

Jadi, pd(𝑤₃𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₃� ≥ 𝑚.

4.2 Dimensi Partisi Graph Kincir K1+mKn Dengan n=4

Secara umum graph kincir K1+mKn

dengan n=4, dinotasikan dengan 𝑤₄𝑚 dapat digambarkan seperti pada Gambar 4.5.

y11 c ... y12 y22 y21 ym1 ym2 y51 y52 y41 y42 y31 y32 y33 _y24 y23 y14 y13 ym4 ym3 y54 y44 y43 y34 y53

Gambar 4.5 Graph Kincir 𝑤_𝑛𝑚 dengan n=4, m secara umum

Untuk menentukan dimensi partisi dari graph 𝑤₄𝑚, pd(𝑤₄𝑚) dibutuhkan Lemma 4.5 dan 4.6 berikut yang berhubungan dengan kardinalitas partisi yang memuat atau tidak memuat titik pusat :

c adalah titik pusat dan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan resolving partisi dari 𝑉(𝑤₄𝑚). Jika 𝑐 𝜖 𝑆1 maka |𝑆1| ≤𝑘

3_−6𝑘2_+11𝑘

6 .

Bukti : Misalkan 𝑐 𝜖 𝑆₁, maka koordinat titik pusat c adalah 𝑟(𝑐|Π) = (0,1,1, … ,1) dan untuk setiap 𝑣 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, 𝑟(𝑣|Π) = (0,1, … ). Dari Lemma 4.1 elemen vektor dari koordinat 𝑟(𝑣|Π) untuk 𝑣 𝜖 𝑆1\{𝑐} hanya boleh diisi oleh angka 1 dan 2. Akan tetapi, boleh diisi paling banyak 3 elemen yang bernilai 1. Hal ini disebabkan oleh derajat setiap titik 𝑣 𝜖 𝑆1\{𝑐} adalah 4, yaitu terhadap titik pusat c dan titik 𝑢 𝜖 𝑉\{𝑐, 𝑣} dan titik 𝑡 𝜖 𝑉\ {𝑐, 𝑣, 𝑢}, serta titik 𝑝𝜖𝑉\{𝑐, 𝑣, 𝑢, 𝑡}. Lebih lanjut, 𝑣 𝜖 𝑆₁\{𝑐} tidak boleh bertetangga dengan titik 𝑢 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, 𝑡 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, dan 𝑝 𝜖 𝑆₁\

{𝑐} karena akan mengakibatkan 𝑟(𝑣|Π)=𝑟(𝑢|Π)=𝑟(𝑡|Π)

= 𝑟(𝑝|Π)=(0,2,2,2, … ,2). Sehingga, paling tidak (𝑘 − 1) posisi yang hanya boleh diisi dengan 3 buah angka 1 kemudian sisanya dapat diisi dengan angka 2. Jadi, bila ditambahkan dengan titik pusat, maka terdapat paling banyak 1 + �𝑘−1₃ � koordinat yang berbeda, atau |𝑆1| ≤ 1 + �𝑘−1₃ � = 1 +_{(𝑘−4)!3!}(𝑘−1)! = 1 +(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)(𝑘−4)!_{3.2.1.(𝑘−4)!} =6+𝑘3−6𝑘₆2+11𝑘−6=𝑘3−6𝑘₆2+11𝑘 Jadi, |𝑆₁| ≤𝑘3−6𝑘2+11𝑘 6 .

c adalah titik pusat dan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan resolving partisi dari 𝑉(𝑤₄𝑚). Jika 𝑐 𝜖 𝑆1 maka |𝑆𝑖| ≤𝑘

3_−6𝑘2_+11𝑘−6

6 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

partisi selain 𝑆₁, misalkan 𝑐 𝜖 𝑆₁, sebut 𝑆₂ yang tidak memuat titik pusat. Koordinat untuk setiap 𝑤𝜖𝑆₂ adalah 𝑟(𝑤|Π) = (1,0, … ). Terdapat (𝑘 − 2) posisi didalam vektor koordinat yang dapat diisi paling banyak dua buah angka 1 dan sisanya dapat diisi angka 2. Jadi, terdapat paling banyak �𝑘−2₃ � + �𝑘−2₂ � koordinat yang berbeda untuk setiap 𝑤𝜖𝑆₂, atau |𝑆𝑖| ≤ �𝑘−2₃ � + �𝑘−2₂ �, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 =_{(𝑘−5)!3!}(𝑘−2)! +_{(𝑘−4)!2!}(𝑘−2)! , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 =𝑘3−6𝑘2₆+11𝑘−6, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Jadi, |𝑆_𝑖| ≤𝑘3−6𝑘2+11𝑘−6 6 , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

Lemma 4.7 Untuk graph kincir 𝑤₄𝑚 dengan pola 𝐾₁+ 𝑚𝐾₄ dengan m secara umum 𝑚 ≥ 2, bilangan bulat positif, maka berlaku pd(𝑤₄𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₄� ≥ 𝑚.

atas dan batas bawah dari dimensi partisi 𝑤₄𝑚. • Misal graph kincir 𝑤₄𝑚 dengan m buah daun kincir dan 𝛱 = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan himpunan resolving partisi dari V(𝑤₄𝑚). Misal c adalah titik pusat dan 𝑐𝜖𝑆₁, dari Lemma 4.5 dan 4.6, maka

(8)

8 4𝑚 + 1 ≤𝑘3−6𝑘₆2+11𝑘+𝑘3−6𝑘2₆+11𝑘−6, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 4𝑚 + 1 ≤ 𝑘3−6𝑘₆2+11𝑘 +(𝑘 − 1) 𝑘3−6𝑘2+11𝑘−6 6 24𝑚 + 6 ≤ 𝑘4_{− 6𝑘}3_{+ 11𝑘}2_{− 6𝑘 + 6} 24𝑚 ≤ 𝑘4_{− 6𝑘}3_{+ 11𝑘}2_{− 6𝑘} 𝑚 ≤ 𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)_4! 𝑚 ≤ �𝑘 4�

Dan, jika Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘−1} maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat 𝑑�𝑢, 𝑆_𝑗� = 𝑑�𝑣, 𝑆𝑗�, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1. maka sesuai dengan Lemma 2.1 u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan resolving partisi, maka pd(𝑤₄𝑚)≥k. Jadi, pd(𝑤₄𝑚)≥k dengan k integer terkecil yang memenuhi �𝑘₄� ≥ 𝑚 ...(3)

• Misalkan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan himpunan resolving partisi dari V(𝑤₄𝑚).

 Perhatikan (𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)

6 daun kincir. (𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)

6 buah titik yang berlabel 1 merupakan anggota 𝑆₁, sedangkan (𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)

6 titik lainnya adalah anggota (𝑘 − 1) partisi selain 𝑆₁.

 Kemudian, perhatikan (𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)

6 − 1 daun kincir

selanjutnya.(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)

6 − 1 buah

titik yang berlabel 1 adalah anggota 𝑆2, sedangkan untuk (𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)₆ − 1 titik yang lainnya adalah anggota (𝑘 − 2) partisi selain 𝑆1 dan 𝑆2.

r(y11| 𝛱)=(0,1,1,1,2,2,...,2), r(y12| 𝛱)=(1,0,1,1,2,2,...,2), r(y13| 𝛱)=(1,1,0,1,2,2,...,2), r(y14| 𝛱)=(1,1,1,0,2,2,...,2), r(y21| 𝛱)=(0,1,1,2,1,2,...,2), r(y22| 𝛱)=(1,0,1,2,1,2,...,2), r(y23| 𝛱)=(1,1,0,2,1,2,...,2), r(y24| 𝛱)=(1,1,1,2,0,2,...,2), ... r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3) 6 1 | 𝛱)=(0,1,1,2,2,...,1,2,...,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3) 6 2| 𝛱)=(1,0,1,2,2,...,1,2,...,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3) 6 3 | 𝛱)=(1,1,0,2,2,...,1,2,...,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3) 6 4| 𝛱)=(1,1,0,2,2,...,1,2,...,2), ... 𝑐 = (0,1,1, … ,1) Jadi, terdapat (1+4+10+...+(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3) 6 )

daun kincir atau

1 + 4 + 10 + ⋯ +(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)₆ ≥ 𝑚 𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)(𝑘−3)

4! ≥ 𝑚 �𝑘₄� ≥ 𝑚

Jadi, 𝑝𝑑(𝑤₄𝑚) ≤ 𝑘 dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₄� ≥ 𝑚...(4)

Sehingga, dari persamaan (3) dan (4) maka diperoleh pd(𝑤₄𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₄� ≥ 𝑚.

Jadi, pd(𝑤₄𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘₄� ≥ 𝑚.

4.3 Dimensi Partisi Graph Kincir K1+mKn Dengan n secara umum Untuk m secara umum diperoleh graph kincir 𝑤_𝑛𝑚 dengan pola K1+mKn,

dengan 𝑛 ≥ 3, 𝑚 ≥ 2. dibutuhkan Lemma 4.12 dan 4.13 berikut yang berhubungan dengan kardinalitas partisi yang memuat atau tidak memuat titik pusat :

𝑤𝑛𝑚 dengan pola K1+mKn dengan 𝑛 ≥ 3, 𝑚 ≥

2. Misal c adalah titik pusat dan Π = {𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑘} merupakan resolving partisi dari 𝑉(𝑤_𝑛𝑚). Jika 𝑐 𝜖 𝑆₁ maka |𝑆₁| ≤ 1 + �_𝑛−1𝑘−1�

Bukti : Misalkan 𝑐 𝜖 𝑆₁, maka koordinat titik pusat c adalah 𝑟(𝑐|Π) = (0,1,1, … ,1) dan untuk setiap 𝑣₁ 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, 𝑟(𝑣₁|Π) = (0,1, … ). Dari Lemma 4.1 elemen vektor dari koordinat 𝑟(𝑣1|Π) untuk 𝑣1 𝜖 𝑆1\{𝑐} hanya boleh diisi oleh angka 1 dan 2. Akan tetapi, boleh diisi paling banyak n-1 elemen yang bernilai 1. Hal ini disebabkan oleh derajat setiap titik 𝑣1 𝜖 𝑆1\{𝑐} adalah n, yaitu terhadap titik pusat c dan titik 𝑣₂ 𝜖 𝑉\{𝑐, 𝑣₁}, titik 𝑣₃ 𝜖 𝑉\

(9)

9

𝑣𝑛−1𝜖𝑉{𝑐, 𝑣1, 𝑣2, … , 𝑣𝑛−1}. Lebih lanjut, 𝑣1 𝜖 𝑆1\{𝑐} tidak boleh bertetangga dengan titik 𝑣₂ 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, 𝑣₃ 𝜖 𝑆₁\{𝑐}, ..., 𝑣_𝑛−1 𝜖 𝑆₁\{𝑐} karena akan mengakibatkan 𝑟(𝑣₁|Π) = 𝑟(𝑣2|Π) = 𝑟(𝑣3|Π) = ⋯ = 𝑟(𝑣𝑛−1|Π) = (0,2,2,2, … ,2). Sehingga, paling tidak (𝑘 − 1) posisi yang hanya boleh diisi dengan 𝑛 − 1 buah angka 1 kemudian sisanya dapat diisi dengan angka 2. Jadi, bila ditambahkan dengan titik pusat, maka terdapat paling banyak 1 + �𝑘−1_𝑛−1� koordinat yang berbeda, atau

|𝑆1| ≤ 1 + �𝑘−1_𝑛−1� Jadi, |𝑆₁| ≤ 1 + �𝑘−1_𝑛−1� .

𝑤𝑛𝑚 dengan pola K1+mKn dengan 𝑛 ≥ 3, 𝑚 ≥

2. Misal c adalah titik pusat dan Π = {𝑆1, 𝑆2, … , 𝑆𝑘} merupakan resolving partisi dari 𝑉(𝑤_𝑛𝑚). Jika 𝑐 𝜖 𝑆₁ maka |𝑆_𝑖| ≤ �𝑘−1_𝑛−1�, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

partisi selain 𝑆₁, misalkan 𝑐 𝜖 𝑆₁, sebut 𝑆₂ yang tidak memuat titik pusat. Koordinat untuk setiap 𝑤𝜖𝑆₂ adalah 𝑟(𝑤|Π) = (1,0, … ). Terdapat (𝑘 − 2) posisi didalam vektor koordinat yang dapat diisi paling banyak dua buah angka 1 dan sisanya dapat diisi angka 2. Jadi, terdapat paling banyak �_𝑛−1𝑘−2� + �𝑘−2_𝑛−2� koordinat yang berbeda untuk setiap 𝑤𝜖𝑆₂, atau |𝑆𝑖| ≤ �𝑘−2_𝑛−1� + �𝑘−2_𝑛−2�, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 =_{(𝑘−𝑛−1)!(𝑛−1)!}(𝑘−2)! +_{(𝑘−𝑛)!(𝑛−2)!}(𝑘−2)! , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 = (𝑘 − 2)! �_{(𝑘−𝑛)!(𝑛−1)!}𝑘−1 � , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 =_{(𝑘−𝑛)!(𝑛−1)!}(𝑘−1)! , 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 = �𝑘−1_𝑛−1�, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 Jadi, |𝑆_𝑖| ≤ �𝑘−1_𝑛−1�, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘.

Teorema 4.1 Untuk graph kincir 𝑤_𝑛𝑚 dengan pola 𝐾₁+ 𝑚𝐾_𝑛 dengan 𝑛 ≥ 3, 𝑚 ≥ 2, m,n bilangan bulat positif, maka berlaku pd(𝑤_𝑛𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚.

atas dan batas bawah dari dimensi partisi 𝑤_𝑛𝑚. • Misal graph kincir 𝑤₄𝑚 dengan m buah daun kincir dan 𝛱 = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan himpunan resolving partisi dari V(𝑤_𝑛𝑚). Misal c adalah titik pusat dan 𝑐𝜖𝑆₁, dari Lemma 4.5 dan 4.6, maka

|𝑉(𝑤𝑛𝑚)| = |𝑆1| + |𝑆𝑖|, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 𝑛𝑚 + 1 ≤ 1 + �𝑘−1 𝑛−1� + �𝑛−1𝑘−1�, 2 ≤ 𝑖 ≤ 𝑘 𝑛𝑚 ≤ �𝑘−1_𝑛−1� + (𝑘 − 1)�𝑘−1_𝑛−1� = �𝑘−1_𝑛−1�(1 + 𝑘 − 1) 𝑚 ≤𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)(𝑘−𝑛)!_{(𝑘−𝑛)!𝑛!} 𝑚 ≤ �𝑘_𝑛�

Dan, jika Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘−1} maka pasti ditemukan representasi koordinat vertex yang sama yaitu pasti terdapat 𝑑�𝑢, 𝑆_𝑗� = 𝑑�𝑣, 𝑆𝑗�, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑘 − 1. maka sesuai dengan Lemma 2.1 u dan v harus berada pada partisi yang berbeda sehingga Π bukan merupakan himpunan resolving partisi, maka pd(𝑤_𝑛𝑚)≥k Jadi, pd(𝑤_𝑛𝑚)≥k dengan k integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚 ...(7)

• Misalkan Π = {𝑆₁, 𝑆₂, … , 𝑆_𝑘} merupakan himpunan resolving partisi dari V(𝑤_𝑛𝑚).

 Perhatikan (𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)

𝑛! daun

kincir. (𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)

𝑛! buah titik

yang berlabel 1 merupakan anggota 𝑆1, sedangkan (𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)_𝑛! titik lainnya adalah anggota (𝑘 − 1) partisi selain 𝑆₁.  Kemudian, perhatikan (𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1) 𝑛! − 1 daun kincir selanjutnya.(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1) 𝑛! − 1

buah titik yang berlabel 1 adalah

anggota 𝑆₂, sedangkan untuk

(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)

𝑛! − 1 titik yang

lainnya adalah anggota (𝑘 − 2) partisi selain 𝑆₁ dan 𝑆₂.

r(y11| 𝛱)=(0,1,1,1,...,1,2,2,...,2),

r(y12| 𝛱)=(1,0,1,1,...,1,2,2,...,2),

r(y13| 𝛱)=(1,1,0,1,...,1,2,2,...,2),

...

(10)

10 r(y21| 𝛱)=(0,1,1,1,...,2,1,2,...,2), r(y22| 𝛱)=(1,0,1,1,...,2,1,2,...,2), r(y23| 𝛱)=(1,1,0,1,...,2,1,2,...,2), ... r(y2n| 𝛱)=(1,1,1,1,...,2,0,2,...,2), ... r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1) 𝑛! 1 | 𝛱)=(0,1,1,1,...,2,2,...,1,2,.. .,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1) 𝑛! 2| 𝛱)=(1,0,1,1,...,2,2,...,1,2,.. .,2), r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1) 𝑛! 3 | 𝛱)=(1,1,0,1,...,2,2,...,1,2,.. .,2), ... r(𝑦(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1) 𝑛! 𝑛 | 𝛱)=(1,1,1,1,...,2,2,...,0,2,.. .,2), ... 𝑐 = (0,1,1, … ,1) Jadi, terdapat (1+2+3(n+1)+...+ (𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)

𝑛! ) daun kincir atau

1 + 2 + 3(n + 1) + ⋯(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)_𝑛! ≥ 𝑚

𝑘(𝑘−1)(𝑘−2)…(𝑘−𝑛+1)

𝑛! ≥ 𝑚

�𝑘_𝑛� ≥ 𝑚

Jadi, 𝑝𝑑(𝑤_𝑛𝑚) ≤ 𝑘 dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚...(8)

Sehingga, dari persamaan (7) dan (8) maka diperoleh pd(𝑤_𝑛𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚.

Jadi, pd(𝑤_𝑛𝑚)=k, dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚.

V. Kesimpulan

Sesuai dengan Teorema 4.1, dapat disimpulkan bahwa dimensi partisi pada pengembangan graph kincir 𝑤_𝑛𝑚 dengan pola

𝐾1+ 𝑚𝐾𝑛, 𝑛 ≥ 3, 𝑚 ≥ 2, diperoleh

pd(𝑤_𝑛𝑚)= k dengan k adalah integer terkecil yang memenuhi �𝑘_𝑛� ≥ 𝑚.

DAFTAR PUSTAKA

[1] Chartrand, G., Salehi, E., Zhang, P. “The Partition Dimension of a Graph”. Aequationes Math. Vol 59 No. 45-54, 2000.

[2]Harary, F. 1969. Graph Teory, Wesley

Publishing Company,Inc.

[3]Purwono, Johanes A. 2009. Dimensi

Metrik Pada Pengembangan Graph Kincir Dengan Pola K1+mKn. Tugas Akhir, Jurusan Matematika FMIPA ITS. [4]Syah, N. 2008. Dimensi Partisi Graf

Kipas dan Graf Kincir. Tugas Akhir,