Staff Site Universitas Negeri Yogyakarta

SIMPANGAN (DISPERSI) DAN VARIASI

Ukuran Simpangan = Ukuran Dispersi = Ukuran Variasi 1. Rentang (range)

2. Rentang antar kuartil

3. Simpangan kuartil (deviasi Kuartil)

4. Rata-rata Simpangan (Deviasi rata-rata)

5. Simpangan baku (standar deviasi) dan Varians

1. Rentang (Range) = skor terbesar – skor terkecil

2. Rentang antar kuartil  RAK = K3 – K1

3. Simpangan Kuartil (Deviasi Kuartil = Rentang Semi Antar Kuartil) 

SK = ½ (K3 – K1)

4.

Rata-rata Simpangan (Deviasi Rata-rata)  RS =

∑

|Xi

− ´X| n

Contoh: Suatu sampel berukuran n = 5, dengan data: 8, 7, 10, 11, 14

Maka Deviasi rata-rata (Rata-rata Simpangan) dapat dihitung sbb:

Xi Xi

-´

X

|

Xi− ´X

|

Nilai rata-rata  _X´ ₌

∑

X

n

=

50 5 = 10

RS =

∑

|Xi

− ´X|

n

=

10

5 = 2,0

8 -2 2

7 -3 3

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 4

∑ X =

50 0 10

Simpangan baku (Standar Deviasi) merupakan ukuran simpangan yang paling banyak digunakan. Misalkan suatu sampel berukuran n, dengan data: X1, X2, X3, …., Xn. Maka simpangan baku (standar deviasi) dari sampel tersebut dapat dihitung sbb:

a.

Estimasi yg sifatnya bias  s =

√

∑

(Xi− ´X)2

n

=

√

∑ xi2

n

b.

Estimasi yg tidak bias 

s =

√

∑

(Xi− ´X)2

n−1

=

√

∑ xi2

n−1 Keterangan:

s = simpangan baku sampel sbg estimasi terhadap σ (simpangan baku

populasi)

n – 1 = derajat kebebasan

Contoh: Suatu sampel berukuran n = 5, dengan data: 8, 7, 10, 11, 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung sbb:

Xi Xi -´

X

X Xi−´¿

¿ ¿ ¿

Nilai rata-rata  _X´₌

∑

X

n

=

50

5 = 10

s =

√

∑

(Xi− ´X)2

n−1

=

√

30 5−1 =

√

7,5 = 2,74

8 -2 4

7 -3 9

10 0 0

11 + 1 1

14 + 4 16

∑ X = 50 0 30

Rumus di atas diterapkan dengan selalu menghitung rerata ( ´

X¿ terlebih dahulu, sehingga disebut sebagai Rumus Deviasi.

6. Simpangan Baku dengan Rumus Skor Kasar :

Harga simpangan baku (standar deviasi) dengan rumus angka kasar atau rumus varians dapat dihitung sbb:

s2 = n. ∑ Xi

2

−(∑ Xi)2

n(n−1)  s =

√

n . ∑ Xi2

−(∑ Xi)2

Contoh: Suatu sampel berukuran n = 5, dengan data: 8, 7, 10, 11, 14

Maka Simpangan baku atau Standar Deviasi dapat dihitung dengan rumus angka kasar (rumus varians) sbb:

Xi Xi2

s2 ₌ n. ∑ Xi 2

−(∑ Xi)2

n(n−1)

 s =

√

n . Xi2−(∑ Xi)2

n(n−1)

s =

√

(5).(530)−(50)2

5(5−1)

=

√

150

20

=

2,74

8 64

7 49

10 100

11 121

14 196

∑ Xi =

50 ∑ Xi

2 ₌

530

7. Simpangan Baku dari data dalam Distribusi Frekuensi Bergolong:

a. Dengan rumus Angka Kasar (Rumus Varians):

s2

=

n. ∑ fi . Xi 2

−(∑ fi. Xi)2

n(n−1)

Keterangan: Xi = tanda kelas (mid-point)

fi = Frekuensi pada kelas yang sesuai n = ∑fi

Contoh: Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong sbb:

Nilai fi Xi Xi2 fi. Xi fi . Xi2

31 – 40 1 35,5 1260,25 35,5 1.260,25 41 – 50 2 45,5 2070,25 91,0

4.140,50 51 – 60 5 55,5 3080,25 277,5

15.401,25 61 – 70 15 65,5 4290,25 982,5

JUMLAH 80 -- -- 6130,0 483.310,0

Maka s2 = (80).(483.310)−(6130)

2

80(80−1) = 172,1  s =

√

172,1 = 13,12 b. Dengan Rumus Deviasi :

Contoh: Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong sbb:

Nilai fi Xi Xi - _X´

(Xi− ´X)2

fi .(Xi− ´X)2

31 – 40 1 35,5 -41,1 1689,21 1.689,21 41 – 50 2 45,5 -31,1

967,21 1.834,42 51 – 60 5 55,5 -21,1

445,21 2.226,05 61 – 70 15 65,5 -11,1

123,21 1.848,15 71 – 80 25 75,5 -1,1

1,21 30,25 81 – 90 20 85,5 +8,9

79,21 1.584,20 91 – 100 12 95,5 +18,9

357,21 4.286,52

JUMLAH 80 -- --

13.498,80 Nilai rata-rata : _X´_{=76,625 ∞ 76,6}

s2

=

∑ fi .(Xi− ´X)

2

n−1

=

13.498,80

80−1 = 170,9  s =

√

170,9 = 13,07 c. Dengan Rumus Koding :

Contoh: Data Nilai Statistika 80 Mahasiswa yg telah disajikan dalam Tabel Distribusi Frekuensi Bergolong sbb:

Nilai

fi

Xi

ci

ci2

fi. ci

fi . ci2

31 – 40 1 35,5 -3 9 -3 9

41 – 50 2 45,5 -2 4 -4 8

51 – 60 5 55,5 -1 1 -5 5

61 – 70 15 65,5 0 0 0 0

81 – 90 20 85,5 +2 4 + 40 80

91 – 100 12 95,5 +3 9 + 36 108

JUMLAH 80 -- -- -- + 89 235

Rumus : s2

=

_p2

[

n . ∑fi . ci2–(∑fi . ci)2

n(n−1)

]

=

(10)

2

[

(80).(235)–(89)2

80(80−1)

]

=

172,1

 S =

√

172,1 = 13,12

Apakah dalam menentukan nilai simpangan baku ini, kita juga bebas menentu-kan letak ci = 0 …?

Contoh:

Nilai

fi

Xi

ci

ci2

fi. ci

fi . ci2

31 – 40 1 35,5 -4 16 -4 16

41 – 50 2 45,5 -3 9 -6 18

51 – 60 5 55,5 -2 4 -10 20

61 – 70 15 65,5 -1 1 -15 15

71 – 80 25 75,5 0 0 0 0

81 – 90 20 85,5 +1 1 + 20 20

91 – 100 12 95,5 +2 4 + 24 48

JUMLAH 80 -- -- -- + 9 137

Rumus : s2

=

_p2

[

n . ∑fi . ci2–(∑fi . ci)2

n(n−1)

]

=

(10)

2

[

(80).(137)–(9)2

80(80−1)

]

=

172,1

 S =

√

172,1 = 13,12

8. Simpangan Baku Gabungan dari Beberapa Sub Sampel Misal:

Sub-sample 1 : berukuran n1, dgn simpangan baku s1 Sub-sample 2 : berukuran n2, dgn simpangan baku s2

Maka simpangan baku gabungan dari sampel berukuran n1 + n2 + …..+ nk dapat dihitung dengan rumus:

s2

=

∑

(¿−1). s1 2

∑∋−k atau s

2 ₌

(n1−1). s12+ (n2−1). s22+…+(nk−1)sk2 n1+n2+…+nk−k

C ontoh:

Hasil pengamatan pada sub sampel pertama terhadap 14 objek, menghasilkan s1 = 2,75 , sedangkan pengamatan pada sub sampel kedua terhadap 23 objek, diperoleh s2 = 3,08. Maka simpangan baku gabungan dari kedua sub sampel tsb dapat dihitung:

s2=(n1−1). s1

2

+(n2−1). s22

n1+n2−k

=

(14−1).(2,75)2+(23−1).(3,08)2

14+23−2