Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan

(1)

Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan

Moh. Ivan Azis

∗

Abstrak

Metode Elemen Batas diturunkan untuk penentuan solusi masalah nilai batas yang membangun model Model Perpindahan dan Penyebaran Pollutan. Be-berapa contoh diperlihatkan untuk mengilustrasikan penerapan metode elemen batas.

1 Pendahuluan

Masalah perpindahan dan penyebaran pollutan di suatu medium (misalnya sungai atau udara/atmosﬁr) merupakan masalah yang telah sering dibicarakan. Penelitian untuk masalah ini juga telah banyak dilakukan, baik melalui eksperimen maupun secara simulasi melalui pemodelan.

Tulisan ini membicarakan model perpindahan dan penyebaran pollutan di suatu medium, dan penentuan solusinya secara numerik. Model yang dimaksud adalah model yang mengikutkan dua fenomena ﬁsik yang biasanya terlibat dalam proses perpindahan dan penyebaran pollutan, yaitu fenomena difusi dan konveksi.

Juga akan diasumsikan bahwa dalam model ini variabel waktu tidak punya pen-garuh. Ini berarti bahwa sistem yang diamati berada dalam keadaan tetap terhadap waktu (steady) atau pengukuran dilakukan sesaat pada suatu periode waktu yang sangat pendek (instan).

Selain itu, pembicaraan juga dibatasi untuk kasus dua dimensi, yakni bahwa kita hanya akan mengamati perpindahan dan penyebaran pollutan ke arah panjang (ko-rdinat x1) dan lebar (kordinat x2) dari medium saja, tapi tidak untuk perpindahan

dan penyebaran ke arah kedalaman medium. Model semacam ini cocok dipakai untuk media dangkal.

Lebih jauh, model yang diamati berlaku untuk media yang memiliki koﬁsien di-fusivitas ke arah panjang media, yakni k1, boleh tidak sama dengan koﬁsien

difusiv-itas ke arah lebar media, yakni k2. Media semacam ini biasa disebut sebagai media

anisotropik. Dalam hal ini, model tetap berlaku untuk media isotropik sebagai kasus khusus dari media anisotropik, yakni media isotropik adalah media anisotropik dengan koﬁsien difusivitas k1 = k2. Demikian pula halnya, vektor kecepatan aliran media juga

memiliki dua komponen yang bisa saja berlainan untuk kedua arah panjang dan lebar media.

(2)

x

1

2 x

aliran fluida pollutan v k 1 v 2 _k1 2

n

Gambar 1: Sistem perpindahan dan penyebaran pollutan dalam suatu medium

Solusi masalah dijelaskan di atas ditentukan dengan menggunakan suatu metode numerik, yaitu Metode Persamaan Integral Batas atau sering disebut sebagai Metode Elemen Batas (MEB). Metode numerik lainnya yang biasa dipakai adalah Metode Beda Hingga dan Metode Elemen Hingga.

2 Model

Perhatikan sistem perpindahan dan penyebaran pollutan di suatu medium seperti diperlihatkan dalam Gambar 1. Dengan merujuk pada sistim kordinat Cartesian

Ox1x2, secara umum persamaan pembangun untuk sistem konduksi-konveksi steady

dua dimensi dalam suatu media anisotropik yang homogen, dengan asumsi bahwa tidak terdapat sumber pembangkit dalam media, adalah

ki ∂2_ϕ ∂x2 i − vi ∂ϕ ∂xi = 0 (1)

dimana ϕ dapat berupa konsentrasi pollutan, ki adalah diﬀusivitas konstan, dan vi adalah komponen vektor kecepatan konstan v. Pada (1) penjumlahan untuk index yang berulang (jumlahan dari 1 sampai 2) diberlakukan, sehingga secara eksplisit (1) dapat dituliskan sebagai

k1 ∂2_ϕ ∂x2 1 + k2 ∂2_ϕ ∂x2 2 − v1 ∂ϕ ∂x1 − v2 ∂ϕ ∂x2 = 0

Suku pertama di ruas kiri dari (1) merepresentasikan proses difusi, sedangkan suku keduanya menggambarkan proses konveksi dari sistem.

3 Masalah nilai batas

Solusi dari (1) dicari dimana solusi tersebut valid dalam daerah Ω di R2 _{dengan batas}

(3)

satu dari ϕ(x) atau ﬂuks

P (x) = ki

∂ϕ(x) ∂xi

ni(x)

diberikan, dimana x = (x1, x2), n = (n1, n2) melambangkan vektor normal satuan

mengarah ke luar di batas Γ. Metode solusi yang dipakai akan bekerja dengan cara menurunkan suatu persamaan integral batas, yang relevan untuk persamaan diﬀerensial (1), darimana nilai numerik ϕ dan P dapat ditentukan untuk semua titik dalam daerah Ω.

4 Solusi fundamental

Persamaan integral batas yang disebutkan pada Pasal 3 melibatkan suatu fungsi solusi fundamental ϕ∗ yang dideﬁnisikan sebagai

ki ∂2_ϕ∗ ∂x2 i + vi ∂ϕ∗ ∂xi =−δ(x − ξ) (2)

dimana ξ = (ξ1, ξ2) dan δ adalah fungsi delta Dirac. Solusi fundamental ϕ∗ ini dapat

dituliskan sebagai berikut (lihat Azis [2] untuk penurunan ϕ∗)

ϕ∗(x, ξ) = K 2πexp ( −˙v. ˙R 2D ) K0 ( ˙v ˙R 2D ) (3) dimana D = [k1+ k2ρρ]/2 K = ρ/D¨ ˙ R = x˙ − ˙ξ ˙ x = (x1+ ˙ρx2, ¨ρx2) ˙ξ = (ξ1+ ˙ρξ2, ¨ρξ2) ˙ v = (v1+ ˙ρv2, ¨ρv2) ˙ R = √(x1+ ˙ρx2− ξ1− ˙ρξ2)2+ ( ¨ρx2− ¨ρξ2)2 ˙v = √(v1+ ˙ρv2)2+ ( ¨ρv2)2 ˙

ρ dan ¨ρ berturut-turut merupakan bagian real dan imajiner positif dari akar kompleks ρ dari persamaan kuadrat

k1+ k2ρ2 = 0

dan tanda bar (¯.) melambangkan operasi konjugat untuk bilangan kompleks, serta K0

adalah fungsi Bessel termodiﬁkasi berorde nol.

Selain ϕ∗ kita juga memerlukan fungsi P∗, yang dideﬁnisikan sebagai

P∗ ≡ ki

∂ϕ∗(x, ξ)

∂xi

(4)

untuk evaluasi persamaan integral batas tersebut di atas. Perununan fungsi P∗ ini dapat dilakukan sebagai berikut. Tuliskan solusi fundamental ϕ∗ dalam (3) sebagai

ϕ∗(x, ξ) = c exp [−f(x, ξ)] K0[g(x, ξ)] dimana c = K 2π f (x, ξ) = ˙v. ˙R 2D g(x, ξ) = ˙v ˙R 2D Sehingga ∂f ∂x1 = 1 2D(v1+ ˙ρv2) ∂f ∂x2 = 1 2D[ ˙ρ(v1+ ˙ρv2) + ¨ρ ¨ρv2] ∂g ∂x1 = ˙ v 2D (x1+ ˙ρx2− ξ1− ˙ρξ2) 1 ˙ R ∂g ∂x2 = ˙ v 2D [ ˙ρ(x1+ ˙ρx2− ξ1 − ˙ρξ2) + ¨ρ( ¨ρx2− ¨ρξ2)] 1 ˙ R (5) Sekarang ∂ϕ∗ ∂xi =−ϕ∗ { ∂f ∂xi + ∂g ∂xi K1[g(x, ξ)] K0[g(x, ξ)] } (6) dimana K1 adalah fungsi Bessel termodiﬁkasi berorde satu. Sehingga dengan

mensu-bstitusikan (5) ke dalam (6), kemudian sumensu-bstitusikan (6) ke dalam (4) akan diperoleh ekspresi dari P∗.

Perlu dicatat bahwa P∗ memiliki titik singular pada x = ξ.

5 Persamaan integral batas

Bila (1) diperkalikan dengan ϕ∗ lalu diintegralkan, maka ∫ Ω ( ki ∂2_ϕ ∂x2 i − vi ∂ϕ ∂xi ) ϕ∗dΩ = 0 (7)

Dengan menggunakan Teorema Divergensi Gauss pada (7) kita akan memperoleh ∫ Γ ( ki ∂ϕ ∂xi nj− ϕ vini ) ϕ∗dΓ− ∫ Ω ( ki ∂ϕ ∂xi ∂ϕ∗ ∂xi − ϕ vi ∂ϕ∗ ∂xi ) dΩ = 0 (8) Penggunaan Teorema Divergensi Gauss sekali lagi pada integral domain di persamaan (8) untuk integran pertamanya akan menghasilkan

∫ Γ ( ki ∂ϕ ∂xi ni− ϕ vini ) ϕ∗dΓ− ∫ Γ ϕ ki ∂ϕ∗ ∂xi ni dΓ + ∫ Ω ( ϕ ki ∂2ϕ∗ ∂x2 i + ϕ vi ∂ϕ∗ ∂xi ) dΩ = 0 (9)

(5)

Atau _∫ Ω ( ki ∂2_ϕ∗ ∂x2 i + vi ∂ϕ∗ ∂xi ) ϕ dΩ =− ∫ Γ [P ϕ∗− (Pvϕ∗+ P∗)ϕ] dΓ (10) dimana Pv(x) = vi ni(x)

Sebagai salah satu sifat dari fungsi delta Dirac, persamaan berikut berlaku ∫

Ω

ϕ(x) δ(x− ξ) dΩ(x) = η(ξ) ϕ(ξ) (11) dimana η = 1₂ bila ξ berada pada batas domain Γ dan Γ mempunyai kemiringan yang berubah secara kontinyu pada ξ, η = 1 bila ξ berada di dalam domain Ω, η = 0 bila ξ berada di luar domain Ω.

Substitusi persamaan (2) ke dalam ruas kiri dari (10) dan penggunaan persamaan (11) memberikan η(ξ) ϕ(ξ) = ∫ Γ {P (x) ϕ∗_{(x, ξ)} − [Pv(x) ϕ∗(x, ξ) + P∗(x, ξ)] ϕ(x)} dΓ(x) (12) Persamaan (12) dapat digunakan untuk menentukan solusi ϕ dan P di setiap titik x di batas Γ dan di dalam domain Ω. Dan kalkulasi solusi ini sepenuhnya hanya memer-lukan kalkulasi integral batas pada ruas kanan persamaan (12). Tetapi secara umum integral batas ini tidak mudah dikalkulasi secara analitik, karena bentuk geometri dari Γ tidak beraturan atau kelakuan dari fungsi ϕ dan P sangat bervariasi. Untuk itu, nilai integral batas ini lalu diapproksimasi dengan cara memenggal-menggal batas domain Γ menjadi segmen-segmen kecil berupa garis lurus dan kelakuan dari fungsi ϕ dan P pada setiap segmen juga didekati dengan mengasumsikan bahwa fungsi-fungsi ini kon-stan, atau bervariasi secara linear, kuadratik dan seterusnya. Lalu integral dihitung untuk setiap segmen dan kemudian menjumlahkannya. Dengan kata lain batas domain Γ diapproksimasi oleh suatu poligon yang jumlah sisinya diambil sebanyak mungkin sehingga nilai pendekatan akurat dapat diperoleh.

6 Diskritisasi

Misalkan batas domain Γ didekati oleh suatu poligon dengan sejumlah J sisi, sehingga Γ terdiri atas segmen-segmen garis lurus Γj ≡ [qj−1, qj], j = 1, 2, . . . , J dimana qj−1 dan qj adalah titik-titik ujung awal dan akhir dari segmen Γj, maka persamaan (12) dapat ditulis sebagai

η(ξ) ϕ(ξ) = J ∑ j=1 ∫ Γj {P (x) ϕ∗_{(x, ξ)} − [Pv(x) ϕ∗(x, ξ) + P∗(x, ξ)] ϕ(x)} dΓ(x) (13)

(6)

Selanjutnya, bila kita mengasumsikan bahwa pada setiap segmen Γj nilai ϕ dan P konstan, dan masing-masing diwakili oleh nilainya pada titik-tengah q_j = (qj−1+qj)/2 dari segmen tertentu Γj, maka persamaan (13) dapat ditulis sebagai

η(ξ) ϕ(ξ) = J ∑ j=1 { P (q_j) ∫ qj qj−1 ϕ∗(x, ξ) dΓ(x)− ϕ(q_j) ∫ qj qj−1 [Pv(x) ϕ∗(x, ξ) + P∗(x, ξ)] dΓ(x) } (14)

Hasil penelitian telah menunjukkan bahwa pengambilan nilai ϕ dan P pada titik-tengah

q_j untuk setiap segmen Γj menghasilkan keakuratan maksimal.

Sebagaimana disebutkan pada Pasal 3, pada suatu segmen Γj hanya salah satu dari ϕ dan P diketahui. Bila nilai ϕ(q_j) diberikan maka nilai P (q_j) menjadi unknown di Γj. Sebaliknya, bila pada segmen Γj nilai P (qj) diberikan maka nilai ϕ(qj) menjadi unknown.

Untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, hanya ada dua kemungkinan pengambilan posisi titik ξ, yakni diletakkan di batas domain Γ (yang mengimplikasikan bahwa η = 1₂) atau di luar domain Ω (mengimplikasikan η = 0). Kita tidak dapat meletakkan ξ di dalam domain Ω (untuk mana η = 1) untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, kecuali bila kita mempunyai informasi tambahan mengenai nilai ϕ di titik dalam ξ ini. Sementara itu, peletakan titik ξ di luar domain Ω akan menghindari titik singular dari P di x = ξ dan hal ini tentu akan memiliki advantage untuk hasil evaluasi integral. Dan telah ada beberapa kajian di dalam beberapa paper yang telah terpublish, yang memakai analisis peletakan titik ξ di luar domain Ω. Umumnya kajian-kajian ini telah berhasil menentukan jarak ideal dari titik ξ ke batas domain Γ untuk tingkat keakuratan yang cukup bagus. Namun penentuan jarak optimal ini masih sebatas cara coba-coba (trial and error), dan belum dilandasi oleh dan belum dibuktikan keabsahannya secara analitik matematik.

Untuk itu, pada tulisan ini kita akan memposisikan titik ξ pada batas domain Γ. Sehingga untuk penentuan nilai unknown di batas domain Γ, nilai ϕ(ξ) pada ruas kiri (14) akan mengambil nilai ϕ(q_l) dan η(ξ) = 1₂. Persamaan (14) kemudian dapat dituliskan sebagai 1 2 ϕ(ql) = J ∑ j=1 { P (q_j) ∫ qj qj−1 ϕ∗(x, q_l) dΓ(x)− ϕ(q_j) ∫ qj qj−1 [Pv(x) ϕ∗(x, ql) + P∗(x, ql)] dΓ(x) } (15)

untuk l = 1, 2, . . . , J . Persamaan ini dapat dituliskan dalam bentuk matriks 1 2 ϕl+ J ∑ j=1 b Hlj ϕj = J ∑ j=1 Glj Pj (16)

(7)

dimana ϕj = ϕ(qj), Pj = P (qj), dan b Hlj = ∫ qj qj−1 [Pv(x) ϕ∗(x, ql) + P∗(x, ql)] dΓ(x) (17) Glj = ∫ qj qj−1 ϕ∗(x, q_l) dΓ(x) (18)

Evaluasi integral pada persamaan (17) dan (18) dapat dilakukan secara analitik maupun numerik. Tentunya evaluasi analitik (eksak) akan memberikan hasil yang lebih memuaskan (akurat) daripada evaluasi numerik (pendekatan). Namun perlu diperhatikan bahwa untuk j = l selang integral dalam (17) memuat titik singular q_l dari integran P∗(x, q_l). Untuk itu nilai prinsipal Cauchy (Cauchy principal value) dari integral ini biasanya diambil untuk evaluasi analitik. Di lain hal, dangan evaluasi numerik dari kedua integral ini, strategi pemilihan metode kuadratur (pengintegralan numerik) sangatlah penting, sebab terdapat beberapa metode kuadratur yang meli-batkan dan ada pula yang tidak melimeli-batkan (misalnya aturan trapezoidal) kalkulasi nilai fungsi integran pada titik tengah dari selang integral. Dan metode kuadratur yang terakhir inilah yang dikehendaki. Pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari se-tiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 7, evaluasi integral dilakukan secara numerik dengan menggunakan aturan trapezoidal termodifikasi enam titik (lihat Abramowitz and Stegun [1]).

Nilai fungsi-fungsi Bessel termodiﬁkasi K0 dan K1 yang terlibat dalam solusi

fun-damental ϕ∗ dan P∗ dihitung dengan menggunakan pendekatan polinomial fungsinya (lihat Abramowitz and Stegun [1]).

Lebih kompak, persamaan (16) dapat ditulis sebagai J ∑ j=1 Hlj ϕj = J ∑ j=1 Glj Pj (19) dimana Hlj = { b Hlj bila l̸= j b Hlj+ 1₂ bila l = j

Persamaan matriks (19) dapat diurutkan ulang dengan meletakkan unknown di ruas kiri dan known-nya di ruas kanan, dalam bentuk

AX = B (20)

dimana X adalah vektor unknown ϕ dan/atau P . Persamaan ini merupakan suatu sistem persamaan aljabar linear dengan J persamaan dan J unknown. Penyelesian sistem persamaan aljabar linear (20) dapat dilakukan dengan berbagai metode, antara lain dengan metode eliminasi Gauss. Namun, pada tulisan ini, untuk hasil numerik dari setiap contoh masalah yang akan dibicarakan pada Pasal 7, solusi sistem per-samaan aljabar linear (20) ditentukan dengan menggunakan metode gradien konjugat (lihat Coleman [3]), yang secara empiris telah diketahui lebih stabil ketimbang metode

(8)

Solusi dari persamaan (20) ini dapat ditentukan untuk unknown ϕ dan P di batas domain Γ. Sekali nilai ϕ dan P pada batas domain Γ telah diketahui, maka kita bisa menentukan nilai ϕ dan P pada sebarang titik dalam ξ dengan menggunakan persamaan (14), yakni ϕ(ξ) = J ∑ j=1 { P (q_j) ∫ qj qj−1 ϕ∗(x, ξ) dΓ(x)− ϕ(q_j) ∫ qj qj−1 [Pv(x) ϕ∗(x, ξ) + P∗(x, ξ)] dΓ(x) } (21)

Selain itu dapat pula ditentukan nilai turunan ∂ϕ/∂ξ1 dan ∂ϕ/∂ξ2 melalui persamaan

berikut ∂ϕ ∂ξ1 (ξ) = J ∑ j=1 { P (q_j) ∫ qj qj−1 ∂ϕ∗ ∂ξ1 (x, ξ) dΓ(x)− ϕ(q_j) ∫ qj qj−1 [ Pv(x) ∂ϕ∗ ∂ξ1 (x, ξ) + ∂P ∗ ∂ξ1 (x, ξ) ] dΓ(x) } (22) ∂ϕ ∂ξ2 (ξ) = J ∑ j=1 { P (q_j) ∫ qj qj−1 ∂ϕ∗ ∂ξ2 (x, ξ) dΓ(x)− ϕ(q_j) ∫ qj qj−1 [ Pv(x) ∂ϕ∗ ∂ξ2 (x, ξ) + ∂P ∗ ∂ξ2 (x, ξ) ] dΓ(x) } (23)

7 Hasil numerik

Pada pasal ini beberapa contoh masalah konduksi-konveksi dalam media anisotropik akan diselesaikan secara numerik dengan menggunakan persamaan integral batas (12).

Contoh 1 : Masalah Uji

Contoh 1 ini dimaksudkan untuk menguji keabsahan dan keakuratan MEB dalam menentukan solusi masalah dengan persamaan pembangun (1). Perhatikan solusi anal-itik untuk (1) berikut

ϕ = exp(α1x1+ α2x2) (24)

dimana α1 dan α2 adalah bilangan ril yang memenuhi

k1α21+ k2α22− v1α1− v2α2 = 0. (25)

Geometri medium dan syarat batas dari masalahnya adalah (lihat Gambar 2)

P, yang dapat dihitung dari (24), diketahui pada AB, BC dan CD, ϕ, seperti diberikan oleh (24), diketahui pada AD.

(9)

-6 x1 x2 D(0, 1) A(0, 0) B(1, 0) C(1, 1)

Gambar 2: Geometri dari masalah uji

Koﬁsien ki dan vi adalah

k1 = 1, k2 = 2,

v1 = 1, v2 = 1.

Juga diambil α1 = 1 dan nilai α2 dihitung dari persamaan kuadrat (25).

Tabel 1 memperlihatkan perbandingan antara solusi MEB dan solusi analitik. Da-pat diamati bahwa solusi MEB konvergen ke solusi analitik sejalan dengan meningkat-nya jumlah segmen dari 80, 160 dan 320. Hasil ini sesuai dengan yang diharapkan, dengan alasan bahwa semakin kecil selang integral yang digunakan maka semakin aku-rat pendekatan integrasi numerik yang akan diperoleh.

Contoh 2

Perhatikan masalah transpor dan dispersi polutan dalam tanah yang dibangun oleh persamaan (1) untuk suatu medium tanah yang diasumsikan isotropik (koﬁsien kon-duktivitas k1 = k2 = 1) yang homogen dan memiliki geometri dan syarat batas seperti

diperlihatkan dalam Gambar 3 dengan kecepatan aliran polutan v1 = 0, v2 = 1 untuk

kasus pertama, dan v1 = 2, v2 = 1 untuk kasus kedua. Tidak tersedia solusi

anali-tik eksak sederhana untuk contoh masalah ini. Kita tertarik untuk melihat pengaruh perubahan komponen kecepatan v1, dari v1 = 0 menjadi v1 = 2.

Tabel 2 memperlihatkan solusi MEB dengan menggunakan 320 segmen. Dari tabel ini dapat diamati pengaruh perubahan komponen kecepatan v1 (kecepatan ke arah

sumbu-x1) dari v1 = 0 menjadi v1 = 2, dengan komponen kecepatan v2 tetap (v2 =

1). Dapat dikatakan bahwa perubahan ini menurunkan besarnya nilai (magnitude) dari solusi ϕ dan ∂ϕ/∂x2 dan menaikkan besarnya nilai ∂ϕ/∂x1. Secara intuitif hasil

ini diharapkan (expected) karena keberadaan aliran ke arah sumbu-x1 (v1 ̸= 0) akan

mempengaruhi (mengurangi) laju aliran ke arah sumbu-x2 (∂ϕ/∂x2) dan konsentrasi

polutan ϕ itu sendiri.

Dapat pula diamati bahwa perubahan nilai v1 dari v1 = 0 menjadi v1 = 2

(10)

Tabel 1: Solusi MEB dan analitik untuk Contoh 1

Posisi MEB Analitik

(x1, x2) ϕ ∂ϕ/∂x1 ∂ϕ/∂x2 ϕ ∂ϕ/∂x1 ∂ϕ/∂x2 80 segmen (.1,.5) 1.1047 1.1021 .0001 1.1052 1.1052 .0000 (.3,.5) 1.3489 1.3474 .0002 1.3499 1.3499 .0000 (.5,.5) 1.6472 1.6463 .0003 1.6487 1.6487 .0000 (.7,.5) 2.0118 2.0110 .0006 2.0138 2.0138 .0000 (.9,.5) 2.4572 2.4587 .0010 2.4596 2.4596 .0000 160 segmen (.1,.5) 1.1050 1.1041 .0000 1.1052 1.1052 .0000 (.3,.5) 1.3495 1.3490 .0001 1.3499 1.3499 .0000 (.5,.5) 1.6482 1.6479 .0001 1.6487 1.6487 .0000 (.7,.5) 2.0130 2.0128 .0002 2.0138 2.0138 .0000 (.9,.5) 2.4587 2.4593 .0004 2.4596 2.4596 .0000 320 segmen (.1,.5) 1.1051 1.1048 .0000 1.1052 1.1052 .0000 (.3,.5) 1.3497 1.3495 .0000 1.3499 1.3499 .0000 (.5,.5) 1.6485 1.6484 .0001 1.6487 1.6487 .0000 (.7,.5) 2.0135 2.0134 .0001 2.0138 2.0138 .0000 (.9,.5) 2.4593 2.4595 .0002 2.4596 2.4596 .0000 -6 x1 x2 D(0, 1) P = 0 A(0, 0) ϕ = 0 B(1, 0) P = 0 C(1, 1) P = 1

(11)

Tabel 2: Solusi MEB untuk Contoh 2 Posisi v1 = 0, v2 = 1 v1 = 2, v2 = 1 (x1, x2) ϕ ∂ϕ/∂x1 ∂ϕ/∂x2 ϕ ∂ϕ/∂x1 ∂ϕ/∂x2 (.1,.5) .2384 .0000 .6064 .2380 .0003 .6054 (.3,.5) .2384 .0000 .6063 .2380 .0003 .6056 (.5,.5) .2384 .0000 .6063 .2381 .0003 .6057 (.7,.5) .2384 .0000 .6063 .2382 .0002 .6059 (.9,.5) .2384 .0000 .6064 .2382 .0001 .6061 (.5,.1) .0385 .0000 .4064 .0385 .0000 .4059 (.5,.3) .1285 .0000 .4964 .1283 .0002 .4958 (.5,.5) .2384 .0000 .6063 .2381 .0003 .6057 (.5,.7) .3726 .0000 .7406 .3722 .0005 .7401 (.5,.9) .5366 .0000 .9046 .5361 .0006 .9044

titik-titik dengan ordinat x2 = 0.5 simetris, tapi untuk v1 = 2 kesimetrian ini tidak

terjadi lagi. Secara intuitif hal ini juga diharapkan.

8 Konklusi

Suatu MEB untuk solusi masalah nilai batas untuk model konduksi-konveksi dalam suatu medium anisotropik telah ditemukan. MEB ini secara umum cukup mudah untuk diimplementasikan untuk memperoleh solusi numerik untuk masalah tertentu. Hasil numerik yang diperoleh dengan menggunakan MEB ini mengindikasikan bahwa MEB ini dapat menghasilkan solusi numerik yang cukup akurat. Evaluasi integral secara analitik, penerapan proses reﬁnement untuk penyelesaian sistim persamaan aljabar linear, dan strategi peletakan titik ξ di luar domain Ω akan memberikan hasil yang lebih akurat.

References

[1] Abramowitz, M. and Stegun, A. Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York, 1970.

[2] Azis, M. I. (2001). On the boundary integral equation method for the solution of

some problems for inhomogeneous media (PhD Thesis), Department of Applied

Mathematics, University of Adelaide.

[3] Coleman, C. J. University of Wollonggong, Australia.

[4] Wrobel, L. C. and DeFigueiredo, D. B. Coupled Conduction-Convection Problems.

in BEMs in Heat Transfer, Wrobel, L. C. and Brebbia, C. A. (eds.),