Darpublic Nopember 2013 www.darpublic.com Matriks dan Sistem Persamaan Linier

1/21

Matriks dan Sistem Persamaan Linier

Konsep Dasar Matriks

Matriks. Matrik dalam matematika adalah susunan teratur bilangan-bilangan dalam baris dan kolom yang membentuk suatu susunan persegi panjang yang kita perlakukan sebagai suatu kesatuan. (Istilah matriks kita jumpai pula dalam bahasan tentang material). Dalam penulisannya matriks dibatasi oleh suatu kurung siku (ataupun dengan kurung biasa) seperti contoh berikut.

  

 

  

 

1 2 3

4 2 1

3 0 2

; _      4 2

;

[

3 2 4

]

; _   

 

2 0 3

1 4 2

(1)

Dalam contoh matriks ini, banyaknya baris matriks yang pertama sama dengan banyaknya kolom, dalam hal ini 3, dan disebut matriks bujur sangkar. Yang kedua terdiri dari dua baris dan satu kolom, disebut matriks kolom atau vektor kolom. Yang ketiga terdiri dari satu baris tiga kolom, disebut matriks baris atau vektor baris. Yang keempat adalah

matriks persegi panjang dengan dua baris dan tiga kolom.

Secara umum suatu matrik terdiri dari m baris dan n kolom, sehingga suatu matrik akan terdiri dari m×n elemen-elemen. Elemen-elemen matriks ini dapat berupa bilangan riil maupun kompleks, akan tetapi dalam contoh-contoh selanjutnya kita hanya akan melihat matriks dengan elemen yang berupa bilangan nyata, dan disebut matriks nyata. Secara umum setiap elemen matriks diberi notasi sesuai dengan posisinya dalam matriks. Jika b (b

= 1…m) adalah nomer baris dan k (k = 1…n) adalah nomer kolom, maka b dan k digunakan sebagai subscript-ganda elemen matriks. Notasi yang kita gunakan untuk memberi nama matriks adalah huruf besar cetak tebal, sedangkan huruf kecil cetak tebal digunakan sebagai notasi untuk vektor baris ataupun kolom, seperti contoh berikut.

A =

  

 

  

 

1 2 3

4 2 1

3 0 2

; B = _   

 

2 0 3

1 4 2

; a = _      4 2

; b =

[

3 2 4

]

(2)

Secara umum, matriks A dapat kita tuliskan

[ ]

bk

mn m

m

n n

a

a a

a

a a

a

a a

a

=    

 

   

 

=

L L L L L

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

A (3)

Posisi elemen-elemen a11 …amn disebut diagonal utama matriks. Banyaknya baris dan

2/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

Anak matriks atau sub-matriks adalah matriks yang diperoleh dengan menghilangkan sebagian baris dan/atau sebagian kolom dari suatu matriks. Sebagai contoh, matriks

B = _

  

 

2 0 3

1 4 2

mempunyai dua anak matriks1× 3 , yaitu

[

2 4 1

]

,

[

3 0 2

]

;

tiga anak matriks2× 1, yaitu _      3 2

, _      0 4

, _      2 1

;

enam anak matriks1× 1 yaitu [2] , [4] , [1] , [3] , [0] , [2];

enam anak matriks 1×2 yaitu

[

2 4

]

,

[ ]

2 1 ,

[ ]

4 1 ,

[

3 0

]

,

[

3 2

]

,

[

0 2

]

;

tiga anak matriks 2×2 yaitu _     

0 3

4 2

, _     

2 3

1 2

, _     

2 0

1 4

.

Dengan menggunakan pengertian anak matriks ini, kita dapat memandang matriks sebagai tersusun dari anak-anak matriks yang berupa vektor-vektor. Sebagai contoh, matriks

A=

  

 

  

 

1 2 3

4 2 1

3 0 2

dapat kita pandang sebagai matriks

  

 

  

  =

3 2 1

a a a A

dengan anak-anak matriksberupa vektor baris a₁=

[

2 0 3

]

, a₂ =

[

1 2 4

]

, a₃ =

[

3 2 1

]

. Dengan cara pandang ini matriks A mirip bentuknya dengan vektor kolom.

Matriks A juga dapat kita pandang sebagai matriks A=

[

a₁ a₂ a₃

]

dengan anak-anak

matriks

  

 

  

  =

3 1 2 1

a ,

  

 

  

  =

2 2 0 2

a ,

  

 

  

  =

1 4 3 3

a yang berupa vektor-vektor kolom. Dengan cara ini

matriks A terlihat seperti vektor baris.

Pengertian-Pengertian dan Operasi-Operasi Matriks

Kesamaan Matriks. Dua matriks A dan B disebut sama jika dan hanya jika berukuran sama dan elemen-elemen pada posisi yang sama juga sama. Kita menuliskan kesamaan ini A

= B.

Jika A = _     

0 3

4 2

maka haruslah B = _     

0 3

4 2

.

Penjumlahan. Penjumlahan dua matriks hanya didefinisikan untuk matriks yang berukuran sama (banyaknya baris dan banyaknya kolom dari kedua matriks tersebut sama). Jumlah dari dua matriks A dan B yang masing-masing berukuran m×n adalah sebuah matriks C berukuran m×n yang elemen-elemennya merupakan jumlah dari elemen-elemen matriks A dan B yang posisinya sama.

Jika A= _     

0 3

4 2

dan B= _     

2 2

3 1

, maka C= A + B = _

    

2 5

7 3

3/21 a. A+B=B+A

b.

(

A+B

)

+C=A+

(

B+C

)

(4)

Matriks Nol. Matriks nol, 0, yang berukuran m×n adalah matriks yang berukuran m×n

dengan semua elemennya bernilai nol.

Matriks Negatif. Negatif dari matriks berukuran m×n adalahmatriks berukuran m×n

yang diperoleh dengan mengalikan seluruh elemennya dengan faktor (−1). Operasi penjumlahan yang melibatkan matriks nol dan matriks negatif adalah

a). A+0=A

b). A+(−A) =A−A=0 (5)

Perkalian Matriks dengan Bilangan Skalar. Hasil kali suatu bilangan skalar a dengan matriks berukuran m×n adalah matriks berukuran m×n yang seluruh elemennya bernilai a

kali. Kita menuliskan perkalian matriks A dengan bilangan skalar a sebagai aA = Aa.

  

 

  

  =   

 

  

  =   

 

  

 

6 4 6

4 6 2

2 4 4 2 3 2 3

2 3 1

1 2 2

3 2 3

2 3 1

1 2 2 2

Perkalian matriks dengan bilangan skalar ini mempunyai sifat-sifat sebagai berikut.

a. a

(

A+B

)

=aA+aB

b.

(

a+b

)

A=aA+bA (6)

c. a

[ ]

bA =

( )

ab A

Perkalian Matriks dengan Matriks. Perkalian antara dua matriks A dan B yaitu C=AB

(dalam urutan perkalian seperti ini) hanya terdefinisikan jika banyaknya kolom matriks A

sama dengan banyaknya baris matriks B. Jadi jika matriks A berukuran m×n dan B berukuran

p×q maka perkalian AB hanya dapat dilakukan jika n = p. Hasil kali matriks AB akan berupa matriks yang berukuran m×q yang nilai elemennya pada baris ke b kolom ke k merupakan hasil kali internal (hasil kali dot) vektor baris ke b dari matriks A dan vektor kolom ke k dari matriks B (matriks A dipandang sebagai terdiri dari anak-anak matriks yang berupa vektor baris dan matriks B terdiri dari anak matriks yang berupa vektor kolom). Jadi

jika A=

[ ]

a_b dan B=

[ ]

b_k maka C=AB=

[ ] [

c_bk = a_b•b_k

]

Mengalikan matriks A ke matriks B dari sebelah kiri seperti di atas kita sebut

menggandaawalkan matriks A ke matriks B. Akan kita lihat bahwa menggandaawalkan A ke

B tidak selalu sama dengan menggandaawalkan B ke A; AB ≠ BA.

• Perkalian internal vektor. Kita ambil contoh vektor baris a=

[

2 3

]

dan

vektor kolom _      =

3 4

b . Banyaknya kolom a adalah 2, sama dengan banyaknya baris

4/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

Jika urutan kita balik, banyaknya kolom b adalah 1 sama dengan banyaknya baris a, maka. kita dapat melakukan perkalian

[

]



Jadi, pembalikan urutan perkalian (seandainya operasi demikian ini dapat dilakukan) akan memberikan hasil yang berbeda. Perkalian matriks tidak komutatif.

• Perkalian matriks dengan vektor. Misalkan _

terdiri dari satu kolom sedangkan A terdiri dari dua baris.

• Perkalian dua matriks bujur sangkar. Misalkan _

berupa vektor kolom _ 

• Perkalian dua matriks persegi panjang. Misalkan _



5/21 Kita dapat melakukan perkalian

   

  =    

 

× + × + × × + × + ×

× + × + × × + × + × =   

 

  

     

  = =

17 17

25 25 3 2 3 3 2 1 2 2 4 3 1 1

3 3 3 4 2 2 2 3 4 4 1 2 3 2

3 4

2 1 2 3 1

3 4 2

AB C

Pernyataan matriks dengan anak matriks pada perhitungan di atas adalah sebagai

      =

2 1

a a

A , B=

[

b₁ b₂

]

, sehingga

[

]

_

  

 

• •

• •

= 

     = =

2 2 1 2

2 1 1 1 2 1 2 1

b a b a

b a b a b b a

a AB

C .

Dalam operasi perkalian matriks, matriks yang pertama kita susun dari anak matriks yang berupa vektor baris sedangkan matriks yang kedua kita susun dari anak matriks yang berupa vektor kolom. Jadi perkalian matriks adalah perkalian dari baris ke kolom.

Sifat Perkalian Matriks. Perkalian matriks mempunyai sifat sebagai berikut.

a. Asosiatif dan distributif terhadap penjumlahan

( )

aAB=a

( )

AB =A

( )

aB

( ) ( )

BC ABC

A =

(

A+B

)

C=AC+BC (7)

(

A B

)

CA CB

C + = +

b. Tidak komutatif. Jika perkalian AB maupun BA terdefinisikan, maka pada umumnya AB ≠BA

c. Hukum pembatalan tidak selalu berlaku.

Jika AB = 0 tidak selalu berakibat A = 0 atau B = 0.

Matriks-Matriks Khusus

Melihat pada nilai-nilai elemen dari matriks, terdapat beberapa bentuk matriks khusus.

• Matriks Segitiga. Matriks segitiga ada dua macam yaitu matriks segitiga bawah dan matriks segitiga atas. Matriks segitiga bawah adalah matriks yang elemen-elemen di atas diagonal utamanya bernilai nol. Matriks segitiga atas adalah matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal utamanya bernilai nol. Perhatikan contoh berikut.

Matriks segitiga bawah :

  

 

  

  − =

3 4 3

0 1 1

0 0 2 1

T

Matriks segitiga atas :

  

 

  

  − =

3 0 0

3 1 0

1 2 2 2

T

6/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier 

 

 

  

  =

0 0 0

0 1 0

0 0 2

D

• Matriks Satuan. Matriks satuan, disebut juga matriks identitas, adalah matriks diagonal yang elemen diagonalnya bernilai 1. Matriks ini dilambangkan dengan I.

  

 

  

  =

1 0 0

0 1 0

0 0 1

I

Suatu matrik jika dikalikan dengan matriks satuan akan kembali pada matriks asalnya.

A IA

AI= = (8)

Putaran Matriks

Putaran matriks atau transposisi dari matriks A berukuran m×n adalah suatu matriks

AT yang berukuran n×m dengan kolom-kolom matriks A sebagai baris-barisnya yang berarti pula bahwa baris-baris matriks A menjadi kolom-kolom matriks AT.

Jika

[ ]

_bk

mn m

m

n n

a

a a

a

a a

a

a a

a

=    

 

   

 

=

L L L L L

L L

2 1

2 22

21

1 12

11

A maka

[ ]

_pq

mn n

n

m m

a

a a

a

a a

a

a a

a

=    

 

   

 

=

L L L L L

L L

2 1

2 22

12

1 21

11

T

A (9)

Perhatikan contoh-contoh berikut ini.

• Putaran vektor baris dan vektor kolom. Putaran vektor baris akan menjadi vektor kolom. Sebaliknya putaran vektor kolom akan menjadi vektor baris.

[

]

  

 

  

  = ⇒ =

3 4 2 3

4

2 aT

a ;

[

5 4 3

]

3 4 5

T ₌ ⇒   

 

  

  = b b

• Putaran jumlah dua vektor baris. Putaran jumlah dua vektor baris sama dengan jumlah putaran masing-masing vektor.

Jika a=

[

2 4 3

]

dan b=

[

1 3 2

]

maka a+b=

[

3 7 5

]

(

)

T T T

2 3 1

3 4 2

5 7 3

b a b

a = +

  

 

  

  +   

 

  

  =   

 

  

  =

+ .

Secara umum :

(

a+b

)

T =aT+bT (10)

7/21

• Putaran matriks persegi panjang.

Jika _

A menjadi kolom-kolom di AT. Sebaliknya, jika matriks A dinyatakan dengan vektor kolom A=

[

a₁ a₂ L a_m

]

maka putarannya akan berbentuk matriks dengan anak-anak matriks berupa vektor baris.

• Putaran jumlah matriks. Putaran jumlah dua matriks sama dengan jumlah putaran masing-masing matriks. Hal ini telah kita lihat pada putaran jumlah vektor baris. kali putaran masing-masing dengan urutan yang dibalik. Hal ini telah kita lihat pada putaran hasil kali vektor baris dan vektor kolom.

( )

T T T

A B

8/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier Jika

  

 

  

  =

m

a a

A L

1

dan B=

[

b₁ L b_n

]

maka

  

 

  

 

• •

• •

=

n m n

m

n

b a b

a

b a b

a AB

L L L L

L ₁

1 1

. Dengan

demikian maka

[

₁

]

T T

1 1

1 1

T _{a a B A}

b b

b a b

a

b a b

a

AB =

  

 

  

  =   

 

  

 

• •

• •

= m

n n m n

m

n

L L

L L L L

L

• Matriks simetris. Berkaitan dengan putaran matriks, kita mengenal kesimetrisan pada matriks nyata. Matriks simetris adalah matriks yang putarannya sama dengan matriksnya sendiri. Jadi matriks A dikatakan simetris apabila AT=A.

Jika BT =−Bdikatakan bahwa matriks B adalah simetris miring. Karena dalam putaran matriks elemen-elemen diagonal utama tidak berubah nilai, maka matriks simetris miring dapat terjadi jika elemen-elemen diagonal utamanya bernilai nol.

Sistem Persamaan Linier

Suatu sistem persamaan linier (atau himpunan persaman linier simultan) adalah satu set persamaan dari sejumlah unsur yang tak diketahui. Bentuk umum sistem persamaan linier ini adalah

m n mn m

n n

n n

b x a x

a

b x a x

a

b x a x

a

= +

+

= +

+

= +

+

L L L

1 1

2 2

1 21

1 1

1 11

. . . . . . . . . .

. (14)

Sistem (14) ini mengandung m persamaan dengan n unsur yang tak diketahui yaitu x1

….xn. Bilangan a11 …..amn disebut koefisien dari sistem itu, yang biasanya merupakan

bilangan-bilangan yang diketahui. Bilangan-bilangan b1 ….bm juga merupakan

bilangan-bilangan yang diketahui, bisa bernilai tidak nol maupun bernilai nol; jika seluruh b bernilai nol maka sistem persamaan tersebut disebut sistem persamaan homogen.

Dari sistem persamaan linier diharapkan adanya solusi yaitu satu set nilai dari x1, …xn

yang memenuhi sistem persamaan tersebut. Jika sistem ini homogen, ia mengandung solusi trivial (solusi tak penting) yaitu x1 = 0, …., xn = 0. Pertanyaan-pertanyaan yang timbul

tentang solusi dari sistem persamaan ini adalah sebagai berikut. a). Benar adakah solusi dari sistem ini ?

b). Bagaimanakah cara kita untuk memperoleh solusi?

c). Kalau sistem ini mempunyai lebih dari satu solusi, bagaimanakah himpunan solusi tersebut?

d). Dalam keadaan bagaimanakah sistem ini tepat mempunyai satu solusi?

Memperhatikan sistem persamaan (14) kita dapat melakukan operasi-operasi yang kita sebut operasi baris sebagai berikut.

9/21 b). Ruas kiri dari setiap persamaan dapat dijumlahkan ke ruas kiri persamaan yang lain asal ruas kanannya juga dijumlahkan. Operasi ini tidak mengganggu keseluruhan sistem persamaan tersebut.

c). Mempertukarkan tempat (urutan) persamaan tidaklah mengganggu himpunan sistem persamaan.

Sistem persamaan (14) dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks dengan memanfaatkan pengertian perkalian matriks. Bentuk itu adalah

   

 

   

 

=    

 

   

 

   

 

   

 

m n mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

L L

L L L L L

L L

2 1

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

(15)

atau secara singkat Ax=b (16)

dengan

   

 

   

 

=    

 

   

 

= 

  

 

   

 

=

m n

mn m

m

n n

b b b

x x x

a a

a

a a

a

a a

a

L L

L L L L L

L L

2 1

2 1

2 1

2 22

21

1 12

11

;

;

x b

A (17)

Dari (17) kita dapat membangun suatu matriks baru yang kita sebut matriks gandengan, yaitu dengan menggandengkan matriks A dengan b menjadi

   

 

   

 

=

m mn m

m

n n

b a

a a

b a

a a

b a

a a

| | | | ~

2 1

2 2

22 21

1 1

12 11

L

L L

L L L

L L

A (18)

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan linier (14) secara lengkap. Operasi-operasi baris pada sistem persamaan (14) kita terjemahkan ke dalam matriks gandengan (18) menjadi sebagai berikut.

a). Setiap elemen dari baris yang sama (18) dapat dikalikan dengan faktor bukan nol yang sama.

b). Satu baris dari (18) boleh dijumlahkan ke baris yang lain.

c). Tempat baris (urutan baris) dapat dipertukarkan.

10/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss merupakan langkah-langkah sistematis untuk memecahkan sistem persamaan linier. Karena matriks gandengan merupakan pernyataan lengkap dari suatu sistem persamaan linier, maka eliminasi Gauss cukup dilakukan pada matriks gandengan ini. Bagaimana langkah-langkah ini dilaksanakan, akan kita lihat melalui contoh berikut ini.

Misalkan kita mempunyai sistem persamaan linier seperti berikut.

0

Sistem persamaan ini dapat kita tuliskan dalam bentuk matriks sebagai

 menghilangkan suku pertama baris-baris berikutnya. Langkah ini dilaksanakan dengan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-2, mengurangkan baris ke-1 dari baris ke-3 dan menambahkan baris ke-1 ke baris ke-4. Hasil operasi ini adalah

1 saja kita peroleh dan menghilangkan suku kedua baris-baris berikutnya. Ini kita lakukan dengan mengalikan baris ke-2 dengan 2/3 kemudian menambahkannya ke baris ke-3, dan mengurangkan baris ke-2 dari baris ke-4. Hasil opersi ini adalah

2

Langkah 3 : Langkah ketiga adalah mengambil baris ke-3 sebagai pivot dan menghilangkan suku ke-3 dari baris ke-4. Ini dapat kita lakukan dengan mengalikan baris ke-4 dengan 11 kemudian menambahkan kepadanya baris ke-3. Hasilnya adalah:

11/21 Matriks gandeng terakhir ini menyatakan persamaan linier:

16 16

16 6

11

8 2 3

8

= = −

= −

= −

D D C

C B

B A

x x x

x x

x x

yang dengan substitusi mundur akan memberikan: x_D=1; x_C =2; x_B =4; x_A =12.

Sistem-sistem tertentu, kurang tertentu, dan tertentu berlebihan

Sistem persamaan linier yang diambil sebagai contoh untuk melakukan eliminasi Gauss di atas kita sebut sistem tertentu; yaitu sistem yang memberikan tepat satu solusi. Sistem tertentu terjadi jika banyaknya unsur yang tak diketahui sama dengan banyaknya persamaan dan persamaan-persamaan ini tidak saling bergantungan. Jika banyaknya persamaan lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui, maka sistem itu menjadi kurang tertentu. Sistem yang kurang tertentu memberikan tidak hanya satu solusi akan tetapi banyak solusi. Jika banyaknya persamaan lebih besar dari banyaknya unsur yang tak diketahui, sistem menjadi tertentu berlebihan. Sistem yang kurang tertentu selalu mempunyai solusi (dan banyak) sedangkan sistem tertentu dan tertentu berlebihan bisa memberikan solusi bisa juga tidak memberikan solusi. Berikut ini akan kita lihat contoh sistem yang memberikan banyak solusi dan yang tidak memberikan solusi

• Sistem persamaan yang memberikan banyak solusi. Kita lihat persamaan berikut.

8 2

3

0 2 4

8

− = + −

= − + −

= −

C B

C B A

B A

x x

x x x

x x

(21)

Matriks gandeng dari sistem ini adalah

  

 

  

 

− −

− −

−

8 | 2 3 0

0 | 2 4 1

8 | 0 1 1

Eliminasi Gauss dari matriks gandeng ini kita lakukan seperti pada contoh di atas, yang akan menghasilkan

  

 

  

 

− −

− −

8 | 2 3 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

⇒

  

 

  

 

− −

0 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

(22)

Matriks gandengan ini menyatakan sistem persamaan :

0 0

8 2 3

8

=

= −

= −

C B

B A

x x

x x

(23)

Dari persamaan ke-2 kita mendapatkan x_b =(8+2x_c)/3 yang kemudian memberikan 3

/ ) 2 8 (

8 _c

a x

x = + + . Karena xc tetap sembarang maka kita mendapatkan banyak solusi.

12/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

• Sistem yang tidak memberikan solusi. Kita ambil contoh sistem persamaan berikut.

10 2

3

0 2 4

8

− = + −

= − + −

= −

C B

C B A

B A

x x

x x x

x x

(24)

Matriks gandeng dan eliminasi Gauss memberikan

  

 

  

 

− −

− −

−

10 | 2 3 0

0 | 2 4 1

8 | 0 1 1

⇒

  

 

  

 

− −

− −

10 | 2 3 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

⇒

  

 

  

 

− −

−

2 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

(25)

Sistem persamaan dari matriks gandeng terakhir ini adalah

2 0

8 2 3

8

− =

= −

= −

C B

B A

x x

x x

(26)

Kita lihat di sini bahwa penerapan eliminasi Gauss pada akhirnya menghasilkan suatu kontradiksi yang dapat kita lihat pada baris terakhir (26). Hal Ini menunjukkan bahwa sistem persamaan yang sedang kita tinjau tidak memberikan solusi.

Bentuk Eselon

Bentuk matriks pada langkah terakhir eliminasi Gauss, seperti matriks pada (20), (22) dan (25) disebut bentuk eselon. Dari (25) misalnya, bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya adalah

  

 

  

 

− −

0 0 0

2 3 0

0 1 1

dan

  

 

  

 

− −

−

2 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

Secara umum bentuk eselon matriks gandengan adalah

        

 

        

 

′ ′ ′

+

m r

r rn

rr

n n

b b

b k

k

b c

c

b a

a a

| 0

| | 0

| | | 0

|

1 2 2

22

1 1

12 11

M L

M L L L

L L L

(27)

13/21

m r r n rn r

rr

n n

n n

b b b x k x

k

b x a x

c

b x a x

a x a

′ =

′ =

′ = +

+

′ = +

+

= +

+ +

+

0

0

1 2 2

2 22

1 1

2 12 1 11

M L

M L

L L L

L L L L

(28)

dengan a₁₁≠0, a₂₂ ≠0, k_rr ≠0, dan r ≤n. Kita perhatikan (28) ini.

a). Jika r=n dan b_r′₊₁,K,b_m′ sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan ini akan memberikan tepat satu solusi.

b). Jika r<n dan b_r′₊₁,K,b_m′ _{sama dengan nol atau tidak ada, maka sistem persamaan}

ini akan memberikan banyak solusi.

c). Jika r=nataupun r<n dan b_r′₊₁,K,b_m′ tidak sama dengan nol atau mempunyai nilai, maka sistem persamaan ini tidak memberikan solusi.

Jadi suatu sistem persamaan akan memberikan solusi jika b_r′₊₁,K,b_m′ sama dengan nol atau tidak ada. Pada suatu sistem persamaan yang memberikan solusi, ketunggalan solusi terjadi jika r=n; jika r<n akan memberikan banyak solusi. Nilai r yang dimiliki oleh matriks gandengan pada (27) ditentukan oleh banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam matriks gandeng. Pengertian tentang kebebasan linier vektor-vektor kita bahas berikut ini.

Bebas linier dan tak-bebas linier vektor-vektor

Misalkan a₁,a₂,L a_m adalah vektor-vektor baris dari suatu matriks A =[abk]. Kita

tinjau suatu persamaan vektor

0 2

2 1

1 +c + +cm m =

ca a L a ₍₂₉₎

Jika persamaan vektor ini terpenuhi hanya jika semua koefisien ( c1…cm)bernilai nol, maka

vektor-vektor baris tersebut adalah bebas linier. Jika persamaan vektor tersebut dapat dipenuhi dengan koefisien yang tidak semuanya bernilai nol (artinya setidak-tidaknya ada satu koefisien yang tidak bernilai nol) maka vektor-vektor itu tidak bebas linier.

Jika satu himpunan vektor terdiri dari vektor-vektor yang bebas linier, maka tak satupun dari vektor-vektor itu dapat dinyatakan dalam kombinasi linier dari vektor yang lain. Hal ini dapat dimengerti karena dalam persamaan (29) semua koefisien bernilai nol. Jika vektor-vektor tidak bebas linier maka nilai koefisien pada persamaan (29) (atau setidak-tidaknya sebagian tidak bernilai nol) maka satu vektor dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier dari vektor yang lain; misalnya vektor a1 dapat dinyatakan sebagai

0 1

2 1 2

1=− − − m m = c c c

c

a a

a L ₍₃₀₎

karena koefisien-koefisien ini tidak seluruhnya bernilai nol

Kita ambil contoh dua vektor baris

[

2 3 1 2

]

1=

14/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

[

2 3 1 2

] [

₂ 4 2 6 2

]

0 1

2 2 1

1 +c =c +c =

ca a hanya akan terjadi jika c₁=c₂ =0

Ambil vektor ketiga a₃ =

[

4 6 2 4

]

. Vektor a3 dan a1 tidak bebas linier karena kita dapat

menyatakan a3 sebagai a₃=2a₁=2

[

2 3 1 2

] [

= 4 6 2 4

]

. Vektor a1, a2 dan a3 juga

tidak bebas linier karena kita dapat menyatakan a3 sebagai

[

2 3 1 2

] [

0 4 2 6 2

] [

4 6 2 4

]

2 0

2 _{1 2}

3= a + a = + =

a

Akan tetapi jika kita hanya melihat a3 dan a2 saja, mereka adalah bebas linier.

Kita lihat vektor lain yaitu a₄ =

[

6 7 5 5

]

. Vektor a4 , a1 dan a2 tidak bebas linier karena

kita dapat menyatakan a4 sebagai

[

2 3 1 2

]

0.5

[

4 2 6 2

] [

6 7 5 5

]

2 5 . 0

2 _{1 2}

4 = a + a = + =

a

Rank matriks.Dengan pengertian tentang vektor yang bebas linier, didefinisikan rank

matriks. Banyaknya vektor baris yang bebas linier dalam suatu matriks A = [abk] disebut rank

matriks A disingkat rankA. Rank matriks B = 0 adalah nol.

Bagaimanakah menentukan rank suatu matriks? Kita mengetahui bahwa operasi baris menghasilkan matriks yang setara baris dengan matriks asalnya. Hal ini berarti pula bahwa

rank matriks baru sama dengan rank matriks asalnya. Dengan perkataan lain operasi baris tidak mengubah rank matriks. Jadi rank suatu matriks dapat diperoleh melalui operasi baris, yaitu sama dengan rank matriks yang dihasilkan pada langkah terakhir eliminasi Gauss. Bentuk eselon matriks yang diperoleh pada langkah terakhir eliminasi Gauss, mengandung vektor-vektor baris yang bebas linier karena vektor yang tak bebas linier telah tereliminasi. Kita ambil contoh matriks pada (20), (22) dan (25).

• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (20), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan solusi tunggal, adalah

   

 

   

 

− − −

16 0 0 0

6 11 0 0

0 2 3 0

0 0 1 1

dan

   

 

   

 

− − −

16 | 16 0 0 0

16 | 6 11 0 0

8 | 0 2 3 0

8 | 0 0 1 1

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 4. Selain dari pada itu rank matriks sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui yaitu 4.

• Bentuk eselon matriks koefisien dan matriks gandengannya dari (22), yaitu dari sistem persamaan yang memberikan banyak solusi, adalah

  

 

  

 

− −

0 0 0

2 3 0

0 1 1

dan

  

 

  

 

− −

0 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

Dalam kasus ini rank matriks koefisien sama dengan rank matriks gandengan, yaitu 2. Akan tetapi rank matriks ini lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui.

15/21 

 

 

  

 

− −

0 0 0

2 3 0

0 1 1

dan

  

 

  

 

− −

−

2 | 0 0 0

8 | 2 3 0

8 | 0 1 1

Dalam kasus ini rank matriks koefisien tidak sama dengan rank matriks gandengan. Rank

matriks koefisien adalah 2 sedangkan rank matriks gandengannya adalah 3. Ketidak samaan rank dari kedua matriks ini menunjukkan tidak adanya solusi.

Apa yang kita amati dalam contoh-contoh di atas ternyata berlaku umum. Kita melihat bahwa

(a) agar suatu sistem persamaan memberikan solusi maka rank matriks koefisien harus sama dengan rank matriks gandengannya;

(b) agar sistem persamaan memberikan solusi tunggal maka rank matriks koefisien harus sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui;

(c) jika rank matriks koefisien lebih kecil dari banyaknya unsur yang tak diketahui maka akan diperoleh banyak solusi.

Sistem Persamaan Homogen

Sistem persamaan disebut homogen apabila nilai b di ruas kanan dari sistem seperti (14) bernilai nol. Jika tidak demikian maka sistem itu disebut tak homogen. Sistem persamaan homogen berbentuk

0 .

. . . . . . . . . .

0 0

2 2 1 1

2 2

22 1 21

1 2

12 1 11

= +

+ +

= +

+ +

= +

+ +

n mn m

m

n n

n n

x a x

a x a

x a x

a x a

x a x

a x a

L L L

(31)

Bentuk matriks gandengan sistem ini adalah

   

 

   

 

=

0 | |

0 |

0 | ~

2 1

2 22

21

1 12

11

mn m

m

n n

a a

a

a a

a

a a

a

L

L L

L L L

L L

A ( 32)

Eliminasi Gauss pada sistem demikian ini akan menghasilkan

   

 

   

 

′ ′ ′

′ ′

′

= ′

0 | 0

0 0

| 0 | 0

0 |

~ 22 2

1 12

11

mn n n

a a a

a a

a

L L

L L L

L L

A (33)

Jika rank matriks gandengan terakhir ini sama dengan banyaknya unsur yang tak diketahui, r

16/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

bernilai nol. Ini merupakan solusi trivial dan solusi trivial ini diakibatkan oleh kenyataan bahwa r = n. Solusi tak trivial hanya akan diperoleh jika r<n. Kita akan melihat beberapa contoh.

• Sistem persamaan homogen yang hanya memberikan solusi trivial

0

Matriks gandengan sistem ini dan hasil eliminasi Gauss-nya adalah

 persamaan liniernya menjadi

0

Inilah solusi trivial yang dihasilkan jika terjadi keadaan r=n.

• Sistem persamaan yang memberikan solusi tak trivial

0

Matriks gandengan dan hasil eliminasinya adalah



17/21 0

0

0 6 11

0 2 3

0

=

= −

= −

= −

D C

C B

B A

x x

x x

x x

(38)

Jika kita mengambil nilai x_D =1 maka akan diperoleh

33 12

; 33 12

; 11

6

= =

= B A

C x x

x . Solusi

ini membentuk vektor solusi

   

 

   

 

=

1 11 / 6

33 / 12

33 12

1

/

x yang jika digandaawalkan dengan matriks

koefisiennya akan menghasilkan vektor nol b = 0.

   

 

   

 

=    

 

   

 

   

 

   

 

− − −

=

0 0 0 0

1 6/11 12/33 12/33

0 0 0 0

6 11 0 0

0 2 3 0

0 0 1 1

1

Ax (39)

Jika kita menetapkan nilai xD yang lain, misalnya xD=33 akan diperoleh vektor solusi

yang lain, yaitu ₂ 33 ₁

33 18 12 12

x

x =

   

 

   

 

= , yang jika digandaawalkan dengan matriks koefisiennya

juga menghasilkan vektor nol.. Vektor solusi x2 ini merupakan perkalian solusi

sebelumnya dengan bilangan skalar (dalam hal ini 33), yang sesungguhnya bisa bernilai sembarang. Secara umum vektor solusi berbentuk

1

x

x_c =c (40)

dengan c adalah skalar sembarang.

Vektor solusi yang lain lagi dapat kita peroleh dengan menjumlahkan vektor-vektor solusi, misalnya x1 dan x2.

1 1 1 2

1

3 33 34

33 18 12 12

1 11 / 6

33 / 12

33 / 12

x x x x

x

x = + =

   

 

   

 

+    

 

   

 

= +

= (41)

Jelas bahwa x3 juga merupakan solusi karena jika digandaawalkan akan memberikan

hasil vektor nol. Jadi secara umum vektor solusi dapat juga diperoleh dengan menjumlahkan vektor solusi yang kita nyatakan sebagai

∑ = _c

j x

x (42)

18/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

skalar dengan vektor x1 walaupun diperoleh dari penjumlahan vektor sebagaimana

terlihat pada (41).

Jika kita perhatikan lebih lanjut ruang vektor yang terbentuk oleh vektor solusi akan berdimensi (n−r), yaitu selisih antara banyaknya unsur yang tak diketahui dengan rank

matriks koefisien. Dalam kasus yang sedang kita tinjau ini, banyaknya unsur yang tak diketahui adalah 3 sedangkan rank matriks koefisien adalah 2. Kita akan melihat kasus yang lain.

• Sistem persamaan dengan vektor solusi berdimensi 2. Kita lihat sistem berikut.

0

Matriks gandengan dan hasil eliminasi Gauss adalah



Rank matriks ini adalah 2 sedangkan banyaknya unsur tak diketahui 4. Sistem persamaan menjadi

0

Vektor



x adalah salah satu vektor solusi; jika kita gandaawalkan matriks koe fisien

dengan vektor ini maka akan diperoleh vektor b=0

19/21 Jika x_C =0 dan x_D =1 akan kita peroleh x_B =−2/3 dan x_A =−2/3 yang membentuk

vektor solusi

   

 

   

  − −

=

1 0

3 / 2

3 / 2

2

x . Dengan skalar l sembarang kita akan memperoleh

vektor-vektor solusi yang lain seperti l₁x₂ , l₂x₂ , (l₁x₂+l₂x₂). Secara keseluruhan maka vektor-vektor solusi kita adalah

2

1 x

x

x=k +l (45)

Inilah vektor-vektor solusi yang membentuk ruang vektor berdimensi 2.

Dari dua contoh terakhir ini terbukti teorema yang mengatakan bahwa solusi sistem persamaan linier homogen dengan n unsur tak diketahui dan rank matriks koefisien r akan membentuk ruang vektor berdimensi (n−r).

Kebalikan matriks dan metoda eliminasi Gauss-Jordan

Pengertian tentang kebalikan matriks (inversi matriks) erat kaitannya dengan pemecahan sistem persamaan linier. Namun demikian pengertian ini khusus ditujukan untuk matriks bujur sangkar n×n.

Kebalikan matriks A (inversi matriks A) didefinisikan sebagai matriks yang jika digandaawalkan ke matriks A akan menghasilkan matriks identitas. Kebalikan matriks A

dituliskan sebagai A−1 sehingga definisi ini memberikan relasi

1

1 −

− _A=I=AA

A (45)

Jika A berukuran n × n maka A−1 juga berukuran n × n dan demikian pula matriks identitasnya. Tidak semua matriks bujur sangkar memiliki kebalikan; jika A memiliki kebalikan maka A disebut matriks tak singular dan jika tak memiliki kebalikan disebut

matriks singular.

Jika A adalah matriks tak singular maka hanya ada satu kebalikan A; dengan kata lain kebalikan matriks adalah unik atau bersifat tunggal. Hal ini mudah dimengerti sebab jika A

mempunyai dua kebalikan, misalnya P dan Q, maka AP = I =PA dan juga AQ = I =QA, dan hal ini hanya mungkin terjadi jika P = Q.

Q QI AP Q QAP P

AQ IP

P= =( ) = = ( )= = (46)

Berbekal pengertian kebalikan matriks, kita akan meninjau persamaan matriks dari suatu sistem persamaan linier tak homogen, yaitu

b

Ax= (47)

Jika kita menggandaawalkan kebalikan matriks A ke ruas kiri dan kanan (47), akan kita peroleh

b A x Ix b

A Ax

A−1 = −1 → = = −1 (48)

20/21 Sudaryatno Sudirham, Matriks dan Sistem Persamaan Linier

Dari pembahasan sebelumnya kita mengetahui bahwa jika matriks koefisien A pada (47) adalah matriks bujur sangkar n×n, maka solusi tunggal akan kita peroleh jika rankA sama dengan n. Hal ini berarti bahwa vektor x pada (48) dapat kita peroleh jika rank A−1 sama dengan n. Dengan perkataan lain

matriks A yang berukuran n ×n tak singular jika rankAsama dengan n dan akan singular jika rankA lebih kecil dari n.

Mencari kebalikan matriks A dapat kita lakukan dengan cara eliminasi Gauss-Jordan. Metoda ini didasari oleh persamaan (47). Jika X adalah kebalikan matriks A maka

I AX=

Untuk mencari X kita bentuk matriks gandengan A~ =

[

A I

]

dan kita lakukan eliminasi Gauss pada A~ sehingga matriks gandengan ini berubah menjadi

[

U H

]

dengan U berbentuk matriks segitiga atas. Eliminasi Gauss-Jordan selanjutnya beroperasi pada

[

U H

]

dengan mengeliminasi unsur-unsur segitiga atas pada U sehingga U berbentuk matriks identitas I. Langkah akhir ini akan menghasilkan

[

I X

]

. Perhatikan contoh berikut.

Kita akan mencari kebalikan dari matriks



Kita bentuk matriks gandengan

[

A I

]

[

]

Kita lakukan eliminasi Gauss pada matriks gandengan ini

1

Kemudian kita lakukan eliminasi Gauss-Jordan

)

Hasil terakhir ini memberikan kebalikan matriks A, yaitu :



21/21

Dengan demikian untuk suatu sistem persamaan linier tak homogen yang persamaan matriksnya



vektor solusinya adalah



Kebalikan matriks diagonal. Kebalikan matriks diagonal dapat dengan mudah kita peroleh.



Kebalikan dari kebalikan matriks.Kebalikan dari kebalikan matriks adalah matriks itu sendiri.

( )

A−1−1=A (50) Kebalikan dari perkalian matriks. Kebalikan dari perkalian dua matriks adalah perkalian dari kebalikan masing-masing matriks dengan urutan dibalik.

( )

−1₌ −1 −1

A B

AB (51)

Hal ini dapat dibuktikan sebagai berikut