p¨î ¥®¨¤®¢¨çã à订ã
ª ¥£® è¥á⨤¥áï⨫¥â¨î
510.6
. . §£®¥¢
áâ®ïé ïà ¡®â ¯®á¢ïé¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ãᨫ쮩ª®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬®áâ¨
ä ªâ®à- «£¥¡à ª®áâàãªâ¨¢®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë ®â®á¨â¥«ì® ¨¤¥ « ¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ®
¬®-¦¥á⢮®¬¥à®¢,ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨åí⮬㨤¥ «ã, å®à®è®à ᯮ«®¦¥®¢
à¨ä¬¥â¨ç¥á-ª®© ¨¥à à娨. â®â १ã«ìâ â ¡ë« ¤®«®¦¥ ¢â®à®¬ IV á¥á®î§®©ª®ä¥à¥æ¨¨
¯®¬ ⥬ â¨ç¥áª®©«®£¨ª¥¢1976£®¤ã¢¨è¨¥¢¥¨ ®á¨à®¢ ¢[1]. ¤ ª®¯®«®¥
¤®ª § ⥫ìá⢮¤®á¨å¯®à â ª¨ ¥¡ë«®®¯ã¡«¨ª®¢ ®.
áâ®ïé ï à ¡®â ¯®á¢ïé¥ ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ᨫ쮩
ª®áâàãªâ¨¢¨§¨àã-¥¬®áâ¨ä ªâ®à- «£¥¡à몮áâàãªâ¨¢®©¡ã«¥¢®© «£¥¡àë®â®á¨â¥«ì® ¨¤¥ «
¯à¨ ãá«®¢¨¨, çâ® ¬®¦¥á⢮ ®¬¥à®¢, ᮮ⢥âáâ¢ãîé¨å í⮬㠨¤¥ «ã, å®à®è®
à ᯮ«®¦¥® ¢ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®© ¨¥à à娨. â®â १ã«ìâ â ¡ë« ¤®«®¦¥
¢â®-஬ IV á¥á®î§®© ª®ä¥à¥æ¨¨ ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¥ ¢ 1976 £®¤ã ¢
¨è¨¥¢¥ ¨ ®á¨à®¢ ¢ [1]. ¤ ª® ¯®«®¥ ¤®ª § ⥫ìá⢮ ¤® á¨å ¯®à â ª
¨ ¥ ¡ë«® ®¯ã¡«¨ª®¢ ®.
¢â®à á®§ â¥«ì® á®åà ¨« á⨫ì, â¥à¬¨®«®£¨î ¨ ¯à®ç¨¥
®á®¡¥®á-⨠⥪áâ ¤¢ ¤æ ⨯ï⨫¥â¥© ¤ ¢®áâ¨, ª ª ¯®¬¨ ¨¥ ® ¥®¡ëª®¢¥®©
⢮àç¥áª®© ®¡áâ ®¢ª¥ ᥬ¨ ஢ . . à订 , ª®â®àëå ¢â®à ¯®á⨣ «
¨¤¥¨ ⥮ਨ ª®áâàãªâ¨¢ëå ¬®¤¥«¥©.
¥®¡å®¤¨¬ë¥ ᢥ¤¥¨ï ¨§ ⥮ਨ áç¥âëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à ¨ ⥮ਨ
ª®-áâàãªâ¨¢ëå ¬®¤¥«¥© ¨¬¥îâáï ¢ [2], [3] ¨ [4].
¤®ª § ⥫ìá⢥ ®á®¢®©â¥®à¥¬ë ¬ ¯® ¤®¡¨âáï ¨§¢¥áâë© ¨ ¢¥áì¬
¯à®á⮩ ä ªâ ¨§ ⥮ਨ४ãàᨨ.
¥¬¬ 1. ᫨ ¬®¦¥á⢮ A ï¥âáï 0
2
-¬®¦¥á⢮¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®©
¨¥à à娨,â®áãé¥áâ¢ã¥â¢ëç¨á«¨¬ ﯮ᫥¤®¢ ⥫ì®áâìfB
i
ji2!gª®¥çëå
¬®¦¥áâ¢â ª ï,ç⮤«ï«î¡®£®n2! áãé¥áâ¢ãîât
1 ;t
2
2!,㤮¢«¥â¢®àïî騥
ãá«®¢¨î: ¥á«¨ n2A,â® n2B
t 0; t
0
t
1
, ¥á«¨ n2=A, â® n2=B
t
0 ¤«ï tt
2 .
c
C ª ª ª 0
2 =
0
2 \
0
2
, â® áãé¥áâ¢ãîâ ४ãàá¨¢ë¥ ¯à¥¤¨ª âë
P
¨Q
â ª¨¥, çâ®(9
x
)(8y
)Q
(n;x;y
) !n =
2A;
(9x
)(8y
)P
(n;x;y
) !n
2A:
¯à¥¤¥«¨¬ äãªæ¨îf
â ª:f
(n;y
)x
[(8y
0y
)P
(n;x;y
0)_(8
y
0y
)Q
(n;x;y
0)]
:
祢¨¤®, çâ®
f
| ४ãàᨢ ï äãªæ¨ï. ãáâìB
m
fn
jn
m
& (8y
m
)P
(n;f
(n;m
);y
)g. ®ª ¦¥¬, çâ® fB
m
gm
2!
| ¨áª®¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì.
ãáâì
n
2A
, ⮣¤ áãé¥áâ¢ã¥â â ª®¥ ç¨á«®y
0
n
, çâ® ¤«ïy
y
0¨¬¥¥¬
(8
y
0
y
)P
(n;f
(n;y
);y
0) ¨, á«¥¤®¢ ⥫ì®,
n
2B
y
. ®¡®à®â, ¯ãáâìn =
2A
. ®£¤ áãé¥áâ¢ã¥ây
1
â ª®¥, çâ®
y
1n
¨ ¤«ïy
y
1¢¥à®
(8
y
0y
)Q
(n;f
(n;y
);y
0) & :(8
y
y
)P
(n;f
(n;y
);y
0)
:
®¯ãá⨬, çâ® áãé¥áâ¢ã¥ây
y
1
¨
n
2B
y
. ®£¤ ¯® ®¯à¥¤¥«¥¨îB
y
¨¬¥¥¬ (8y
y
)P
(n;f
(n;
y
);y
), ç⮯à®â¨¢®à¥ç¨â ¢ë¡®àã ç¨á«y
1 . B
¬ ¯® ¤®¡¨âáï â¥å¨ª ¤¥à¥¢ì¥¢, ¯à¥¤«®¦¥ ï . . ¥à¥âïâ쪨ë¬
(á¬. [5]). ¯à¥¤¥«¨¬ ç áâ¨ç멯®à冷ª4 âãà «ìëåç¨á« å ᯮ¬®éìî
á«¥¤ãîé¨å ४ãàᨢëå äãªæ¨©:
P
[n
]n
,1 2
;
L
(n
)2n
+1; R
(n
)2n
+2;
n
0
n
+1;
¥á«¨n
¥ç¥â®¥;
n
,1;
¥á«¨n
ç¥â®¥;
(n;
0)n;
(n;m
+1)P
((n;m
)):
®« £ ¥¬
m
4n
m
Y
i
=0j
(m;i
),n
j=0:
®ïâ®, çâ® 4 | ४ãàᨢ®¥ ®â®è¥¨¥, h
N;
4i |ç áâ¨ç® 㯮à冷祮¥ ¬®¦¥á⢮,ª®â®à®¥¡ã¤¥¬ §ë¢ â쯮«ë¬¤¥à¥¢®¬. ®¦¥á⢮D
N
¡ã¤¥¬ §ë¢ âì ¤¥à¥¢®¬,¥á«¨ ¢ë¯®«¥ë ãá«®¢¨ï:(2) ¥á«¨
n
2D
, â®n
02
D
.â¥à¬¨ å ç áâ¨ç®£® ¯®à浪 4 äãªæ¨¨
P
,R
,L
¬®¦® ¯®¨¬ âì á«¥-¤ãî騬®¡à §®¬.P
(n
)|¥¯®á।á⢥멯®á«¥¤®¢ ⥫ìí«¥¬¥ân
,L
(n
)| ¥¯®á।áâ¢¥ë© «¥¢ë© ¯à¥¤è¥á⢥¨ª í«¥¬¥ân
,R
(n
) | ¥¯®á।á⢥-ë© ¯à ¢ë© ¯à¥¤è¥á⢥¨ª í«¥¬¥ân
,n
0
| ¥áà ¢¨¬ë© á
n
í«¥¬¥â, ® ¨¬¥î騩 án
®¤¨ ¨ â®â ¦¥ ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì.®¦¥á⢮
[n
]fx
2D
jx
<n
g §®¢¥¬æ¥¯ìî,ᮤ¥à¦ 饩n
. 㯨ª®¬ ¤¥à¥¢ §®¢¥¬n
2D
â ª®¥,çâ®R
(n
)2=
D
. ®ïâ®,ç⮯®«®¥¤¥à¥¢®â㯨ª®¢ ¥ ¨¬¥¥â.¥¬¬ 2. ãáâì
D
| ¤¥à¥¢®, ⮣¤D
| ४ãàᨢ® ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤ ¬®¦¥á⢮ â㯨ª®¢T
(D
) ४ãàᨢ®.C ®ª § ⥫ìá⢮®ç¥¢¨¤®. B
¥¬¬ 3. ᫨
D
| ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®¥ ¤¥à¥¢® ¨T
(D
) | ¬®-¦¥á⢮â㯨ª®¢ ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®, â®D
|४ãàᨢ®.C ¥à¥ç¨á«ï¥¬ ®¤®¢à¥¬¥®
D
¨T
(D
). ᫨n
2!
¯à¨ ¤«¥¦¨âD
, â® ç¥à¥§ ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢ ¢ëç¨á«¨âáï ¢D
. ᫨n =
2D
, â® ç¥à¥§ ª®¥ç®¥ ç¨á«® è £®¢ ¢T
(D
) ¢ëç¨á«¨âáï í«¥¬¥âm
â ª®©, çâ®m < n
¨m
<n
.®ª ¦¥¬,ª ª¯®¤¥à¥¢ã
D
ª ®¨ç¥áª¨¬®¡à §®¬áâநâáï¡ã«¥¢ «£¥¡à , ¡ã¤¥¬ ¥¥ ®¡®§ ç âì BD
(á¬. [5]). ãáâì
A
| ¡¥áª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮. ¯à¥-¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥¨¥f
:!
!P(A
) ¨¤ãªâ¨¢®. ãáâìf
(0)=A
. ।¯®«®¦¨¬, çâ®f
(n
) =A
n
㦥 ®¯à¥¤¥«¥®, ¯à¨ç¥¬
A
n¡¥áª®¥ç®. ãáâì
A
1; A
2|
à §-¡¨¥¨¥
A
n ¤¢ ¡¥áª®¥çëå ¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯®¤¬®¦¥á⢠. ®« £ ¥¬
f
(L
(n
))=A
1; f
(
R
(n
))=A
2.
䨪á¨à㥬 äãªæ¨î
f
¨ ¡ã¤¥¬ ®¡®§ ç âìf
(n
) ç¥à¥§A
n. ¡®§ 稬
A
(D
)fA
nj
n
2D
g[f?g. ¥¯®á।á⢥®¯à®¢¥àï¥âáï,çâ®á¥¬¥©á⢮A
(D
) § ¬ªãâ® ®â®á¨â¥«ì® ª®¥çëå ¯¥à¥á¥ç¥¨© ¨ ¤®¯®«¥¨¥A
n
2
A
(D
) ¤®A
à ¢® ¥ª®â®à®¬ã ª®¥ç®¬ã ®¡ê¥¤¨¥¨î ¬®¦¥á⢠¨§A
(D
).¡®§ 稬 ¯®á।á⢮¬
B
(D
) P(A
) ᥬ¥©á⢮ ¬®¦¥áâ¢, ¯®à®¦¤¥®¥ ᥬ¥©á⢮¬A
(D
) á ¯®¬®éìî ®¯¥à 権 \;
[;
:. ®£¤B
D
h
B
(D
);
\;
[;
:;
?;A
iï¥âáï ¡ã«¥¢®© «£¥¡à®©. ãáâì
D
| ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®¥ ¤¥à¥¢® ¨G
:!
,!P
!
(
D
) |£ñ¤¥«¥¢ ã¬¥à æ¨ï ¢á¥å ª®¥çëå ¯®¤¬®¦¥á⢠¤¥à¥¢D
. ¯à¥¤¥«¨¬ ®â®¡à ¦¥¨¥D
:
!
!B
(D
) á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: D (n
)[
f
A
sj
s
2G
(n
)g:
[5] ¤®ª § ®, çâ® (BD
;
D®ª ¦¥¬â¥¯¥àì, ª ª ¯®ª®áâàãªâ¨¢®© ¡ã«¥¢®© «£¥¡à¥(B
;
)¯®áâநâì ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®¥ ¤¥à¥¢®D
â ª®¥, çâ®(B;
)¨§®¬®àä®(BD
;
D ).®-áâ஥¨¥ ¯®¨¤ãªæ¨¨. è £¥
n
¡ã¤¥¬áâநâ쪮¥ç®¥¤¥à¥¢®D
n¨ç.à. ä.
f
â ª¨¥, çâ®D
n+1
D
n¨ äãªæ¨ï
f
®¯à¥¤¥«ï¥âáï è £¥n
í«¥¬¥â å ¤¥à¥¢D
n .
£ 0. ãáâì
n0
=1. ®£¤ ¯®«®¦¨¬,
D
0f0g ¨
f
(0)n
0. ¤à㣨å
í«¥¬¥â å
f
è £¥ 0 ¥ ®¯à¥¤¥«ï¥âáï. £
n
+ 1. áᬮâਬ ¢á¥ ª®æ¥¢ë¥ ¢¥àè¨ë ¤¥à¥¢D
n, ¯ãáâì íâ®
n
1;:::;n
k¨ ¯ãáâì
f
(n
1)=
m
1;:::;f
(
n
k)=
m
k . ®«®¦¨¬D
n+1D
n[f
L
(n
i)
;R
(n
i) j 1
i
k
& (n
)\(m
i) 6= 0 &
:
(n
)\(m
i) 6= 0g. í«¥¬¥â å
D
näãªæ¨ï
f
®¯à¥¤¥«ï¥âáï ¯®-áâ ஬㠨 ¥á«¨m
2D
n+1 n
D
n , â®
f
(m
)f
(P
(m
))\n;
¥á«¨L
(P
(m
))=m;
f
(P
(m
))\:n;
¥á«¨R
(P
(m
))=m:
ᨫã íä䥪⨢®á⨠¯®áâ஥¨ï
D
= Sn
D
n| ४ãàᨢ®
¯¥à¥ç¨á«¨-¬® ¨ «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì, çâ® (B
D
;
D) ¨§®¬®àä® (B
;
). ¦® § ¬¥â¨âì ¤«ï ¤ «ì¥©è¥£®, ç⮠⮬ ¬ ¡ã«¥¢®© «£¥¡àë B ᮮ⢥âáâ¢ãîâ â㯨ª¨ ¤¥à¥¢D
¨ ®¡®à®â, â㯨ª¨D
¯¥à¥å®¤ïâ ¢ ⮬ë¡ã«¥¢®© «£¥¡àë BD . B
à¨áâ㯨¬ ª ¤®ª § ⥫ìáâ¢ã ®á®¢®£® ã⢥ত¥¨ï í⮩ áâ âì¨.
¥®à¥¬ 1. ãáâì (B
;
)| ª®áâàãªâ¨¢ ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à ¨J
| ¨¤¥ « B. ᫨B
=,1
(
J
) ï¥âáï 02
¬®¦¥á⢮¬ à¨ä¬¥â¨ç¥áª®© ¨¥à à娨, â®
áãé¥áâ¢ã¥âᨫ쮪®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬 ï ⮬ ï¡ã«¥¢ «£¥¡à Aâ ª ï,çâ®
B
=J
¨§®¬®àä A=
, £¤¥ | ¨¤¥ « à¥è¥. CãáâìD
=S
i
D
i|४ãàᨢ®¯¥à¥ç¨á«¨¬®¥¤¥à¥¢®â ª®¥,çâ®B
D
= B
¨ ¤«ï «î¡ëå
n;m
2!
, ¥á«¨m
2D
n+1, â® P(
A
) 2D
n. ãáâì f
B
ij
i < !
g | ¢ëç¨á«¨¬ ï ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì ª®¥çëå ¬®¦¥áâ¢, áãé¥á⢮¢ ¨¥ ª®â®à®©¤®ª § ® ¢ «¥¬¬¥ 1.
® ¨¤ãªæ¨¨ áâந¬ ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬®¥ ¤¥à¥¢®
D
0, ª®â®à®¥ ¡ã¤¥â
¯®à®¦¤ âì ¨áª®¬ãî «£¥¡àã A, â. ¥. A B
D 0
. ® ¨¤ãªæ¨¨ ¡ã¤¥â áâநâìáï
â ª¦¥ ç áâ¨ç® ४ãàᨢ ï äãªæ¨ï
'
(x;y
), ª®â®à ï ¡ã¤¥â ¯®à®¦¤ âì ¨§®-¬®à䨧¬ ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à ¨ ४ãàᨢ® ¯¥à¥ç¨á«¨¬ë© ¯à¥¤¨ª âA
, ª®â®àë© á®¢¯ ¤ ¥â á ¬®¦¥á⢮¬ â㯨ª®¢ ¤¥à¥¢D
0
.
®áâ஥¨¥ ¤¥à¥¢
D
0.
£ 0.
D
00
; '
(0;
0)0; A
(0)6=1. £ 2n
+1. ãáâìe
2D
n+1
| ¨¬¥ì襥ç¨á«® â ª®¥,çâ®
e
2B
n, ¬¥âª
e
¥ á⮨â í«¥¬¥â åD
n+1, ¨ ¢ë¯®«ïîâáï á«¥¤ãî騥 ¤¢ ãá«®¢¨ï.
(1)ãé¥áâ¢ã¥ââ㯨ª
a
2D
n+1(2) «ï «î¡®£® í«¥¬¥â
m
2D
n
+1
; m
e
, ¥ ¯®¬¥ç¥®£® ¨ª ª¨¬¨ ¬¥âª ¬¨, áãé¥áâ¢ã¥â â㯨ªk
â ª®©, çâ®m
<k
&e
6<k
¨ í«¥¬¥âë [k
] ¥ ¯®¬¥ç¥ë ¬¥âª ¬¨.®£¤ ¯®¬¥ç ¥¬ ¬¥âª®©
e
¢á¥ ç¨á«x
2D
n
+1,
x
4e
. ãáâìn
0
;n
1;:::;n
s
|â㯨ª¨ ¤¥à¥¢
D
0n
â ª¨¥,çâ®A
(n
i
)6=1; i
s
. ãáâìn
i
='
(2n;m
i
); i
s
. ®£¤ ¯®« £ ¥¬ ~D
2n
+1
D
0
2
n
[f
R
(n
i
);L
(n
i
) ji
s
g,D
0 2n
+1~
D
2n
+1[ f
L
(R
(n
i
));R
(R
(n
i
)) jR
(m
i
) 2D
n
+1¨
R
(m
i
) ¥ ¯®¬¥ç¥® ¬¥âª ¬¨ (i
s
)g.¯à¥¤¥«ï¥¬ äãªæ¨î
'
â ª:'
(2n
+1;m
i
)R
(n
i
);
'
(2n
+1;L
(m
i
))=L
(R
(n
i
));
'
(2n
+1;R
(m
i
))=R
(R
(n
i
)):
«ï
t
2D
n
+1f
m
i
;L
(m
i
);R
(m
i
) ji
s
g ¯®« £ ¥¬'
(2n
+ 1;t
) ='
(2n;t
),A
(L
(n
i
)) = 1 ¤«ïi
s
. «ï ¢á¥åk
4'
(2n
+1;e
) ¯®« £ ¥¬A
(k
) = 1 ¥á«¨k
ï¥âáïâ㯨ª®¬ ¤¥à¥¢D
0n
+1. ¥à¥å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã è £ã.
£ 2
n
+2. ãáâìp
| ¨¬¥ì訩 ¨§ í«¥¬¥â®¢D
n
+1â ª¨å, çâ®
p
¯®-¬¥ç¥ ¬¥âª®©p
, ¢¬¥áâ¥á ⥬p
2B
n
. ®£¤ ¯ãáâìm
2D
0
2
n
+1| ¨¬¥ì訩
í«¥¬¥â ®â®á¨â¥«ì® ¯®à浪 4 á® á«¥¤ãî騬 ᢮©á⢮¬:
m
2['
(2n
+1;p
)]¨ áãé¥áâ¢ã¥âa
| â㯨ª ¤¥à¥¢;
D
0 2n
+1â ª®©, çâ®
a
4m; A
(a
)6=1:
()
ãáâì
a
| ¨¬¥ì訩 í«¥¬¥âá â ª¨¬ ᢮©á⢮¬. ¯à¥¤¥«ï¥¬D
0 2n
+2D
0
2
n
+1[f
x
jx
2D
ma
g;
£¤¥
D
ma
| ª®¥ç®¥ ¯®¤¤¥à¥¢® ¯®«®£® ¤¥à¥¢ á ¢¥à訮©, ᮢ¯ ¤ î饩 á í«¥¬¥â®¬a
, ª®â®à®¥ ¨§®¬®àä® ¤¥à¥¢ãD
(q
), £¤¥q
®¯à¥¤¥«ï¥âáï à ¢¥á⢮¬m
='
(2n
+1;q
),D
n
+1(
q
)fx
2D
n
+1j
x
4q
g:
®« £ ¥¬
A
(y
)=1¤«ï¢á¥åy
,ª®â®àë¥ï¢«ïîâáïâ㯨ª ¬¨D
02
n
+1¨¢ë¯®«¥®
(:
y
4a
&y
4m
). «ï ¢á¥åx
2D
n
+1(
q
) ¯®« £ ¥¬'
(2n
+2;x
) =y
, £¤¥y
| ®¡à § í«¥¬¥âx
¯à¨ ¨§®¬®à䨧¬¥D
n
+1
(
q
) ¯®¤¤¥à¥¢®D
ma
. «ï ®áâ «ìëåx
2D
n
+1
®¯à¥¤¥«ï¥¬
'
(2n
+2;x
)'
(2n
+1;x
). ¥âªãp
ᨬ ¥¬ ᮢá¥å í«¥¬¥â®¢D
n
+1
. ᫨ª ª®¥-â® ãá«®¢¨¥è £ ¥¢ë¯®«ï¥âáï,
â® ¯¥à¥å®¤¨¬ ª á«¥¤ãî饬ã è £ã, ¯®« £ ï
'
(2n
+ 2;x
)'
(2n
+ 1;x
) ¤«ïx
2D
n
+1. ®áâ஥¨¥ § ª®ç¥®.
(2) ᫨ t 2!; xy, ⮠'(2t+1;x)'(2t+1;y).
(3) ¨á«® x 2 D ¯®¬¥ç ¥âáï ¬¥âª®© ⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
D 0
(P('(t;x))) fy 2 D 0
j y 4 '(t;x)g | ª®¥ç®¥ ¬®¦¥á⢮ ¤«ï t 2 !
â ª®£®, çâ® '(t;x) ®¯à¥¤¥«¥®.
(4) ¨á«® x 2 ! ï¥âáï â㯨ª®¬ ¤¥à¥¢ D 0
⮣¤ ¨ ⮫쪮 ⮣¤ , ª®£¤
A(x)=1.
«ï § ¢¥àè¥¨ï ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1 ¯®âॡã¥âáï ¥é¥ ¥áª®«ìª®
¢á¯®¬®£ ⥫ìëå ä ªâ®¢.
¥¬¬ 4. «ï «î¡®£® n2! ¬¥âª n áâ ¢¨âáï ¥ ¡®«¥¥ª®¥ç®£®ç¨á«
à §.
C।¯®«®¦¨¬,ç⮬¥âª e áâ ¢¨âá᪮¥ç®¥ç¨á«®à §¨á¨¬ ¥âáï
¡¥áª®¥ç®¥ ç¨á«® à §. áᬮâਬ ¢®§à áâ îéãî ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâì =
fn
i
j i<!gâ ª¨å âãà «ìëåç¨á¥«, çâ® è £¥ 2n
i
+1¬¥âª e áâ ¢¨« áì,
è £¥ 2n
i+1
+2 ¬¥âª e ᨬ « áì á í«¥¬¥â®¢ ¤¥à¥¢ . § ¯®áâ஥¨ï
á«¥¤ã¥â,çâ®e2B
n
i
¨e 2= B
n
i +1
,¤«ïn
i
2. ⮯à®â¨¢®à¥ç¨â«¥¬¬¥1,¢ë¡®àã
fB
i
j i<!g.B
¥¬¬ 5. «ï «î¡®£® x 2 ! áãé¥áâ¢ã¥â è £, ç¨ ï á ª®â®à®£®, ¥á«¨
x2B,⮬¥âª x áâ ¢¨âá逸ᨬ ¥âáï, ¥á«¨x2= B, ⮬¥âª x ᨬ ¥âáï
¨ ¡®«ìè¥ ¥ áâ ¢¨âáï.
Cᨫã¢ë¡®à ¯®á«¥¤®¢ ⥫ì®áâ¨fB
i g
i<!
¤«ï«î¡®£®x2!áãé¥áâ¢ã¥â
n2 ! â ª®¥, çâ®, ¥á«¨ x 2 B, â® x2 B
n
; nn; ¥á«¨ x 2= B, â® x 2= B
n
; n n.
ç¨ ï á è £ 2n+1, ¬¥âª x «¨¡®ãáâ ®¢¨âáï ¨ ᨬ âìáï ¥¡ã¤¥â, «¨¡®
¢®®¡é¥ ¥ ¡ã¤¥â áâ ¢¨âìáï. B
¥¬¬ 6. «ï «î¡®£® x 2 DnB áãé¥áâ¢ã¥â t 2 ! â ª®¥, çâ® '(t;x)
®¯à¥¤¥«¥®.
C ãáâì x 2 DnB ¨ áãé¥áâ¢ã¥â t 2 !, çâ® '(t;x) ®¯à¥¤¥«¥®.
।¯®«®-¦¨¬, çâ® L(x)2 DnB. ãáâì n | ¨¬¥ì襥 ç¨á«® â ª®¥, çâ® L(x)2 D
n+1 .
᫨ è £¥ 2n+1L(x)¥ ¯®¬¥ç¥® ¨ª ª®© ¬¥âª®©, â®'(2n+1;L(x))
®¯à¥-¤¥«¥®. ãáâì ç¨á«® L(x) è £¥ 2n+1 ¯®¬¥ç¥® ¬¥âª®©. ª ª ª L(x)2= B,
â® ¯® «¥¬¬¥ 5 áãé¥áâ¢ã¥â è £ k â ª®©, çâ® í⮬ è £¥ ¨ ¤ «¥¥ ç¨á«® L(x)
¨ª ª¨å ¬¥â®ª ¥ ¯®«ãç¨â. ®£¤ è £¥ 2k+2 ®¯à¥¤¥«¨âáï '(2k+2;L(x)).
«ï R (x) ¤®ª § ⥫ìá⢮ «®£¨ç®. B
¥¬¬ 7. «ï «î¡®£®í«¥¬¥â y 2D 0
,¥ï¢«ïî饣®áïâ㯨ª®¬,
áãé¥áâ-¢ãîâ x2D ¨ t 2! â ª¨¥, çâ® y ='(t;x).
C ª ¦¤®¬ è £¥ n2 !, ¥á«¨ y ¥ áâ ®¢¨«®áì â㯨ª®¬ ¤¥à¥¢ D 0
, â® á
¤®¡ ¢«¥¨¥¬ y ª D 0
n
, 㪠§ë¢ «®áì x2D â ª®¥,çâ® '(n;x)=y. B
¥¬¬ 8. «ï «î¡®£® x 2 DnB ¥ ïî饣®áï â㯨ª®¬ ¤¥à¥¢ D,
áãé¥áâ¢ã¥â t
0
, â ª®¥, çâ® ¯à¨ t t
0
¢ë¯®«ï¥âáï '(t;x) = '(t
0
;x), â. ¥. '
C ᫨
x
2D
¨ à §ã ¥ ¯®«ãç «® ¬¥â®ª, â® ã⢥ত¥¨¥ á«¥¤ã¥â ¨§ ®¯à¥¤¥«¥¨ï è £ 2n
+1. ãáâìx =
2B
, ® x
áâ ¢¨«¨áì ¨ áx
ᨬ «¨áì ¬¥âª¨. «ï «î¡®£®x
2D
, ¥á«¨x =
2B
, â® «¨¡®L
(x
) 2=
B
, «¨¡®R
(x
) 2=
B
. áᬮâਬ ¤¢ á«ãç ï:(
i
)L
(x
)2=
B; R
(x
)2B;
(ii
)L
(x
)2=
B; R
(x
)2=
B:
«ãç ©
R
(x
)2=
B; L
(x
)2B
«®£¨ç¥ (i
) ¨ ¬ë ¥£® ¥ à áᬠâਢ ¥¬. (i
): ᨫ㠫¥¬¬ë 5 ¨ 6 áãé¥áâ¢ã¥â è £n
1
, ¯®á«¥ ª®â®à®£®
x
¨L
(x
), ¥ áâ ¢¨âáï ¨ª ª ï ¬¥âª ,'
(n
1
;x
) ®¯à¥¤¥«¥®,
R
(x
) ¯®áâ ¢«¥ ¬¥âª ¨ ¡®«ìè¥ ¥ ᨬ¥âáï. ।¯®«®¦¨¬, çâ®'
(n
1
;x
)6=
'
(n
1+
t;x
) ¤«ï¥ª®â®à®£®t
2!
. â® ®§ ç ¥â, çâ® ª ª®¬-â® è £¥ 2k;
2k
n
1 ¨¬¥ì襥
m
2D
0n ,
㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î () è £ 2
k
, à ¢®x
. ® â ª ª ªR
(x
) ¯®¬¥ç¥® ¬¥âª®©, â®, ¥á«¨x
㤮¢«¥â¢®àï¥âãá«®¢¨î (), â®L
(x
) ⮦¥ã¤®¢«¥â¢®àï¥â (). «¥¤®¢ ⥫ì®,m
4L
(x
) ¨'
(n
1
;x
)=
'
(n
1+
t;x
)¤«ï «î¡®£®t
2!
. (ii
): ãáâìn
2
|è £,¯®á«¥ª®â®à®£® í«¥¬¥âë
x; L
(x
); R
(x
)¥áâ ¢¨âáï ¬¥â®ª. ®£¤ ¢ ᨫã ãá«®¢¨ïY
2
è £ 2
k
+1, ¤«ï «î¡®£®n > n
2¢ ¤¥à¥¢¥
D
n+1áãé¥áâ¢ãîâ â㯨ª¨
k
0; k
1â ª¨¥, çâ® í«¥¬¥âë æ¥¯¨
[k
i]
; i
1, ¥ ¯®¬¥ç¥ë ¬¥âª ¬¨ ¨k
1
4
L
(x
); k
24
R
(x
). ᨫ㠧 ¬¥ç ¨ï 3 áãé¥áâ¢ãîâ ¡¥áª®¥çë¥ æ¥¯¨0
;
1¢¤¥à¥¢¥
D
0â ª¨¥, çâ®
'
(n
2;L
(
x
))2 0; '
(
n
2;R
(
x
))2 2. ⮣ à â¨àã¥â,çâ® «î¡®¬è £¥2
k
¬¨¨¬ «ì®¥®â®á¨â¥«ì®¯®à浪 4ç¨á«®m
2D
0
2k
, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î (), ¥à ¢®
x
¨,á«¥¤®¢ ⥫ì®,'
(n
2;x
)=
'
(n
2+
t;x
) ¤«ï«î¡®£®t
2x
. Bª®ç ¨¥ ¤®ª § ⥫ìá⢠⥮६ë 1. «ï «î¡®£®
x
2 B D, ¥á«¨
x =
2J
, áãé¥áâ¢ã¥ân
i
2
D
nB; n
i
x
. ¤à㣮© áâ®à®ë, ¥á«¨x
y
, â® [x
] [y
]. «¥¤®¢ ⥫ì®,X
f[x
] 2 B=J
jx
2D
nB
g | ¯«®â®¥ ¬®¦¥á⢮ ¢ A=J
. 祢¨¤®, çâ®X
¯®à®¦¤ ¥â BD
=J
. ਬ¥ïï ⥮६ã 2.9 £« ¢ë 1 ¨§ [9],
¯®«ãç ¥¬, ç⮡㫥¢ «£¥¡à B
D
n
J
¨§®¬®àä «£¥¡à¥B D1
,£¤¥
D
1|¤¥à¥¢®,
¯®à®¦¤¥®¥ ¬®¦¥á⢮¬
D
nB
. ãáâìY
f[y
] 2 Bn jy
2D
0
¨ áãé¥áâ¢ãîâ
x
2D
¨t
02
!
â ª¨¥, çâ®y
='
(t
0;x
) ¨ ¤«ï «î¡®£®
t
2!
¢ë¯®«ï¥âáï'
(t
0;x
) =
'
(t
0+
t;x
) «¨¡®, ¥á«¨ â ª®£®t
0
¥â, â® «î¡®¥
t
2!
, çâ®y
='
(t;x
)g. ®ª ¦¥¬, çâ®Y
¯«®â® ¢ BD 0
n. § «¥¬¬ë 6 á«¥¤ã¥â, çâ® ¤«ï «î¡®£®
y
2D
0, ¥á«¨
y
| ¥ â㯨ª, â® áãé¥áâ¢ãîâx
2D
¨t
2D
â ª¨¥, çâ®y
='
(t;x
). ãáâìt
0| ¨¬¥ì襥 ç¨á«® â ª®¥, çâ®
'
(t
0;x
)=
'
(t
0+
t;x
); t
2!
. ᫨t
0
= 2
n
+ 1, â®'
(2n
+ 1;x
)'
(2n;x
). ᫨t
0= 2
n
+ 1, â® ¯ãáâìm
| ¨¬¥ì襥 ®â®á¨â¥«ì®¥ ¯®à浪 4 ç¨á«®, 㤮¢«¥â¢®àïî饥 ãá«®¢¨î () è £ 2n
+2; '
(t
0
;x
)4
m; m
='
(2n
+1;q
). § ®¯à¥¤¥«¥¨ï è £ 2n
+2 ¨¬¥¥¬, ç⮨
'(t
0
;x)4'(2n+2;q):
«¥¤®¢ ⥫ì®, Y ¯«®â® ¢ B
D 0
n. § «¥¬¬ 7 ¨ 8 á«¥¤ã¥â, çâ® Y ¯®à®¦¤ ¥â
B
D 0
n.
¤ ¤¨¬ äãªæ¨îf á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬,
f([[fn
1 ;:::;n
s
g])[[f'(t;n
1
);:::;'(t;n
s )g];
£¤¥ t | ¨¬¥ì襥 ç¨á«® â ª®¥, çâ® '(t;n
i
)='(t+k;n
i
); k 2!; is, «¨¡®,
¥á«¨ â ª®¥ ¥ áãé¥áâ¢ã¥â, â® ¯à®¨§¢®«ì®¥.
§®¯à¥¤¥«¥¨ï¤¥à¥¢ ¨á¯®á®¡ ¯®áâ஥¨ï ¯®¤¥à¥¢ã D¡ã«¥¢®© «£¥¡àë
B
D
¬®¦®¯®«ãç¨âì, ç⮤«ï«î¡®£®x2B
D
;x=[fp
1 ;:::;p
s
g,¨¬¥¥âáï
¥¤¨áâ-¢¥®¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥¨¥ ¬¨¨¬ «ì®© ¤«¨ë s. â® ¯®§¢®«ï¥â «¥£ª® ¯à®¢¥à¨âì
ª®à४â®áâì ®¯à¥¤¥«¥¨ï äãªæ¨¨ f.
ਬ¥ïï «¥¬¬ë 7 ¨ 8, «¥£ª® ¤®ª § âì, çâ® f § ¤ ¥â ¡¨¥ªæ¨î X Y
á á®åà ¥¨¥¬ ¢ª«î票©. ਬ¥ïï ⥮६ã 2.9 £« ¢ë 1 ¨§ [9], ¨¬¥¥¬, çâ®
¡ã«¥¢ë «£¥¡àë B
D 0=
¨ B
D
= ¨§®¬®àäë. ¥®à¥¬ 1 ¤®ª § . B
¥®à¥¬ 1¯®§¢®«ï¥â¤®ª § â쮤®¤®áâ â®ç®¥ãá«®¢¨¥á¨«ì®©
ª®áâàãª-⨢¨§¨à㥬®á⨠⮬ëå ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à.
¥®à¥¬ 2. ᫨ (B;)| ª®áâàãªâ¨¢ ï ⮬ ï ¡ã«¥¢ «£¥¡à , |
¨¤¥ « à¥è¥ «£¥¡àë B; ,1
()2 0
2
, â® B |á¨«ì® ª®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬 .
C® ⥮६¥1 áãé¥áâ¢ã¥â ᨫ쮪®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬 ï ⮬ ï¡ã«¥¢
«£¥¡à B 0
â ª ï, çâ® B 0
= ¨§®¬®àä B=. § ¯à¥¤«®¦¥¨ï 2.6 £« ¢ë 1 ¨§
[9] á«¥¤ã¥â, çâ® B 0
¨§®¬®àä B. B
¯®¬®éìî ⥮६ë1 ¬®¦®¤®ª § âì
«¥¤á⢨¥1[7]. ãáâìB|ª®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬 ï¡ã«¥¢ «£¥¡à .
®£-¤ áãé¥áâ¢ãîâá¨«ì® ª®áâàãªâ¨¢¨§¨àã¥¬ë¥ ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë B
1 ¨ B
2
â ª¨¥,
çâ® B
1
= B
2 ; B
1 =
=
B; B
1
r B
2
. ¤¥áì A
=
r
L ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë
४ãà-ᨢ® ¨§®¬®àäë.
«¥¤á⢨¥2 [5]. ãáâìB| ⮬ ï¡ã«¥¢ «£¥¡à . ®£¤ ,¥á«¨B=|
ª®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬 , â® B | á¨«ì® ª®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬 .
C«ï ¤®ª § ⥫ìá⢠㦮 ¢®á¯®«ì§®¢ âìáïªà¨â¥à¨¥¬
¢â®ãá⮩稢®á-⨠¡ã«¥¢ëå «£¥¡à. B
¨â¥à âãà
1. §£®¥¢ . . ª®áâàãªâ¨¢¨§¨à㥬®á⨠¡ã«¥¢ëå «£¥¡à // ª: IV
á¥á®î§ ï ª®ä¥à¥æ¨ï ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¥. ¥§¨áë ¤®ª« ¤®¢.|
¨è¨¥¢, 1976.|. 42.
2. ®ç ஢ . . ç¥âë¥ ¡ã«¥¢ë «£¥¡àë ¨ à §à¥è¨¬®áâì.|®¢®á¨¡¨àáª:
2{18
. . §£®¥¢
3. ®ç ஢ . ., à订 . . ®áâàãªâ¨¢ë¥ ¬®¤¥«¨.|®¢®á¨¡¨àáª:
-ãç ï ª¨£ , 2000.
4. à订 . . ¯à¥¤¥«¨¬®áâì ¨ ¢ëç¨á«¨¬®áâì.|®¢®á¨¡¨àáª: ãç ï
ª¨£ , 1996.
5. ¥à¥âïâ쪨 . . ¨«ì® ª®áâàãªâ¨¢ë¥ ¬®¤¥«¨ ¨ ã¬¥à æ¨¨ ¡ã«¥¢®©
«£¥¡àë ४ãàᨢëå ¬®¦¥á⢠// «£¥¡à ¨ «®£¨ª .|1971.|T. 10, ü 5.|
C. 535-557.
6. ®ç ஢ . . ¥ª®â®àë¥ á¢®©á⢠ª®áâàãªâ¨¢¨§ 権 ¡ã«¥¢ëå «£¥¡à //
¨¡. ¬ â. ¦ãà.|1976.|. 17, ü 2.|. 257{282.
7. Remmel J. B. Recursive isomorphism types of recursively presented Boolean
algebras // Notices Amer. Math. Soc.|1978, V. 25, ü 7, A-706.
8. §£®¥¢ . . ¥ª à⮢ë á⥯¥¨ ª®áâàãªâ¨¢ëå ¬®¤¥«¥© // ª: V
á¥á®î§ ï ª®ä¥à¥æ¨ï ¯® ¬ ⥬ â¨ç¥áª®© «®£¨ª¥. ¥§¨áë ¤®ª« ¤®¢.|
®¢®á¨¡¨àáª, 1979.|. 43-44.
9. §£®¥¢ . . ®áâàãªâ¨¢¨§ 樨 «£¥¡à ¨ç¥áª¨å ª®áâàãªæ¨©.|,
®-¢®á¨¡¨àáª: ¨áá. ᮨáª. ãç. á⥯. ª ¤. 䨧.-¬ â. ãª, 1980.