Karena vektor-vektor kolom X adalah bebas linear, maka L(ε) mempunyai n vektor eigen yang bebas linear. (Terbukti)
Teorema 9
Jika λ1, ..., λn adalah nilai eigen dari L maka
λ1 + ε, ..., λn + ε adalah nilai eigen dari L(ε).
BUKTI :
(
⇒
) Misalkan λ1, ..., λn adalah nilai eigen dariL yang bersesuaian dengan vektor eigen ortonormal x1, ..., xn. Karena λ1, ..., λn adalah n
nilai eigen yang berbeda dari L dan L mempunyai n vektor eigen berbeda yang saling bebas linear. Maka terdapat matriks pendiagonal X dengan X = (x1, ..., xn) dan suatu
matriks diagonal D. Matriks pendiagonal X adalah matriks taksingular dengan vektor-vektor kolom dari X merupakan n vektor-vektor eigen berbeda yang saling bebas linear. X dapat mendiagonalisasi L sehingga berlaku X-1LX =
D. Karena L(ε) juga mempunyai n vektor eigen ortonormal yang sama dengan milik L, maka X juga dapat mendiagonalisasi L(ε) = L + εI akan berlaku juga
X-1L(ε)X = D(ε) ↔
X-1L(ε)X = X-1(L(ε)x
1, L(ε)x2, ..., L(ε)xn).
Karena X suatu matriks uniter dan ortogonal maka X-1 = XT dan X-1L(ε)X = XTL(ε)X = (x1, x2, ..., xn)T(L(ε)x1, L(ε)x2, ..., L(ε)xn) =
(
n)
T n T T x x x x x xL
L
L
(
)
1,(
)
2,(
)
2 1ε
ε
ε
" #⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
n T n T n T n n T T T n T T Tx
L
x
x
L
x
x
L
x
x
L
x
x
L
x
x
L
x
x
L
x
x
L
x
x
L
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
ε
"
#
%
#
#
"
"
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+ + + + + + + + + = n T n T n T n n T T T n T T T x I L x x I L x x I L x x I L x x I L x x I L x x I L x x I L x x I L x ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε " # % # # " "⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+ + + + + + + + + = n T n n T n T n T n T n T n n T n T T T T T n T n T T T T T Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x Ix x Lx x ε ε ε ε ε ε ε ε ε " # % # # " " 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 1 1⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+ + + + + + + + + = n T n n n T n T n T n T n T n n T n n T T T T T n T n n T T T T T x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ " # % # # " " 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+ + + + + + + + + = n T n n T n n T n T n T n T n n T n T n T T T T n T n T n T T T T x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ " # % # # " " 2 2 2 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 1⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+ + + + + + + + + = 1 . 1 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 1 . 1 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 0 . 1 . 1 . 2 1 2 1 2 1 ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ n n n " # % # # " "⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
+ + + + + + + + + = ε λ ε λ ε λ n " # % # # " " 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 1 ). ( 0 0 0 0 0 0 2 1 ε ε λ ε λ ε λ D n = + + + =⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
" # % # # " "Karena nilai-nilai pada diagonal utama merupakan nilai-nilai eigen maka λ1 + ε, ...,
λn + ε adalah nilai-nilai eigen dari L(ε) =
L + εI. (Terbukti)
III PEMBAHASAN
Masalah dalam teori jaringan listrik yang
banyak dipelajari oleh para ilmuwan yaitu tentang penghitungan nilai resistansi di antara dua simpul (titik) pada suatu jaringan resistor. Masalah resistansi resistor sering dipelajari atau dibahas sebagai satu bagian dalam masalah penyelesaian persamaan differensial,
terutama untuk masalah jaringan takhingga (infinite networks). Sehingga, sedikit ilmuan yang mau membahas tentang masalah jaringan hingga (finite networks), padahal sangat berhubungan erat dengan kehidupan nyata. Pada bab ini akan dibahas tentang masalah dan penyelesaiannya dalam suatu formula (rumus)
umum untuk masalah jaringan hingga (finite networks). Teori tentang jaringan listrik untuk pertama kalinya diformulasikan oleh Kirchhoff dalam bentuk Hukum Kirchhoff (Kirchhoff’s Laws) sebagai satu masalah analisis linear. Sebagai pendahuluan, misalkan diambil masalah tentang matriks Laplace yang sangat berhubungan dengan jaringan resistor (resistors network), karena pada matriks Laplace nilai-nilai di setiap entrinya merupakan nilai-nilai dari konduktansi dari resistor yang dihubungkan oleh simpul-simpul (nodes) yang saling adjacent.
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor terdiri dari N simpul yang bernomor dengan i = 1, 2, ..., N. Maka dari jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berukuran N × N. Pada jaringan resistor tersebut, dapat diperoleh juga potensial listrik pada setiap simpul ke-i dilambangkan dengan Vi dan kuat arus listrik dalam jaringan resistor
yang mengalir pada setiap simpul ke-i dilambangkan dengan Ii. Karena tidak ada
sumber arus listrik yang masuk dari lingkungan dunia luar jaringan, maka berlaku
1 0
N i
i
∑
= I = …… (4)Berdasarkan hukum Kirchhoff berlaku ∑ = N j ij c 1' (Vi – Vj) = Ii, i = 1, 2, …, N …… (5) dengan notasi 1' N j= ∑ menunjukkan bahwa persamaan ruas kiri tidak berlaku untuk kondisi i = j. Secara eksplisit, Persamaan (5) dapat dituliskan sebagai
V
=
I
L
JG G
…… (6) dengan V dan I adalah masing-masing vektor berukuran N yang mempunyai komponen masing-masing Vi dan Ii (ii).Untuk menghitung nilai resistansi Rαβ di
antara dua simpul α dan β, dalam percobaan di bidang Fisika maka simpul α dan β terlebih dahulu dihubungkan dengan sumber listrik berupa suatu baterai dan arus sebesar I akan keluar dari baterai ketika tidak ada simpul-simpul yang dihubungkan dengan sumber luar yang lain. Penghitungan nilai resistansi di antara dua simpul α dan β, Rαβ, berhubungan
dengan penyelesaian Persamaan (5) untuk Vα
dan Vβ dengan arus listriknya diberikan
sebagai bentuk
( )
i i i
I =I δα −δβ
…… (7),
jika potensial (tegangan) listrik pada dua simpul α dan β, yaitu masing-masing Vα danVβ, maka nilai resistansi di antara dua simpul α
dan β adalah
_
V V
Rαβ = αI β
,
untuk pembahasan selanjutnya, nilai resistansi di antara dua simpul dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace.
3.1 Teorema Resistansi Dua-Simpul
Misalkan suatu jaringan resistor dengan matriks Laplace L mempunyai nilai-nilai eigen taknol λi yang bersesuaian denganvektor-vektor eigen ortonormal ui = (ui1, ui2, …, uiN),
i = 2, 3, …, N. Maka nilai resistansi di antara simpul α dan β diberikan oleh
2 2
1
i i i N iR
αβu
αu
βλ
==
∑
−
…… (8). BUKTI :Sebagai pendahuluan akan ditentukan nulitas(L). Karena L adalah suatu matriks singular dan salah satu sifat dari matriks L yaitu jumlah dari komponen-komponen setiap kolom dari L sama dengan nol maka matriks L dapat direduksikan menjadi bentuk eselon baris dengan operasi-operasi baris yang berhingga banyaknya. Jadi misalkan diperoleh U = EkEk – 1 … E1L. Maka pasti U memiliki
satu baris yang seluruhnya terdiri dari nol. Dapat diartikan, jika L matriks singular, maka matriks U memiliki satu baris terakhir yang seluruhnya terdiri dari nol dan dengan demikian det(U) = 0. Setelah dilakukan operasi baris dasar terhadap matriks L dapat diperoleh suatu bentuk eselon baris tereduksi berbentuk
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − − = 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 " " " " # # # # % # # # # " " " " U .Matriks U di atas akan memudahkan dalam mencari penyelesaian sistem berbentuk Ux = 0 sebagai transformasi dari sistem berbentuk Lx = 0. Maka sistem Lx = 0 sekarang sudah dapat ditentukan penyelesaiannya, yaitu x = α(1, 1,…, 1)T, sehingga dapat diperoleh ruang
vektor nol N(A) terdiri atas semua vektor yang berbentuk α(1, 1,…, 1)T, dengan α suatu skalar
maka nulitas(L) = 1. Karena nulitas(L) = 1 maka hanya ada satu anggota dari ruang vektor nol N(A) yaitu berbentuk α(1, 1,…, 1)T.
Selanjutnya dapat dibuktikan bahwa vektor α(1, 1,…, 1)T akan menjadi satu vektor eigen
sebagai anggota vektor-vektor eigen dari matriks L, yang bersesuaian dengan satu nilai eigen dari matriks L, sehingga akan berlaku Lx = 0 = λx jika dan hanya jika λ = 0, dengan x = α(1, 1,…, 1)T. Berarti hanya ada satu nilai
eigen yang bernilai nol, λ1 = 0 bersesuaian
dengan vektor eigen x = α(1, 1,…, 1)T.
Proses pembuktian dimulai dengan menyelesaikan persamaan
V
=
I
L
JG G
yaitu dengan mencari invers dari matriks Laplace L, atau disebut juga fungsi Green G(ε). Tetapi, karena matriks L hanya mempunyai satu nilai eigen yang bernilai nol, sebagai akibat dari jumlah setiap kolom atau baris dari matriks L sama dengan nol dan setiap vektor kolom atau vektor baris dari matriks L saling bergantung linear. Berimplikasi bahwa matriks L adalah singular berarti determinan matriks L tersebut sama dengan nol. Maka matriks L tidak mempunyai invers, supaya matriks L mempunyai invers caranya matriks L harus dibuat menjadi suatu matriks taksingular sehingga invers dari L sekarang sudah dapat ditentukan.
Dengan menambahkan suatu nilai skalar yang kecil, misalkan ε, dalam bentuk εI kepada matriks Laplace L, dengan I adalah matriks identitas berorde N × N, serta syarat dari nilai ε tersebut adalah ε > 0 atau 0 > ε > -λi untuk nilai
ε yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah
nilai-nilai eigen ke-i dari matriks Laplace L. Dengan menempatkan nilai ε = 0 pada pendekatan akhirnya. Sehingga dapat diperoleh bentuk matriks Laplace L yang dimodifikasi yaitu
L(ε) = L + εI.
Bentuk dari nilai-nilai elemen matriks L(ε) adalah sama bentuknya dengan nilai-nilai elemen matriks L kecuali pada nilai-nilai elemen-elemen diagonal li diganti nilainya
dengan li + ε. Selanjutnya karena L(ε) suatu
matriks simetrik (dapat dibuktikan bahwa pada matriks L akan berlaku LT = L, artinya l
ji = lij),
maka setelah dilakukan penghitungan dengan semua x taknol dalam Rn yaitu xTL(ε)x akan
bernilai xTL(ε)x > 0. Akan ditunjukkan L(ε)
matriks simetrik definit positif, jika x adalah sembarang vektor taknol dalam Rn, maka x
dapat dituliskan dalam bentuk =
∑
⇔ = n i1 ixi x α x = α1x1 + α2x2 + … + αnxn(αi suatu skalar) (lihat Leon, 1998) dengan {x1,
…, xn} adalah himpunan vektor-vektor eigen
ortonormal dari L(ε) (lihat Leon, 1998). Jadi, jika {x1, …, xn} adalah sebuah ruang hasil kali
dalam X dan
∑
= = n i1 ixi x α , maka αi = <x,xi> = xTxi = <xi,x> untuk i = 1, …, n(lihat Leon, 2001) dan
2 2
1( )i 0
n
i∑= α = x >
(lihat Rumus Parseval, Leon, 1998).
Karena xi vektor-vektor eigen ortonormal dari
L(ε) maka L(ε)xi = λixi αiL(ε)xi = αiλixi xTL(ε)x = xT(α 1L(ε)x1 + … + αnL(ε)xn) = (α1x1 + … + αnxn)T(α1λ1x1 + … + αnλnxn) = 1 1 1 2 1 x x T λ α + … + 2 T n n nλ n α xx = 2 2 1 1 1λ α x + … + 2 2 n n nλ α x = 2
( )
2 1 1λ 1 α + … + 2( )
12 n nλ α = 2 1 1λ α + … + 2 n nλ α = 2 1( )i i n i∑= α λ = x2λi ≥ (min λi) 2 x > 0 Ù xTL(ε)x > 0.Dapat diperoleh kesimpulan bahwa matriks L(ε) adalah matriks simetrik definit positif. Jadi untuk ε > 0 atau 0 > ε > -λi untuk nilai ε
yang negatif, 1 ≤ i ≤ n dengan -λi adalah
nilai-nilai eigen ke-i dari matriks Laplace L karena L(ε) matriks simetrik definit positif maka matriks L(ε) adalah taksingular (lihat sifat matriks simetrik definit positif) dan semua nilai-nilai eigen dari L(ε) adalah positif (lihat sifat matriks simetrik definit positif). Selanjutnya diperoleh bahwa L(ε) mempunyai nilai-nilai eigen λi + ε (lihat Teorema 9) dan
L(ε) matriks real simetrik dapat didiagonalisasikan oleh transformasi uniter atau dalam bentuk matriks uniter (lihat teorema matriks uniter, Leon, 1998) yang sama dengan mendiagonalisasikan matriks L.
Invers dari matriks L(ε) sekarang dapat didefinisikan kecuali pada nilai ε = 0. Misalkan invers matriks L(ε) dituliskan sebagai
G(ε) = L-1(ε).
Persamaan
V
=
I
L
JG G
dapat dituliskan kembali sebagaiI VG( )= G )
(ε ε
L …… (9) dan dengan perkalian kiri oleh G(ε) maka diperoleh I VG( ) ( )G ) ( ) (ε L ε ε G ε G = ÙL-1(ε)L(ε)VG(ε)=G(ε)IG
ÙIVG(ε)=G(ε)IG ÙVG(ε)=G(ε)IG. Secara eksplisit dapat dituliskan
1 ( ) N ( ) , 1, 2, ..., i j ij j V ε G ε I i N = = ∑ = …… (10),
dengan Gij(ε) adalah elemen ke-ij dari matriks
G(ε). 1 1 11 1 12 2 1 1 1 ( ) ( ) , 1, 2, ..., , maka ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) i ij j j j N N N j N j V G I i N V G I G I G I G I ε ε ε ε ε ε ε = = = ∑ = = ∑ = + + + 2 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) j j N IN Nj j N N N NN IN N j N j V G I G I G I G V G I G I G I G ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = = = ∑ = + + + = ∑ = + + + # # # # # #
dengan Gij(ε) adalah elemen ke-ij dari matriks
G(ε).
Selanjutnya akan dihitung nilai dari elemen-elemen fungsi Green Gij(ε). Diketahui
bahwa L dan L(ε) mempunyai n vektor eigen ortonormal berbeda yang saling bebas linear. Misalkan U adalah matriks uniter dan ortogonal yang mempunyai n vektor kolom (n vektor eigen ortonormal) berbeda yang bebas linear maka matriks U dapat mendiagonalisasi L dan L(ε) (U disebut matriks pendiagonal). Karena U adalah taksingular maka berlaku juga D = ID D = U-1UD =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− n n λ λ λ % 2 1 2 1, ,..., ) ( 1 u u u U = U-1(λ 1u1, λ2u2, ..., λnun) = U-1(Lu 1, Lu2, ..., Lun) = U-1LU berarti U-1LU = D ÙU-1L(ε)U = D(ε) ... (11).Dapat dibuktikan bahwa elemen-elemen dari matriks U adalah Uij = uji, dengan uji
adalah elemen-elemen vektor-vektor baris eigen ortonormal matriks L dan L(ε). Sedangkan D dan D(ε) masing-masing matriks
diagonal dengan elemen-elemen diagonalnya λiδij dan (λi + ε)δij, dengan
{
1 jika , 0 jika N i j i j ij i j u u u u i j α α α δ = < > =∑ = = ≠ . Invers dari persamaanU-1L(ε)U = D(ε)
adalah
U-1G(ε)U = D-1(ε),
dengan D-1(ε) mempunyai elemen-elemen
diagonal utama ij i ij i δ ε λ δ ε λ ) ( 1 ) ( 1 + = + − ,
dan diperoleh dengan proses berikut
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( )] ( [ ) ( ) )] ( U ([ ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ⇔ = D U G U D U L U D U L U D L U U D U L D U L U D U L U
Berikutnya dapat diperoleh
1 1 1 1 1 1 1 1 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( − − − − − − − − = ⇔ = ⇔ = U UD G U UD I IG U UD UU G UU ε ε ε ε ε ε
atau secara eksplisit diperoleh
1 1 1 1 1 ( ) 1 i i N i i i N i i i G U U u u α αβ β α β ε λ ε λ ε − = − = = + = +
⎛
⎞
∑
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
∑ ⎜
⎟
⎝
⎠
uiα adalah elemen baris ke-i dari vektor eigen
ortonormal kolom ke-α dari matriks Laplace L(ε), dan ui−β1 adalah elemen baris ke-i dari vektor eigen ortonormal kolom ke-β dari matriks fungsi Green G(ε).
Vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks L(ε) dan G(ε) dapat ditulis dalam bentuk vektor-vektor baris secara terurut dari atas ke bawah sesuai urutan nilai-nilai eigennya sehingga membentuk matriks V. Dengan menyubstitusikan
( )
( )
1 2 3 4 2 3 4 1 1 1 1 2 2 1 1 3 3 4 4 1 1 1 2 2 3 3 1 1 4 4 1 2 1 1 1 1 1 ... 1 1 1 ( ) ( ) 0 ... ( ) ( ) 1 1 ( ) N N i i N N N N i i u u u u u u u u u u u u u u N N u u u u u u N α α β α β α β α β α β α β α β α β α β β λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε λ ε ε λ ε λ ε ε λ ε − − − − − − − − − − = = + + + + + + + + + + = + + + + + + + + + + = + +⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
⎝
⎠
⎛
⎞
⎜
⎟
⎝
⎠
1 2 ... (13) 1 ( ) ... (12) dengan ( ) . ( ) i i N N i i g N u u g αβ α αβ β ε ε ε λ ε − = = + = +∑
∑
uiα adalah elemen baris ke-i dari vektor eigen
ortonormal kolom ke-α dari matriks Laplace L(ε), dan u adalah elemen baris ke-i dari i−β1 vektor eigen ortonormal kolom ke-β dari matriks fungsi Green G(ε).
Vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks L(ε) dan G(ε) dapat ditulis dalam bentuk vektor-vektor baris secara terurut dari atas ke bawah sesuai urutan nilai-nilai eigennya sehingga membentuk matriks V. Dengan menyubstitusikan 1 ( ) ( ) G g N αβ ε αβ ε ε = + ke dalam 1 ( ) ( ) , 1, 2, ..., i ij j N j V ε G ε I i N = = ∑ =
sebelumnya digunakan persamaan
1 0
N i i= I =
∑
Ù I1 + I2 + I3 + I4 + … + IN = 0,maka untuk β = i = 1, …, N dan
1 0 N Iβ β
∑
= = , diperoleh 1 1 1 1 ( ) ( ) , 1, 2, ..., , maka ( ) j( ) j i ij j N j N j V G I i N V G I ε ε ε ε = = = ∑ = = ∑ 11 1 12 2 1 2 21 1 22 2 2 1 1 2 2 2 1 1 ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ... ( ) N N j N IN N IN j N j N G I G I G I V G I G I G I G V G I G I G I G αβ β α α α α β ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = = = + + + = ∑ = + + + = ∑ = + + + # # # # # #(
)
( )
1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 (0) ( ) 0 ( ) N N N N N N N V g I N I g I N I g I N g I N g I αβ β αβ β β αβ β β αβ β αβ β α β β β β β β β ε ε ε ε ε ε ε ε ε ε = = = = = = = = = + = + = ∑ + = + +∑
∑
∑
⎛
⎞
∑
⎜
⎟
⎝
⎠
⎛
⎞
∑
⎜
⎟
⎝
⎠
∑
∑
= = ⇔V Ng I 1 ) ( ) ( β αβ β α ε εMaka untuk nilai potensial listrik di setiap sisi ke-i, i = 1, 2, …, n yaitu Vi(ε) akan diperoleh
hubungan 1 ( ) N ij( ) j i j V ε g ε I = =
∑
…… (14) Sekarang mulailah membatasi nilai ε (gunakan manipulasi Matematika) dengan mengambil nilai ε menuju nol, ε→
0 maka berlaku1 (0) N i ij j j V g I = = ∑ .
Akhirnya dengan menggabungkan persamaan-persamaan
V
V
R
I
αβ α−
β=
, ( ) i i i I =I δα−δβ , 1 (0) N i ij j j V g I = = ∑ dapat diperoleh persamaanRαβ = gαα(0) + gββ(0) – gαβ(0) – gβα(0)
yang selanjutnya akan menjadi
2 2
1
i i i N iR
αβu
αu
βλ
==
∑
−
setelah digunakan persamaan
1 2 ( ) ( ) N i i i i u u g α β αβ ε λ ε − = = +
∑
.Proses perhitungannya lihat di Lampiran 9 sebagai berikut : jika diketahui persamaan-persamaan berikut V V R I αβ α− β = , Ii=I(δiα −δiβ), ( ) j j j I =I δ α−δ β , 1 (0) N i ij j j V g I = = ∑ , 1 (0) N j j j Vα gα I = = ∑ , 1 (0) N j j j Vβ gβ I = = ∑
3.2 Jaringan Resistansi Dua-Simpul
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk graf sembarang, misalkan berbentuk persegi sembarang dengan diagonalnya atau jaringan resistor berbentuk graf lengkap, dengan resistornya berada di antara dua simpul yang saling adjacent seperti diperlihatkan pada Gambar 6 di Lampiran 1, maka berdasarkan gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L. Kemudian dari matriks Laplace L tersebut dapat diperoleh nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen λi dan vi yang memenuhiLvi = λivi, i = 1, 2, … , N.
Misalkan viα, α = 1, 2, … , N adalah
komponen-komponen kolom atau baris dari matriks Laplace L sama dengan nol, maka satu dari nilai-nilai eigennya adalah nol. Untuk nilai eigen yang pertama yaitu λ1 = 0 akan
mempunyai vektor eigen ortonormal u1α =
1/√N, α = 1, 2, … , N. Jika λ1 = 0 bersesuaian
dengan vektor eigen v = (1, 1, ..., 1)T maka v
dapat dibuat menjadi vektor eigen ortonormal dengan <v,v> = 12 + ... + 12 = 1 + ... + 1 =
∑
= N i 11= N dan ||v|| = < ,v v>= N .Jadi, diperoleh vektor satuan u =
T
N (1,1,...,1) 1
dengan u1α = 1/ N , α = 1, 2,
… , N.
Karena matriks L adalah matriks real yang simetrik, maka L adalah matriks Hermite (lihat di Leon, 1998). Dapat dibuktikan bahwa LH =
LT, maka nilai-nilai eigen suatu matriks
Hermite semuanya adalah real. Selanjutnya, vektor-vektor eigen yang dimiliki oleh nilai-nilai eigen yang berbeda adalah ortogonal (untuk bukti lengkap lihat di Teorema matriks Hermite di Leon, 1998), sehingga vektor-vektor eigen vi dapat dijadikan vektor-vektor
yang ortonormal. Setelah dihitung nilai-nilai eigen λi, untuk i = 2, 3, ..., N yang bersesuaian
dengan vektor-vektor eigen yang ortonormal ui
maka dapat ditentukan nilai resistansi di antara dua simpul, misalkan simpul α dan β, Rαβ
dengan menggunakan formula Teorema Resistansi Dua-Simpul.
3.3 Jaringan Satu Dimensi dengan
Kondisi Batas Bebas
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk graf, dalam bentuk garis lurus yang resistornya dipasang seri (dipasang terurut membentuk barisan) terdiri dari N – 1 resistor dengan simpul-simpul yang bernomor mulai dari 1, 2, 3, … , N dengan kondisi batas bebas. Penomoran simpul ini berdasarkan pada penomoran simpul di gambar graf jaringan resistornya. Perhatikan Gambar 7 di Lampiran 1.
Jika terdapat suatu gambar jaringan resistor dalam satu dimensi dengan kondisi batas bebas berbentuk graf berarah terdiri dari N – 1 resistor, misalkan nilai resistansi dari resistor di setiap sisi diasumsikan sama masing-masing sebesar r ohm, selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks diagonal CB dengan nilai
komponen poros diagonal utama merupakan nilai-nilai dari konduktansi resistor di setiap
sisi sebesar 1/r = r-1. Karena nilai r-1
diasumsikan sama (dapat diasumsikan bahwa nilai-nilai r-1 merupakan suatu konstanta)
sehingga matriks diagonal CB dapat dituliskan
dalam bentuk CB = r-1I, dengan I matriks
identitas berorde n×n. Selanjutnya, dari gambar graf jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks incidence B dengan B berbentuk
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 " " " " # # # # % # # # # " " " " Bsehingga akan diperoleh suatu matriks Laplace L = BCBBT = Br-1IBT
= r-1BIBT = r-1BBT
= r-1
TfreeN
(catatan : sebenarnya matriks incidence B mempunyai bentuk yang banyak / tidak hanya satu, sesuai dengan arah panah yang dibuat pada gambar graf).
Maka dari gambar jaringan resistor tersebut jika terdapat N – 1 resistor maka dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk
1 { 1} free free N r N − × = L T
Dengan TfreeN adalah matriks N×N
free 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 N − − − = − − −
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
T " " # # # % # # # " "Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari TfreeN adalah
( ) 2(1 cos ) , 0,1,..., 1 1 n N Φ n N λn v nx N = − = − = untuk n = 0, semua x. 2cos((x 1/2)Φn) N + = , untuk n = 1, 2, … , N – 1, semua x. dengan Φn=nπ/N .
Maka, nilai resistansi di antara simpul x1
1 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) free { 1} _ ( , ) N n N N N n vnx vnx x x R λ − = × = ∑
jika nilai resistansi r adalah 1 ohm. Atau dalam bentuk umum adalah
1 2 1 1 free 1 2 { 1} 2 ( , ) 1 1 cos( 2) cos( 2) 1 cos N n N n n n x x R x Φ x Φ r N Φ − = × = + − + ∑ −
⎡
⎤
⎣
⎦
Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula (rumus) nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari TfreeN dapat dilihat di Lampiran 10.
3.4 Jaringan Satu Dimensi dengan
Kondisi Batas Periodik
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan graf berbentuk lingkaran yang terdiri dari N resistor yang masing-masing dihubungkan oleh dua simpul. Pada jaringan graf tersebut simpul-simpulnya bernomor mulai dari 1 sampai N. Penomoran simpul ini berdasarkan pada penomoran simpul di gambar graf jaringan resistornya. Seperti diperlihatkan pada Gambar 8 di Lampiran 1.
Jika terdapat suatu gambar jaringan resistor dalam satu dimensi dengan kondisi batas periodik berbentuk graf berarah terdiri dari N – 1 resistor, misalkan nilai resistansi dari resistor di setiap sisi diasumsikan sama masing-masing sebesar r ohm, selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks diagonal CB
dengan nilai komponen poros diagonal utama merupakan nilai-nilai dari konduktansi resistor di setiap sisi sebesar 1/r = r-1. Karena nilai r-1
diasumsikan sama (dapat diasumsikan bahwa nilai-nilai r-1 merupakan suatu konstanta)
sehingga matriks diagonal CB dapat dituliskan
dalam bentuk CB = r-1I, dengan I matriks
identitas berorde n×n. Selanjutnya, dari gambar graf jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks incidence B dengan B berbentuk
sehingga akan diperoleh suatu matriks Laplace L = BCBBT = Br-1IBT
= r-1BIBT = r-1BBT
= r-1
TperN
(catatan : sebenarnya matriks incidence B mempunyai bentuk yang banyak / tidak hanya satu, sesuai dengan arah panah yang dibuat pada gambar graf).
Maka dari gambar tersebut jika terdapat N – 1 resistor maka dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk
per 1 per {N1} r N − × = L T dengan per 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 2 N − − − − = − − − −
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
T " " # # # % # # # " "Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari TperN adalah
per 2(1 cos2 ) 1 2 , , 0,1,..., 1 n n Φ λn i xΦ e v nx N n x N = − = = −
Dan nilai resistansi di antara simpul x1 dan
x2 adalah 1 1 2 1 2 1 2 { 1} per per per _ ( , ) N n N n vnx vnx x x R λ − = × = ∑
jika nilai resistansi r adalah 1 ohm. Atau dalam bentuk umum adalah
1 2 1 1 2 1 2 per { 1} 2 2 ( ) 2 1 cos2 N n n n n N i x Φ i x Φ e e r x , x R N ( Φ ) − = × − = ∑ − dengan Φn =nπN.
Pembuktian penghitungan untuk menentukan formula (rumus) nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari TperN dapat dilihat di Lampiran
11.
3.5 Jaringan Dua Dimensi dengan
Kondisi Batas Bebas
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor, yang jika digambarkan akan membentuk suatu jaringan resistor berbentuk persegi panjang dengan ukuran array (barisan) M×N simpul dengan kondisi batas bebas.
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − − − = 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0 0 0 1 " " " " # # # # % # # # # " " " " BSeperti diperlihatkan pada Gambar 9 di Lampiran 1, yang jika digambarkan lebih lanjut pada bidang koordinat akan membentuk suatu graf berbentuk persegi panjang yang terdiri dari beberapa persegi dengan sejumlah simpul yang merupakan titik-titik koordinat {m,n}, dengan 0 ≤ m ≤ M – 1, 0 ≤ n ≤ N – 1. Artinya persegi panjang pada bidang koordinat tersebut berukuran M – 1 × N – 1 yang masing-masing resistor dihubungkan oleh dua simpul (dua titik koordinat).
Cara memperoleh matriks Laplace free } {M×N
L , yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace
L1 =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − I I I I I I I I I I O O O O O O O O O O O O O O " " # # # % # # # " " 2 2yang bersesuaian dengan gambar graf bidang-X, dengan I suatu matriks identitas berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace L2 =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
L L L L O O O O O O O O O O O O " " # # % # # " "yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace dalam bentuk TNfreeberorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks
free } {M×N L = L1 + L2
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − I I I I I I I I I I O O O O O O O O O O O O O O " " # # # % # # # " " 2 2+
, berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga
free } {M×N L
=
I ⊗ − − − − − − ×⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
M M 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 " " # # # % # # # " "+
L ⊗ ×⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
M M 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 " " # # % # # " " .Jika diasumsikan bahwa nilai dari r-1 = 1 dan
nilai dari s-1 = 1.
Maka dari gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk
1 1
free free free
{M N} r M N s M N
− −
× = ⊗ + ⊗
L T I I T
dengan ⊗ adalah notasi direct matrix products dan TfreeM =TfreeN adalah
free free M = N T T =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − − 1 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 " " # # # % # # # " "Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah
-1 -1 ( , ) free ( ) ( ) ( , );( , ) 2 (1 ) 2 ( ) m n m n M N m n x y mx ny r cos s 1 cosΦ v v v λ = − θ + − = free ( , );( , )m n x y
v adalah hasil dari proses Kronecker products antara matriks yang terbentuk dari vektor-vektor eigen ortonormal matriks free
M
T
danT
freeN .Proses penghitungan mencari nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace Lfree{M×N} adalah sebagai berikut, misalkan TMfree∈Rm,mdan TNfree∈Rn,n, jika
i i i M u =λu free T , i = 1, ... , m, ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ L L L L O O O O O O O O O O O O " " # # % # # " "
j j j Nfreev =µ v T , j = 1, ... , n, maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n ) )( (TMfree⊗IN+IM ⊗TNfree ui⊗vj ) )( ( Mfree⊗ N ui⊗vj = T I +(IM ⊗ TNfree)(ui⊗vj) ) ( ) (TMfreeui ⊗ INvj = +(IMui)⊗(TNfreevj) ) ( ) ( iui ⊗ INvj = λ +(IMui)⊗(µjvj) ) )( ( i⊗ N ui⊗vj = λ I +(IM ⊗µj)(ui⊗vj) ) )( ( i⊗ N+ M ⊗ j ui⊗vj = λ I I µ ) )( ( i+ j ui⊗vj = λ µ ,
dengan catatan bahwa r-1 = s-1 = 1.
Dan resistansi di antara dua simpul r1 = (x1,
y1) dan r2 = (x2, y2) adalah 1 1 1 1 2 2 0 0 free 1 2 { } 2 free free ( , );( , ) ( );( , ) ( , ) (0,0) ( ) _ ( , ) M N m n M N m n x y m,n x y m n m, n r r R v v λ − − = = × ≠ = ∑ ∑ dengan θm mπ, Φ n nπ M N = = .
3.6 Jaringan Dua Dimensi dengan
Kondisi Batas Silindrik
Misalkan terdapat suatu jaringan resistor berukuran M×N simpul dengan kondisi batas silindrik, yang jika digambarkan pada bidang koordinat MN akan membentuk suatu jaringan graf berbentuk penampang melintang dari sisi yang mengelilingi bangun ruang silinder dengan kondisi batas periodik pada bidang-M dan kondisi batas bebas pada bidang-N atau berbentuk lingkaran dalam dua dimensi yang terdiri dari beberapa lingkaran dengan ukuran jari-jari yang tidak sama dalam kondisi batas bebas. Tetapi mempunyai pusat lingkaran yang sama, yang masing-masing lingkaran dihubungkan oleh beberapa resistor.
Berarti pada bidang koordinat terdapat beberapa lingkaran yang masing-masing resistornya dihubungkan oleh dua simpul. Maka pada jaringan graf tersebut ada simpul yang terhubung dengan tiga resistor dan ada simpul yang terhubung dengan empat resistor. Seperti diperlihatkan pada Gambar 10 di Lampiran 1.
Cara memperoleh matriks Laplace cyl } {M×N
L , yaitu misalkan koordinat bidang-MN pada gambar graf jaringan resistor diganti dengan koordinat bidang-XY. Kemudian dapat ditentukan suatu matriks Laplace
L1 =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − − − I I I I I I I I I I I I 2 2 2 2 O O O O O O O O O O O O " " # # # % # # # " "yang bersesuaian dengan gambar graf bidang-X, dengan I suatu matriks identitas berorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L1 suatu matriks Laplace berorde MN×MN dan matriks Laplace L2 =
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
L L L L O O O O O O O O O O O O " " # # % # # " "yang bersesuaian dengan gambar graf pada bidang-Y, dengan L suatu matriks Laplace dalam bentuk TNfreeberorde N×N, O suatu matriks nol berorde N×N, L2 suatu matriks Laplace berorde MN×MN. Selanjutnya dapat diperoleh suatu matriks
cyl } {M×N L = L1 + L2
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
− − − − − − − − I I I I I I I I I I I I 2 2 2 2 O O O O O O O O O O O O " " # # # % # # # " "+
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
L L L L O O O O O O O O O O O O " " # # % # # " ", berdasarkan definisi tentang Kronecker Products dapat diperoleh juga
free } {M×N L
=
I ⊗ − − − − − − − − ×⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
M M 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 2 " " # # # % # # # " "+
L ⊗ ×
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
M M 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 " " # # % # # " " .Jika diasumsikan bahwa nilai dari r-1 = 1 dan
nilai dari s-1 = 1.
Maka dari gambar jaringan resistor tersebut dapat diperoleh suatu matriks Laplace L berbentuk
cyl 1 per 1 free
{M N} r M N s M N
− −
× = ⊗ + ⊗
L T I I T
dan TperM adalah
per M T = 2 1 0 0 0 1 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 1 0 0 0 1 2 − − − − − − − −
⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
" " # # # % # # # " " serta free 1 1 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 1 1 N − − − = − − −⎛
⎞
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎝
⎠
T " " # # # % # # # " "hanya berbeda dalam ukuran orde matriks. Dengan nilai-nilai eigen dan nilai-nilai dari komponen pada vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L adalah
( ) ( , );( , ) -1 -1 2 2 (1 cos2 ) 2 (1 cos ) ( , ) m m n N m n x y i x e vny r s Φ λ m n 1 v M θ θ = − + − = ( , );( , )m n x y
v adalah hasil dari proses Kronecker products antara matriks yang terbentuk dari vektor-vektor eigen ortonormal matriks per
M
T
danT
Nfree.Proses penghitungan mencari nilai-nilai
eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace Lcyl{M×N} adalah sebagai berikut, misalkan TMper∈Rm,mdan TNfree∈Rn,n, jikai i i M u =λu per T , i = 1, ... , m, j j j N v =µ v free T , j = 1, ... , n, maka untuk i = 1, ... , m, j = 1, ... , n ) )( (TMper⊗IN+IM ⊗TNfree ui⊗vj ) )( ( Mper⊗ N ui⊗vj = T I +(IM ⊗ TNfree)(ui⊗vj) ) ( ) (TMperui ⊗ INvj = +(IMui)⊗(TNfreevj) ) ( ) ( iui ⊗ INvj = λ +(IMui)⊗(µjvj) ) )( ( i⊗ N ui⊗vj = λ I +(IM ⊗µj)(ui⊗vj) ) )( ( i⊗ N + M ⊗ j ui⊗vj = λ I I µ ) )( ( i+ j ui⊗vj = λ µ ,
dengan catatan bahwa r-1 = s-1 = 1.
Dan resistansi di antara dua simpul r1 = (x1, y1)
dan r2 = (x2, y2) adalah 1 2 1 1 1 1 2 2 0 0 cyl { } 2 ( , );( , ) ( , );( , ) ( ) (0,0) ( , ) _ ( , ) dengan , M N m n M N m n x y m n x y m,n m n r r R v v mπ nπ θm M Φn N λ − − = = × ≠ = ∑ ∑ = =
3.7 Penghitungan Nilai Resistor
Pengganti Menggunakan Nilai Eigen
dan Vektor Eigen Ortonormal dari
Matriks Laplace dengan Scilab 4.1
Untuk menghitung nilai Resistor Pengganti Rαβ, perhatikan proses penghitungan berikutini.
1. Buatkan suatu matriks incidence B dari graf berarah.
2. Buatkan suatu matriks diagonal CB.
3. Buatkan suatu matriks Laplace L = BCBBT
berdasarkan gambar jaringan resistornya dalam berbagai kondisi.
4. Tentukan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen dari matriks Laplace L.
5. Tentukan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L.
6. Tentukan besarnya nilai Resistor Pengganti (Rαβ) dengan menggunakan nilai-nilai eigen
dan vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks Laplace L.
7. Gunakan formula dalam Teorema Resistansi Dua-Simpul.
Sedangkan jika menggunakan Scilab 4.1 maka penghitungannya diperlihatkan di Lampiran 7.
3.8 Penghitungan Nilai Arus Listrik
(I) dengan Scilab 4.1
Untuk menghitung nilai arus listrik (I) pada suatu jaringan listrik, perhatikan proses penghitungan berikut ini :
Catatan : Proses penghitungannya yaitu berdasarkan pada contoh permasalahan yang diberikan berikutnya tentang jaringan listrik di suatu hotel.
1. Buatkan persamaan berdasarkan pada Hukum Kirchhoff Tegangan (KVL) yang
dapat dibuat dalam bentuk matriks V = b – Ax sehingga dapat diperoleh transpose dari matriks incidence misalkan A. Diperlihatkan di halaman setelah Contoh Permasalahan. Cara termudah untuk menetapkan KVL adalah dengan menetapkan tegangan xj untuk setiap
verteks. Selanjutnya, tegangan pada resistor i yang terletak antara verteks j dan verteks k didefinisikan sebagai vi =
xk – xj.
2. Buatkan persamaan berdasarkan pada Hukum Ohm I = (1/R)*V yang dapat dibuat dalam bentuk matriks yaitu I = CB*V, dengan CB matriks diagonal invers
dari matriks resistansi R (lihat definisi di landasan teori). Diperlihatkan di halaman setelah contoh permasalahan.
3. Buatkan persamaan berdasarkan pada Hukum Kirchhoff Arus Listrik (KCL) yang selanjutnya dapat dibuat dalam bentuk matriks B*I = f. Dengan B adalah matriks incidence dan f adalah matriks sumber arus. Diperlihatkan di halaman setelah contoh permasalahan.
4. Dari poin nomor 1. diperoleh persamaan matriks V = b – Ax. Dengan b adalah matriks sumber tegangan. Substitusikan persamaan ini ke persamaan
I = (R-1)*V ↔ I = (R-1)*(b – Ax) ↔ RI = (RR-1)*(b – Ax) ↔ RI = I*(b – Ax) ↔ RI = b – Ax ↔ RI + Ax = b.
Dengan menggabungkan persamaan di poin nomor 3. dapat diperoleh bentuk matriks R A I b f B O x =
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
.Diperlihatkan di halaman setelah contoh permasalahan.
Karena kolom-kolom dari matriks gabungan bergantung linear, hal ini mengakibatkan determinannya = 0, sehingga invers matriks gabungan tidak terdefinisi dan persamaan-persamaan sebelumnya akan sulit untuk diselesaikan. Dengan menetapkan beberapa simpul sebagai verteks datum (tegangan pada simpul tersebut = 0), maka dapat dihapus beberapa baris dari matriks B sehingga diperoleh matriks gabungan baru yang kolom-kolomnya bebas linear.
Persamaan-persamaan yang dimaksud pada poin nomor 1, 2, dan 3 adalah :
1. v1 = x1 – x2 2. i1 = (1/RI)v1 v2 = x2 – x3 i2 = (1/RII)v2 v3 = x2 – x4 i3 = (1/RIII)v3 v4 = x2 – x5 i4 = (1/RIV)v4 v5 = x3 – x1 i5 = (1/RV)v5 v6 = -1000 + x4 – x1 i6 = (1/R6)v6 v7 = -500 + x4 – x3 i7 = (1/R7)v7 v8 = -500 + x5 – x1 i8 = (1/R8)v8 3. –i1 + i5 + i6 + i8 = 0 i1 – i2 – i3 – i4 = 0 i2 – i5 + i7 = 0 i3 – i6 – i7 = 0 i4 – i8 = 0
Persamaan-persamaan ini dibuat berdasarkan gambar jaringan listrik yang diperlihatkan di Lampiran 1 pada Gambar 11.
Selanjutnya akan ditunjukkan hubungan antara persamaan-persamaan berdasarkan Hukum Kirchhoff Tegangan (KVL), Hukum Ohm, Hukum Kirchhoff Arus Listrik (KCL) yaitu V = b – Ax I = (R-1)*V =C B*V f = B*I dan R A I b f B O x =
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
dengan matriks Laplace L.
Jika diambil untuk nilai Ri = 1 Ω,
∀
i. Makadari persamaan R A I b f B O x =
⎡
⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎣
⎦ ⎣ ⎦
dapat diperoleh⎭
⎬
⎫
= + = + f Ox I B b Ax RI *⎭
⎬
⎫
= − = f I B Ax b RI * 1 ( ) * ( ) * I R b Ax B I f − = − =⎫
⎬
⎭
⎭
⎬
⎫
= − = f I B Ax b C I B * ) ( *⎭
⎬
⎫
= − = f I B Ax C b C I B B * Substitusikan persamaan I = CB*b – CBAx ke persamaan B*I = f f Ax C b C B B − B = ⇔ *( ) f Ax BC b BCB − B = ⇔ f b BC x B BC B T B = − ⇔ f b BC x= B − ⇔ L .Jadi, dapat disimpulkan bahwa matriks Laplace L berbanding lurus dengan matriks incidence B dan dengan menggunakan suatu matriks Laplace L dapat diperoleh suatu penyelesaian dari masalah jaringan listrik.
Dengan perumusan proses penghitungannya sebagai berikut dan dapat diselesaikan dengan menggunakan Scilab 4.1.
1. Tentukan suatu matriks incidence B. 2. Tentukan suatu matriks diagonal CB.
3. Tentukan suatu matriks sumber tegangan b. 4. Tentukan suatu matriks sumber arus f. 5. Tentukan suatu matriks i = BCBb – f dengan
komponen dari i adalah nilai dari arus listrik di setiap simpul.
6. Tentukan suatu matriks Laplace L = BCBBT.
7. Tentukan suatu matriks εI, dengan I suatu matriks identitas.
8. Tentukan suatu matriks L(ε) = L + εI. 9. Selesaikan persamaan L(ε)x = i dengan
komponen dari x adalah nilai voltage di setiap simpul.
Proses penghitungan dengan Scilab 4.1 diperlihatkan di Lampiran 8.
Contoh Permasalahan :
Terdapat suatu hotel yang terdiri dari 5 ruangan. Yaitu ruangan Ι adalah ruangan depan dari hotel (ruangan represionis), ruangan ΙΙ terdiri dari beberapa ruang kamar, ruangan ΙΙΙ adalah ruangan belakang (dapur), ruangan ΙV merupakan ruang pertemuan rapat sedang ruangan V berupa ruang makan dan ruang santai. Penerangan pada hotel tersebut menggunakan penerangan lampu dalam berbagai ukuran yang berbeda.
Misalkan lampu-lampu pada hotel tersebut diasumsikan sebagai hambatan (resistor). Maka dari keadaan penerangan hotel tersebut dapat ditentukan suatu jaringan listrik yang terdiri dari beberapa jaringan resistor dan beberapa sumber tegangan listrik (V).
Diketahui bahwa jaringan resistor pada ruangan I dipasang berdasarkan bentuk graf Jaringan Resistansi Dua-Simpul. Jaringan resistor pada ruangan II dipasang berdasarkan bentuk jaringan satu dimensi dengan kondisi batas bebas. Jaringan resistor pada ruangan III dipasang berdasarkan bentuk jaringan satu dimensi dengan kondisi batas periodik. Jaringan resistor pada ruangan IV dipasang berdasarkan bentuk jaringan dua dimensi dengan kondisi batas bebas. Sedang jaringan resistor pada ruangan V dipasang berdasarkan
bentuk graf jaringan dua dimensi dengan kondisi batas silindrik, maka dari informasi tersebut dapat digambarkan suatu jaringan listrik berbentuk graf. Seperti diperlihatkan pada Gambar 11 di Lampiran 1. Sedang gambar jaringan resistor di setiap ruangan hotel tersebut diperlihatkan pada Gambar 12, Gambar 13, Gambar 14, Gambar 15, dan Gambar 16 di Lampiran 1.
Misalkan jumlah resistor pada setiap ruangan adalah N resistor. Pada ruangan I terdapat N = 16 resistor, ruangan II terdapat N = 30 resistor, ruangan III terdapat N = 10 resistor, ruangan IV terdapat N = 22 resistor, ruangan V terdapat N = 25 resistor. Dengan besarnya nilai resistor di ruangan I masing-masing 20 Ω, nilai resistor di ruangan II masing-masing 25 Ω, nilai resistor di ruangan III masing-masing 20 Ω, nilai resistor di ruangan IV masing-masing 25 Ω, nilai resistor di ruangan V masing-masing 50 Ω, maka dapat ditentukan beberapa matriks Laplace L berdasarkan Gambar Jaringan Resistor pada setiap ruangan I, II, III, IV, dan V. Yaitu seperti diperlihatkan di Lampiran 2. Selanjutnya dihitung nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace L tersebut dengan menggunakan Scilab 4.1, lihat di Lampiran 4. Maka dapat ditentukan suatu vektor-vektor eigen yang ortonormal dari matriks-matriks Laplace L dengan menggunakan Scilab 4.1.
Kemudian nilai Hambatan (Resistor) Pengganti pada setiap ruangan I, II, III, IV, dan V dapat dihitung dengan menggunakan nilai-nilai eigen dan vektor-vektor eigen ortonormal dari matriks Laplace. Dengan nilai-nilai Resistor Penggantinya dituliskan sebagai RI,
RII, RIII, RIV, dan RV. Penghitungan untuk
mencari nilai-nilai Resistor Pengganti adalah menggunakan Scilab 4.1 diperlihatkan di Lampiran 6. Maka diperoleh nilai-nilai Resistor Pengganti pada setiap ruangan di hotel yaitu RI = 8.9524, RII = 750.0000, RIII =
18.0000, RIV = 51.4354, RV = 48.0251.
Selanjutnya nilai arus listrik (i) yang mengalir pada jaringan listrik tersebut dapat dihitung dengan menggunakan Scilab 4.1.
___________________________________________________________________________________ Berikut perumusan untuk permasalahan di atas dalam bentuk matriks sebelum dibuat dalam program Scilab 4.1. Berdasarkan gambar jaringan listrik yang diperlihatkan di Lampiran 1 pada Gambar 11.
1. 1 2 1 3 2 4 3 5 4 6 5 7 8 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1000 1 0 0 1 0 500 0 0 1 1 0 500 1 0 0 0 1 v v x v x v V x b Ax v x v x v v − − − − = = − = − − − − − − − −
⎡ ⎤ ⎡
⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥ ⎣ ⎦
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥ ⎢
⎥
⎣ ⎦ ⎣
⎦ ⎣
⎦
, dengan A = –BT 2. 1 2 3 4 5 6 6 7 7 8 8 1/ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 ( ) * 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ 0 0 0 0 0 0 0 0 1/ B I II III IV V v R v R v R v R I C V v R v R v R v R = =⎡
⎤ ⎡ ⎤
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥ ⎣ ⎦
⎣
⎦
= (R-1)*V 3. 1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 * 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 i i i i B I f i i i i − − − − = = − = − − − −⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎡
⎤
⎢ ⎥
⎡ ⎤
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣
⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎣ ⎦
4. Berikut matriks gabungan dengan salah satu komponennya matriks B yang baru dan tegangan pada x5 = 0 (x5 sebagai verteks ground / datum).
I II III IV V 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 100 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 50 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 50 1 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 R R R R R − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
⎡
⎤
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎥
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢⎣
⎦
1 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 0 0 0 0 0 1000 500 500 0 0 0 0 I x i i i i i i i i x x x x R A b B O f ⎡ ⎤ ⇔ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ − = − − − − = −⎡ ⎤ ⎡
⎤
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎥
⎥ ⎢ ⎥ ⎢
⎣ ⎦
⎣
⎥
⎦
⎡ ⎤
⎡
⎤
⎢ ⎥
⎢
⎥
⎣
⎦
⎣ ⎦
Selanjutnya penyelesaian dengan menggunakan program Scilab 4.1 diperlihatkan di bab Lampiran 7. Tetapi, dalam proses penghitungannya,
untuk persamaan ruas kiri harus dinegatifkan. Jika tanda negatif ini dipindahkan ke ruas kanan, maka tanda negatif ini menunjukkan
arah arus pada gambar graf berarah dan tanda ini juga menunjukkan bahwa pada kenyataannya besarnya nilai-nilai arus listrik dan tegangan listrik bernilai positif.
