ALJABAR LINIER LANJUT

ALJABAR LINIER LANJUT

Ruang Baris dan Ruang Kolom suatu Matriks

Misalkan A adalah matriks

m n



atas lapangan F. Baris pada matriks A merentang subruang Fn disebut ruang baris A, dinotasikan dengan rs(A) dan kolom pada matriks A merentang subruang Fm disebut ruang kolom A, dinotasikan dengan cs(A). Dimensi ruang tersebut berturut-turut disebut

row rank, dinotasikan dengan rrk(A) dan column rank, dinotasikan dengan crk(A).

Fakta bahwa row rank dan column rank pada matriks selalu sama merupakan sesuatu yang menarik dan berguna, terlepas dari kenyataan jika mn, ruang baris dan ruang kolom tidak terletak pada ruang vektor yang sama!

Pembuktian fakta tersebut berdasarkan observasi tentang matriks berikut:

Lemma 1.15

Misalkan A adalah matriks m n



. Operasi kolom elementer tidak mempengaruhi row rank

matriks A. Begitu juga dengan operasi baris elementer tidak mempengaruhi column rank

matriks A.

Bukti:

Akan dibuktikan operasi kolom elementer tidak mempengaruhi row rank matriks A. Ruang baris matriks A adalah

1

,

2

rs

( )

A



e

A e A

,



,

e

_m

A

(1)

dengan ei adalah vektor basis standar di m

F .

Operasi kolom elementer terhadap matriks A ekuivalen dengan mengalikan matriks A dengan matriks elementer E di sebelah kanan. Matriks elementer ini didapatkan dari matriks identitas

I

n

yang dilakukan operasi kolom elementer yang sama dengan operasi pada matriks A.

Misal matriks B adalah matriks hasil operasi kolom elementer dari matriks A, maka B AE. Ruang baris untuk matriks AE adalah

1

,

2

rs

(

AE

)



e

AE e A

E

,



,

e AE

_m (2)

Pandang persamaan (1) dan (2), misal xrs( )A , maka

1 1e A m m

xa a e A (3)

dengan

a

_i



F

.

Jika kita kalikan persamaan (3) dengan E di sebelah kanan didapat

1 1e A m m

a E e

2 Aljabar Linier Lanjut

Pertemuan Kelima

sehingga xErs(AE).

Selanjutnya misal k adalah row rank matriks A, maka terdapat k vektor yang merupakan basis untuk ruang baris A, sebut saja v1,v2,,vk. Berdasarkan (4), vektor

v E

1

,

v

2

E

,



,

v

k

E

ada di ruang baris

AE. Akan ditunjukkan vektor-vektor tersebut bebas linier, yaitu solusi satu-satunya untuk persamaan 1 1v E x v E2 2 x v Ek k 0

x    (5)

dengan x_iFadalah solusi trivial x₁x₂ x_k 0. Berdasarkan sifat distributif perkalian matriks, persamaan (5) menjadi

1 1 2 2

(xv x v x_{k k}v )E0 (6)

Karena E dapat dibalik, maka terdapat 1

E

 sehingga 1

EE





I

, mengimplikasikan

1 1v x v2 2 k k 0

x    x v  (7)

Diketahui v1,v2,,vk bebas linier, sehingga didapatkan x1x2 xk 0. Vektor-vektor

1

,

2

,

,

k

v E

v

E



v

E

bebas linier di rs(AE), sehingga rrk(AE)k. Dari hasil ini dapat disimpulkan

rrk(AE)rrk( )A (8)

Selanjutnya dilakukan operasi kolom elementer yang berkebalikan dengan operasi pada matriks A yakni E-1, akan didapatkan 1

AEE  AI A. Pembuktian dilakukan seperti pembuktian di atas dengan menukar posisi A dengan AE, akan diperoleh

r

rrk( )A  rk(AE) (9)

Dari (8) dan (9) dapat disimpulkan rrk( )A rrk(AE).

Jadi berdasarkan hasil di atas operasi kolom elementer tidak mempengaruhi row rank matriks A. Untuk pembuktian operasi baris elementer tidak mempengaruhi column rank matriks A dapat dilakukan dengan cara yang sama hanya saja dilakukan terhadap AT.

 Operasi kolom elementer tidak mempengaruhi row rank matriks A, begitu pula operasi baris elementer tidak mempengaruhi column rank matriks A.

Teorema 1.16

Jika

A _{m n,}

maka rrk(A) = crk(A). Bilangan ini disebut rank dari matriks A dan dinotasikan

dengan rk(A).

Bukti:

Berdasarkan Lemma 1.15, matriks A dapat direduksi menjadi eselon kolom tereduksi tanpa mempengaruhi row rank. Reduksi ini juga tidak mempengaruhi column rank.

Selanjutnya mereduksi matriks A menjadi eselon baris tereduksi tanpa mempengaruhi row rank dan column rank. Hasil kedua reduksi sebut saja sebagai matriks M. Matriks M mempunyai row rank dan column rank yang sama dengan matriks A.

Akan tetapi matriks M adalah matriks dengan 1 diikuti 0 pada diagonal utama (M1,1, M2,2, ...) dan 0 di tempat lain. Matriks M dapat ditulis sebagai

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 atau 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 r I M M       _{ }    _{  }           (10)

Oleh karena itu rrk( )A rrk(M)crk(M)crk( )A .  Terbukti rrk(A) = rrk(AE).

4 Aljabar Linier Lanjut

Pertemuan Kelima

Kompleksifikasi Ruang Vektor Riil

Jika Wadalah ruang vektor kompleks (yaitu ruang vektor atas lapangan kompleks), maka kita dapat berpikir Wsebagai ruang vektor riil dengan cara membatasi semua skalar berasal dari lapangan riil. Ruang vektor riil ini dinotasikan dengan W dan disebut versi riil dari W.

Sebaliknya kita juga dapat menghubungkan ruang vektor riil V dengan ruang vektor kompleks V . Proses “kompleksifikasi” ini akan mempunyai peran yang berguna pada saat membahas tentang struktur operator linier pada ruang vektor riil. (dalam pembahasan selanjutnya V menotasikan ruang vektor riil).

Definisi

Jika V adalah ruang vektor riil, maka himpunan pasangan terurut

V  V V

, dengan

operasi penjumlahan komponen yang bersesuaian

( , ) (u v  x y)(ux v, y)

dan perkalian skalar atas

yang didefinisikan oleh

(a bi u v )( , )(au bv av bu ,  )

untuk

a b, 

adalah ruang vektor kompleks, disebut kompleksifikasi dari V.

Berikut diperkenalkan notasi untuk vektor di V _{yang mirip dengan notasi untuk bilangan kompleks.} Kita notasikan

( , )

u v



V

dengan uvi, sehingga

| }

{ ,

V  uvi u vV

Penjumlahan pada V sekarang seperti penjumlahan bilangan kompleks biasa, (uvi) ( x yi)(u  x) (v y i)

dan perkalian skalar seperti perkalian bilangan kompleks biasa, (a bi u )( vi)(au bv ) ( av bu i ) Sebagai contoh, untuk a b,  _didapat

( ) ( ) ( ) ( ) a u vi au avi bi u vi bv bui a bi u au bui a bi vi bv avi              

Bagian riil untuk z u viadalah uV dan bagian imajiner dari z adalah v V . Fakta bahwa z  u vi V benar-benar pasangan terurut adalah z bernilai 0 jika dan hanya jika bagian riil dan imajinernya juga 0.

cpx( )v  v 0i

Selanjutnya bentuk u0i disebut sebagai kompleksifikasi atau versi kompleks dari vV. Sebagai catatan pemetaan ini merupakan homomorfisma grup, yaitu

cpx(0) 0 0 dan cpx(i u v) cpx( ) cpx( ) u  v dan pemetaan tersebut bersifat injektif

cpx( )u cpx( )v  u v

Selain itu pemetaan tersebut mempertahankan perkalian oleh skalar riil cpx(au)au 0i a u( 0 )i acpx( )u untuk a .

Pemetaan kompleksifikasi tidak surjektif, karena hanya memberikan vektor “riil” saja. Pemetaan kompleksifikasi adalah transformasi linier injektif dari ruang vektor riil ke versi riil (V ) dari kompleksifikasi V . Dengan cara ini V mengandung embedded copy dari V.

Dimensi V

Dimensi ruang vektor V dan V sama. Hal ini tidak terlalu mengejutkan karena walaupun V terlihat “lebih besar” dari V akan tetapi lapangan skalarnya juga “lebih besar”.

Teorema 1.17

Jika

{v_j| jI}

merupakan basis untuk V atas

, maka kompleksifikasi yaitu

) { 0 | }

cpx(  vj i vj

adalah basis ruang vektor

V

atas

. Sehingga,

) dim( )

dim(V  V

Bukti:

Akan ditunjukkan cpx( ) merentang V dan bebas linier.

Untuk melihat cpx( ) merentang V atas , misal ambil sembarang vektor x iy V , didapat ,

x yV dan terdapat bilangan riil

a

i dan bi (beberapa mungkin 0) sehingga x iy V dapat

6 Aljabar Linier Lanjut

Pertemuan Kelima 1 1 1 1

(

(

)

)(

0 )

j j j j j J J j j J j J j j j j j j j

v

v

b v i

x iy

a

b

b

v

i

v

i

a

a

   





 

_{ }

_























Jadi kita dapat menuliskan setiap vektor dalam V sebagai kombinasi linier cpx( ). Sehingga cpx( )terbukti merentang V .

Untuk menunjukkan cpx( ) bebas linier, jika

1

)(

0 )

0 0

(

_{j j j} J j

b i v

i

a

i







 



maka berdasarkan perhitungan sebelumnya, didapat

1 1

0 0

j j j j J J j j

a

v

b v

i

i

 







_

_

 









sehingga 1 1

0 dan

0

J j j j j J j j

a

v

b

v

 









Karena bebas linier, mengakibatkan aj 0 dan bj 0 untuk semua j. Jadi cpx( ) juga bebas linier.

Karena cpx( ) merentang V dan bebas linier maka cpx( ) merupakan basis untuk ruang vektor V .

Dapat kita lihat banyaknya anggota cpx( ) dan sama sehingga dapat ditulis ) dim( )

dim(V  V

□ Jika v V



dan



{ |

v i

_i



I

}

adalah basis untuk V, maka dapat kita tulis

1 i i n i a v v  



untuk ai . Karena koefisiennya riil, maka didapat

1 ( 0 _{i i} 0 ) n i v i a v i    



sehingga matriks koordinat v terhadap basis dan

v



0

i

terhadap basis cpx( ) adalah sama



v0i



cpx ( ) 

 

v