III . FUNGSI LINEAR DAN FUNGSI KUADRAT Sistem koordinat Cartesius
Sistem koordinat Cartesius adalah dasar ukuran suatu grafik fungsi. Nama Cartesius berasal dari nama seorang ahli filsafat bangsa prancis RENE DESCARTES (1956-1960) yang telah menemukan sistem koordinat itu
Gambar 1
Sistem ini menggunakan dua garis bilangan yang berpotongan tegak lurus di titik 0. Titik 0 disebut juga titik asal atau titik pangkal, atau titik pusat atau titik koordinat Salah satu dari garis bilangan itu dibuat mendatar, diberi nama X. Dan biasanya disebut sumbu X. Garis yang lain dibuat vertical, dinamai Y atau sumbu Y (lihat gambar 1)Titik –titik dikanan 0 dari sumbu X mewakili bilangan-bilangan positif, dan dikirinya mewakili bilangan-bilangan negatif.
Gambar 2
Titik –titik diatas 0 dari sumbu y mewakili bilangan – bilangan positif, dan di bawahnya mewakili bilangan – bilangan negatif. Perhatikan gambar 2.
Dalam sistem koordinat ini letak suatu titik ditentukan oleh pasangan berurut, dimana komponen pertama diwakili oleh sumbu x dan komponen kedua dari pasangan berurut itu diwakili oleh sumbu y
x
Y
0
Y
X
0 ATAS
gambar 3
Perhatikan gambar 3
Letak titik A ditentukan oleh pasangan berurut (2,3). Ini berarti titik A berada pada 2 satuan di sumbu x dan 3 satuan di sumby y . Satu-satuan di sumbu x disebut absis dan satu-satuan di sumbu y disebut ordinat. Absis dan ordintat keduanyad isebut koordinat.
Dengan demikian dapat dikatakan bahwa titik A mempunyai absis 2 dan ordinat 3. Dengan singkat dikatakan : koordinat titik A adalah (2,3). Dalam sistem kooordinat ,absis selalu didahulukan dari pada ordinat.
2. Fungsi linear
Adalah fungsi yang variabelbebasnya paling tinggi berpangkat satu. Misalnya ,bila diketahui fungsi f : x → 2x - 5 dengan x € R , maka ini berarti fungsi f pada himpunan R ditentukan oleh f(x) = 2x - 5.
Bila x = 2 maka f(2) = 2x - 5 disebut fungsi linear, karena x sebagai variable bebas berpangkat paling tinggi satu .
Kita ketahui bahwa f(x) adalah bayangan (peta) dari x karena fungsi f .katakanlah bahwa fungsi itu terjadi pada himpunan A dan B . bila X € A, maka bayangannya adalah f(x) yang menjadi anggota B. Hubungan ini digambarkan sebagai berikut :
Misalkan anggota B itu kita sebutY, maka diperoleh y = f (x). Untuk X= 2, diperoleh y = f(2). Dibaca : bayangan 2 oleh f adalah f(2).atau nilai y ( nilai fungsi ) Untuk X= 2 adalah y = f(2).
A (2,3)
Nilai y atau f(x) dari fungsi linear ditentukan oleh rumus :
Dengan notasi himpunan ditulis
F={ (x,y) | y = ax + b, a,b € R dan a ≠0}
A dan b € R artinya : a dan b anggota himpunan bilangan real R . x merupakan variable bebas dan y variable tidak bebas .
Himpunan titik-titik yang didapat dari{ (x,y) y = ax + b, a,b € R} disebut grafik fungsi linear. Grafiknya berbentuk garis lurus .
Contoh :
Gambarlah suatu grafik fungsi linear f yang ditentukan oleh : f(x) = 2x + 1 yang daerah asalnya {x | 1 ≤ x ≤ 4, x € R}
Jawab :
Untuk membuat grafik, lebih dahulu kita susun nilai x dan nilai fungsinya sebagai berikut :
x 1 2 3 4
f (x) 3 5 7 9
Keterangan : Nilai x telah ditentukan sesuai dengandaerah asalnya, yaitu 1 ≤ x ≤ 4 .
Nilai y atau f(x) ditentukan oleh f(x) = 2x + 1 Untuk x = 1, maka f(1) = 2(1) + 1 = 3
x = 2, maka f(2) = 2(2) + 1 = 5 x = 3, maka f(3) = 2(3) + 1 = 7 x = 4, maka f(4) = 2(4) + 1 = 9
Membuat grafiknya cukup dengan mengambil dua titik saja. Dari dua titik tersebut di tarik garis lurus. Titik-titik itu adalah :
1. Titik yang memotong sumbu y, diperoleh dengan mengambil x = 0. Untuk x = 0,
maka f(0) = 2(0) + 1 = 1
Titik potong dengan sumbu y adalah (0,1)
2. Titik yang memotong sumbu x, diperoleh dengan mengambil y = 0 Untuk y = 0, maka f(x) = 2x + 1
0 = 2x + 1 perubahan nilai x membawa perubahan nilai f(x) atau nilai y. Perubahan yang terjadi antara x dan y selalu sebanding. Titik (1,3) berubah ke titik (2,5) berarti : x berubah dari 1 menjadi 2. Besar perubahan itu adalah 1. y berubah dari 3 menjadi 5.
Besar perubahannya 2.
Perubahan y : perubahan x = y x =
2 1 = 2.
Dengan singkat perubahan itu di tulis : 5−3 2−1 =
2 1=2 Dengan rumus :
Bila semua titik-titik pada tabel nilai x dan y atau f(x) diperbandingkan seperti di atas, akan diperoleh hasil perbandingan yang sama, yaitu y : x = 2. Hasil perbandingan ini menyatakan arah dan fungsi yang disebut dengan “Koefisien Arah” atau “Gradien” suatu garis lurus. Koefisien arah ini ternyata sama dengan koefisien x dalam persamaan y = 2x + 1.
m = y2−y1 x2−¿x1
Arah fungsi ini membentuk sudut dengan sumbu x, seperti terlihat pada gambar 5. Kalau sudut itu kita beri nama ∝ , maka koefisien arah garis y = 2x + 1 sama dengan tg sudut ∝ yaitu :
m = tg ∝=y
x
Arah suatu grafik fungsi dapat positif, dapat pula negatif, tergantung pada tanda yang menyertai a dalam persamaan y = ax + b.
Kalau a positif, arah fungsi dari kiri bawah ke kanan atas.
Kalau a negatif, arah fungsi dari kiri atas ke kanan bawah.
Contoh : fungsi f ditentukan oleh f(x) = −x+5.
Koefisien arah fungsi ini adalah −1. Dengan demikan arahnya dari kiri atas ke kanan bawah. Diperlihatkan oleh gambar 6 dengan tanda panah.
(0,5) Koefisien arah dari fungsi f(x) = x + 5 adalah 1. Arahnya dari kiri bawah ke kanan atas.
Adalah fungasi yang fariabelnya paling tinggi berpangkat dua. Bentuk yang paling sederhana sdari fungdi kuadrat adalah fungsi yang ditentukan oleh : f(x) = x2
Disini kita hanya membicarakan salah satu fungsi kuadrat yang bentuk umumnya adalah : f(x) = ax2 + bx + c.
Bagaimana caranya membuat grafik fungsi kuadrat ? Ikutilah contoh berikut ini :
Gambarlah grafik fungsi f dengan f(x) = x2 + 2x - 3 dan daerah asalnya
{ x | -5 ≤ x ≤ 3 , x
ϵ
R }Jawab :
Daerah asal {x | -5 ≤ x ≤ 3, x
ϵ
R } menyatakan x anggota himpunan bilangan real yang besarnya dari -5 sampai 3. Untuk memperoleh grafik, kita susun nilai x dan nilai fungsinya seperti tampak pada tabel berikut ini :f(x) = x2 + 2x – 3
x : -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3
x2 : 25 16 9 4 1 0 1 2 9
2x : -10 -8 -6 -2 0 0 2 4 6
f(x) : 12 5 0 -3 -4 -3 0 5 1
Baris paling bawah f(x) adalah fungsi, atau daerah hasil fungsi. Daerah hasil itu
ditulis : { y | -4 ≤ y ≤ 12, y
ϵ
R }Tabel di atas dibaca : f(x) = x2 + 2x – 3
f(-5) = 25 + 2 (-5) – 3 = 12, dan seterusnya.
Dari tabel di atas diperoleh himpunan pasangan berurut sebagai berikut : { (-5,12), (-4,5), (-3,0), (-2,-3), (-1,-4), (0,-3), (1,0), (2,5), (3,12) }
Dengan menggunakan pansangan berurut kita lukis grafik fungsi seperti tampak pada gambar 8.
0 x
Y
Contoh lain :
Gambarlah grafik fungsi h yang ditentukan oleh h(x) = 30x – 5x2 dengan daerah
asal { x | 0 ≤ x ≤ 6 , x
ϵ
R }.Jawab :
Daerah asal menyatakan x anggota himpunan bilangan real yang besarnya dari dari 0 sampai dengan 6. Kita susun nilai x dan fungsinya sebagai berikut :
h(x) = 30x – 5x 2
x : 0 1 2 3 4 5 6
30x : 0 30 60 90 120 150 180 x2 : 0 1 14 9 16 25 36 5x2 : 0 5 20 45 80 125 180 h(x) : 0 25 40 45 40 25 0
Grafiknya diperlihatkan oleh gambar 9. A
Grafik fungsi h(x) = 30x – 5x2 berbentuk Parabola yang terbuka ke bawah.
Dari contoh di atas kita dapat melihat, ada dua macam bentuk grafik fungsi kuadrat, yaitu grafik yang berbentuk terbuka ke atas (gambar8)), dan grafik terbuka kebawah gambar 9)).
Dilihat dari sumbu X, baik parabola yang terbuka keatas maupun yang terbuka kebawah dapat dibedakan :
A. Parabola yang tidak mempunyai titik potong dengan sumbu X B. Parabola yang mempunyai satu titik potong dengan sumbu X C. Parabola yang mempunyai dua titik potong dengan sumbu X Perhatikan gambar 10 dibawah ini :
Gambar 10a Gambar 10b Gambar 10c Gambar 9
X
Y 0
Y
X
Y
X
Y
Gambar 10a adalah parabola yang tidak mempunyai titik potong dengan sumbu X. Titik puncaknya atau titik baliknya berada di atas atau di bawah sumbu X. Dikatakan nilai baliknya minimum atau maksimum.
o Minimum untuk parabola yang terbuka ke atas
o Maksimum untuk parabola yang terbuka ke bawah
Gambar 10b adalah parabola yang mempunyai satu titik potong dengan sumbu X. Titik potong itu sekaligus menjadi titik singgung parabola. Gambar10c adalah parabola yang mempunyai dua titik potong dengan sumbu X.
Suatu parabola mempunyai nilai minimum atau maksimum di tentukan oleh tanda yang menyertai koefisien X2 dalam persamaan y = ax2 + bx + c. Koefisien itu dinyatakan dengan huruf a.
Jika a positif, berarti a > 0, maka parabolanya mempunyai nilai minimum, puncak parabolanya berada dibawah, atau parabolanya berbentuk terbuka ke atas.
Jika a negative, berarti a < 0, maka parabolanya mempunyai nilai maksimum.Puncak parabolanya berada di atas, atau parabolanya berbentuk terbuka ke bawah.
Contoh : f(x) = x2 – x – 12
Grafiknya mempunyai nilai minimum, karena a = 1 atau a positif. F(x) = -2x2 + x – 2
Grafiknya mempunyai nilai maksimum, karena a = -2, atau a negative. Banyaknya titik potong suatu parabola dengan sumbu X ditentukan oleh diskriminan dari persamaan kuadratnya. Diskriminan disingkat dengan “D”., dirumuskan
Misalkan: (1). Fungsi f(x) = x2 , persamaannya y = x2 Berarti : a = 1, b = 0, dan c = 0
D = 0 – 4.1.0 = 0
(2). Fungsi f(x) = x2 + 2, persamaannya y = x2 + 2 Berarti : a = 1, b = 0, dan c = 2
D = 0 – 4.1.2 = - 8
(3). Fungsi f(x) = x2 + 2x + 3,persamaannya y + x2 + 2x + 3 Berarti : a = 1, b = 2, dan c = 3
D = 22 – 4.1.3 = 4 – 12 = -8
Jika D < 0 parabolanya tidak mempunyai titik potong dengan sumbu X Jika D > 0 parabolanya mempunyai dua titik potong dengan sumbu X Jika D = 0 parabolanya mempunyai satu titik potong dengan sumbu X Penjelasannya sebagai berikut :
Titik potong parabola dengan sumbu x, dengan kata lain titik potong fungsi si suadrat dengan sumbu x terjadi bila y = 0.
y = 0 berarti ax2 + bx + c= 0
penyelesaian persamaan ax2 + bx + c = 0 dilakukan dengan menggunakan rumus :
−b ±
√
b2 −4ac 2aBanyaknya titik potong fungsi dengan sumbu x ditentukan oleh b2 – 4ac.
Bentuk b2 – 4ac ini pulalah yang menyebabkan adanya perbedaan akar-akar persamaan kuadrat. Karena itu bentuk b2 – 4ac disebut “diskriminan” yang di singkat dengan “D”.
Nilai fungsi kuadrat
Nilai fungsi kuadrat dapat bernilai minimum, bernilai makasimum dengan bernilai nol. Telah ita kemukakan di atas bahwa:
Bila a > 0 fungsi kuadrat mempunyainilai minimum Bila a < 0 fungsi kuadrat berilai maksimum.
Untuk menghitung besarnya nilai minimum atau maksimum itu, dipergunakan rumus :
- b2 - 4ac atau _ D
- 4a 4a
Contoh: f(x) = x2 – x 12
a disini = 1, artinya a > 0, fungsi itu mempunyai nilai minimum, besarnya nilai minimum itu adalah :
= - 12 ½
x=−(−1)
2 = 1 2
x=1
2=x− 1
2=0atau
2x – 1 = 0 SOAL SOAL LATIHAN
1. Gambarlah grafik fungsi liner f yang ditentukan oleh f(x) = -2x dengan daerah asal {x I – 3 ≤ x ≤ 3, x € B}
2. Tentukan titik potong fungsi f(x) = 2x + 3 dengan sumbu dan sumbu y, buatlah grafiknya
3. Jika ordinat suatu titik berubah dari 3 ke -1 dan absisinya berubah dari 4 ke 5, tentukanlah perbandingan perubahan itu
4. Diketahui suatu fungsi f(x) = 3x – 5 tentukan koefesien arahnya. Apakah arah grafik fungsi itu negative atau positif? Tunjukkanlah dengan grafik 5. Gambarlah grafik fungsi kuadrat yang ditentukan oleh f(x) = ½ x2 – 2
Dengan daerah asal {x I -4 ≤ x ≤ 4, x € B} 6. Buatlah sketsa parabola y = 3x2 + 4x – 5
Tentukan : titik potong dengan sumbu x Koordinat titik balik
Persamaan sumbu simetri
