Trihastuti Agustinah

(1)

Trihastuti Agustinah

Bidang Studi Teknik Sistem Pengaturan Jurusan Teknik Elektro - FTI

Institut Teknologi Sepuluh Nopember

(2)

OBJEKTIF TEORI CONTOH SIMPULAN LATIHAN 1 2 3 4 5

O U T L I N E

(3)

OBJEKTIF Teori Contoh Simpulan Latihan

Tujuan Pembelajaran Mahasiswa mampu:

1. Menjelaskan definisi dari matriks 2. Melakukan operasi matriks

3. Menggunakan sifat-sifat operasi matriks dan aturan aritmatika matriks

4. Membedakan tipe matriks

(4)

Objektif TEORI Contoh Simpulan Latihan

Pendahuluan

Matriks merupakan tool untuk mendapatkan solusi dari persoalan sistem linear.

(5)

TEORI

Operasi Matriks dan Sifatnya Kombinasi Linear Perkalian Matriks Tipe-tipe Matriks Notasi-notasi Menu Teori Definisi Matriks

Sistem Linear Dalam Bentuk Matriks

Contoh Simpulan Latihan Objektif

(6)

TEORI

Definisi dan Notasi Matriks

a₁₁ a₁₂ ··· a_1n a₂₁ a₂₂ ··· a_2n ··· ··· ··· a_m1 a_m2 ··· a_mn baris (m) kolom (n)

=

m×n

A

matriks kuantitas

entri = a_ij atau (A)_ij

Simpulan Latihan

(7)

Notasi Vektor Matriks Am×n             = mn m m n n a a a a a a a a a A       2 1 2 22 21 1 12 11 ] [a₁ a₂  a_n = a

Matriks baris dan kolom:

– huruf kecil cetak tebal – vektor             = m b b b  2 1 b

Contoh Simpulan Latihan Objektif TEORI

(8)

Operasi Matriks (1)

Matriks A dan B adalah sama

– Ukuran sama

– Entri yang bersesuaian sama

Hasilkali cA (c adalah skalar)

 _{Perkalian tiap entri A dengan c}

A = B ↔ (A)ij= (B)ij atau aij= bij

(cA)ij = c(A)ij = caij

(9)

Operasi Matriks (2)

Jumlah A+B

– Ukuran sama

– Penjumlahan entri yang bersesuaian sama

Selisih A-B

(A + B)ij = (A)ij+ (B)ij = aij+ bij

(A – B)ij = (A)ij– (B)ij = aij– bij

(10)

Sifat-sifat Operasi Matriks

 _{Asumsi ukuran matriks berikut sesuai}

 Operasi berikut adalah valid

A B B A + = + C B A C B A + ( + ) = ( + ) + C AB BC A( ) = ( ) AC AB C B A( + ) = + AC AB C B A( − ) = − aC aB C B a( ± ) = ± bC aC C b a ± ) = ± ( ) ( ) ( ) (BC aB C B aC a = =

(11)

Kombinasi Linear

• Matriks A₁, A₂, …, A_n berukuran sama

• c₁, c₂, …, c_n adalah skalar Kombinasi linear: n n

A

c

A

c

A

c

₁ ₁

+

₂ ₂

+



+

(12)

Perkalian Matriks (1) rj ir j i j i ij

a

b

a

b

a

b

AB

)

=

₁ ₁

+

₂ ₂

+



+

(

 _{Matriks A}_mxr _{dan B}_rxn  Hasilkali AB:

 _{Perkalian matriks melalui}

 _{kolom dan baris}  _{kombinasi linear}

(13)

Perkalian Matriks (2) Partisi matriks           = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a A       = 22 21 12 11 A A A A

Partisi ke dalam vektor baris

          = 3 2 1 r r r

Partisi ke dalam vektor kolom

] [c₁ c₂ c₃ c₄ =           = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a A           = 34 33 32 31 24 23 22 21 14 13 12 11 a a a a a a a a a a a a A

(14)

Perkalian Matriks: kolom dan baris (3)

Perkalian matriks menggunakan kolom

] [ ] [ ₁ ₂ _n A ₁ A ₂ A _n A AB = b b  b = b b  b             =             = B B B B AB m m a a a a a a   2 1 2 1

Perkalian matriks menggunakan baris

(15)

Perkalian Matriks: kolom dan baris (4)

• Perkalian matriks tanpa menghitung semua

hasilkalinya

• Cara melakukan perkalian:

Matriks kolom ke-j dari AB = A [kolom ke-j dari B]

Matriks baris ke-i dari AB = [baris ke-i dari A] B

(16)

Perkalian Matriks: kombinasi linear (5)

Matriks dan vektor

            = mn m m n n a a a a a a a a a A       2 1 2 22 21 1 12 11             = n x x x  2 1 x

Perkalian matriks dengan vektor

            + +             +             =             + + + + + + + + + = mn n n n m m n mn m m n n n n a a a x a a a x a a a x x a x a x a x a x a x a x a x a x a A           2 1 2 22 12 2 1 21 11 1 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11 x

(17)

Tipe Matriks dan Operasinya: Transpos

Matriks A_mxn

– transpos A  AT

– matriks nxm hasil pertukaran baris dan kolom

(AT₎

ij=(A)ji

Transpos matriks bujursangkar

1 -2 3 0 0 5 0 7 4 A = AT ₌ 1 -2 3 0 0 5 0 7 4 A =

(18)

Tipe Matriks dan Operasinya: Transpos Sifat-sifat:  _((A)T₎T _{= A}  _{(A ± B)}T _{= A}T ± BT  _(kA)T _{= kA}T  _(AB)T _{= B}T_AT

Jika A dapat dibalik (di-invers-kan)

 _(AT₎_-1 _{= (A}_-1₎T

(19)

Tipe Matriks dan Operasinya: Trace

• Matriks bujursangkar

• Jumlah entri dalam diagonal utama

          = 33 32 31 23 22 21 13 12 11 a a a a a a a a a A 33 22 11 ) ( tr A = a + a + a             − − − − = 0 1 2 4 3 7 2 1 4 8 5 3 0 7 2 1 B tr(B) = −1+ 5 + 7 + 0 =11

(20)

Tipe Matriks dan Operasinya: Nol

Matriks dengan semua entri bernilai nol

Operasi dengan matriks nol

      0 0 0 0       0 0 0 0 0 0           0 0 0 A A A+ 0 = 0 + = 0 = − A A A A = − − 0 0 0 0 = A = A

(21)

Tipe Matriks dan Operasinya: Identitas

• Matriks bujursangkar dengan diagonal bernilai 1

dan entri lainnya bernilai nol

• Notasi: I

• Jika ukuran diperhatikan: I_n

• Perkalian dengan matriks A_m×n

          = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 I A AI_n = A A I_m =

(22)

Tipe Matriks dan Operasinya: Elementer

Matriks nxn yang diperoleh dari matriks identitas In

melalui satu operasi baris elementer

 Tukar baris 1 dengan baris 4 dari I₄

 Kalikan baris 2 dari I₂ dengan -3 1 0

0 1–3

1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

(23)

• Matriks nxn yang diperoleh dari matriks identitas

I_n _{melalui satu operasi baris elementer}

 Tambahkan 3 kali baris ketiga dari I₃ pada baris pertama

          1 0 0 0 1 0 3 0 1

 Kalikan baris pertama dari I₃ dengan 1

          1 0 0 0 1 0 0 0 1

(24)

Perkalian matriks dengan matriks elementer

 _{E: matriks hasil operasi baris pada I}_m  _{A: matriks mxn}

 _{EA: matriks hasil dari operasi baris yang sama dengan}

E pada matriks A

(25)

Perkalian matriks dengan matriks elementer

Matriks Am×n           − = 0 4 4 1 6 3 1 2 3 2 0 1 A           = 1 0 3 0 1 0 0 0 1 E           − = 9 10 4 4 6 3 1 2 3 2 0 1 EA Matriks Em Matriks EA  3b1+b3  3b1+b3

(26)

Tipe Matriks dan Operasinya: Diagonal

 _{Matriks bujursangkar}

Bentuk lain: D = diag(d₁,d₂,∙∙∙, dn)

            = n d d d D       0 0 0 0 0 0 2 1

 _{Perkalian matriks dengan matriks diagonal}

      =             23 2 22 2 21 2 13 1 12 1 11 1 23 22 21 13 12 11 2 1 0 0 a d a d a d a d a d a d a a a a a a d d           =                 32 2 31 1 22 2 21 1 12 2 11 1 2 1 32 31 22 21 12 11 0 0 a d a d a d a d a d a d d d a a a a a a

(27)

Tipe Matriks dan Operasinya: Segitiga

 _{Matriks segitiga bawah}

(lower triangular)

 _{Matriks segitiga atas}

(upper triangular)           33 32 31 22 21 11 0 0 0 a a a a a a           33 23 22 13 12 11 0 0 0 a a a a a a

(28)

Tipe Matriks dan Operasinya: Simetris

Sifat-sifat matriks simetris

 _{Matriks bujursangkar}  _A=AT

 _{Jika dan hanya jika aij}_{= aji}

      − − 6 3 3 7           − 8 0 5 0 3 4 5 4 1             4 3 2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 d d d d

(29)

Tipe Matriks dan Operasinya

 _{Matriks A}_mxn _{dan A}T

nxm

 Hasilkali matriks dengan transposnya

o AAT (berukuran mxm) o ATA (berukuran nxn)

o matriks bujursangkar

o simetris

(30)

Sistem Linear dalam Bentuk Matriks Sistem linear: – m persamaan – n variabel 1 1 2 12 1 11x a x a x b a + ++ _n _n = 2 2 2 22 1 21x a x a x b a + ++ _n _n =     m n mn m m x a x a x b a ₁ ₁ + ₂ ₂ ++ =

Sistem linear: persamaan matriks

            =             + + + + + + + + + m n mn m m n n n n b b b x a x a x a x a x a x a x a x a x a        2 1 2 2 1 1 2 2 22 1 21 1 2 12 1 11

(31)

Sistem Linear dalam Bentuk Matriks Perkalian matriks:             =                         m n mn m m n n b b b x x x a a a a a a a a a         2 1 2 1 2 1 2 22 21 1 12 11             = m mn m m n n b a a a b a a a b a a a b A        2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 ] [ Matriks augmentasi: A x = _b

(32)

Teori CONTOH Contoh (1)       = x A 3 1 2       = 4 3 1 2 B 4

=

1) Matriks A=B?

2) Dapatkan A+B, A-B, ½C dengan

      = 1 3 1 4 3 2 A _      − − = 5 3 1 7 2 0 B _      − = 12 0 2 2 6 8 C A+B = A-B = ½C = Simpulan Latihan Objektif

(33)

CONTOH Contoh (2) 3) Kombinasi linear C B A C B A 2 1 2 1 ₂ ₍ ₁₎ 2 − + = + − +       − +       − − − +       = 6 0 1 1 3 4 5 3 1 7 2 0 2 6 2 8 6 4       = 13 3 4 2 1 8

Kombinasi linear dari

 matriks A, B dan C  koefisien 2, -1 dan ½

Simpulan Latihan Teori

(34)

CONTOH Contoh (3) 4) Hasilkali matriks           − = 2 5 7 2 1 3 1 0 3 4 1 4 B       = 0 6 2 4 2 1 A  = AB Simpulan Latihan Teori Objektif

(35)

CONTOH

Contoh (4)

5) Perkalian

matriks melalui

kolom dan baris: _

        − = 2 5 7 2 1 3 1 0 3 4 1 4 B       = 0 6 2 4 2 1 A 0 6 2 4 2 1      

Matriks kolom ke-2 dari AB:

          − 2 5 7 2 1 3 1 0 3 4 1 4

Matriks baris pertama AB:

          − 7 1 1       − = 4 27 ] 4 2 1 [ = [12 27 30 13] Simpulan Latihan Teori Objektif

(36)

CONTOH

Contoh (5)

6) Hasil kali matriks:

          − = 3 1 2 x           − − =           − − +           −          − 3 9 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 1 1 2           − − − = 2 1 2 3 2 1 2 3 1 A           − − =           −           − − − 3 9 1 3 1 2 2 1 2 3 2 1 2 3 1 Perkalian langsung: Kombinasi linear: Simpulan Latihan Teori Objektif

(37)

CONTOH Contoh (6) 7) Dapatkan AAT _{dan A}T_A       − − = 5 0 3 4 2 1 A Simpulan Latihan Teori Objektif

(38)

CONTOH

Contoh (7)

8) Bentuk sistem linear berikut dalam matriks dan dapatkan solusinya 9 8 5 3 5 2 4 3 2 3 1 3 2 1 3 2 1 = + = + + = + + x x x x x x x x Simpulan Latihan Teori Objektif

(39)

SIMPULAN

Matriks

1. Operasi matriks dapat dilakukan bila ukuran

matriks memungkinkan terjadinya operasi tersebut 2. Pengetahuan tentang tipe-tipe matriks

memudahkan untuk melakukan operasi matriks berdasarkan karakteristik dari matriks-matriks tersebut

3. Bentuk sistem linear dalam notasi matriks

memberikan kemudahan dalam penyelesaiannya

Latihan Teori

(40)

LATIHAN

Soal:

1. Dapatkan hasil perkalian matriks berikut:

Simpulan Teori Objektif Contoh           − − = 1 6 5 1 2 4 3 0 5 1 2 1 A             − − − = 4 3 0 5 1 1 2 3 3 4 1 2 B