BAB IV METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

(1)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA 35

BAB IV

METODE BINOMIAL UNTUK

PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Pada bab ini akan dibahas suatu pendekatan numerik untuk penentuan harga opsi Asia, khususnya opsi Asia dengan rata-rata geometrik. Metode yang dipakai adalah metode binomial, yang akan dibahas terlebih dahulu untuk kasus vanilla

option. Selain itu, pada bab ini juga akan ditampilkan contoh penerapan metode

binomial tersebut pada suatu program Matlab 7.0.

4.1 Metode Binomial Untuk Penentuan Harga Opsi

Metode binomial adalah metode yang dimulai dari model diskrit pergerakan harga saham yang sederhana. Selang waktu

[ ]

0,T (di mana T=maturity

time) dibagi menjadi subselang yang panjangnya seragam dengan titik-titik N 0 1 0= < < <t t ... t_N = di mana T t_i i t i

(

0,1,...,N

)

, t T N = Δ = Δ = dan

adalah harga saham pada saat .

( )

i

S =S ti ti

Penentuan Harga Opsi Asia Riswan Harapan (10103024)

(2)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA Asumsi yang digunakan:

1. Dalam selang waktu tΔ , harga saham dapat naik atau turun menjadi atau dengan 0 1

S→ uS S→Sd < < < d u

2. Peluang harga saham naik P naik

(

)

= p

3. Ekspektasi return harga saham besarnya sama dengan risk-free rate r sehingga untuk harga saham yang bergerak secara acak dari pada saat menjadi pada saat

S S_i i t S_i+₁ ti+1. Ini berarti

( )

1 r t i i E S₊ =S e Δ

Pada tahap ini ketiga buah parameter u,d, dan p nilai-nilainya belum diketahui. Nilai parameter-parameter ini akan dapat ditentukan setelah kita memiliki cukup persamaan yang menghubungkan ketiga parameter tersebut ataupun dengan menambahkan asumsi baru.

Dari asumsi (1) dan (2) diperoleh

( )

i 1 i

(

1

)

i E S₊ = p S u+ −p S d (4.1) sehingga

(

1

)

r t r t e d e p u p d p u d Δ Δ ₌ _{+ −} _{→ =} − − (4.2)

karena 0≤ ≤ 1p maka haruslah d≤er tΔ ≤u. Dari model kontinu kita miliki

( )

(₂ 2) 2 2 1 , r t i i E S₊ =S e +σ Δ (4.3)

( )

₂

(

( )

)

2 ₂ ₂

(

2

)

1 1 1 1 r t t i i i i Var S₊ =E S₊ − E S₊ =S e Δ eσ Δ − (4.4)

dan dari model diskrit kita punyai

( )

(

) (

2

)(

)

2 ₂

(

)

2

1 1

i i i i

Var S₊ = p S u + − p S d −S p u+ −1 p d . (4.5)

Dengan menyamakan kedua variansi (diskrit dan kontinu) maka kita dapatkan

(

)

2 2 2 1 r t t e Δ + Δσ = p u + −p d2 (4.6) .

(3)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA

Persamaan (4.2) dan (4.6) memberikan 2 hubungan untuk u, d, dan p. Persamaan ketiga dapat kita pilih. Persamaan ketiga yang sering digunakan adalah

1

ud = atau p=1/ 2. Jika kita pilih ud =1 , maka akan diperoleh solusi:

( )

(

2

)

2 2 1, 1, 1 dengan 2 r t r t u d e e σ β β β β β − Δ + Δ = + − = − − = + dan . r t e d p u d Δ ₋ = −

dan untuk p=1/ 2 solusinya adalah

(

)

(

)

2 2 2 2 1 1 1 1 t t t t u e e d e e σ σ σ σ Δ Δ Δ Δ , . = + − = − −

Setelah itu, harga saham dihitung untuk setiap titik bagi (ti) yakni

0 j i j ji

S =S u d − (4.7)

dengan Sji menyatakan harga saham pada saat ti dengan telah terjadi

kenaikan harga saham sebesar j kali serta penurunan harga saham sebesar

(i-j) kali (untuk i=0,1,...,N dan j=0,1,...,i).

Setelah itu, akan dicari nilai payoff untuk semua nilai j yang mungkin pada saat maturity ( t =N). Adapun pada saat ti selalu terdapat i+ 1

kemungkinan sehingga pada saat expiration date terdapat

(

N+ 1

)

kemungkinan. Sehingga V_jM =maks S

{

_jM −K, 0

}

untuk opsi call dan

{

, 0

}

jM jM

V =maks K−S untuk opsi put (untuk j=0,1,...,N).

Metode binomial selanjutnya bekerja secara rekursif (dalam waktu) untuk memperoleh nilai opsi pada saat t= . Untuk tiap titik berlaku 0 t_i

(

)

Ät 1 1 (1 ) 1 r ji j i j i V =e− pV _{+ +} + −p V ₊ (4.8)

(4)

Namun untuk tipe Amerika, harus dilakukan pengujian lebih lanjut, karena

early exercise dapat terjadi pada opsi Amerika. Untuk opsi Amerika, berlaku

(

)

{

Ät

}

1 1 1 *, r (1 ) ji j i j i V =maks payoff e− pV_{+ +} + −p V ₊ (4.9)

{

}

{

}

* , 0 untuk * , 0 untuk ji ji

payoff maks S K call

payoff maks K S put

= −

1, 2,..., 0 dan 0,1,...,

i=N− N− j= i

4.2 Metode Binomial pada Opsi Asia dengan Rata-rata Geometrik

Misalkan sebuah opsi Eropa yang masa hidupnya berlangsung pada waktu , di mana T merupakan expiration date-nya. Selang waktu tersebut

dibagi menjadi sejumlah selang diskrit, sehingga kita memiliki titik-titik waktu [0, ]T N , 0,1, , , n t nΔ = … N dengan t T N

Δ = . Misalkan adalah suku bunga dan

r

σ merupakan nilai volatilitas harga underlying asset.

Misal rata-rata geometrik dinyatakan dengan

0 exp , dengan ln 1 n n n i I i I S n = ⎛ ⎞ ₌ ⎜ ₊ ⎟ ⎝ ⎠

∑

(4.10)

Misalkan pula S_n menyatakan harga saham pada titik ke- , dan n

(

_n, _n,

)

V S I n adalah harga opsi geometrik pada titik ke- . akan bergerak naik menjadi dengan probabilitas atau bergerak turun menjadi dengan probabilitas

n S_n

n

S u p S d_n

(

1−p

)

pada titik ke-

(

n+ . Kemudian, dengan 1

)

memilih r t e d p u d Δ ₋ = −

dan dengan pengaproksimasian: ( 2) 2 2 1 1 1 1 2 r t r t e r t e r t t σ σ β σ − Δ + Δ ≈ − Δ t ≈ + Δ + Δ ≈ + Δ

(5)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA maka bisa didapatkan:

1 , t u e d u σ Δ = = (4.11)

Selain itu, I_n juga akan naik menjadi I_nu₊₁ atau turun menjadi I_nd₊₁, di mana

( )

(

)

1 1 ln ln ln ln u n n n n n d n n n n n I I S u I S t I I S d I S σ σ + + t = + = + + Δ = + = + − Δ (4.12)

dan dengan menggunakan metode binomial standar, maka akan didapatkan formulasi harga opsi sebagai berikut:

(

, ,

)

(

, 1, 1

)

(

1

)

(

, 1, 1

)

r t u d

n n n n n n

V S I n =e− Δ _⎣⎡pV S u I ₊ n+ + −p V S d I ₊ n+ ⎤_⎦ (4.13)

Kemudian, metode binomial untuk opsi dengan rataan geometrik ini akan dipecah menjadi dua bagian besar, yakni untuk tipe average strike dan

average value.

a. Average Strike Asian Option dengan rata-rata geometrik

Payoff untuk opsi jenis ini dinyatakan dalam:

(

_, _,

)

_max 1_{, 0} N I N N N N V S I N = ⎧⎪⎨S −e + ⎫⎪⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (4.14) Misalkan

(

_n, _n,

)

_n n

( )

_n , dengan _n _n

(

1 ln

)

_n V S I n =S W y y = − +I n S

Kemudian, dari perumusan I_n di atas, dapat ditulis:

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 ln , kemudian 2 ln ln 2 ln 2 1 ln 1 1 u n n n u n n n n n n n n I I S t I n S u I S t n S n I n S n t y n t σ σ σ σ σ + + = + + Δ t ⎡ ⎤ − + = + + Δ −_⎣ + + + Δ _⎦ = − + − + Δ = − + Δ

sehingga perumusan harga opsi untuk titik ke

(

n+ ditulis kembali 1

)

menjadi:

(

)

1

(

)

1 , u , 1 n 1 n n n n V S u I ₊ n+ =S uW + y − +n σ Δt ,

(6)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA dan dengan cara serupa dapat pula dituliskan:

(

)

1

(

)

1

, d , 1 n 1

n n n n

V S d I ₊ n+ =S dW + y + +n σ Δ t

Dengan menerapkan rumusan umum metode binomial pada persamaan (4.13), maka bisa ditulis:

( )

1

(

)

(

)

1

(

)

1 1 1 n r t n n n n n W y =e− Δ ⎡_⎣puW + y − +n σ Δ + −t p dW + y + n+ σ Δt ⎤_⎦ (4.15)

dan pada waktu expiry, berlaku

( )

1 1 max , 0 max 1 , 0 N N I N _I N N N N N N S e e W y S S + + ⎛ ⎧_⎪ ⎫_⎪⎞ − ⎜ ⎨ ⎬⎟ ⎧ ⎫ ⎜ _⎪_⎩ _⎪_⎭⎟ _⎪ _⎪ ⎝ ⎠ = = _⎨ − _⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭

( )

_{max 1} 1_{, 0} N y N _N N W y = ⎧⎪_⎨ −e + ⎫⎪_⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (4.16)

Catat bahwa I₀ =lnS₀ dan y₀ = . Kemudian, dalam tujuan untuk 0 menentukan nilai V S I

(

0, 0, 0

)

=S W0 0

( )

0 , kita harus mencari nilai-nilai

di setiap titik yang berada di interval:

n W

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 0 0 1 1 1 , 1 , 2 2 n n k k n n n n k σ t k σ t σ t − − = = ⎛ + + ⎞ ⎛ ⎞ − + Δ + Δ = −_⎜ Δ Δ _⎟ ⎜ ⎟ ⎝

∑

⎠ ⎝ σ t⎠.

Supaya mempermudah pembacaan notasi, sebut saja Wn

( )

j =Wn

(

jσ Δ . t

)

Sehingga, didapat perumusan:

( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 1 1 1 1 1 untuk 0 1, , 2, , 2 2 2 n r t n n W j e puW j n p dW j n n n n n n n n N j − Δ _⎡ + + _⎤ = _⎣ − + + − + _⎦ + + + ≤ ≤ − = − − + … + (4.17)

sedangkan di titik expiry, berlaku

(7)

( )

(

)

(

)

(

)

1 1 max 1 , 0 max 1 , 0 , 1 1 untuk , 2, , 2 2 2 j t j N _N _N W j e u N N N N N N j σ Δ + + ⎧ ⎫ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ = _⎨ − _⎬= _⎨ − _⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ ⎩ ⎭ 1 + + + = − − + … (4.18)

Untuk lebih jelasnya, di bawah ini akan disajikan algoritma penghitungan nilai call European Average Strike Geometric Asian Option:

: Masukan r, , , , σ S₀ T N : Hitung Δ =t T N u d p/ , , ,

(

)

(

)

(

)

( )

1 untuk 1 1 , 2, , 2 2 2 max 1 , 0 j N _N t N N N N N N N for j W j u + = 1 + + + = − − + ⎧ ⎫ = _⎨ − _⎬ ⎩ ⎭ …

(

)

(

)

(

)

( )

1

(

)

(

)

1

(

)

, 1, , 1 1 1 , 2, , 2 2 2 1 1 1 n r t n n for n N N n n n n n n for j W j e− Δ puW + j n p dW + j n = − + + + = − − + ⎡ ⎤ = _⎣ − + + − + + _⎦ … … : Keluaran 0

( )

0

( )

0 0 0 * C =W S

Dan algoritma untuk nilai put European Average Strike Geometric Asian

Option: : Masukan r, , , , σ S₀ T N : Hitung Δ =t T N u d p/ , , ,

(

)

(

)

(

)

( )

1 untuk 1 1 , 2, , 2 2 2 max 1, 0 j N _N t N N N N N N N for j W j u + = 1 + + + = − − + ⎧ ⎫ = _⎨ − _⎬ ⎩ ⎭ …

(

)

(

)

(

)

( )

1

(

)

(

)

1

(

)

, 1, , 1 1 1 , 2, , 2 2 2 1 1 1 n r t n n for n N N n n n n n n for j W j e− Δ puW + j n p dW + j n = − + + + = − − + ⎡ ⎤ = _⎣ − + + − + + _⎦ … …

(8)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA : Keluaran 0

( )

0

( )

0 0 0 * C =W S

Selain itu, algoritma untuk nilai call American Average Strike Geometric

Asian Option: : Masukan r, , , , σ S₀ T N : Hitung Δ =t T N u d p/ , , ,

(

)

(

)

(

)

( )

1 untuk 1 1 , 2, , 2 2 2 max 1 , 0 j N N t N N N N N N N for j W j u + = 1 + + + = − − + ⎧ ⎫ = _⎨ − _⎬ ⎩ ⎭ …

(

)

(

)

(

)

( )

1

(

)

(

)

1

(

)

1 , 1, , 1 1 1 , 2, , 2 2 2 max 1 1 1 , 1 j n r t n n n for n N N n n n n n n for j W j e− Δ puW + j n p dW + j n u + = − + + + = − − + ⎧ ⎛ ⎞⎫ ⎪ _⎡ _⎤ ⎪ = _⎨ _⎣ − + + − + + _⎦ _⎜ − _⎟_⎬ ⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭ … … : Keluaran 0

( )

0

( )

0 0 0 * C =W S

Dan algoritma untuk nilai put American Average Strike Geometric Asian

Option: : Masukan 0 , , , , r σ S T N : Hitung Δ =t T N u d p/ , , ,

(9)

(

)

(

)

(

)

( )

1 untuk 1 1 , 2, , 2 2 2 max 1, 0 j N _N t N N N N N N N for j W j u + = 1 + + + = − − + ⎧ ⎫ = _⎨ − _⎬ ⎩ ⎭ …

(

)

(

)

(

)

( )

1

(

)

(

)

1

(

)

1 , 1, , 1 1 1 , 2, , 2 2 2 max 1 1 1 , 1 j n r t n n n for n N N n n n n n n for j W j e− Δ puW + j n p dW + j n u + = − + + + = − − + ⎧ ⎛ ⎞⎫ ⎪ _⎡ _⎤ ⎪ = _⎨ _⎣ − + + − + + _⎦ _⎜ − _⎟_⎬ ⎪ ⎝ ⎠⎪ ⎩ ⎭ … … : Keluaran 0

( )

0

( )

0 0 0 * C =W S

b. Average Value Asian Option dengan rata-rata geometrik

Payoff untuk opsi jenis ini dinyatakan dalam:

(

_, _,

)

_max 1 _{, 0 , dengan =} N I N N N V S I N = ⎧⎪_⎨e + −X ⎫⎪_⎬ X strike price ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ (4.19)

Untuk kali ini, akan dimisalkan

(

_n, _n,

)

n

( )

_n , dengan _n _n

(

)

ln _n

V S I n =W y y = +I N−n S

Kemudian, dari perumusan I_n di atas, dapat ditulis:

(

) ( )

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 ln , kemudian 1 ln ln 1 ln 1 ln u n n n u n n n n n n n n I I S t I N n S u I S t N n S N n t I N n S N n t y N n t σ σ σ σ σ + + = + + Δ ⎡ ⎤ + − − = + + Δ +_⎣ − − + − − Δ _⎦ = + − + − Δ = + − Δ

Dengan prosedur serupa dengan average strike, maka akan didapatkan

( )

1

(

)

(

)

1

(

)

1 n r t n n n n n W y =e− Δ ⎡_⎣pW + y + N−n σ Δ + −t p W + y − N−n σ Δt ⎤_⎦ (4.20)

dan pada n=N, berlaku

(10)

( )

_max 1 _{, 0} y n _N W y = ⎧_⎨e + −X ⎫_⎬ ⎩ ⎭ (4.21)

Catat bahwa y0 = +I0 NlnSo =

(

N+1 ln

)

So. Kemudian, dalam tujuan untuk

menentukan nilai V S I

(

₀, ₀, 0

)

=W0

( )

y₀ , kita harus mencari nilai-nilai di setiap titik yang berada di interval :

n W

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 0 0 0 0 0 0 , 2 1 2 1 , 2 2 n n k k y N k t y N k t n N n n N n y t y σ σ σ σ − − = = ⎛ ₋ ₋ _Δ ₊ ₋ _{Δ =}⎞ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ − + − + ⎞ − Δ + ⎜ ⎟ ⎝ ⎠

∑

t Δ Notasikan Wn

( )

j =Wn

(

y₀+ jσ Δ . t

)

Sehingga, didapat perumusan:

( )

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

1 1 1 2 1 2 1 2 untuk 0 1, , 2, , 2 2 2 n r t n n W j e pW j N n p W j N n n N n n N n n N n n N j − Δ _⎡ + + _⎤ = _⎣ + − + − − + _⎦ 1 − + − + − ≤ ≤ − = − − + … + (4.22)

sedangkan di titik expiry, berlaku

( )

(

)

(

)

(

)

0 1 1 0 max , 0 max , 0 , 1 1 1 untuk , 2, , 2 2 2 y j t j N N N W j e X S u X N N N N N N j σ + Δ + + ⎧ ⎫ _⎧ _⎫ ⎪ ⎪ = _⎨ − _⎬= _⎨ − ⎪ ⎪ ⎩ ⎩ ⎭ + + + = − − + … ⎬ ⎭ _(4.23)

dengan =X strike price

Berikut adalah algoritma penentuan harga call Average Value Geometric

Asian Options:

:

Masukan r, , , , σ S₀ T N

:

Hitung Δ =t T N u d p/ , , ,

(11)

(

)

(

)

(

)

( )

1 0 untuk 2 1 2 1 2 1 , 2, , 2 2 2 max , 0 j N _N t N n N n n N n n N n for j W j S u + X = − + − + − = − − + ⎧ ⎫ = _⎨ − _⎬ ⎩ ⎭ … +

(

)

(

)

(

)

( )

1

(

) (

)

1

(

)

, 1, , 2 1 2 1 2 1 , 2, , 2 2 2 n n r t n 1 n for n N N n N n n N n n N n for j W j W j e− Δ pW + j N n p W + j N n = − − + − + − + = − − + ⎡ ⎤ = = _⎣ + − + − − + _⎦ … … : Keluaran 0

( )

0

( )

0 0 C =W

Dan berikut juga akan disajikan algoritma penentuan harga put European

Average Value Geometric Asian Options:

: Masukan r, , , , σ S₀ T N : Hitung Δ =t T N u d p/ , , ,

(

)

(

)

(

)

( )

1 0 untuk 2 1 2 1 2 1 , 2, , 2 2 2 max , 0 j N N t N n N n n N n n N n for j W j X S u + = − + − + − = − − + ⎧ ⎫ = _⎨ − _⎬ ⎩ ⎭ … +

(

)

(

)

(

)

( )

1

(

) (

)

1

(

)

, 1, , 2 1 2 1 2 1 , 2, , 2 2 2 n n r t n 1 n for n N N n N n n N n n N n for j W j W j e− Δ pW + j N n p W + j N n = − − + − + − + = − − + ⎡ ⎤ = = _⎣ + − + − − + _⎦ … … : Keluaran 0

( )

0

( )

0 0 C =W

Namun transformasi yang dilakukan pada opsi ini tidak bisa digunakan untuk menghitung nilai American Average Value Geometric Asian Options

(12)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA 4.3 Program Binomial dengan MATLAB

Pada kesempatan ini, akan dilakukan simulasi metode binomial untuk menentukan harga opsi Asia tipe geometrik dengan nilai-nilai masukan sebagai berikut:

r =0.09, σ =0.2, saham awal =100,

time to maturity=1/3, strike price=95 (untuk tipe average value)

1 , , r t t e d u e d p u u σ Δ Δ d − = = = −

Berikut akan ditampilkan hasilnya:

a. Average strike call options

Akan dihitung nilai W, dan nilai C di saat (0) dihitung dengan hubungan:

(

)

0

( )

0, 0, 0 0 0 V S I =S W N Harga C Eropa Harga P Eropa Harga C Amerika Harga P Amerika 4 3,45 1,84 3.45 1,95 10 3,49 1,89 3.49 1,98 50 3,51 1,91 3,51 2,00 100 3,51 1,91 3,51 2,00 200 3,51 1,91 3,51 2,00 300 3,51 1,91 3,51 2,00 500 3,51 1,91 3,51 2,00 eksak 3,51

(13)

Ilustrasi gambar pohon binomial untuk European Average Strike Geometric

Asian Options: 0.0345 0.040 0.026 0.053 0.035 0.022 0.072 0.051 0.038 0.026 0.013 0 0.109 0.066 0.086 0.045 0.022 0 0 0 0 0 0 0 0.015

b. Average value call options

N Harga C Eropa Harga P Eropa 4 6,691 0,5009 10 6,729 0,5295 50 6,7543 0,5468 100 6,7577 0,5492 200 6,7594 0,5504

(14)

BAB IV : METODE BINOMIAL UNTUK PENENTUAN HARGA OPSI ASIA 300 6,7600 0,5508 500 6,7604 0,5512 800 6,7607 0,5513 Eksak 6,7611 0,5517

Ilustrasi gambar pohon binomial untuk European Average Value Geometric

Asian Options: 6.69 2.3 10.3 0.14 4.1 13.6 15.9 10.9 8.5 0.36 6.2 3.9 1.2 17.2 14.6 12.1 9.7 7.3 5 2.9 0.48 0 0 0 0 6.4