Teori Bahasa dan Automata. Finite State Automata & Non Finite State Automata

Teori Bahasa dan Automata

Finite State Automata &

Non Finite State Automata

Finite State Automata

• Model matematika suatu sistem yang menerima input dan output diskrit

• Mesin automata dari bahasa Regular

• Tidak memiliki tempat penyimpanan sehingga kemampuan mengingat

terbatas (contoh: elevator/lift)

• Aplikatif - berguna untuk merancang sistem nyata.

• Aplikasi meliputi : analisis leksikal, text-editor, protokol komunikasi

jaringan (kermit) dan parity checker (pengecek parity).

Finite State Automata

• FSA atau AH (Automata Hingga)

• didefinisikan sebagai pasangan 5 tupel  M = (Q, ∑, δ, S, F).

Q : himpunan hingga state

∑ : himpunan hingga simbol input (alfabet)

δ : fungsi transisi, menggambarkan transisi state FSA akibat pembacaan

simbol input.

Fungsi transisi ini biasanya diberikan dalam bentuk tabel.

S 

Q : state AWAL

F 

Q : himpunan state AKHIR

Teori Bahasa dan Automata

Finite State Automata

Contoh :

seorang petani dengan seekor serigala, kambing dan seikat rumput berada

pada suatu sisi sungai. Tersedia hanya sebuah perahu kecil yang hanya dapat

dimuati dengan petani tersebut dengan salah satu serigala, kambing atau

rumput. Petani tersebut harus menyeberangkan ketiga bawaannya kesisi lain

sungai. Tetapi jika petani meninggalkan serigala dan kambing pada suatu

saat, maka kambing akan dimakan serigala. Begitu pula jika kambing

ditinggalkan dengan rumput, maka rumput akan dimakan oleh kambing.

Mungkinkah ditemukan suatu cara untuk melintasi sungai tanpa

Teori Bahasa dan Automata

Sisi kiri Sisi Kanan Simbol State

PSKR Ø PSKR – Ø SR PK SR – PK SK PR SK – PR KR PS KR – PS PSR K PSR – K PSK R PSK – R PKR S PKR – S PK _{SR PK – SR} PR _{SK PR – SK} PS _{KR PS – KR} K _{PSR K – PSR} R _{PSK R – PSK} S _{PKR S – PKR} SKR P SKR – P P SKR P – SKR Ø PSKR _{Ø – PSKR}

Sisi kiri Sisi Kanan Simbol State

PSKR Ø PSKR – Ø SR PK SR – PK PSR K PSR – K PSK R PSK – R PKR S PKR – S PK _{SR PK – SR} K _{PSR K – PSR} R _{PSK R – PSK} S _{PKR S – PKR} Ø PSKR _{Ø – PSKR}

Dari 16 kemungkinan kombinasi state , hanya 10 state yang

memenuhi syarat. 16 kemungkinan kombinasi state

PKSR - Ø SR - PK PSR - K R - PKS S- PKR PKR - S PKS - R K - PSR PK - SR Ø - PKSR PK PK P P PS PS PR PR PK PK PK PK PS PS PR PR P P PK _PK Diagram Transisi

Deterministic FSA

Ada dua jenis FSA :

• Deterministic finite automata (DFA)

• Non deterministik finite automata.(NFA)

• DFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tertentu.

δ : Q  ∑ Q

• NFA : transisi state FSA akibat pembacaan sebuah simbol bersifat tak

tentu.

δ : Q  ∑  2

Q

Teori Bahasa dan Automata

Deterministic Finite Automata

Deterministic finite automata (DFA)  M = (Q, ∑, δ, S, F),

dimana :

Q : himpunan state/kedudukan

∑ : himpunan simbol input

∂ : fungsi transisi, dimana ∂



Q x ∑  Q

S : State awal (initial state)

F : himpunan state akhir (Final State)

Deterministic Finite Automata

Teori Bahasa dan Automata

∑= {a, b} _δ a b S = q0 q0 q0 q1 F = {q0, q1} q1 q0 q2 q2 q2 q2 DFA : Q = {q0, q1, q2}

δ diberikan dalam tabel berikut :

q0 q1 q2 a b a b a b L(M) = {abababaa, aaaabab,aabababa,…} 7 March 2013 9

Deterministic Finite Automata

Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima DFA di atas : abababaa, aaaabab , aaabbaba

Jawab :

δ (q0,abababaa)  δ (q0,bababaa)  δ (q1,ababaa)  δ (q0,babaa)  δ (q1,abaa)  δ (q0,baa)  δ (q1,aa)  δ (q0,a)  q0

Tracing berakhir di q0 (state AKHIR)  kalimat abababaa diterima

Kesimpulan :

Sebuah kalimat diterima oleh DFA di atas jika tracingnya berakhir di salah satu state AKHIR.

Non Deterministic Finite Automata

Non Deterministic finite automata (NFA)  M = (Q, ∑, δ, S, F),

dimana :

Q : himpunan state/kedudukan

∑ : himpunan simbol input

∂ : fungsi transisi, dimana ∂



Q x (∑ ⋃



)  P(Q)

P(Q) : set of all subsets of Q

S : State awal (initial state)

F : himpunan state akhir (Final State)

Language  L(M) : (x| ∂(S,x) di dalam F)

Teori Bahasa dan Automata

Non Deterministic Finite Automata

∑= {a, b,c} δ a b c S = q0 Q 0 {q0 , q 1} {q0 , q2 } {q0 , q3 } F = {q4} q 1 {q1 , q4 } {q1 } {q 1} q 2 {q2 } {q 2, q4 } {q 2} q3 {q3 } {q3 } {q 3, q4 } q 4    0 0 0 102034 114 1122242333

Berikut ini sebuah contoh NFA (Q, ∑, δ, S, F). dimana : Q = {q 0, q1 , q2 ,q3 , q4 }

Teori Bahasa dan Automata ∑= {a, b,c} δ a b c S = q0 q 0 {q0 , q 1} {q0 , q2 } {q0 , q3 } F = {q4 } q 1 {q1 , q4 } {q1 } {q 1} q 2 {q2 } {q 2, q4 } {q 2} q3 {q3 } {q3 } {q 3, q4 } q 4    q1 q4 a,b,c a a,b,c c b a c b a,b,c a,b,c L(M) = {aabb,…} q1 q0 q3 q2 7 March 2013 13

Sebuah kalimat di terima NFA jika :

Salah satu tracing-nya berakhir di state AKHIR, atau

himpunan state setelah membaca string tersebut mengandung state AKHIR Telusurilah, apakah kalimat-kalimat berikut diterima NFA di atas :

ab, abc, aabc, aabb Jawab:

δ(q0 ,ab)  δ(q0,b)  δ(q1 ,b)  {q0, q2}  {q1 } = {q0 , q1 , q2}

Himpunan state TIDAK mengandung state AKHIR  kalimat ab tidak diterima

δ(q0 ,abc)  δ(q0 ,bc)  δ(q1 ,bc)  { δ(q0 ,c)  δ(q2 ,c)}δ(q1 , c) {{ q0 , q3 }{ q2 }}{ q1 } = {q0 , q1 , q2 ,q3 }

Ekuivalensi Antar Deterministic Finite Automata

• Dua DFA M1 dan M2 dinyatakan ekivalen apabila L(M1) =

L(M2)

Teori Bahasa dan Automata

q1 q0 q0 M2 M1 0 0 0 7 March 2013 15

Reduksi Jumlah State Pada FSA

• Reduksi dilakukan untuk mengurangi jumlah state tanpa mengurangi

kemampuan untuk menerima suatu bahasa seperti semula (efisiensi)

• State pada FSA dapat direduksi apabila terdapat useless state

Reduksi Jumlah State Pada FSA

Pasangan State dapat dikelompokkan berdasarkan:

• Distinguishable State (dapat dibedakan)

Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan indistinguishable apabila:

δ(q,w) 

F dan δ(p,w)



F atau δ(q,w)

∉

F dan δ(p,w)

∉

F

untuk semua w

 S*

• Indistinguishable State ( tidak dapat dibedakan)

Dua state p dan q dari suatu DFA dikatakan distinguishable jika ada string w  S* hingga:

δ(q,w) 

F dan δ(p,w)

∉

F

Teori Bahasa dan Automata

Reduksi Jumlah State Pada FSA - Relasi

Pasangan dua buah state memiliki salah satu kemungkinan :

distinguishable atau indistinguishable tetapi tidak kedua-duanya. Dalam

hal ini terdapat sebuah relasi :

Jika p dan q indistinguishable, dan q dan r indistinguishable maka p, r indistinguishable dan

p,q,r indistinguishable

Dalam melakukan eveluasi state, didefinisikan suatu relasi : Untuk Q yg

merupakan himpunan semua state

– D adalah himpunan state-state distinguishable, dimana D  Q – N adalah himpunan state-state indistinguishable, dimana N  Q – maka x  N jika x  Q dan x  D

Teori Bahasa dan Automata

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step

• Hapuslah semua state yg tidak dapat dicapai dari state awal (useless state) • Buatlah semua pasangan state (p, q) yang distinguishable, dimana

p  F dan q F. Catat semua pasangan-pasangan state tersebut. • Cari state lain yang distinguishable dengan aturan:

“Untuk semua (p, q) dan semua a  ∑, hitunglah δ (p, a) = p_a dan δ (q, a) = q_a . Jika pasangan (p_a, q_a) adalah pasangan state yang distinguishable maka pasangan (p, q) juga termasuk pasangan yang distinguishable.

• Semua pasangan state yang tidak termasuk sebagai state yang distinguishable merupakanstate-state indistinguishable.

• Beberapa state yang indistinguishable dapat digabungkan menjadi satu state. • Sesuaikan transisi dari state-state gabungan tersebut.

Teori Bahasa dan Automata

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Contoh

q2 q₀ q1 1 0 q₄ 1 1 0,1 q₃ 0 0 0 1 q₅ 0 1 Sebuah Mesin DFA

Lakukan Reduksi state pada DFA diatas?

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step

• State q5 tidak dapat dicapai dari state awal dengan jalan apapun (useless state).

Hapus state q5

• Catat state-state distinguishable, yaitu :

q4  F sedang q0, q1, q2, q3 F sehingga pasangan

(q0, q4) (q1, q4) (q2, q4) dan (q3, q4) adalah distinguishable.

• Pasangan-pasangan state lain yang distinguishable diturunkan berdasarkan pasangan dari langkah 2, yaitu :

– Untuk pasangan (q0, q1)

δ(q0, 0) = q1 dan δ(q1, 0) = q2  belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q1, 1) = q4  (q3, q4) distinguishable maka (q0, q1) adalah distinguishable.

– Untuk pasangan (q0, q2)

δ(q0, 0) = q1 dan δ(q2, 0) = q1  belum teridentifikasi δ(q0, 1) = q3 dan δ(q2, 1) = q4  (q3, q4) distinguishable maka (q0, q2) adalah distinguishable.

Teori Bahasa dan Automata

Reduksi Jumlah State Pada FSA – Step

• Setelah diperiksa semua pasangan state maka terdapat state-state yang

distinguishable : (q0,q1), (q0,q2), (q0,q3), (q0,q4), (q1,q4), (q2,q4), (q3,q4)

Karena berdasarkan relasi-relasi yang ada, tidak dapat dibuktikan (q1, q2), (q1, q3) dan (q2, q3) distinguishable, sehingga disimpulkan pasangan-pasangan state

tersebut indistinguishable.

• Karena q1 indistinguishable dengan q2, q2 indistinguishable dengan q3, maka dapat disimpulkan q1, q2, q3 saling indistinguishable dan dapat dijadikan satu state.

• Berdasarkan hasil diatas maka hasil dari DFA yang direduksi menjadi:

q1,2,3

q₀ 0 , 1 q₄

0

1