KALKULUS PEUBAH BANYAK
(IE-308)
BAB 4 PENERAPAN TURUNAN PARSIAL
Diktat ini digunakan bagi mahasiswa Jurusan Teknik Industri Fakultas Teknik
Universitas Kristen Maranatha
Ir. Rudy Wawolumaja M.Sc
JURUSAN TEKNIK INDUSTRI - FAKULTAS TEKNIK
UNIVERSITAS KRISTEN MARANATHA
BANDUNG
2012
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 69
BAB 4. PENERAPAN TURUNAN PARSIAL
4.1. Bidang Singgung dan pendekatan Linear
Bila P adalah titik di dan menyatakan kurva irisan/trace dengan bidang datar tegak/vertikal dan bila menyatakan kurva irisan/trace terhadap bidang datar tegak , maka adalah kemiringan garis singgung terhadap kurva irisan dan adalah kemiringan garis singgung terhadap kurva irisan . Jadi bila adalah garis singgung terhadap trace dan adalah garis singgung terhadap trace .
Maka pada bidang singgung terdapat dua garis dan . dan secara geometris bidang singgung tersebut menyinggung permukaan fungsi, analogi seperti juga garis singgung menyinggung kurva fungsi pada Kalkulus 1 . Dan garis singgung dikatakan menyinggung kurva fungsi pada titik singgung dan sejajar / paralel dengan kurva fungsi pada titik singgung. Demikian juga bidang singgung adalah bidang datar yang menyinggung fungsi permukaan pada titik singgung P dan sejajar / paralel dengan permukaan fungsi tersebut pada titik singgung P.
Sehingga pada titik P berlaku baik untuk fungsi permukaan , juga bidang singgung:
Bila bidang singgung dinyatakan dengan persamaan bidang datar secara umum adalah:
Dimana adalah sebuah titik di bidang tersebut. Persamaan tersebut dapat ditulis ulang menjadi:
Dan bila,
Persamaan bisa ditulis menjadi,
Berikut ini kita akan melihat apa A dan B dalam hubungan bidang singgung dengan fungsi permukaan.
Bila kita menahan y tetap, yaitu bila . Maka persamaan bidang singgung menjadi,
Persamaan diatas menyatakan persamaan suatu garis, dan garis ini haruslah garis singgung pada fungsi permukaan di . Dan A adalah kemiringan dari garis singgung ini. Jadi persamaan,
Adalah persamaan garis dan kemiringan dari pada titik singgung P adalah . Sehingga dapat dituliskan,
Bila kita menahan x tetap pada persamaan bidang singgung menjadi,
Dan persamaan diatas juga menyatakan persamaan garis dengan kemiringan pada titik singgung sebesar B atau .
Jadi,
Persamaan bidang singgung dengan fungsi permukaan pada adalah,
Sehingga karena dapat ditulis ulang persamaan bidang singgung sebagai:
Contoh 4.1.1. Dapatkan persamaan bidang singgung at .
Persamaan bidang singgung adalah:
Bidang singgung memberi gambaran dan cara untuk melakukan pendekatan pada suatu permukaan sekitar sebuah titik. Sehingga memberikan persamaan pendekatan linear sebagai,
Dengan kata lain, bila (x,y) adalah dekat/sekitar maka kita dapat mendekati nilai:
Contoh 4.1.2. Dapatkan pendekatan linear untuk pada titik . Jawab
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 71 Gambar 4.1. Bidang singgung terhadap permukaan pada titik (-4,3)
4.2. Minimum Lokal dan Maximum Lokal (Relatif minimum dan maximum) Pada bab ini kita akan mempelajari bagaimana menemukan maximum lokal dan minimum lokal dalam fungsi 2 variabel.
Definisi dari relatif extrema dari fungsi 2 variabel identik dengan fungsi 1 variabel, hanya bedanya kita berurusan dengan 2 variabel. Berikut ini definisi dari maximum lokal dan minimum lokal dari fungsi 2 variabel.
Definisi
1.Suatu fungsi memiliki minimum lokal pada titik bila untuk setiap titik dalam daerah/region sekitar/bersebelahan .
2.Suatu fungsi memiliki maximum lokal pada titik bila untuk setiap titik dalam daerah/region sekitar/bersebelahan .
Definisi ini menyatakan bahwa minimum lokal adalah bukan nilai terkecil dari fungsi tapi terkecil pada daerah bersebelahan, artinya untuk titik sekitar nilai titik tetangga
bersebelahan (a,b) akan bernilai lebih besar dari . Diluar daerah tetangga dekat sangat mungkin ada nilai fungsi yang lebih kecil. Demikian juga maximum lokal.
Berikut konsep titik kritis pada fungsi 2 variabel.
Pada definisi titik kritis untuk 1 variabel, titik x=c adalah titik kritis fungsi bila salah satu kondisi berikut terjadi, yaitu atau tidak ada.
Definisi titik kritis untuk fungsi 2 variable adalah sbb. :
Definisi
Titik adalah titik kritis dari bila salah satu kondisi dari dua syarat dibawah berlaku,
1. (atau dan ),
2. dan/atau tidak ada.
Teorema
Jika titik adalah extrema lokal dari fungsi maka adalah juga titik kritis dari dan kita akan mendapatkan .
Catatan bahwa TIDAK semua titik kritis adalah titik extrema lokal, tapi semua titik extrema lokal adalah titik kritis.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 73 Turunan parsial orde pertama ,
Titik dimana kedua turunan diatas adalah 0 terjadi pada, (0,0) dengan demikian (0,0) adalah titik kritis dari fungsi diatas. Berikut grafik dari fungsi tersebut.
Gambar 4.2.
Perhatikan titik kritis bukan titik extreme (max/min), karena sekitarnya/bertetangga ada nilai lebih besar & lebih kecil.
Jenis titik kritis ini disebut: titik pelana / saddle points.
Teorema
Bila adalah titik kritis dan turunan kedua dari turunan parsial adalah kontinu dalam suatu daerah yang memuat . Dan bila D didefinisikan,
Kita memperoleh beberapa klasifikasi dari titik kritis dengan kondisi.
1. Jika dan maka didapat minimum lokal pada . 2. Jika dan maka didapat maximum lokal pada . 3. Jika maka titik adalah titik pelana/saddle point.
4. Jika maka titik mungkin minimum lokal, maximum lokal atau titik pelana/saddle point. Dengan kata lain kita tidak tahu, tidak ada kesimpulan,
Perhatikan pada kondisi maka dan akan memiliki tanda yang sama (pos/neg), jadi kalau bertanda positif, maka juga akan bertanda positif dan sebaliknya kalau negatif. Artinya bisa ditetapkan max atau minimum (ingat pada kalkulus 1 syarat pos negatif, turunan kedua <0 , extrema =maks, turunan kedua>0, extrema = minimum.
Contoh 4.2.1. Temukan dan klasifikasi titik kritis fungsi . Solusi
Pertama kita cari turunan orde pertama turunan parsial(utk mendapat titik kritis) kemudian dapatkan turunan orde kedua turunan parsial(utk mengklasifikasi titik kritis).
Untuk mendapatkan titik kritis:
Persamaan diatas tidak linear, tapi masih mudah utk dipecahkan.
Dengan memasukkan kepersamaan kedua, didapat
Solusi nya: atau . kemudian sehingga didapat titik kritis
Jadi, kita telah mendapat 2 titik kritis.
Sekarang kita menentukan klasifikasinya. Untuk itu kita perlu dicari D. Berikut rumus umum dari D:
Masukkan titik kritis dalam persamaan diatas:
:
Jadi untuk D adalah negative sehingga klasifikasinya adalah saddle point.
:
Untuk D adalah positif dan positif, kesimpulkan kita dapat minimum lokal. Gambaran yang lebih jelas.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 75 Contoh 4.2.2. Temukan dan klasifikasi titik kritis
Solusi
Turunan pertama & kedua f(x,y) adalah:
Utk mendapatkan titik kritis, kondisi berikut:
Pemecahan persamaan diatas adalah sbb.:
Jadi atau . Untuk ---
:
:
Jadi, untuk kita mendapat titik kritis,
Dan untuk kita mendapat titik kritis,
Untuk menentukan jenis titik kritis, kita menghitung D.
Untuk -
:
:
:
:
Sehingga dapat disimpulkan untuk titik-titik kritis, jenisnya adalah: (0,0) : Maximum Lokal
(0,2) : Minimum Lokal (1,1) : Titik Pelana (-1,1) : Titik Pelana
Berikut gambar fungsi:
Gambar 4.4.
Contoh 4.2.3. Tentukan koordinat titik pada bidang/plane yang mempunyai
jarak terdekat pada titik . Solusi
Misal adalah setiap titik yang terdapat dibidang. Jarak titik ini terhadap titik , didapat dari rumus,
Kita sudah mendapat model pemecahan masalah diatas dengan mengidentifikasi masalah menjadi menemukan nilai minimum dari persamaan diatas.
Titik yang memberi nilai minimum pada persamaan diatas adalah titik pada bidang yang mempunyai jarak terdekat ke titik .
Sampai disini kita telah memodelkan pemecahan permasalahan diatas, namun ada perbedaan dengan contoh2 yang sudah dibahas, yaitu disini fungsi d adalah fungsi x, y dan z sedangkan yang lalu kita berurusan fungsi x dan y . Tapi bila dilihat lebih jauh hal ini tidak terlalu sulit. Komplikasi ini bisa dipecahkan bila kita melihat persamaan bidang dan menyusunnya ulang sebagai,
Memasukkan nilai z kepersamaan d (jarak) kita memperoleh persamaan jarak sbb,
Disini kita menemukan operasi akar yang merupakan komplikasi berikut, kita bisa sederhanakan dengan menghilangkan akar tersebut dengan pangkat 2, karena kita tahu menemukan titik minimum dari d adalah juga ekivalen menemukan titik minimum dari . Jadi, kita modifikasi formulasi atau model masalah kita menjadi mendapatkan nilai minimum dari
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 77 Walaupun kita telah merumuskan permasalah jarak terdekat bidang ketitik menjadi
mencari minimum dari persamaan kita
perlu berhati-hati disini. Kehati-hatian pertama, karena dari teori yang telah kita bahas bahwa dari suatu persamaan fungsi kita dapat menemukan titik kritis dan kemudian menentukan klasifikasi dari titik kritis diatas, apakah max atau min atau saddle point. Sedangkan disini kita sudah langsung menetapkan mencari minimum. Kehati-hatian kedua yaitu dari teori yang kita bahas adalah mencari extreme lokal sedang yang diminta adalah minimum global. Mari kita lanjutkan dengan mencari nilai turunan pertama dan kedua dari turunan parsial
fungsi .
Dan dalam prosesnya kita akan temukan barangkali ke hati2an kita menjadi tidak relevan. Kita dapat kan turunan orde pertama dan kedua dari turunan parsial fungsi
adalah sbb.:
Disini tanpa menentukan titik kritis kita dapat menghitung D .
Jadi dalam persoalan contoh 3 ini, kita mendapatkan nilai D yang selalu positif dan juga nilai juga selalu positif untuk apapun nilai x,y, jadi setiap titik kritis yang didapat dijamin titik tersebut klasifikasinya minimum lokal. Kehati-hatian pertama menjadi tidak relevan.
Selanjutnya kita temukan titik kritis, dengan mencari solusi dari persamaan :
Persamaan pertama diatas dapat dituliskan sbb.:
Kita masukkan nilai x kedalam persamaan kedua dan didapat:
Kita substitusi lagi ke persamaan
dan kita mendapatkan .
Jadi, disini kita mendapatkan titik kritis tunggal : . Dan kita tahu bahwa titik kritis tersebut adalah minimum lokal dan karena titik kritis tersebut adalah tunggal kita tahu tidak ada titik lain yang potensial menjadi titik eksteem, sehingga kehati-hatian kedua sudah terjawab. Kita telah menemukan koordinat x dan y pada bidang selanjutnya kita dapat mencari koordinat z dengan memasukkan nilai x & y kedalam persamaan bidang :
Sehingga, titik pada bidang yang mempunyai jarak terdekat pada titik adalah .
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 79 4.3. Minimum Global dan Maximum Global (Absolut Minimum dan Maximum) Pada bab ini kita akan meninjau lebih luas lagi dibanding yang bab lalu. Pada bagian sebelumnya kita diminta untuk menemukan dan meng klasifikasi semua titik kritis sebagai titik minimum lokal, maximum lokal dan atau titik pelana. Pada bagian ini kita akan mengoptimumkan sebuah fungsi, artinya menetapkan minimum global dan/atau maximum global dari suatu fungsi, pada suatu daerah (region) yang diberikan dalam . Yang
dimaksud dengan pada suatu domain/daerah dalam berarti dalam suatu domain di bidang xy (xy-plane). Untuk itu kita akan menetapkan beberapa definisi.
Definisi
1.Suatu daerah dalam disebut tertutup / closed bila daerah tersebut meliputi batasnya / boundary. Suatu daerah disebut terbuka / open bila titik-titik pada batasnya / boundary points tidak termasuk.
2. Suatu daerah dalam disebut terbatas / bounded bila terliput/tercakup secara tuntas dalam suatu cakram atau daerah yang memiliki batas-batas atau diliputi garis batas yang terbatas (finite) bukan tidak terbatas (infinite)
Penjelasan definisi closed/tertutup. Kita katakan suatu daerah tertutup bila batasnya termasuk daerah tersebut. Untuk lebih jelas, sebagai contoh suatu segi empat. Dibawah ini dua definisi suatu segi empat, yang pertama open/terbuka dan kedua closed/tertutup.
Dalam kasus pertama diatas (open), titik/garis batasnya tidak termasuk, dalam kasus kedua (close) region/daerah meliputi garis batasnya .
Konsep bounded, open and closed adalah konsep yang penting dan berikut ini teorema nilai ekstrem.
Teorema Nilai Extreme
Jika fungsi kontinu dalam himpunan D yang tertutup dan terbatas, dan himpunan D ada dalam maka terdapat titik-titik dalam D, dan sehingga adalah maximum global dan adalah minimum global dari fungsi f dalam D. Catatan teorema ini TIDAK memberi petunjuk dimana minimum global atau maximum global terjadi. Teorema ini hanya menyatakan ada max global & min global. Minimum global dan/atau maximum global dapat ditemui di dalam daerah atau pada batas (boundary) dari daerah.
Proses dasar untuk menemukan nilai maximum global dan minimum global adalah hampir sama dengan proses pada Kalkulus dasar, hanya sekarang kita ada dalam fungsi 2 variabel, proses tersebut adalah sbb.:
Algoritma menemukan Extrema Global
1.Temukan semua titik2 kritis dari fungsi didalam daerah D and tetapkan nilai fungsi pada titik2 tersebut.
2.Temukan semua extrema dari fungsi pada garis batas (boundary).
global dan nilai maximum global.
Perbedaan utama proses ini dengan proses yang digunakan Kalkulus I adalah
“batas/boundary” dalam Kalkulus I adalah dua titik jadi tidak dibutuhkan kerumitan pada langkah 2.
Contoh 4.3.1. Temukan titik minimum global dan maximum global dari
pada daerah segi empat/ rectangle yang didefinisikan sebagai
dan .
Pertama kita tinjau Daerah/Domain/Region segi empat yang dimaksud.
Gambar4.5. Garis batas segi empat/rectangle adalah sbb.:
Sisi kanan : x=1 , −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 Sisi kiri : x=-1, −1 ≤ 𝑦 ≤ 1 Sisi atas : y = 1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1 Sisi bawah : y =-1, −1 ≤ 𝑥 ≤ 1
Sekarang kita mulai dengan kedua langkah algoritma diatas.
Kita mulai langkah 1 dengan menemukan titik-titik kritis didalam domain. Untuk itu kita membutuhkan kedua turunan pertama( first order derivatives).
Perhatikan karena disini kita tidak perlu mengklasifikasi titik kritis (apa max atau min), kita tidak perlu turunan kedua (second order derivatives). Untuk mendapatkan titik kritis kita perlu menyelesaikan persamaan berikut:
Persamaan kedua sama dengan:
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 81 Solusi persamaan diatas adalah atau . Batasan daerah adalah
. Sehingga nilai x yang dipakai adalah x=0, sedangkan solusi kedua diabaikan atau dibuang.
Dengan memasukkan kedalam persamaan untuk y, didapatkan,
Dalam hal ini, didapatkan nilai kritis tunggal, yaitu . Sekarang kita mencari nilai fungsi pada titik kritis.
Langkah pertama dari algoritma diatas telah selesai, dilanjutkan kelangkah kedua yaitu menemukan nilai extrema global pada garis batas (dalam hal ini batas segi empat)
Kita mulai dengan garis batas kanan. Garis batas kanan didefinisikan sbb.:
Kita lihat pada garis batas kanan nilai x tetap .
Kita definisikan fungsi baru g(y) dari f (x,y) dengan nilai x=1,
Sekarang kita perlu menemukan nilai extrema of sepanjang garis batas kanan(right side) yang sama dengan menemukan nilai extrema dalam range .
Kita mencari titik kritis g(y) pada range dan kemudian menetapkan nilai pada titik kritis tersebut dan pada titik ujung dari range y.
Hal tsb dilakukan sbb.:
Nilai g pada titik y=-1 (titik ujung), y=1 (titik ujung) dan y=1/4 adalah sbb.:
Kita kembalikan dari definisi ke fungsi .
Proses diatas kita ulang lagi untuk garis batas kiri yang didefinisikan sbb.:
Kita dapatkan fungsi yang sama seperti yang kita lakukan diatas, hal ini kebetulan saja untuk kasus2 lain tidak perlu seperti ini.
Sehingga kita dapatkan titik kritis dan kita dapatkan nilai fungsi pada titik kritis sbb.:
Kita lanjutkan pada proses garis batas atas,
Kita definisikan fungsi baru h(x), dimana dari f (x,y) dimana y=1,
Kita perlu menemukan extrema dari pada range . Pertama temukan nilai kritis
Nilai fungsi dari titik kritis x=0 dan titik ujung x=-1, x=1 adalah:
Kita kembalikan dari definisi ke fungsi .
Terakhir kita lanjutkan pada proses garis batas bawah yang di definisikan ,
Kita definisikan fungsi baru h(x), dimana dari f (x,y) dimana y= -1,
Titik kritis untuk fungsi ini,
Nilai fungsi dari titik kritis x=0 dan titik ujung x=-1, x=1 adalah:
Kita kembalikan dari definisi ke fungsi .
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 83 Nilai minimum global adalah pada karena memberi nilai paling kecil dari hasil akhir diatas dan nilai maximum global adalah pada dan karena kedua titik ini memberi nilai terbesar pada hasil akhir diatas.
Berikut ini gambar fungsi diatas dengan batasan domain x,y yang didefinisikan dalam segi empat.
Gambar 4.6.
Contoh 4.3.2. Temukan minimum global dan maximum global dari dari lingkaran dengan radius 4,
Solusi
Langkah pertama kita menemukan titik kritis fungsi didaerah didalam lingkaran, dengan menghitung turunan pertama fungsi terhadap x lalu terhadap y,
Untuk mendapat titik kritis, kedua persamaan diatas bernilai 0,
Kita dapatkan dan . Sehingga titik kritsi fungsi adalah , yaitu titik didalam lingkaran dengan radius = 4. Nilai fungsi pada titik kritis (0,3) adalah sbb.:
Langkah kedua menemukan titik kritis pada garis batas, dalam hal ini berbentuk lingkaran :
Kita pecahkan dengan memasukkan kedalam dan mendapat fungsi y sbb.:
Kita mendapatkan fungsi 1 variabel dan kita cari nilai extrema dari fungsi dengan range .
Turunan pertama dari fungsi diatas adalah sbb.:
Nilai fungsi pada titik kritis dan titik ujung,
Titik kritis didapat dengan memasukkan nilai y ke , sbb.:
Nilai fungsi kita kembalikan ke ., didapat:
Jadi dengan membandingkan nilai nilai fungsi pada titik kritis yang kita dapatkan diatas, kita temukan bahwa minimum global terjadi di dan maximum global terjadi
pada dan .
Berikut ini gambar dari fungsi dengan range lingkaran.
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 85 4.4. Lagrange Multipliers
Pada bab yang lalu kita telah menyentuh masalah optimasi suatu fungsi yang bounded dan closed, yaitu mencari absolute extrema. Kita melakukannya dengan mencari semua titik kritis didalam region/domain, juga pada garis batas dan memasukkan titik-titik kritis tersebut dalam fungsi untuk mendapat nilai fungsi. Titik kritis tersebut adalah titik-titik yang potensial menjadi titik optimal. Dan dari nilai fungsi yang didapat kita membandingkannya dan menetapkan mana yang absolut minimum dan yang absolut maksimum. Secara umum algoritma tersebut cukup baik, namun seperti kita ketahui bahwa melakukan prosedur / algoritma menemukan absolute ekstreem yang telah dibahas merupakan proses panjang. Pada bagian ini kita akan mempelajari alternatif cara untuk mengoptimasi suatu fungsi dengan suatu kriteria pembatas (objective: min/max function subject to given constraint). Constraint(s) / pembatas dapat berupa persamaan yang dinyatakan sebagai batas region (the boundary of a region) walaupun dalam bagian ini kita tidak berkonsentrasi dalam hal
tersebut, melainkan pada constrain secara umum, tanpa memperdulikan dari mana konstrain tersebut berasal.
Langsung pada inti bahasan, kita ingin mengoptimasi (mencari minimum dan maximum) dari suatu fungsi, , dengan kendala / konstrain . Dalam hal ini sekali lagi, konstrain dapat berupa persamaan yang menyatakan batas / boundary suatu region atau juga bukan atau sembarang konstrain (pembatas). Proses yang kita bahas disebut metoda Lagrange multiplier, yang algoritma/prosesnya cukup sederhana, sebagai berikut:
Metoda Lagrange Multipliers
1. Pecahkan persamaan berikut :
2. Masukan semua solusi diatas, , dari langkah pertama diatas ke dan identifikasi nilai minimum and maximum , bila ada (exist).
Nilai konstan, , disebut sebagai Lagrange Multiplier.
Bila diperhatikan dan diuraikan, sistem persamaan diatas mempunyai 4 persamaan, yang dapat kita uraikan sbb. :
Vektor diatas diuraikan dalam komponen vektor sbb.:
Ketiga persamaan diatas bersama dengan persamaan konstrain , menjadikan empat persamaan dengan empat faktor tidak diketahui (unknowns), yaitu x, y, z, dan . Catatan hal diatas berlaku untuk persamaan 2 variabel x, y dalam hal ini, komponen ke 3 gradient tidak ada jadi kita memiliki 3 persamaan dengan tiga faktor yang tidak diketahui (unknowns) yaitu x, y, and .
Sebagai catatan penting, dalam beberapa kasus maksimum dan minimum sebenarnya tidak ada (don’t exist), walaupun dalam menjalankan prosedur ini seolah-olah ada. Jadi dalam setiap pemecahan problem kita harus memverifikasi dan mencek bahwa jawaban yang didapat masuk akal.
Contoh 4.4.1. Temukan dimensi dari kotak yang menghasilkan volume terbesar dengan total luas permukaan kotak sebesar 64 cm2.
Solusi
Untuk persoalan ini kita tetapkan dimensi kotak, panjang=x, lebar=y dan tinggi=z. Dan x, y,
z semua bernilai positive. (>0)
Persoalan menjadi maximize ,
Dengan constrain atau subject to:
Untuk menyederhanakan, kita membagi konstrain 2 dengan demikian juga fungsi konstrain .
Kita mendapatkan empat persamaan yang akan dipecahkan, yaitu berapa x,y,z dan 𝜆.
(1)
(2)
(3)
(4)
Bila kita mengalikan persamaan (1) dengan x, persamaan (2) dengan y dan persamaan (3) dengan z, kita mendapatkann : (5)
(6)
(7)
Persamaan (5) dan (6) mempunyai nilai sama, sehingga tidak bisa, karena berarti persamaan (1) menghasilkan Sedangkan kita tahu dimensi kotak harus lebih besar dari nol (>0), sehingga kita membuang kemungkinan . Kita lanjut dengan kemungkinan kedua.. Karena kita tahu bahwa (karena dimensi tinggi harus ada) kita bisa mencoret z dari persamaan . Sehingga kita dapat, (8) Persamaan (6) dan (7) sama, sehingga kita mendapatkan,
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 87 Sama seperti diatas kita tahu bahwa tidak mungkin sehingga kita mendapatkan,
Kita juga tahu sehingga kita bisa mencoret x pada persamaan sehingga, (9) Dengan memasukkan persamaan (8) dan (9) ke persamaan (4) kita mendapatkan,
Karena kita tahu bahwa y harus positif, maka kemungkinan bernilai negatif kita buang. Sehingga kita mendapatkan solusi yang paling masuk akal adalah
Kesimpulan bahwa solusi kotak tersebut adalah kubus dengan dimensi : .
Perhatikan bahwa dalam contoh diatas kita tidak mendapatkan nilai . Nilai tidak terlalu penting untuk menentukan apakah titik tersebut maximum atau minimum, sehingga kita tidak terlalu perduli apakah kita menemukan nilai tersebut atau tidak. Tetapi terkadang kita membutuhkan nilai untuk membantu memecahkan persoalan atau menemukan solusi, walaupun sesudahnya tidak kita gunakan lagi.
Contoh 4.4.2. Dapatkan maximum dan minimum dari dengan kendala/konstrain .
Solusi
Persoalan ini lebih sederhana karena menyangkut hanya 2 variabel x & y, dan juga kita tahu bahwa dari constraint bahwa region dari solusi yang mungkin ada dalam lingkaran dengan radius dan juga region tersebut closed dan bounded region dan dari Teorema Extreme Value, kita tahu bahwa minimum dan maksimum pasti ada.
Pemecahannya adalah sbb.:
Perhatikan kita tidak mungkin mendapatkan nilai karena kontradiksi dengan persamaan diatas (5=0 dan -3=0) dan karena kita tahu bahwa kita dapat memecahkan persamaan diatas sbb.:
Dengan memasukkan nilai x & y kedalam persamaan konstrain kita mendapatkan :
Sekarang kita mendapatkan nilai kita dapat mencari titik yang menghasilkan potensial maximum dan atau minimum
Bila kita mendapatkan,
Dan bila kita mendapatkan,
Untuk mendapatkan nilai maksimum atau maksimum kita tinggal memasukkan nilai x,y kedalam persamaan fungsi dan berdasarkan Teorema Extreme Value untuk kasus contoh kita berlaku, sehingga dipastikan maximum dan minimum ada dalam solusi problem ini, Berikut ini minimum dan maksimum yang didapat :
f (-10,6) = -68 Minimum pada (-10,6)
f (10,-6) =68 Maximum pada (10, -6)
Contoh 4.4.3. Dapatkan nilai maximum dan minimum dari dengan
pembatas . dimana .
Solusi
Dari konstrain diatas dan batasan , kita tahu bahwa Teorema Nilai Extreme berlaku (daerah tertutup dan terbatas), sehingga nilai maximum dan minimum pasti ada. Berikut ini pemecahan persamaan :
(10)
(11)
(12)
(13)
Dari persamaan diatas kita dapatkan (10) = (11) ,
Ada 2 kemungkinan, kita mulai dengan . Dan dari persamaan (10) dan (11) kita tahu bahwa nilai adalah keharusan. Dari persamaan (12) berarti . Berarti nilai atau .
Jadi dari kedua kemungkinan diatas dan persamaan (13) kita mendapatkan
Sehingga kita mendapatkan 2 solusi yang mungkin, yaitu dan .
Sekarang kita memproses kemungkinan, . Kita mempunyai 2 kemungkinan lagi, yaitu pertama . Dalam hal ini berdasarkan konstrain persamaan(13) maka haruslah sehingga kita mendapatkan solusi ketiga yaitu .
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 89 Kita sudah mengasumsikan (lihat 2 baris diatas) sehingga satu2nya kemungkinan adalah . Ini juga akan berarti,
Dengan menggunakan persamaan constrain (13) berarti
Sehingga solusi berikutnya adalah .
Kita mendapatkan 4 solusi dengan mengerjakan kedua persamaan pertama (persamaan (10) = (11)). Untuk menuntaskan masalah ini kita perlu memproses seperti diatas dengan mengerjakan persamaan (10) = (12), kemudian persamaan (11) = (12). Sehingga kita mendapatkan :
Dan bila proses dilanjutkan, maka kita akan mendapatkan hasil / solusi sama seperti yang kita telah dapatkan (anda dapat mencobanya).
Jadi, dari ke 4 solusi kita akan menentukan maximum dan minimum.
Jadi, dalam contoh soal ini kita mendapatkan maximum satu kali ( satu titik) dan minimum yang terjadi tiga kali (tiga titik).
Dari ketiga contoh diatas, kita memecahkan konstrain berbentuk persamaan. Metoda La Grange multiplier ditujukan untuk mencari titik extreme (max/min) pada garis batas
(boundary line/curve). Pada contoh berikut ini constraint kita berupa ketidaksamaan. Proses yang kita gunakan hampir sama dengan ketiga contoh diatas, perbedaan utamanya adalah bahwa kita perlu mencari titik kritis didaerah ketidaksamaan, sedangkan pada garis batas kita gunakan metoda Lagrange multiplier.
Contoh 4.4.4. Dapatkan nilai maximum dan minimum dari pada cakram/ disk .
Solusi
Karena konstrain tertutup dan terbatas, maka berdasarkan Teorema Nilai Ekstreem titik maksimum dan minimum pasti ada.
Langkah 1, menemukan titik kritis didalam cakram. Yaitu dengan turunan parsial orde1 =0, yang dinyatakan sbb.:
Jadi kita mendapatkan nilai kritis tunggal, yaitu dan titik tersebut memenuhi syarat ketidaksamaan.
Langkah 2, dilanjutkan dengan metoda Lagrange Multipliers dimana kita mengolah fungsi constrain pada garis batasnya (persamaannya bukan ketidaksamaannya), untuk ketidak samaan sudah diproses dilangkah 1.Kita dapatkan hasil sbb.:
Dari persamaan pertama kita dapatkan,
Untuk maka persamaan constrain menghasilkan . Untuk persamaan kedua menghasilkan,
Persamaan constrain menghasilkan .
Analisis dengan persamaan 20y = 2𝜆𝑦 akan member hasil yang sama.
Jadi, Lagrange Multipliers member kita 4 titik, yaitu : , , , and . Untuk menetapkan apakah titik tsb maximum dan minimum kita dapatkan nilai f(x,y) dan kita bisa tetapkan mana yang minimum dan maximum.
Dalam contoh ini, minimum ada didalam cakram dan maksimum ada dibatas/boundary dari disk.
Terakhir kita akan membahas bagaimana kalau kita mempunyai lebih dari satu constrain. Pada bagian dibawah ini kita membahas 2 constrain, tetapi kita dapat memperluasnya lebih dari 2 konstrain.
Model permasalahan: kita ingin mengoptimasi dengan constraint
dan .
Model pemecahannya adalah sbb.:
Jadi , disini kita mendapatkan dua Lagrange Multipliers.
Contoh 4.4.5. Dapatkan maximum dan minimum dari dengan pembatas
dan .
Solusi
Berikut ini persamaan yang perlu dipecahkan: (14)
Rudy Wawolumaja- Universitas Kristen Maranatha Halaman 91
(15)
(16)
(17)
(18)
Pertama, dari persamaan (16) kita mendapat . Memasukkan nilai ini ke persamaan (14) dan (15) menghasilkan:
Masukkan nilai ini kepersamaan (18) menghasilkan.
Ada 2 nilai , pertama kita memproses nilai . Kita dapatkan:
Dengan memasukkan nilai ini kepersamaan (17) kita mendapat,
Jadi, kita mendapatkan satu solusi.
Berikutnya, kita memproses nilai . Kita mendapatkan,
Dengan memasukkan nilai ini kepersamaan (17) kita memperoleh,
Dan kita memperoleh solusi ke dua.
Dari kedua solusi yang diperoleh kita menetapkan apakah maximum atau minimum.
