KAJIAN BATAS KESALAHAN MINIMUM METODE RUNGE-KUTTA ORDE KEDUA, KETIGA, DAN KEEMPAT

(1)

p-ISSN : 2550-0384; e-ISSN : 2550-0392

KAJIAN BATAS KESALAHAN MINIMUM METODE RUNGE-KUTTA ORDE KEDUA, KETIGA, DAN KEEMPAT

Siti Muhawanah

Universitas Jenderal Soedirman [email protected]

Mashuri

Universitas Jenderal Soedirman Rina Reorita

Universitas Jenderal Soedirman

ABSTRACT. This reseach discussed about minimum error bounds which is resulted by second, third, and fourth order of Runge-Kutta methods. There are three versions of second order Runge-Kutta methods, those are Heun with single corrector, improved polygon, and Ralston. Then, there are two versions of third order Runge-Kutta methods, those are Kutta and Ralston, and there are two versions of fourth order Runge-Kutta methods, those are classic method and Ralston method. The application in logistic equation shows that in second order, improved polygon gives fewer error value than Heun with single corrector and Ralston method. In third order, Ralston method gives fewer error value than Kutta method and in fourth order, Ralston concept gives fewer error value than classic method.

Keywords: Error bound of Runge-Kutta methods, Heun with single corrector, improved

method, Ralston method, logistic equation.

ABSTRAK. Penelitian ini mengkaji batas kesalahan minimum yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat. Pada penelitian ini dibahas tiga versi metode Runge-Kutta orde kedua, yaitu metode Heun korektor tunggal, metode poligon yang diperbaiki, serta metode Ralston. Kemudian, dua versi metode Runge-Kutta orde ketiga, yaitu metode yang diusulkan oleh Kutta serta metode yang diusulkan oleh Ralston, dan dua versi metode Runge-Kutta orde keempat, yaitu metode Runge-Kutta klasik serta metode yang diusulkan oleh Ralston. Hasil penerapan pada persamaan logistik menunjukkan pada orde kedua, metode poligon yang diperbaiki memiliki kesalahan yang lebih kecil dibanding metode Heun korektor tunggal dan metode Ralston. Sementara itu, pada orde ketiga metode yang diusulkan oleh Ralston memberikan nilai kesalahan yang lebih kecil daripada metode yang diusulkan oleh Kutta dan untuk orde keempat, metode yang diusulkan oleh Ralston menghasilkan nilai kesalahan yang lebih kecil dibandingkan metode Runge-Kutta klasik.

Kata Kunci: Batas kesalahan metode Runge-Kutta, Heun korektor tunggal, poligon yang diperbaiki, Ralston, persamaan logistik.

(2)

Purwokerto, 3 Desember 2016 1. PENDAHULUAN

Metode numerik merupakan metode untuk menyelesaikan permasalahan matematika menggunakan operasi aritmatika (Chapra dan Canale, 2007: 1). Dalam pendekatan solusi numerik, ketelitian sebuah metode menjadi pertimbangan untuk menggunakan metode numerik. Ketelitian diperoleh dengan meminimalkan nilai kesalahan yang dihasilkan dari metode numerik. Penelitian mengenai batas kesalahan pertama kali dilakukan oleh Bieberbatch yang membahas batas kesalahan pada persamaan diferensial. Kemudian, Lotkin pada tahun 1951 mengembangkan penelitian Bieberbatch dan menemukan batas kesalahan metode Runge-Kutta orde keempat klasik. Dengan menggunakan asumsi batas kesalahan yang dikemukakan oleh Lotkin, Ralston meneliti mengenai batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat serta memberikan nilai parameter yang membuat batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat minimum.

Berdasarkan uraian latar belakang di atas, maka perumusan masalah yang diangkat dalam penelitian ini adalah (1) bagaimana penurunan metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (2) bagaimana batas minimum yang dihasilkan oleh setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (3) bagaimana nilai kesalahan yang dihasilkan setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat pada persamaan logistik. Tujuan dari penelitian ini ialah (1) untuk mengkaji penurunan metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (2) untuk mengkaji batas kesalahan yang dihasilkan oleh setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat, (3) untuk mengetahui perbedaan nilai kesalahan yang dihasilkan dari masing-masing versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat pada persamaan logistik

2. HASIL DAN PEMBAHASAN

Metode Runge-Kutta memiliki bentuk umum 1 1 . s n n i i i y _ y b k     (1) dengan b_i adalah kostanta, k_i adalah stages, serta

1 1 s i i b    (Ralston dan Rabinowitz, 1978: 209). Persamaan (1) merupakan metode Runge-Kutta orde-s, dengan 1 1 , i . i n i n ij j j k hf x hc y  a k     _    _   (2)

Dalam hal ini, ci dan a adalah konstanta dengan asumsi ij c10 dengan batasan 1 1 i i ij j c  a 

(3)

Purwokerto, 3 Desember 2016

dan a dicari dengan menyamakan perluasan dari persamaan (2) dengan deret _ij Taylor. Untuk menemukan nilai parameter serta mencari batas kesalahan dari metode Runge-Kutta orde ke-n diperlukan penguraian deret Taylor dan k_i sampai dengan _hn1_{. Dalam hal ini, suku yang memuat}_h0_{sampai dengan}_hn_digunakan

untuk mencari nilai parameter yang diperlukan dalam bentuk umum metode Runge-Kutta sedangkan suku yang memuat n 1

h  digunakan untuk mencari batas kesalahan dari metode tersebut. Batas kesalahan metode Runge-Kutta dapat diperoleh dengan menerapkan asumsi Lotkin untuk turunan parsial dari ( ) yaitu

 

, f x y M dan ₁ i j i j i j j f L x y M     _   (3)

dengan M dan L adalah konstanta. Bentuk umum kesalahan metode Runge-Kutta adalah 1 1 n n n n E h  cML h  (4)

dengan c adalah konstanta (Ralston, 1963).

2.1 Penurunan danan Batas Kesalahan Metode Runge-Kutta Orde Kedua Bentuk umum dan batas kesalahan dari metode Runge-Kutta orde kedua dapat diperoleh dengan menguraikan deret Taylor dan k sampai dengan ₂ 3

h . Dengan menyamakan deret Taylor dan perluasan k sampai dengan ₂ 2

h diperoleh famili dari metode Runge-Kutta orde kedua

1 2 1 b b  (5) 2 2 21 1 1 . 2 2 b c a   (6)

Batas kesalahan metode Runge-Kutta orde kedua diperoleh dengan mengurangkan suku yang mengandung 3

h dari deret Taylor dan penguraian k ₂ serta dengan menerapkan persamaan (3) sehingga

3 2 3 2 2 1 1 1 4 . 6 4 3 E h _ _  c _  _ML h     (7)

Terdapat tiga metode Runge-Kutta orde dua yang sering digunakan berdasarkan pemilihan c2, yaitu metode Heun korektor tunggal, metode poligon yang diperbaiki, dan metode Ralston. Metode Heun korektor tunggal memiliki nilai c₂ 1. Dengan mensubstitusikan c₂ 1 ke persamaan (5) dan (6) diperoleh

(4)

Purwokerto, 3 Desember 2016 nilai ₁ 1

2

b  dan ₂ 1 2

b  . Kemudian, apabila nilai c₂ 1, ₁ 1 2

b  , dan ₂ 1 2

b 

disubstitusikan ke persamaan (1) diperoleh bentuk umum metode Heun korektor tunggal ialah 1 1 2 1 1 2 2 n n y _  y  k  k (8) dengan









1 2 1 , , . n n n n k hf x y k hf x h y k    

Batas kesalahan metode Heun korektor tunggal diperoleh dengan mensubstitusikan c₂ 1 ke persamaan (7) sehingga diperoleh ₂ 3 2 2 3

3

E h  ML h .

Metode poligon yang diperbaiki memiliki nilai ₂ 1 2

c  yang membuat bentuk umumnya 1 2 n n y   y k (9) dengan





1 2 1 , 1 1 , . 2 2 n n n n k hf x y k hf x h y k     _   _  

Batas kesalahan dari metode poligon yang diperbaiki adalah

3 2 3

2 1 2

E h  ML h . Metode Ralston memiliki nilai ₂ 2 3

c  . Dalam hal ini, bentuk umum metode Ralston adalah

1 1 2 1 3 4 4 n n y _  y  k  k (10) dengan





1 2 1 , 2 2 , . 3 3 n n n n k hf x y k hf x h y k     _   _  

Batas kesalahan dari metode Ralston adalah 2 3 2 3 1 3

E h  ML h .

2.2 Penurunan dan Batas Kesalahan Metode Runge-Kutta Orde Ketiga Famili metode Runge-Kutta orde ketiga adalah

(5)

















3 2 1 2 3 3 2 2 3 2 2 3 3 3 2 2 3 1 6 3 2 6 2 3 6 c c b c c c b c c c c b c c c                  









21 2 2 2 3 2 3 31 2 2 3 1 2 3 a c c c c c a c c     









3 3 2 32 2 2 . 2 3 c c c a c c    (11)

Dalam hal ini, c₂ 0, c₃0, dan c₃ c₂. Bentuk umum dari batas kesalahan metode Runge-Kutta orde ketiga adalah









4 2 3 2 2 3 2 3 3 2 3 2 1 3 2 2 3 8 24 36 36 c c E h c c c c c c  _ _ _ _ _ _   _ _ _ _    _ _ _ _  3 4 2 3 1 1 3 1 1 4 4 . 24 12c 24 6c 12 ML h       _ (12)

Bentuk umum metode Runge-Kutta orde ketiga dapat diperoleh dengan menentukan nilai parameter c dan ₂ c . Metode Runge-Kutta yang diusulkan oleh ₃ Kutta memiliki nilai ₂ 1

2

c  dan c₃ 1 sehingga bentuk umum dari metode tersebut adalah 1 1 2 3 1 2 1 6 3 6 n n y _  y _ k  k  k _   (13) dengan





1 n, n k hf x y 2 1 1 1 , 2 2 n n k hf x_  h y  k _  





3 n , n 1 2 2 . k hf x h y  k k Dengan mensubstitusikan nilai 2

1 2

c  dan c₃ 1 ke persamaan (12) dan dengan menerapkan persamaan (3) diperoleh batas kesalahan dari metode yang diusulkan Kutta ialah 4 3 4

3 1

. 4

(6)

Purwokerto, 3 Desember 2016 2 1 2 c  dan ₃ 3 4

c  yang membuat bentuk umum dari metode Runge-Kutta orde ketiga menjadi 1 1 2 3 2 1 4 9 3 9 n n y _  y _ k  k  k _   (14) dengan





1 n, n k hf x y 2 1 1 1 , 2 2 n n k hf x_  h y  k _   3 2 3 3 , . 4 4 n n k hf x_  h y  k _  

Dalam hal ini, batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode yang diusulkan Ralston ialah 4 3 4

3 1 9

E h  ML h .

2.3 Penurunan dan Batas Kesalahan Metode Runge-Kutta Orde Keempat Dengan cara yang sama seperti orde kedua dan ketiga, famili orde keempat ialah



2 3



1 2 3 1 2 1 2 12 c c b c c    



3





2 2 3 2 2 2 1 12 1 c b c c c c    





2



3 3 3 2 3 1 2 12 1 c b c c c c    







2



3



4 2 3 2 3 1 2 12 1 1 c c b c c      









3 3 2 32 2 2 2 1 2 c c c a c c   

















2 2 2 3 3 42 2 3 2 2 3 2 3 1 1 2 1 2 6 4 3 c c c c a c c c c c c c          













2 2



3



43 3 3 2 2 3 2 3 1 2 1 1 6 4 3 c c c a c c c c c c c         4 1. c  (15)

Dalam hal ini, c₂ 0, c₃0,c₂ 1, c₃1, dan c₃ c₂. Bentuk umum dari batas kesalahan dari metode Runge-Kutta orde keempat ialah

(7)

Purwokerto, 3 Desember 2016 5 4 16 1 4 2 2 3 3 2 2 3 3 2 3 3 8 4 5 E h  _                     2 ₅ ₇   ₅ ₆  ₇  ₆  2 ₆  ₇  ₇ 2₈ ML h4 5 (16) dengan

















4 4 4 1 2 2 3 3 4 4 2 2 2 2 32 3 2 3 4 42 2 4 4 43 3 4 3 3 3 3 4 42 2 4 43 3 32 3 2 2 2 2 4 3 2 3 32 4 42 4 2 4 43 4 3 2 5 4 32 43 2 2 2 6 32 3 2 4 42 43 2 3 1 1 120 24 1 1 20 2 1 1 120 6 1 1 30 2 1 1 120 2 1 1 1 40 2 b c b c b c a b c c b a c c b a c c b a c b a c a b c b c c a b a c c b a c c b a a c a b c b a a c c                             2 2 2 2 4 42 2 4 43 3 1 2b a c 2b a c  _     





7 4 32 43 2 3 4 43 32 2 4 8 7 120 1 . 120 b a a c c b a a c c      

Terdapat metode Runge-Kutta orde keempat yang sering digunakan yaitu metode Runge-Kutta klasik. Pada metode Runge-Kutta klasik mempunyai nilai

2 1 , 2 c  ₃ 1, 2 c  dan ₃ 1 3

b  yang membuat bentuk umumnya

1 1 2 3 4 1 1 1 1 6 3 3 6 n n y _  y _ k  k  k  k _   (17) dengan









1 2 1 3 2 4 3 , 1 1 , 2 2 1 1 , 2 2 , . n n n n n n n n k hf x y k hf x h y k k hf x h y k k hf x h y k     _   _      _   _     

Batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta klasik ialah

5 4 5

4

73 720

E h  ML h . Metode Runge-Kutta yang diusulkan oleh Ralston memiliki bentuk umum





1 0,17476028 1 0,55148066 2 1,20553569 3 0,17118478 4

n n

(8)

Purwokerto, 3 Desember 2016 dengan





1 n, n k hf x y





2 n 0,4 , n 0,4 1 . k hf x  h y  k





3 n 0,45573725 , n 0,29697761 2 0,15875964 3 . k hf x  h y  k  k





4 n , n 0,2181004 1 3,05096516 2 3,83286476 3 . k hf x h y  k  k  k

Batas kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde keempat yang diusulkan oleh Ralston ialah 5 2 4 5

4 5, 46 10 .

E h    ML h

2.4 Penerapan Metode Runge-Kutta pada Persamaan Logistik Persamaan logistik memiliki bentuk umum sebagai berikut

1 dN N rN dt k    _  _   (19)

dengan N menunjukkan jumlah populasi, k adalah carrying capacity, serta r merupakan laju pertumbuhan populasi. Bentuk umum dari penyelesaian analitik persamaan logistik adalah sebagai berikut

 

_{ }

_

 

0

_{ }

_

. 0 0 rt kN N t N k N e    (20)

Dalam hal ini, N(t) menunjukkan jumlah populasi pada saat t dan N(0) merupakan jumlah populasi awal. Kemudian, dengan mengambil nilai r0,08, k 1000, dan N

 

0 100 (Stewart, 1999: 651) serta h = 0,01; 0,1; 0,5 diperoleh nilai kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat sebagai berikut

Tabel 1 Nilai kesalahan numerik metode Runge-Kutta orde Kedua



₁₀7



t Heun poligon Ralston

h 0,01 0,1 0,5 0,01 0,1 0,5 0,01 0,1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 587 14364 -1 474 11645 1 511 12552 50 223 22330 556567 59 7592 188740 16 12502 311339 100 24 1705 43303 8 1270 32455 6 1412 36070 150 8 50 1406 -4 49 1204 1 45 1275 200 48 -1 37 1 3 31 49 1 33

(9)

250 1060 4 -3 435 -6 -3 643 15 -3

300 1250 125 35 625 62 12 833 83 16

Dari Tabel 1 dapat dilihat bahwa pada saat nilai h dan t berubah-ubah nilai kesalahan yang dihasilkan dari metode Heun korektor tunggal, metode poligon yang diperbaiki, dan metode Ralston berada pada rentang batas kesalahan masing-masing metode. Berdasarkan nilai kesalahan yang dihasilkan oleh tiga versi metode Runge-Kutta orde kedua, metode poligon memiliki nilai kesalahan lebih kecil daripada dua versi yang lain. Dengan kata lain, dalam mencari pendekatan nilai dari persamaan logistik dengan menggunakan metode Runge-Kutta orde kedua, metode poligon dapat memberi ketelitian lebih baik dari pada metode Heun korektor tungal dan metode Ralston.

Tabel 2 Nilai kesalahan numerik metode Runge-Kutta orde Ketiga



107



t Kutta Ralston h 0,01 0,1 0,5 0,01 0,1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 1 -11 1 129 -9 -1 99 50 -17 -3 744 25 11 534 100 -1 -4 -269 -4 -9 -254 150 0 3 -12 4 -5 -12 200 7 -2 0 7 0 -1 250 747 43 -2 1217 -12 -5 300 937 93 18 1407 141 29

Hasil pada Tabel 4.2 menunjukkan untuk nilai h dan t berubah-ubah, nilai kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta orde ketiga yang diusulkan oleh Kutta dan Ralston berada pada batas kesalahan masing-masing metode. Dalam penerapan metode Runge-Kutta orde ketiga pada persamaan logistik, metode yang diusulkan oleh Ralston dapat digunakan untuk mendapatkan pendekatan nilai yang lebih akurat karena menghasilkan nilai kesalahan yang lebih kecil daripada metode yang diusulkan oleh Kutta.

(10)

Purwokerto, 3 Desember 2016 Tabel 3 Nilai kesalahan numerik metode Runge-Kutta orde Keempat



₁₀7



t Klasik Ralston h 0,01 0,1 0,5 0,01 0,1 0,5 0 0 0 0 0 0 0 1 -18 -3 1 6 1 0 50 4 6 27 30 4 11 100 1 -4 0 4 -5 -3 150 -4 6 -2 -7 -4 0 200 8 1 2 19 -7 -1 250 1686 -1 -5 1365 38 -4 300 1876 187 38 1555 155 31

Tabel 3 menunjukkan nilai kesalahan yang dihasilkan oleh metode Runge-Kutta klasik dan metode Ralston masih dalam rentang batas kesalahan masing-masing metode meskipun nilai h dan t berubah-ubah. Disisi lain, berdasarkan berbagai nilai h yang diberikan, metode Runge-Kutta yang diusulkan oleh Ralston memberikan nilai kesalahan yang lebih kecil dibandingkan dengan metode Runge-Kutta klasik. Dengan demikian, metode Runge-Kutta orde keempat yang diusulkan oleh Ralston memiliki ketelitian yang lebih baik dalam melakukan pendekatan terhadap persamaan logistik.

3. KESIMPULAN DAN SARAN

Berdasarkan setiap versi metode Runge-Kutta orde kedua, ketiga, dan keempat diperoleh metode yang diusulkan oleh Ralston memiliki batas kesalahan yang paling minimum, yaitu 3 2 3

2 1 3

E h  ML h pada orde kedua, 4 3 4 3

1 9

E h  ML h pada orde ketiga, dan E h₄ 5 5, 46 10 2ML h4 5 pada orde keempat. Berdasarkan penerapan pada persamaan logistik dapat disimpulkan bahwa untuk metode Runge-Kutta orde kedua, metode poligon yang diperbaiki memiliki nilai kesalahan yang paling minimum. Sementara itu, untuk metode Runge-Kutta orde ketiga dan keempat, metode yang diusulkan oleh Ralston menghasilkan nilai kesalahan yang lebih kecil daripada versi yang lain. Saran untuk penelitian

(11)

selanjutnya dapat dibahas mengenai kestabilan dari metode Runge-Kutta untuk mengetahui kekonvergenan metode tersebut.

DAFTAR PUSTAKA

Chapra, S. C. dan Canale, R. P., Metode Numerik Untuk Teknik, diterjemahkan oleh S.Sardy, UI-Press, Jakarta, 2007.

Ralston, A., R-K with Minimum Error Bounds, Mathematics of Computation, 16 (1962), 431-437.

Ralston, A. dan Rabinowitz, P., A First Course in Numerical Analysis, Second Edition, Mc Graw-Hill Inc, New York, 1978.

Stewart, J., Calculus, Fourth Edition, Brooks/Cole Publishing Company, USA, 1999.