¾ MATRIKS • Definisi:
Matriks Æ Susunan persegi panjang dari bilangan-bilangan yang diatur dalam baris dan kolom. Matriks ditulis sebagai berikut
(1) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ mn m m n n a a a a a a a a a ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11
• Susunan diatas disebut matriks m x n karena memiliki m baris dan n kolom. • Bilangan/fungsi aij disebut elemen-nya dengan i menunjukkan baris dan j kolom
• Matriks tidak memiliki nilai numerik
• Matriks merupakan suatu cara sederhana untuk menyajikan suatu susunan (tabel) dari bilangan-bilangan
• Pada saatnya (1) akan disebut ”matriks [aij], m x n”, atau ”matriks A = [aij], m x n”
Æ cukup menuliskan ”matriks A” saja
Contoh 5: Berikut ini adalah matriks
(a) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ −1 5 1 7 3 2 (b) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 6 7 4 4 1 2 1 3 1 (c)
(
3 1 7)
Matriks (a) dapat dipandang sebagai matriks koefisien dari sistem persamaan linear
2x + 3y + 7z = 0 x – y + 5z = 0
atau sebagai matriks lengkap dari sistem persamaan linier tak-homogen 2x + 3y = 7
Matriks Bujur Sangkar
• Setiap matriks yang memiliki jumlah baris dan jumlah kolom yang sama (m = n) disebut matriks bujur sangkar. Sebuah matriks bujur sangkar dengan m baris dan n kolom sering disebut matriks bujur sangkar.
• Dalam suatu matriks bujur sangkar, elemen-elemen a11, a22, ..., ann disebut elemen
diagonal. Jumlah elemen-elemen diagonal suatu matriks bujur sangkar A disebut trace A
Matriks Sama
• Dua matriks A = [aij] dan B = [bij] disebut sama ( A = B) jika dan hanya jika
keduanya berordo sama dan setiap elemen yang seletak sama, yaitu jika dan hanya jika
aij = bij (i = 1,2, ..., m; j = 1,2, ..., n)
Matriks Nol
• Matriks yang semua elemennya nol disebut matriks nol
OPERASI MATRIKS JUMLAH MATRIKS • Definisi
Jika A = [aij] dan B = [bij] dua matriks m x n, maka jumlah (selisih)-nya, A ± B
didefinisikan sebagai matriks C = [cij], m x n, dengan tiap elemen C adalah jumlah
(selisih) elemen A dan B yang seletak. Jadi A ± B = [aij ± bij]
• Dua matriks berordo sama disebut bersesuaian untuk penjumlahan atau pengurangan. Dua matriks berordo berbeda tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
• Definisi:
Jika k sebarang skalar maka kA = Ak adalah matriks yang diperoleh dari A dengan cara mengalikan setiap elemennya dengan k.
• Dengan asumsi bahwa matriks A, B, dan C adalah bersesuaian untuk penjumlahan, kita nyatakan:
a) A + B = B + A (hukum komutatif) b) A + (B + C) = (A + B) + C (hukum asosiatif) c) k (A + B) = k A + k B
d) Terdapat suatu matriks D sedemikian sehingga A + D = B
PERKALIAN • Definisi:
Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x n maka hasil kali adalah matriks m x n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari AB, pilihlah baris i dari matriks A dan kolom j dari matriks B. Kalikanlah entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkanlah hasil kali yang dihasilkan Æ Perhatikanlah operasinya adalah baris dengan kolom; tiap elemen baris dikalikan dengan elemen kolom padanannya dan kemudian hasil kali itu dijumlahkan.
Contoh 6: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + + + + + + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = • 22 32 12 31 21 32 11 31 22 22 12 21 21 22 11 21 22 12 12 11 21 12 11 11 22 21 12 11 32 31 22 21 12 11 b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b b b b a a a a a a B A
• Hasilkali AB terdefinisi atau A bersesuaian terhadap B untuk perkalian, hanya jika banyakanya kolom A sama dengan banyak baris B. Namun ingat, B tidak perlu bersesuaian terhadap A untuk perkalian
• Dengan anggapan bahwa A, B, dan C bersesuaian untuk jumlah dan hasil kali yang ditunjukkan, kita mempunyai
e) A (B + C) = AB + AC f) (A + B) C = AC + BC g) A (BC) = (AB) C Akan tetapi
h) AB = BA
i) AB = 0 tidak perlu membawakan A = 0 atau B = 0 j) AB = AC tidak perlu membawakan B = C
Matriks Satuan
• Matriks bujur sangkar A yang elemen-elemennya aij = 0 untuk i > j disebut
segituga atas; matriks bujur sangkar A yang elemen-elemnnya aij = 0 untuk i < j
disebut segitiga bawah.
• Sedangkan matriks yang disamping segitiga atas juga segitiga bawah disebut matriks diagonal. Matriks diagonal akan seringkali ditulis sebagai
D = diag (a11, a22, a33, ..., ann) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = nn a a a a D 0 0 0 0 ... ... ... ... ... 0 ... 0 0 0 ... 0 0 0 ... 0 0 33 22 11
• Jika dalam matriks diagonal D diatas a11 = a22 = ... = ann = k, maka D disebut
matriks skalar. Jika k = 1 maka disebut matriks satuan (matriks identitas)
• Dalam matriks satuan, jika ukurannya penting untuk ditekankan, maka akan dituliskan In untuk matriks satuan n x n
Balikan Matriks (Invers). • Definisi:
Diberikan matriks bujur sangkar A. Jika terdapat matriks bujur sangkar A-1 yang memenuhi hubungan
A-1A = AA-1 = I, maka A-1 disebut invers kebalikan dari A • Teorema 2. Jika baik B maupun C adalah invers matriks A maka B = C
• Teorema 3. Jika A dan B adalah matriks-matriks yang dapat dibalik dan yang ukurannya sama, maka
a) AB dapat dibalik b) (AB)-1 = B-1A-1
• Teorema. 4. Jika A adalah matriks kuadrat dan r serta s adalah bilangan bulat, maka
ArAs = Ar + s (Ar)s = Ars
• Teorema 5. Jika A adalah sebuah matriks yang dapat dibalik, maka: a) A-1 dapat dibalik dan (A-1)-1=A
b) An dapat dibalik dan (An)-1 = (A-1)n untuk n = 0, 1, 2, ...
c) Untuk setiap skalar k yang taksama dengan nol, maka kA dapat dibalik dan (kA)-1 = 1/k (A-1)
• Teorema 6. Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka
a) (At)t = A
b) (A+B)t = At + Bt
c) (kA)t = kAt, dimana k adalah sebarang skalar d) (AB)t = BtAt
• Transpose sebuah hasil kali matriks sama dengan hasil kali transposnya dalam urutan kebalikannya
¾ MATRIKS ELEMENTER DAN METODE UNTUK MENCARI A-1 • Definisi:
Sebuah matriks n x n dinamakan matriks elementer jika matriks tersebut dapat diperoleh dari matriks satuan (identitas) n x n yakni In dengan melakukan sebuah operasi baris elementer tunggal
Contoh 7.
Di bawah ini kita daftarkan empat matriks elementer dan operasi-operasi yang menghasilkannya (i) ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − 3 0 0 1 (ii) ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 (iii) ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 1 0 0 0 1 0 3 0 1
• Teorema 7. Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks m x n, maka hasil kali EA adalah
matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada A. Contoh 8. Tinjaulah matriks ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 4 4 1 6 3 1 2 3 2 0 1 A
Dan tinjaulah matriks elementer yang dihasilkan oleh penambahan 3 kali baris pertama dari I3 ke baris ketiga.
Kalikan baris kedua
I2 dengan -3
Pertukarkan baris kedua dan baris keempat dari I4
Tambahkan tiga kali baris ketiga dari I3 pada baris pertama
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 1 0 3 0 1 0 0 0 1 E
Hasil kali EA adalah
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = 0 10 4 4 6 3 1 2 3 2 0 1 EA
yang persis sama seperti matriks yang dihasilkan bila kita menambahkan 3 kali baris pertama dari A ke baris ketiga
• Jika operasi baris elementer diterapkan pada matriks satuan I untuk menghasilkan matriks elementer E, maka terdapat operasi baris kedua yang bila diterapkan pada E, akan menghasilkan kembali I. Misalnya jika E kita peroleh dengan mengalikan baris ke-i dengan konstanta c yang tak sama dengan nol, maka I dapat diperoleh kembali jika baris ke-i dari E dikalikan dengan 1/c. Berbagai kemungkinan didaftarkan dalam tabel berikut:
Tabel 1. Berbagai kemungkinan pada Operasi Baris Elementer pada I Menghasilkan E dan sebaliknya
Operasi baris pada I yang menghasilkan E Operasi baris pada E yang menghasilkan I
Kalikanlah baris i dengan c ≠ 0 Kalikanlah baris i dengan 1/c
Pertukarkan baris i dan baris j Pertukarkan baris i dan baris j
Tambahkan c kali baris i ke baris j Tambahkan – c kali baris i ke baris j
Operasi-operasi di ruas kanan dari tabel ini dinamakan operasi invers dari operasi-operasi yang bersesuaian di ruas kiri
• Teorema 8. Setiap matriks elementer dapat dibalik, dan inversnya adalah juga matriks elementer
• Teorema 9. Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut ekivalen, yakni semuanya benar atau semuanya salah
a) A dapat dibalik
b) AX = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial c) A ekivalen baris terhadap In.
Contoh 9.
Carilah invers dari
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 8 0 1 3 5 2 3 2 1 A
Perhitungan adalah sebagai berikut:
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 0 1 0 1 2 0 0 1 5 2 0 3 1 0 3 2 1 # # # ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 2 5 0 1 2 0 0 1 1 0 0 3 1 0 3 2 1 # # # ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 2 5 0 1 2 0 0 1 1 0 0 3 1 0 3 2 1 # # # ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 2 5 3 5 13 3 6 14 1 0 0 0 1 0 0 2 1 # # # ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − 1 2 5 3 5 13 9 16 40 1 0 0 0 1 0 0 0 1 # # #
Tambahkan 2 kali baris kedua pada baris ketiga
Tambahkan -2 kali baris kedua pada baris pertama Tambahkan 3 kali baris ketiga pada baris kedua dan -3 kali baris ketiga pada baris pertama Kalikan baris ketiga dengan -1
Jika matriks tidak dapat dibalik, maka menurut bagian (c) dari teorema 9, tidaklah mungkin ekivalen baris pada In; berarti matriks tersebut berbentuk eselon baris
tereduksi yang sedikit-dikitnya mempunyai sebuah baris bilangan nol.
¾ HASIL SELANJUTNYA MENGENAI SISTEM PERSAMAAN DAN KETERBALIKAN
• Teorema 10. Jika A adalah matriks n x n yang dapat dibalik, maka untuk setiap matriks B yang berukuran n x 1, sistem persamaan AX = B mempunyai persis satu pemecahan, yakni, X = A-1
Contoh 10.
Tinjaulah sistem persamaan linear x1 + 2x2 + 3x3 = 5 2x1 + 5x2 + 3x3 = 3 x1 + 8x3 = 17
Dalam bentuk matriks, maka sistem ini dapat dituliskan sebagai AX = B, di mana
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 8 0 1 3 5 2 3 2 1 A , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 3 2 1 x x x X , ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ = 17 5 3 B
Dari contoh 9 telah diperlihatkan bahwa A dapat dibalik dan
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = − 1 2 5 3 5 13 9 16 40 1 A
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − = ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − = = − 2 1 1 17 3 5 1 2 5 3 5 13 9 16 40 1 B A X atau x1 = 1, x2 = -1, x3 = 2
• Teorema 11. Misalkan A adalah matriks kuadrat
a) Jika B adalah kuadrat yang memenuhi BA = I , maka B = A-1 b) Jika B adalah kuadrat yang memenuhi AB = I , maka B = A-1
• Teorema 12. Jika A adalah sebuah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan yang berikut ekivalen satu sama lain
a) A dapat dibalik
b) AX = 0 hanya mempunyai pemecahan trivial c) A ekivalen baris kepada In
d) AX = B konsisten untuk tiap-tiap matriks B yang berukuran n x 1
Contoh 11.
Kondisi-kondisi apakah yang harus dipenuhi oleh b1, b2, dan b3 supaya sistem persamaan di bawah ini konsisten?
x1 + x2 + 2x3 = b1 x1 + x3 = b2 2x1 + x2 + 3x3 = b3
Pemecahan. Matriks yang diperbesar untuk sistem tersebut adalah
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 3 1 2 1 0 1 2 1 1 b b b
yang dapat direduksi terhadap bentuk eselon baris sebagai berikut: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − − − 1 3 1 2 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 b b b b b ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − 1 3 2 1 1 2 1 1 0 1 1 0 2 1 1 b b b b b ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − 1 2 3 2 1 2 0 0 0 1 1 0 1 1 1 b b b b b b
Jelaslah sekarang dari baris ketiga di dalam matriks tersebut bahwa sistem tersebut mempunyai sebuah pemecahan jika dan hanya jika b1, b2, dan b3 memenuhi kondisi:
b3 – b2 – b1 = 0 atau b3 = b1 + b2
Dengan cara lain, maka AX = B konsisten jika dan hanya jika B adalah matriks yang berbentuk: ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ + = 2 1 2 1 b b b b
B dimana b1 dan b2 sebarang
Contoh 12.
Kondisi apa yang harus dipenuhi oleh b1, b2, dan b3 agar sistem persamaan di bawah ini menjadi konsisten:
B2’ Æ B2 + (-1) B1
B3’ Æ B3 + (-2) B1
B2’ Æ (-1) B2
x1 + 2x2 + 3x3 = b1 2x1 + 5x2 + 3x3 = b2 x1 + 8x3 = b3
Pemecahan. Matriks yang diperbesar adalah
⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ 3 2 1 8 0 1 3 5 2 3 2 1 b b b
Dengan mereduksi ini terhadap bentuk eselon baris tereduksi akan menghasilkan (Buktikan): ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ − − − − + + − 3 2 1 3 2 1 3 2 1 2 5 0 0 0 3 5 13 1 1 0 9 16 40 0 0 1 b b b b b b b b b
Dalam kasus ini tidak ada pembatasan pada b1, b2, dan b3; yaitu bahwa sistem yang diberikan oleh AX = B mempunyai pemecahan yang unik
x1 = -40b1 + 16b2 + 9b3, x2 = 13b1 – 5 b2 – 3 b3, x3 = 5b1 – 2b2 – b3 untuk semua B
