PERTEMUAN KE 2
MAKALAH TENTANG
PEMROGRAMAN LINIER, PEMODELAN PROGAM
LINIER DAN TEKNIK PENYELESAINNYA
Disusun Oleh :
Nama Kelompok :
1. Diah Eka Nuraini 2. Moch Denny Wahyudi
PROGRAM STUDI MANAJEMEN INFORMATIKA
FAKULTAS TEKNIK
2016 / 2017
BAB I
PENDAHULUAN
A.
Latar Belakang
Di dalam matematika mulai dari SD, SMP, SMA, dan Perguruan Tinggi terdapat berbagai cabang pembahasan yang ada yang dipelajari dalam kegiatan belajar mengajar di sekolah maupun perguruan tinggi. Cabang pelajaran yang ada antara lain: logika matematika, aljabar, ruang dimensi tiga, trigonometri, kalkulus, peluang, dan statistika, Seorang pelajar harus memahami setiap pelajaran yang diajarkan oleh gurunya agar ia tidak ketinggalan pelajaran dan bisa mengerti maksud atau kegunaan dari pelajaran tersebut. Selain itu, ia juga harus bisa mengerjakan soal-soal yang berkaitan dengan pelajaran tersebut supaya mendapat nilai yang bagus. Salah satu bab dalam matematika adalah program linear. Dalam program linear terdapat persamaan suatu bilangan karena masih masuk dalam aljabar. Dan mempunyai kegunaan yang penting terutama berhubungan dengan kehidupan sehari-hari. Pelajaran ini membahas beberapa hal atau bagian yang dibatasi oleh syarat-syarat tertentu. Syarat-syarat itu adalah susunan pertidaksaman linear dan tentu di dalamnya masih ada hal-hal lainnya yang saling berkaitan (berkaitan erat).
B.
Rumusan Masalah
1. Apa pengertian dari program linear?
2. Apa saja hal-hal yang dibahas dalam program linear?
C.
Tujuan
1. Untuk mengetahui pengertian program linear
BAB II
PEMBAHASAN
A. Definisi Pemprograman Linier
Setiap perusahaan atau organisasi memiliki keterbatasan atas sumber dayanya, baik keterbatasan dalam jumlah bahan baku, mesin dan peralatan, ruang tenaga kerja, jam kerja, maupun modal. Dengan keterbatasan ini, perusahaan perlu merencanakan strategi yang dapat mengoptimalkan hasil yang ingin dicapai, baik itu berupa keuntungan maksimal atau biaya minimal. Berbagai cara lain telah ditemukan untuk tujuan itu, salah satu diantaranya pemrograman linear.
Pemprograman linier adalah metode matematik dalam mengalokasikan sumber daya yang terbatas untuk mencapai suatu tujuan seperti memaksimalkan keuntungan atau meminimumkan biaya. Program linier berkaitan dengan penjelasan suatu kasus dalam dunia nyata sebagai suatu model matematik yang terdiri dari sebuah fungsi tujuan linier dengan beberapa kendala linier.
Program linier banyak digunakan untuk menyelesaikan masalah optimal didalam industri, perbankan, pendidikan, dan masalah-masalah lain yang dapat dinyatakan dalam bentuk linier.
B. Sifat Dasar / Karakteristik Pemprograman Linier
Sifat-sifat dasar atau Karakteristik Pemrograman Linear adalah sebagai berikut:
1. Sifat linieritas suatu kasus dapat ditentukan dengan menggunakan beberapa cara. Secara statistik, cara ini dapat diperiksa kelinearan menggunakan grafik (diagram pencar). 2. Sifat proposional dipenuhi jika kontribusi setiap variabel pada fungsi tujuan atau
penggunaan sumber daya yang membatasi proposional terhadap level nilai variabel. Jika harga per unit produk misalnya adalah sama berapapun jumlah yang dibeli, maka sifat proporsional dipenuhi. Atau dengan kata lain, jika pembelian dalam jumlah besar mendapatkan diskon, maka sifat proporsional tidak dipenuhi. Jika penggunaan sumber daya per unitnya tergantung dari jumlah yang diproduksi, maka sifat proporsionalitas tidak dipenuhi.
3. Sifat additivitas mengasumsikan bahwa tidak ada bentuk perkalian silang diantara berbagai aktivitas, sehingga tidak dapat ditemukan bentuk perkalian silang pada model. Sifat aditivitas berlaku baik bagi fungsi tujuan maupun pembatas (kendala). Sifat aditivitas dipenuhi jika fungsi tujuan merupakan penambahan langsung kontribusi masing-masing variabel keputusan.
4. Sifat divisiabel berarti unit aktivitas dapat dibagi dalam sembarang level fraksional, sehingga nilai variabel keputusan non integer dimungkinkan.
C. Model Pemprograman Linier
Contoh:
Tentukan daerah penyelesaian dari sistem pertidaksamaan linear berikut! 3x + 5y ≤ 15
Pilih titik (0,0), kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 3 × 0 + 5× 0 ≤ 15
0 ≤ 15 (benar), artinya dipenuhi
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (0,0)
Untuk x ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian disubstitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga daerah penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1)
Untuk y ≥ 0, pilih titik (1,1) kemudian substitusikan ke pertidaksamaan sehingga diperoleh: 1 ≥ 0 (benar), artinya dipenuhi.
Sehingga himpunan penyelesaiannya adalah daerah yang memuat titik (1,1).
Selanjutnya arsir daerah yang memenuhi persamaan, seperti gambar dibawah ini.
Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan merupakan irisan dari ketiga himpunan penyelesaian pertidaksamaan di atas, yaitu seperti terlihat pada gambar berikut ini (daerah yang diarsir).
Pertidaksamaan Linear juga dapat digunakan untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari. Hal ini dapat dilakukan dengan memodelkan masalah menjadi model matematika. Jadi, Model matematika merupakan suatu cara sederhana untuk menerjemahkan suatu masalah ke dalam bahasa matematika dengan menggunakan persamaan, pertidaksamaan, atau fungsi.
Pak Adi merupakan seorang pedagang roti. Beliau menjual roti menggunakan gerobak yang dapat memuat 600 bungkus roti. Roti yang dijualnya yaitu roti manis dan roti tawar dengan harga masing-masing Rp 5.500,00 untuk roti manis dan Rp 4.500,00 untuk roti tawar per bungkusnya. Dari penjualan roti tersebut, beliau memperoleh keuntungan Rp 500,00 dari sebungkus roti manis dan Rp 600,00 dari sebungkus roti tawar. Apabila modal yang dimiliki oleh Pak Budi adalah Rp 600.000, buatlah model matematika agar beliau dapat memperoleh keuntungan sebesar-besarnya!
Penyelesaian :
Permasalahan Pak Adi diatas dapat dimodelkan dalam bentuk matematika dengan menggunakan sistem pertidaksamaan linear dua variabel. Dengan memisalkan banyaknya roti manis sebgai x dan roti tawar sebagai y sehingga diperoleh tabel sebagai berikut.
Berdasarkan tabel diatas jika kita tuliskan dalam bentuk pertidaksamaan linear menjadi
x + y ≤ 600,
5.500x + 4.500y ≤ 600.000,
Untuk x, y anggota bilangan cacah, x ≥ 0, y ≥ 0
Dua pertidaksamaan terakhir (baris ketiga) menunjukkan syarat dari nilai x dan y. Dikarena x dan y merupakan pernyataan yang menyatakan banyaknya roti, maka tidak mungkin nilai x dan y
bernilai negatif.
Perhatikan kolom keempat dari tabel di atas yang menyatakan fungsi yang akan ditentukan nilai maksimumnya (nilai optimum). Fungsi tersebut dapat dituliskan dalam persamaan matematika sebagai berikut.
f(x,y) = 500x + 600y
untuk menyelesaikan sistem pertidaksamaan diatas kita dapat mengikuti langkah berikut :
1. Ubah masalah tersebut ke dalam model matematika yaitu dengan membuat tabel, fungsi pembatas dan fungsi tujuan. Tabel di sini untuk mempermudah membaca data. Fungsi
2. Lukislah daerah penyelesaian dari fungsi pembatasnya
3. Tentukan koordinat-koordinat titik ujung daerah penyelesaian. Jika belum ada gunakan bantuan eliminasi dari perpotongan 2 garis
4. Ujilah masing-masing titik ujung daerah penyelesaian
5. Tentukan nilai terbesar/terkecilnya sesuai dengan tujuan yang akan dicapai
dimana langkah no 1 telah kita dapatkan karena disini rumus matematika menunjukan bagaimana cara membuat model matematika. Selanjutnya ikuti langkah berikutnya agar kita memperoleh daerah penyelesaiannya.
D. Formulasi Permasalahan
Masalah keputusan yang sering dihadapi analisis adalah alokasi optimum sumber daya.
Sumber daya dapat berupa uang, tenaga kerja, bahan mentah, kapasitas mesin, waktu, ruangan atau teknologi.
Tugas analisis adalah mencapai hasil terbaik dengan keterbatasan sumber daya itu.
Setelah masalah diidentifikasikan, tujuan ditetapkam, langkah selanjutnya adalah formulasi model matematika.
Formulasi model matematika ada 3 tahap :
1. Tentukan variabel yang tidak diketahui dan dinyatakan dalam simbol.
2. Membentuk fungsi tujuan yang ditunjukkan sebagai suatu hubungan linier dari variabel keputusan.
3. Menentukan semua kendala masalah tersebut dan mengekspresikannya dalam persamaan atau pertidaksamaan.
Contoh kasus yang diselesaikan :
Contoh :
Tentukan nilai maksimum dari fungsi f(x,y) = 3 x + 5 y dengan batasan
Pertidaksamaan Titik Potong Sb x Titik Potong Sb y 3x + y ≤ 6 (2,0) (0,6)
x + 2y ≤ 4 (4,0) (0,2
Dengan menggunakan yang telah kami jelaskan sebelumnya maka di dapat gambar :
Kita tentukan titik B yang merupakan titik potong dua pertidaksamaann menggunakan metode eliminasi (bisa juga substitusi)
3x + y = 6 [x 2] ⇒ 6x + 2y = 12 x + 2y = 4 [x 1] ⇒ x + 2y = 4 ——————————————– ——————– 5x = 8
——————– x = 8/5 x + 2y = 4
16/5 + 2y = 4
2y = 4 – 8/5 = 20/5 – 8/5 = 12/5 y = 6/5
Dari diagram cartesius tersebut sobat dapatkan titik ekstrim
O (0,0) ; A (2,0) ; B (8/5,6/5) ; C (0,2)
Nilai f (x,y) = 3 x + 5 y kita cari untuk masing-masing titik ekstrim
f(O) = 0+0 = 0
f(A) = 3(2) + 5(0) = 6
f(B) = 3(8/5) + 5(6/5) = 54/5 = 10 4/5 f (C) = 3(0) + 5.2 = 10
E. Metode Grafik
Metode grafik adalah satu cara yang dapat digunakan untuk memecahkan masalah optimalisasi dalam programasi linier. Keterbatasan metode ini adalah variabel yang bisa digunakan terbatas (hanya dua), penggunaan 3 variabel akan sangat sulit dilakukan.
Dua macam fungsi Program Linear:
Fungsi tujuan : mengarahkan analisa untuk mendeteksi tujuan perumusan masalah
Fungsi kendala : untuk mengetahui sumber daya yang tersedia dan permintaan atas sumber daya tersebut.
Langkah – langkah penyelesaian dengan metode grafik:
1. Buatlah model matematika / kendala 2. Tentukan fungsi sasaran (Z).
3. Menyelesaikan fungsi pertidaksamaan :
Jadikan setiap kendala menjadi bentuk persamaan,
Buat grafik untuk setiap kendala dan kemudian tentukan daerah penyelesaian atau HP,
Setelah grafik dibuat, kemudian tentukan himpunan penyelesaian (HP). Setelah itu, kita menentukan titik – titik terluar yang terdapat didalam grafik tersebut.
