Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan
dengan Persamaan Fungsional
Ning Eliyati, Novi Rustiana Dewi, dan Roni Simanjuntak
Jurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia
Intisari: Lapangan merupakan ring komutatif dengan elemen satuan dimana setiap elemen satuan yang bukan nol mempunyai invers perkalian. Apabila diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan yang memuat Q(bilangan rasional) dan memenuhi persamaan fungsional g(Xin) = f (Xi)n dengan n ∈ Z{0, 1}, 1 ∈ N maka akan diselidiki sifat homomor-fisma lapangan pada fungsi f . Dari hasil penelitian yang didapat dari teorema 4.21 adalah jika n > 1 maka f = g = 0 dan e−1f : K → ¯K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K dan jika n < 0, maka ¯e = f (1) 6= 0, e−1f : K → ¯K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K∗dan g = en−1f
Kata kunci: homomorfisma lapangan, persamaan fungsi
Abstract: Field is comutatif ring with elemen where the non zero of unit elemen has multiplication invers. Let be give additive function f ,g from a field which Q and satisfying a functional equation g(Xin) = f (Xi)nwhere n ∈ Z{0, 1}, 1 ∈, N will be observed characteristic of field homomorphism in function f according to the result is got from theorem 4.21 that is if n > 1 then f = g = 0 and e−1f : K → ¯K is field homomorphism for allx ∈ K and if n < 0, then ¯
e = f (1) 6= 0, e−1f : K → ¯K is field homomorphism for all x ∈ K∗and g = en−1f
Keywords: field homomorphism, functional equation
Desember 2009
1 PENDAHULUAN
1.1 Latar belakang
S
istem bilangan real atau sistem bilangan kompleks memiliki dua operasi biner dasar, yaitu operasi penjumlahan dan perkalian. Teori grup belum cukup merangkum semua struktur aljabar dari kedua sistem bilangan, karena suatu grup hanya berkaitan dengan satu operasi biner saja. Oleh karena itu dibahas struk-tur aljabar dengan dua operasi biner yang disebut ring. Ring terbentuk dari suatu himpunan tak kosong dengan dua operasi biner yaitu operasi penjumlahan (+) dan operasi perkalian (·). jika suatu ring ter-hadap operasi perkalian mempunyai elemen identitas (elemen satuan) maka disebut ring dengan elemen sa-tuan. Ring merupakan struktur yang lebih luas dari grup dan digunakan sebagai dasar untuk membahas lapangan.Lapangan adalah satu ring komutatif dengan elemen satuan yang setiap elemen yang bukan nol mempunyai invers perkalian. Karena lapangan merupakan sebuah ring komutatif maka semua sifat-sifat ring berlaku pula dalam lapangan.
Diberikan fungsi aditif f, g dari suatu lapangan yang memuat Q memenuhi persamaan fungsional g(Xin) = (f (Xi))n maka akan diselidiki sifat
homom-rfisma lapangan pada fungsi untuk menjelaskan per-soalan ini secara terperinci, maka peneliti tertarik un-tuk meneliti lebih lanjut,dimana tujuannya mengkaji sifat-sifat homomorfisma lapangan pada persamaan fungsional g(Xin) = (f (xi))n.Yang dibatasi pada
ho-momorfisma lapangan dari fungsi yg aditif. Manfaat-nya memperkuat pemahaman tentang homomorfisma lapangan dan menambah wawasan untuk kajian per-samaan fungsional.
1.2 Tinjauan Pustaka
Berbagai teorema dan definisi yang berhubungan dengan ring, lapangan, dan homomorfisma lapangan merupakan dasar pembahasan pada hasil dan pemba-hasan yang dihimpun dari berbagai sumber.
Suatu ring komutatif R dikatakan mempunyai ele-men satuan (unity) yang dinotasikan dengan e jika e · a = a · e = a untuk setiap a ∈ R Ring yang demikian dikatakan ring dengan unity[1]. Pada ring komutatif dengan elemen satuan berlaku teorema bi-nomial yaitu: (a+b)n =Pn
k−0( n k)a
kan−kdan teorema
binomial dipergunakan dalam pembahasan[2].
Definisi 1: Misalkan R ring dengan unity. Jika a ∈ R dan b ∈ R sehingga a · b = b · a = e maka b disebut
invers perkalian dari a dan a disebut unit[1].
Definisi 2: Sebuah ring komutatif dengan elemen satuan yang tidak memiliki pembagi nol disebut daerah integral[2]. Meurut Fraleigh[3] Lapangan adalah suatu ring komutatif F dengan elemen sa-tuan bilamana himpunan F yang memenuhi aksioma-aksioma:
1. (F, +) grup abelian; 2. (F {0}) grup abelian; dan 3. Distributif.
Contoh 1 (Q, +, ·) adalah lapangan terhadap operasi penjumlahan dan perkalian.
Definisi 3: Misalkan (K, +, ·) dan (L, +, ·) masing-masing adalah suatu lapangan. Suatu pemetaan f : K → L dikatakan injektif jika dan jika hanya untuk setiap yang memenuhi:
1. f (a + b) = f (a) + f (b); 2. f (a · b) = f (a) · f (b); 3. f (1) = 1, f (0) = 0.
Definisi 4: Misalkan K dan L adalah lapangan. Suatu pemetaan f : K → L dikatakan injektif jika dan jika hanya untuk setiap a, b, ∈ K dengan f (a) = f (b) maka a = b.
Menurut Hungerfoord[4] apabila pemetaan f suatu
homomorfisma dari lapangan K ke lapangan L, maka himpunan elemen-elemen K yang petanya adalah ele-men nol dari L disebut kernel dari f dan dinyatakan notasi ker(f ). Ker (f ) = {x ∈ K|F (x) = ¯0, ¯0 ∈ L}, Ker (f ) yang sama dengan nol dari homomorfisma la-pangan selalu memenuhi pemetaan injektif dan seba-liknya f pemetaan injektif jika kernelnya sama dengan nol. Jika f : R → R memenuhi f (x + y) = f (x) + f (y) untuk semua x, y, ∈ R maka (f ) disebut fungsi aditif. Lemma 1: Misalkan f : Q → Q memenuhi f (x + y) = f (x) + f (y)∀x ∈ Q maka f (ax) = af (x) untuk a ∈ Q. Menurut Halter-Koch and Reich L
[5] Persamaan fungsional adalah suatu persamaan
di-mana variabel berupa suatu fungsi. Sehingga terlebih dahulu harus diketahui variabel fungsi yang memenuhi persamaan tersebut.
2 METODELOGI PENELITIAN
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam pene-litian sebagai berikut;
1. Jika f : K → ¯K merupakan fungsi aditif dengan K dan ¯K adalah lapang yang memuat Q dan dipenuhi f (x2) = (f (x))2 untuk semua x ∈ K
maka f homomorfisma lapangan.
2. Jika f, g : K → ¯K merupakan fungsi aditif dengan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q dan dipenuhi f (x1) = g(x1) untuk setiap 1 ∈ N dan
x ∈ K maka f = g.
3. Jika f, g : K → ¯K merupakan fungsi aditif dengan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q dan dipenuhi (g(xa))β = Qr
i=1f (x
ai)βi .Dengan e =
f (1) 6= 0, maka e−1f : K → ¯K adalah homomor-fisma lapangan dan g = g(1)e−1f
4. Jika f, g : K → ¯K adalah fungsi aditif yang in-jektif dengan n < 0 dimana f dan g memenuhi persamaan fungsional yang memenuhi g(xin) =
(f (x1))n untuk semua x ∈ K∗ maka f = g = 0
atau e = f (1) 6= 0, e−1f : K → ¯K adalah homo-morfisma lapangan dan g = en−1f
3 HASIL DAN PEMBAHASAN
3.1 Lemma tentang Homomorfima Lapangan Lemma 1: Diberikan K dan ¯K adalah lapangan yang Q. Misalkan f : K → ¯K adalah fungsi aditif yang memenuhi
f (x2) = (f (x))2untuk semua x ∈ K (1) maka f adalah homomorfisma lapangan[5].
Bukti Akan ditunjukkan bahwa f adalah homomor-fisma lapangan. f adalah fungsi f (x+y) = f (x)+f (y). Dengan mengambil x, y ∈ K, ruas kiri pers.(1) meng-hasilkan f ((x + y)2) = f (x2+ 2xy + y2). Karena f
fungsi aditif maka:
f ((x + y)2) = f (x2) + f (2xy) + f (y2) (2) Sementara itu, ruas kanan dari pers.(1) menghasilkan f (x + y))2= (f (x))2+ 2f (x)f (y) + (f (x))2 (3) Karena f (x2) = (f (x))2 untuk semua x ∈ K, maka diperoleh f (xy) = f (x)f (y) untuk semua x, y ∈ K maka terbukti bahwa f adalah suatu homomorfisma lapangan.
Lemma 2: Misalkan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q, dan misalkan f, g : K → ¯K adalah fungsi aditif sedemikian hingga f (xl) = g(xl) untuk setiap
Bukti Jika x ∈ K dan t ∈ Q maka berdasarkan teorema binomial (1 + tx)l= l X k=0 (lk)lktxl−k (4) diperoleh f ((1+tx)l) = f (1+ltx+l(l − 1) 2 (tx) 2+· · ·+tlxl) (5)
Karena f adalah fungsi aditif maka pers.(5) menjadi:
f ((1 + tx)l) = f (1) + tlf (x) + (l(l − 1) 2 t
2)f (f x2) + · · · + tlf (xl) = ϕ(t)
untuk suatu polinomial ϕ ∈ ¯K(t). Penurunan ϕ(t) terhadap t untuk t = 0 menghasilkan
ϕ0(t) = lf (x) Di sisi lain,
g((1+tx)l) = g(1+ltx+l(l − 1) 2 (tx)
2+· · ·+tlxl) (6)
sehingga (karena g adalah fungsi aditif) g((1 + tx)l) = ψ(t)
untuk suatu polinomial ψ ∈ ¯K(t). Penurunan ψ(t) terhadap t untuk t = 0 menghasilkan ϕ0(0) = lg(x)
Selanjutnya karena f (x1) = g(x1) untuk setiap 1 ∈ N maka diperoleh ℘0(t) = ψ(t) untuk setiap e ∈ Q sehingga ℘ = ψ. Karena ℘0(0) = ψ0(0) atau lf (x) = lg(x) untuk setiap l ∈ N dan x ∈ k akibat f (x) = g(x) untuk setiap x ∈ K, maka f = g.
Lemma 3: Misalkan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q, dan misalkan f, g : K → ¯K adalah fungsi aditif yang memenuhi fungsional yang berbentuk
(g(xa))β=
r
Y
i=1
f (xai)βi (7)
untuk semua x ∈ K dan i = 1, 2, 3, . . . , r, dengan r, a, β, a1, . . . , ar, β1, . . . , βr ∈ N sehingga aβ =
Pr
i=1aiβi, dan jika e = f (1) 6= 0 maka e
−1f : K → ¯K
adalah homomorfisma lapangan dan g = g(1)e−1f
Bukti Misalkan x ∈ K dan t ∈ Q maka berdasarkan teorema binomial (1 + tx)l= a X k=0 1ktxa−k (8)
Karena g adalah fungsi aditif maka pers.(8) mengha-silkan
(g(1 + tx)a)β= ϕ(t) (9) dengan ℘ ∈ ¯K(t) adalah suatu polynominal pada ¯K.
Untuk f fungsi aditif diperolah (berdasarkan teo-rema binomial)
f ((1 + tx)a)β = ϕi(t) (10)
dengan ϕi∈ ¯K(t) adalah suatu polynomial pada ¯K.
Selanjutnya dari pers.(7) diperoleh ϕ(t) = Qr
i=1ϕi(t) untuk semua t ∈ Q, sehingga
℘ =
r
Y
i=1
℘i∈ ¯K(t) (11)
Telah diketahui bahwa
℘(t) = (g(1) + atg(x) + t2(a2)g(x2) + . . . + tag(xa))β (12) Karena itu, pers.(12) pada t = 0 menghasilkan ℘(0) = g(1)β dan
℘i(t) = (e + taif (x) + t2
a1(ai− 1)
2 f (x
2) + . . . + ta−1f (xa−1) + taf (xa))β (13)
Pers.(13) pada t = 0 menghasilkan Qr
i=1℘i(0) = Qri=1(e)β, sehingga diperoleh g(1)β =Qr(e)
β
Dengan menurunkan persamaan ϕ =Qr i=1ϕ, diper-oleh ϕ0 = r Y i=1 ϕi r X i=1 ϕ0i ϕi (14) atau ϕ0 Qr i=1ϕi =ϕ 0 ϕ = r X i=1 ϕ0i ϕi (15)
Dan jika kedua ruas dalam pers.(14) diturunkan dan hasilnya dikalikan dengan ϕ diperoleh
ϕnϕ = ϕ r Y i=1 ϕi r X i=1 ϕn iϕi− ϕ 0 iϕ 0 i ϕ2 i + ϕ r X i=1 ϕ0i ϕi r Y i=1 ϕi r X i=1 ϕ0i ϕi , (16)
atau (karena ϕ =Qi=1
r ϕi) ϕnϕ = ϕ2 r X i=1 ϕniϕ1− ϕ 0 iϕ 0 i ϕ2 i + r Y i=1 ϕi r X i=1 ϕ0i ϕi r Y i=1 ϕi r X i=1 ϕ0i ϕi (17) Dengan ϕ =Qi=1 r ϕi Pr i=1 ϕ0i ϕi, diperoleh bentuk ϕnϕ = ϕ2 r X i=1 ϕn iϕ1− ϕ 0 iϕ 0 i ϕ − i2 + ϕ 0 ϕ0, sehingga ϕnϕ − (ϕ0)2 ϕ2 = r X i=1 ϕn iϕi− ϕ 0 iϕ 0 i ϕ2 i (18) Selanjutnya, bentuk ϕ 0 ϕ = Pr i=1 ϕ0i ϕi untuk t = 0 menghasilkan αβ(g(1))−1g(x) = e−1f (x) r X i=1 αiβi. (19) Karena αβ =Pr
i=1αiβi, diperoleh hasil
g(x) = e−1f (x) (20) Selanjutnya akan ditinjau kaitan (18). Pada t = 0 ruas kiri persamaan tersebut menghasilkan
ϕ”ϕ − ϕ02 ϕ2 = β(g(1)) −12(α 2)g(x 2)−β(g(1))−2α(g(x))2, (21) sedangkan dari ruas kanannya dihasilkan
r X i=1 ϕ”iϕ − ϕ0i2 ϕ2 i = r X i=1 βi(e)−12(α2i)f (x 2) − β i(e)−2(αif (x))2 (22)
Akibat pers.(18), (19), dan (20) diperoleh
e−2f (x)2( r X i=1 a2iβi− a2β) = e−1f (x2)( r X i=1 a2iβi− a2β) (23)
yang uraiannya menghasilkan
(e−2f (x))2 = e−1f (x2) (e−1f (x))2 = e−1f (x2) (e−2f (x))2 = (e−1f )(x2).
Karena itu menurut lemma 1: e−1f adalah
homomor-fisma lapangan.
3.2 Mengkarakterisasi Homomorfisma Lapangan
Sebelum mengkarakterisasi homomorfisma lapangan dengan persamaan fungsional, akan definisikan ter-lebih dahulu Q∗= Q − {0}, dan K∗= K − {0} dengan K adalah lapangan. Selanjutnya akan dibuktikan teo-rema berikut .
Teorema 1 : Misalkan K dan ¯K adalah lapangan yang memuat Q , n ∈ Z{0, 1}, l ∈ N dan f, g : K → ¯K
adalah fungsi aditif yang injektif jika n < 0. Misalkan f dan g memenuhi persamaan fungsional
g(x1n) = (f (xl))nuntuk semua x ∈ K∗ (24) Maka f = g = 0 atau e = f (1) 6= 0, e−1f (1) : K →
¯
Kadalah homomorfisma lapangan dan g = en−1f . Bukti: Akan ditinjau dua kasus yaitu:
Untuk n > 1. Jika x ∈ K atau t ∈ Q maka berda-sarkan teorema binomial
(1 + tx)1n =
1n
X
k=0
1ktx1n−k
Karena g adalah fungsi aditif maka: g((1 + tx)1n) = ϕ(t)
Selanjutnya, ruas kanan pers.(24) menghasilkan (f (1 + tx)l)β= ψ(t)
dengan ϕ, ψ ∈ ¯K adalah polinomial. Karena g(x1n) =
f (xl)n untuk x ∈ K∗ maka ϕ(t) = ψ(t) untuk semua
t ∈ Q, sehingga diperoleh ϕ = ψ. Jika koefisien dari t dibandingkan maka diperoleh 1ng(x) = 1nen−1f (x)
Untuk semua l ∈ N dan n ∈ Z{0, 1} yang mengaki-batkan g(x) = en−1f (x)∀xeK∗
Karena e 6= 0 dengan mengambil α = 1n, β = 1, α1 = l, β1 = n, r = 1 dengan
r, α, β, α1, . . . , αr, β1, . . . , βr ∈ N maka pers.(24)
da-pat ditulis sebagai:
(g(xα))β=
r
Y
i=1
f (xαi)βi
Dan berdasarkan lemma 3 maka e−1f adalah homo-morfisma lapangan.
Untuk n < 0. Ambil m = −n, m ∈ N dan f, g adalah fungsi injektif, e = f (1) 6= 0. Pers.(24) dapat ditulis sebagai
g( 1 xlm) =
1
(f (xl))m (25)
Jika x ∈ K∗ dan 1 + xlm6= 0 maka
(1 + xlm)lm=
lm
X
j=0
(lmj )xlm(lm−j) (26)
Perkalian ruas kanan dan kiri pada pers.(26) dengan
1 xl2 m2(1+xlm)lm menghasilkan 1 xl2m2 = lm X j=0 (lmj ) 1 (xj) + xlm+j)lm
Selanjutnya, karena g adalah fungsi aditif maka g( 1 xl2m2) = g(( lm o 1 (x0+ xlm+0) lm +(lm1 ) 1 (x1+ xlm+1)lm + . . . + ( lm lm) 1 (xlm+ xlm+lm)lm (27)
Karena g fungsi aditif maka pers.(38) menjadi 1 (f (xl2m )m = lm X j=0 (lmj ) 1 (f (xj+ xlm+j)l)m (28)
Perkalian Kedua ruas pers.(40) dengan Qlm k=0(f ((x k+ xlm+k)l)mmenghasilkan 1 (f (xl2m ))m lm Y k=0 ((f ((xk+ xlm+k)l)m = lm X j=0 (lmj ) lm Y k=0k6=j ((f ((xk+ xlm+k)l)m (29)
Jika λ ∈ Q∗ sedemikian hingga 1 + (λx)lm 6= 0 maka
x dapat diganti dengan λx, lalu membaginya dengan λ−l2m2Qlm
k=0λ
klm ∈ Q∗, dan dengan mengambil t =
λlm diperoleh 1 (f (xl2m ))2 lm Y k=0 f ((xk+ txlm+k)l)m = lm X j=0 (lmj )tlm−j lm Y k=0k6=j f ((xk+ λtxlm+k)l)m (30) Untuk (f ((xk+ txlm+k)l)m diperoleh g(xl2m2+l2m) = f (xl2m−1)mf (xl2m+m) (31) Dengan mengambil α = l2m2 + l2m, β = 1, β1 = m, α2= l2, pers.(31) menjadi (g(xa))β = f (xa1)β1f (xa2)β2 = r Y i=1 f (xai)β1,
yang berdasarkan lemma 3, e−1f : K → ¯K adalah homomorfisma lapangan.
Untuk x ∈ ¯K maka pers.(23) memenuhi emg(xlm) = emg( 1
(x−1)lm = (e
−1f )xlm
Jadi diperoleh emg(xlm) = (e−1f )xlm.
Berdasarkan lemma 3 terbukti bahwa emg = e−1f ,
karena itu g = e
−1f
em = e
4 KESIMPULAN DAN SARAN
Dari bahasan dapat disimpulan sebagai berikut: Jika mempunyai dua lapangan K dan ¯K memuat Q dan dua fungsi adtif f, g : K → ¯K yang memenuhi per-samaan fungsional untuk setiap x ∈ K∗ maka
1. Jika n > 1, makae = f (1) 6= 0, e−1f : K → ¯K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K.
2. Jika n < 0, maka e = f (1) 6= 0, f : K → ¯K adalah homomorfisma lapangan untuk setiap x ∈ K. dan g = en−1f
DAFTAR PUSTAKA
[1]Suharti dan Sukirman, 1994, Struktur Aljabar, Universitas
Terbuka Depdikbud, Jakarta
[2]Wahyudin, 2000, Pengantar Aljabar Abstrak, Delta
Bawean, Bandung
[3]Fraleigh, J. B., 1993, A First Course in Abstract algebra.
Fifth Edition. Addison Weslay Publishing Company Reading, California
[4]Hungerfoord, T.W., 1984, Graduate Texts in Mathematics,
Springer - Verlag, New York
[5]Halter-Koch, F. And L. Riech, 2000, Characterization of
Homomorphism And Derivation By Functional Aequation Math, 59, Pp.298-305
