INTERPOLASI. FTI-Universitas Yarsi

BAB VI

BAB VI

INTERPOLASI

Pendahuluan

Bila diketahui tabulasi titik-titik (x,y) sebagai berikut (yang dalam hal ini

Pendahuluan

( y) g (y g

rumus fungsi y = f(x) tidak diketahui secara eksplisit):

Hitung taksiran nilai y untuk x = 3.8!

• Persoalan semacam ini acapkali muncul pada pengamatan fenomena alam, baik berupa eksperimen di laboratorium maupun penelitian di lapangan yang melibatkan beberapa parameter (misalnya suhu, tekanan, waktu, dan sebagainya).

P t tid k t h i l i h b k t

• Pengamat tidak mengetahui relasi yang menghubungkan parameter-parameter itu. Pengamat hanya dapat mengukur nilai-nilai parameter-parameter tersebut dengan menggunakan alat ukur seperti sensor, termometer, barometer dan sebagainya Tidak satupun metode analitik yang yang barometer, dan sebagainya. Tidak satupun metode analitik yang yang tersedia untuk menyelesaikan persoalan jenis ini.

• Disinilah perlunya sebuah metode Numerik untuk mencari solusi dariDisinilah perlunya sebuah metode Numerik untuk mencari solusi dari permasalahan tersebut

Interpolasi

Interpolasi

• Andaikan kita memiliki tabulasi data dan ingin menaksir harga yangAndaikan kita memiliki tabulasi data dan ingin menaksir harga yang terletak di antara titik-titik data dalam tabel. Metode yang digunakan untuk maksud tersebut adalah interpolasi.

• Untuk (n+1) titik data, ada 1 dan hanya 1 polinom (fungsi) yang melewati semua titik data (derajat polinom n atau kurang dari n).

Dua titik data : Garis Ti titik d t K d tik Tiga titik data : Kuadratik Empat titik data : Polinomial

tingkat-3 …

titik d t P li i l

Interpolasi berbeda dengan ekstrapolasi, di mana yang kedua digunakan untuk menaksir harga(-harga) di luar interval titik-titik data dalam tabel.

n titik data : Polinomial tingkat-n

g ( g )

Diketahui : n titik data (x₁, y₁), (x₂, y₂), … (x_n, y_n)

Ditanya : a₀, a₁, …, a_n sehingga

( )

n nx a x a x a a x f = ₀ + ₁ + ₂ 2 +_L+ 0 2 2 2 2 2 1 2 0 1 1 2 2 1 1 1 a y a x a x a x a y a x a x a x n n n n − = + + + − = + + + ... ... FTI-Universitas Yarsi 0 2 2 1 x a x a y a a x_n + _n + ...+ _nn _n = _n − L

Meskip n ada 1 dan han a 1 polinom derajat n (ata k rang

• Meskipun ada 1 dan hanya 1 polinom derajat n (atau kurang

dari n) yang mencocokkan (n + 1) data, format polinom/fungsi

dapat dinyatakan dalam berbagai cara.

• Dua alternatif yang format yang akan dipelajari adalah

polinom Newton dan polinom Lagrange.

Interpolasi Linear/Garis/derajat 1

Diketahui : Dua titik (x₁, y₁), (x₂, y₂)

( )

_x

_f

( ) ( ) ( )(

_x

f

x

1

f

x

0

_x

_x

)

f

=

+

−

−

( ₁ y₁) ( ₂ y₂)

Ditanya :Garis yang melewati 2 titik tersebut

( )

( )

(

₀

)

0 1 0

x

x

x

x

x

f

x

f

_I

−

+

=

Contoh: f(x) = ln x x₁ = 1 dan x₂ = 6: f₁(2) = 0.3583519 ln 2 = 0.6931472 1( ) x₁ = 1 dan x₂ = 4 f₁(2) = 0.4620981 FTI-Universitas Yarsi7 f₁(2) 0.4620981

Interpolasi Kuadratis

Diketahui : Tiga titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃,y₃)

( )

x

b

₀

b

₁

(

x

x

₀

)

b

₂

(

x

x

₀

)(

x

x

₁

)

f

_II

=

+

−

+

−

−

g ( ₁ y₁) ( ₂ y₂) ( ₃ y₃)

Ditanya : kuadratis f₂(x) = a₀ + a₁x + a₂x2 _{yang melewati ke-3 titik diatas}

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

0 2 0 1 0 1 1 2 1 2 2 0 1 0 1 1 0 0 x x x x x f x f x x x f x f b x x x f x f b x f b − − − − − − = − − = = Contoh: f(x) = ln x Titik data: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759) ln 2 = 0.6931472 b₀= 0 b₁= (1.386294 – 0)/(4 – 1) = 0.4620981 b₂= [(1.791759 – 1.386294)/(6-4) – 0 4620981]/(6 1) 0 0518731 FTI-Universitas Yarsi8 0.4620981]/(6-1) = -0.0518731 f₂(2) = 0.5658444

Interpolasi Polynomial

N

Newton

Dik t h i titik ( ) ( ) ( ) ( i f( ) i 1 2 )

• Diketahui: n titik (x₁, y₁), (x₂, y₂), …, (x_n, y_n) (yi = f(x_i), i=1,2,…,n) • Ditanya: f_n(x) = a₀ + a₁x + a₂x₂ + … + a_nx_n yang melewati n titik

tersebut.

_{( )}

₍

₎

₍

₎₍

₎

₍

₎₍

_{) (}

₎

1 1 0 1 0 2 0 1 0 + − + − − + + − − − − = _{n n} n x b b x x b x x x x b x x x x x x f ... _L

( )

[

1 0

]

1 0 0 x x f b x f b , M = =

[

x x ₁ x₁ x₀

]

f b_{n n} , _n ,_L , M − =

[

]

( )i

( )

j j i x f x f x x f = − dengan

[

i j

]

xi xj x x f − = ,

[

] [ ] [

]

k i k j j i k j i x x x x f x x f x x x f − − = , , , , FTI-Universitas Yarsi k i

[

]

[

] [

]

0 0 2 1 1 1 0 1 1 ,..., , ,..., , , ,..., , x x x x x f x x x f x x x x f n n n n n n n ₋ − = − − − −

Contoh Interpolasi Polynomial

Newton

Newton

Diketahui: (1, 0), (4, 1.386294), (6, 1.791759), (5, 1.609438) (dari fungsi ln x) Ditanya: Perkirakan ln 2 dengan interpolasi Newton orde ke-3

( )

x b₀ b₁

(

x x₀

)

b₂

(

x x₀

)(

x x₁

)

b₂

(

x x₀

)(

x x₁

)

b₃

(

x x₀

)(

x x₁

)(

x x₂

)

f_n = + − + − − + − − + − − − y g p [ ] [ ] [ ] 0.182 6 5 791759 . 1 609438 . 1 , 203 . 0 4 6 386294 . 1 791759 . 1 , 462 . 0 1 4 0 386294 . 1 , _{0 2 1 3 2} 1 ₋ = − = = − − = = − − = f x x f x x x x f 203 0 182 0 462 0 203 0 [ ] [ ] 0 020 4 5 203 0 182 0 052 0 1 6 462 0 203 0 1 2 3 0 1 2,x ,x = . −₋ . =− . f x ,x ,x = . ₋− . = − . x f

[

]

0 008 1 5 ) 052 0 ( 020 0 0 1 2 3,x ,x ,x = − . −₋− . = . x f FTI-Universitas Yarsi f₃(2) = 0.629

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

Contoh Interpolasi Polynomial Newton

x₀ x1

x₃ x2

Perkiraan Error Polynomial

Newton

Newton

( )

= ₀ + ₁

(

− ₀

)

+ ₂

(

− ₀

)(

− ₁

)

+ + _n

(

− ₀

)(

− ₁

) (

− _n−1

)

n x b b x x b x x x x b x x x x x x f ... _L ( )n+1

_{( )}

f ξ

Jika f(x) dinyatakan oleh deret Taylor , error setelah terms ke-n adalah:

( )

_{( )}

(

) (

1

)

1 1 1 + + + − + = n _{i i} n n x x n f R ! ξ

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n Hubungan untuk error scr analogi:

( )

_{( )}

(

) (

)(

)(

) (

n

)

n n x x x x x x x x n f R − − − − + = +1 _{0 1 2 L} 1 ! ξ

Untuk suatui polinomial Newton orde ke-n, Hubungan untuk error scr analogi:

Tapi kita tidak tahu apakah itu f(x)! Sebagai suatu perkiraan untuk error, bisa kita gunakan

[

]

(

)(

)(

) (

)

f R FTI-Universitas Yarsi

[

_{n n n}

]

(

)(

)(

) (

_n

)

n f x x x x x x x x x x x x R ≅ ₊₁, , ₋₁,_L, ₀ − ₀ − ₁ − _{2 L} − (Ingat: f_n+1(x) = f_n(x) + R_n)

Perkiraan Error, Orde, dan Titik

data

data

x f(x) = ln x 1 0 4 1.386 6 1 792 6 1.792 5 1.609 3 1.099 1.5 0.405 2.5 0.916 3.5 1.253 x f(x) = ln x 3 5 1 253 3.5 1.253 2.5 0.916 1.5 0.405 3 1.099 5 1.609 6 1.792 4 1.386 1 0 FTI-Universitas Yarsi

Interpolasi Lagrange

Interpolasi Lagrange

I t l i L dit k t k d tk f i li i l P( )

• Interpolasi Lagrange diterapkan untuk mendapatkan fungsi polinomial P(x) berderajat tertentu yang melewati sejumlah titik data. Misalnya, kita ingin mendapatkan fungsi polinomial berderajat satu yang melewati dua buah titik yaitu (xy ( ₀₀, y, y₀₀) dan (x) ( ₁₁, y, y₁₁). )

• Langkah pertama yang kita lakukan adalah mendefinisikan fungsi linier

berikut

( )

( )

1

( )

0 0 1 1

P x

₁

( )

=

y l x

_{0 0}

( )

+

y l x

_{1 1}

( )

P x

y l x

+

y l x

( )

1 0 1 0

x

x

x

x

x

l

−

−

=

( )

0 1 0 1

x

x

x

x

x

l

−

−

=

1 0

x

x

1 0 FTI-Universitas Yarsi

i lk

dib ik

1 i ik d

(

) d

(

)

• Misalkan diberikan n + 1 titik data (x

₀

, y

₀

) dan (x

₁

, y

₁

) , . . . ,

(x

_n

, y

_n

) , dengan semua titik berbeda. Interpolasi polinom

lagrange dari data di atas diberikan oleh :

g

g

0 0 1 1 2 2

( )

( )

( )

( )...

( )

n j j j j n n j

P x

=

y l x

+

y l x

+

y l x

+

y l x

di mana

( ) (

₍

_{) (}

) (

₎₍

)(

) (

_{) (}

)

₎

n i i i i i i n i i i

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

x

l

−

⋅

⋅

⋅

−

−

⋅

⋅

⋅

−

−

⋅

⋅

⋅

−

−

⋅

⋅

⋅

−

=

+ − + − 1 1 1 1 1 0 di mana FTI-Universitas Yarsi

• Misalkan diberikan titik-titik data sebagai berikut

1 2 4 8

• Carilah f (7) dengan polinom interpolasi lagrange.

x 1 2 4 8

f(x) 1 3 7 11

f ( ) g p p g g

• Jawab :

Karena tersedia 4 titik data maka polinom yang bersesuaian adalah polinom orde 3.

P₃₃(x) = y( ) y_{0 00} l₀(x) + y( ) y_{11 l}l_l(x) + y( ) y_{2 22} l₂( ) y(x) + y_{33 3}l₃(x)( )

( ) (

₍

1

₎₍

)(

2

)(

₎₍

3

)

₎

0 0 1 0 2 0 3 x x x x x x l x x x x x x x − − − = − − −

( ) (

)(

)(

)

(

1 2

)(

1 4

)(

1 8

)

0,71429 8 7 4 7 2 7 7 0 _{− − −} = − − − = l

( ) (

₍

0

₎₍

)(

2

)(

₎₍

3

)

₎

1 1 0 1 2 1 3 x x x x x x l x x x x x x x − − − = − − −

( ) (

)(

)(

)

(

2 1

)(

2 4

)(

2 8

)

1,5 8 7 4 7 1 7 7 1 _{− − −} = − − − − = l FTI-Universitas Yarsi

( )

₍

(

0

₎₍

)(

1

)(

₎₍

3

)

₎

2 x x x x x x l x = − − −

( ) (

₍

)(

₎₍

)(

₎₍

₎

)

1,25 8 1 2 4 1 4 8 7 2 7 1 7 7 2 = − − − = l

( ) (

)(

)(

)

2 2 0 2 1 2 3 x − x x − x x − x 2

( ) ( )( )( )

4 −1 4 − 2 1−8

( ) (

x x0

)(

x x1

)(

x x2

)

l

( ) (

−

)(

−

)(

−

)

l

( ) (

7 7−1

)(

7− 2

)(

7−8

)

053571

(

0

)(

1

)(

2

)

3 3 0 3 1 3 2 l x x x x x x x = − − −

( ) (

)(

)(

)

(

8 1

)(

8 2

)(

8 4

)

0,53571 7 3 = _{− − −} = l FTI-Universitas Yarsi