Latihan
SISTEM LINIER NONHOMOGEN
Kus Prihantoso Krisnawan
March 6, 2012
Latihan
˙
x =Ax+b(t) (1)
denganAmatriksn×ndanb(t)adalah vektor yang
Latihan
˙
x =Ax+b(t) (1)
denganAmatriksn×ndanb(t)adalah vektor yang
elemen-elemennya fungsi kontinu.
Definisi
Matriks solusi fundamental untuk sistem
˙
x =Ax (2)
adalah matirksΦ(t)berukuran n×n yang memenuhi
˙Φ(t) =AΦ(t) (3)
Latihan
Ingat bahwa matriksΦ(t) =eAt memenuhi persamaan (3) dengan nilai awalΦ(0) =I, sehinggaΦ(t) =eAt disebut
Latihan
Ingat bahwa matriksΦ(t) =eAt memenuhi persamaan (3) dengan nilai awalΦ(0) =I, sehinggaΦ(t) =eAt disebut
sebagai matriks fundamental.
Lema
JikaΦ(t)danΨadalah dua matriks solusi fundamental untuk sistem (2) maka terdapat matriks konstan C sehingga
Φ(t) = Ψ(t)C.
Latihan
Teorema
JikaΨ(t)adalah matriks solusi fundamental dari sistem (2) maka
Latihan
Teorema
JikaΨ(t)adalah matriks solusi fundamental dari sistem (2) maka
eAt = Ψ(t)Ψ−1(0) (4)
Proof.
Berdasarkan lema sebelumnya, maka
Latihan
Teorema
JikaΨ(t)adalah matriks solusi fundamental dari sistem (2) maka
eAt = Ψ(t)Ψ−1(0) (4)
Proof.
Berdasarkan lema sebelumnya, maka
eAt = Ψ(t)C.
Piliht =0 makaeA.0
Latihan
Teorema
JikaΨ(t)adalah matriks solusi fundamental dari sistem (2) maka
eAt = Ψ(t)Ψ−1(0) (4)
Proof.
Berdasarkan lema sebelumnya, maka
eAt = Ψ(t)C.
Piliht =0 makaeA.0
Latihan
Teorema
JikaΨ(t)adalah matriks solusi fundamental dari sistem (2) maka
eAt = Ψ(t)Ψ−1(0) (4)
Proof.
Berdasarkan lema sebelumnya, maka
eAt = Ψ(t)C.
Piliht =0 makaeA.0
= Ψ(0)C, sehinggaC= Ψ−1(0).
Latihan
Teorema
JikaΦ(t)adalah matriks fundamental untuk sistem (2) maka solusi dari sistem nonhomogen (1) dengan adalah nilai awal x(0) =x0adalah
x(t) = Φ(t)Φ−1(0)x 0+
Z t
0
Φ(t)Φ−1(
Latihan
x(t) = Φ(t)Φ−1(0)x
0+R0tΦ(t)Φ−1(τ)b(τ)dτ maka
˙
Latihan
x(t) = Φ(t)Φ−1(0)x
0+R0tΦ(t)Φ−1(τ)b(τ)dτ maka
˙
x(t) = ˙Φ(t)Φ−1(0)x
0+ Φ(t)Φ−1(t)b(t)
+
Z t
0
˙Φ(t)Φ−1(
Latihan
Sebagai akibatnya, untukΦ(t) =eAt maka solusi dari sistem (1) adalah
x(t) =eAtx0+eAt Z t
0
e−Aτ
(τ)b(τ)dτ. (6)
Latihan a.
2 TentukanAjika diketahui
eAt =
3 tentukan solusi dari
