I adalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu

METODE FUNGSI QUASI-FILLED SATU PARAMETER UNTUK MENYELESAIKAN MASALAH PROGRAM INTEGER TAK LINEAR

Ria Hardiyati (M0101042) ABSTRAK

Dalam kehidupan sehari-hari sering dijumpai masalah optimasi yang membutuhkan hasil integer. Masalah tersebut dapat diselesaikan dengan bentuk program integer.

Tujuan dari penulisan skripsi ini adalah mengkaji langkah-langkah memperoleh minimum global dalam program integer tak linear dengan menggunakan metode fungsi quasi-filled satu parameter dan menerapkannya dalam menyelesaikan masalah program integer tak linear. Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur.

Berdasarkan hasil pembahasan diperoleh bahwa penyelesaian masalah program integer tak linear menggunakan metode fungsi quasi-filled satu parameter terdiri dari dua fase yaitu fase minimisasi fungsi objektif dan fase minimisasi fungsi quasi-filled satu parameter. Proses penghitungan berhenti jika jumlah iterasi di fase kedua lebih besar dari nilai parameter toleransi,

N

_L. Titik minimum lokal fase pertama pada iterasi terakhir merupakan titik minimum global. Pengambilan titik awal hanya mempengaruhi hasil titik minimum lokal tetapi tidak mempengaruhi hasil titik minimum global

Kata kunci: program integer, minimum lokal, minimum global, fungsi quasi-filled satu parameter.

1. PENDAHULUAN

Secara umum minimisasi masalah program integer tak linear berbentuk :

min

f

 

x

dengan kendala

x 

X

_I (1.1) dengan

X 

_I

I

nadalah himpunan kotak terbatas dan tertutup yang berisi lebih dari satu titik; dengan

I

n yang berupa himpunan titik integer dalam

R

n.

Definisi 1.1 (Zhu, 2000: 2) Untuk sebarang

x 

I

n, didefinisikan persekitaran dari x yaitu

,

{

)

(

x

x

N



x



e

_i

:

i



1

,

2

,...,

n

}

dengan

e

_i adalah vektor dimensi-n dengan semua komponen sama dengan nol kecuali komponen ke-i sama dengan satu.

N

0

 

x



N

   

x

\

x

. Definisi 1.2 (Zhu, 2000: 2) Integer

x 

₀

X

_I disebut minimum lokal dari fungsi (1.1) jika terdapat persekitaran

N

(

x

₀

)

untuk sebarang

x



N

(

x

₀

)



X

_I, berlaku

f

(

x

)



f

(

x

₀

)

. Integer

x 

₀

X

_I disebut minimum global dari fungsi (1.1) jika untuk sebarang

x 

X

_I, berlaku

f

(

x

)



f

(

x

₀

)

. Sebagai tambahan, jika f(x)>

f

(

x

₀

)

untuk setiap

I

X x N

x 0( ₀) atau

x



X

_I

\

{

x

₀

}

, maka

x

₀ disebut minimum lokal (global) tegas dari f.

Teorema 1.1 (Zhang et al., 1999: 3) Jika

x 

₀

X

_I adalah minimum global dari fungsi (1.1), maka

x 

₀

X

_I pasti minimum lokal dari f.

Berikut ini diberikan Algoritma 1.1 untuk mencari titik minimum lokal Algoritma 1.1 (Zhu, 2000: 3)

Langkah 1 : Pilih sebarang titik integer

x 

₀

X

_I.

Langkah 2 : Jika

x

₀ adalah minimum lokal dari f(x) maka STOP.

Selain itu, didapatkan

x



N

(

x

₀

)



X

_I dengan

f

(

x

)



f

(

x

₀

)

. Langkah 3 : Diambil

x 

₀

:

x

, kembali ke Langkah 2.

2. METODE PENELITIAN

Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur. Langkah-langkah yang diperlukan untuk mencapai tujuan dalam skripsi ini adalah:

2. memberikan algoritma fungsi quasi-filled satu parameter secara umum , 3. menerapkan metode fungsi quasi-filled satu parameter dalam contoh kasus, 4. menganalisis pengambilan titik awal yang berbeda terhadap hasil akhir, seluruh perhitungan dalam contoh dilakukan menggunakan program Matlab.

3. PEMBAHASAN

Dalam bab ini diberikan definisi fungsi quasi-filled, fungsi quasi-filled satu parameter dan algoritma umum metode fungsi quasi-filled satu parameter.

3.1 Fungsi Quasi-Filled dan Sifatnya

Dalam subbab ini dikenalkan fungsi quasi-filled satu parameter di titik minimum lokal

* 1

x

dan membahas sifatnya. Titik

x

₁* yang diperoleh dari Algoritma 1.1. Dibentuk

I I

f

x

f

x

X

X

x

S



{



:

(

)



(

*

)}



1 1

S



{

x



X

_I

:

f

(

x

)



f

(

x

*

)}



X

_I 1 2 . Definisi 3.1 Fungsi *

(

)

1

x

P

x disebut fungsi quasi-filled dari f(x) di minimum lokal

* 1

x

jika

)

(

* 1

x

P

x mempunyai sifat berikut :

(i) *

(

)

1

x

P

x tidak mempunyai minimum lokal dalam himpunan

S

1

\

{

x

0

}

. Titik awal

0

x

dalam

S

₁.

(ii) Jika

x

1* bukan minimum global dari f(x) maka terdapat minimum lokal

x

1 dari

)

(

* 1

x

P

x , sedemikian hingga

(

)

(

)

* 1 1

f

x

x

f



dengan

x 

₁

S

₂.

Definisi 3.1 didasarkan pada himpunan dalam ruang Euclid dan

x

₀ tidak harus minimum lokal dari *

(

)

1

x

P

x .

3.2 Fungsi Quasi-Filled Satu Parameter

Mirip dengan Zhu (2003), diberikan fungsi quasi-filled satu parameter dari fungsi objektif di titik minimum lokal

x

₁* sebagai berikut :

))

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

(

)

(

)

(

_{0 1}* 2 , ,₁* ₀

x



x



x



A



f

x



f

x



P

_{Ax x}





, (3.1)

dengan A>0 adalah parameter, titik awal

x 

₀

X

_I memenuhi f(x₀) f(x₁*). Untuk membentuk *

(

)

1

x

P

x yang memenuhi sifat seperti yang disebutkan pada Definisi

3.1, maka harus dipilih fungsi



(t

)

dan



(t

)

yang memenuhi kondisi berikut ini : (a)



(t

)

dan



(t

)

fungsi monoton naik tegas untuk setiap

t

 ,



0





(b)



(

0

)



0

dan



(

0

)



0

(c)

(

t

)

C

B

max

(

x

x

₀

)

I X x















, dengan

x





.

Selanjutnya dibuktikan bahwa bentuk fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A memenuhi kondisi (i) dan (ii)

dari Definisi 3.1. Pertama diberikan Lema berikut ini,

Lema 3.1 Untuk setiap bilangan bulat

x 

X

_I, jika

x 

x

₀ maka terdapat

}

,...,

2

,

1

:

{

e

i

n

D

d







_i



, sedemikian hingga 0 0 x x x d x    (3.2)

Bukti Untuk

x 

x

0, terdapat sebuah

i 

{

1

,

2

,...,

n

}

sedemikian hingga

x

i



x

0i. Jika i

i

x

Teorema 3.1

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A tidak mempunyai minimum lokal pada himpunan

S

1

\

{

x

0

}

untuk

setiap A>0.

Bukti Untuk setiap xS1 dan

x 

x

₀, dengan menggunakan Lema 3.1 diketahui bahwa

terdapat dD, sedemikian hingga

0 0 x x

x d

x    .

Dipertimbangkan dua kasus berikut ini :

(1) Jika

f

(

x

1*

)



f

(

x



d

)



f

(

x

)

atau

(

)

(

)

(

)

* 1

f

x

f

x

d

x

f







maka

))

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

(

)

(

)

(

_{0 1}* 2 , ,1* 0



















d

x

d

x

A

f

x

d

f

x

x

P

x x A





(

)

(

)

(

)

0 * 1, , 0 0

x

x

P

x

x

d

x

x x A

















Jadi, x bukan minimum lokal dari fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A . (2) Jika

f

(

x



d

)



f

(

x

₁*

)



f

(

x

)

maka

))

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

(

)

(

)

(

_{0 1}* 2 , ,₁* ₀

x



d



x



d



x



A



f

x



d



f

x



P

_{Ax x}









(xdx0 )



(A(exp([f(xd) f(x1*)]2)1)

(

)

(

)

(

)

0 * 1, , 0 0

x

x

P

x

x

d

x











_{Ax x}







Jadi, x bukan minimum lokal dari fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A .

Dua kasus di atas menunjukkan bahwa x bukan minimum lokal dari fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A .

Dari Teorema 3.1, diketahui bahwa bentuk fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A memenuhi kondisi

pertama dari Definisi 3.1 tanpa asumsi lebih lanjut terhadap parameter A. Selama

X

_I



S

₁



S

₂, Teorema 3.1 memberikan akibat berikut ini Akibat 3.2 Untuk sebarang minimum lokal dari fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A kecuali x0, pasti berada

dalam himpunan S2.

Oleh karena itu, jika A=0 maka

(

)

(

₀

)

, ,1* 0

x

x

x

P

x x

A







mempunyai minimum lokal

unik

x

₀ di dalam

X

_I. Karena berlaku f(x₀) f(x₁*) dengan

x 

₀

S

₁, berarti

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A

tidak mempunyai minimum lokal dalam himpunan S2 dan

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A bukan fungsi

quasi-filled dari f(x) di minimum lokal

x

₁*. Kemudian muncul pertanyaan bagaimana syarat parameter A agar minimum lokal berada dalam himpunan

S

₂. Untuk menjawab pertanyaan tersebut diberikan teorema berikut.

Teorema 3.3

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A mempunyai minimum lokal dalam himpunan bilangan bulat

S

2

jika

S

₂





dan A>0 memenuhi kondisi

 







( ) ( )



1 exp * ₁* 2 1     x f x f B A



(3.3)

dengan

x

* adalah minimum global dari f(x).

Bukti Karena

S

₂





dan

x

* adalah minimum global dari f(x) maka

(

)

(

*

)

1 *

x

f

x

f



dan

))

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

(

)

(

)

(

* * ₀ * ₁* 2 , ,* ₀ 1













x

x

A

f

x

f

x

x

P

_{Ax x}







*













exp





 

*



 

*



2





1









x

x



A

f

x

f

x





exp





 

 

*



2



1





1 *

_

_







B



A

f

x

f

x

jika A>0 dan memenuhi persamaan (3.3), maka

 

0

0 * 1, ,

x



P

x x A .

Di sisi lain, untuk setiap

y 

S

₁ berlaku

 



0







exp





min



 

 

1* ,0



2



1





,

,1* 0 y  yx  A f y  f x 

P_{Ax x}











yx0



0

Sehingga minimum global dari

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A pasti berada dalam himpunan

S

2. Akibatnya,

)

(

0 * 1, ,

x

P

x x

A mempunyai minimum lokal dalam himpunan

S

2.

Dari Teorema 3.1 dan 3.3, jika parameter A cukup besar maka bentuk fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A

memenuhi sifat pada Definisi 3.1, dengan kata lain fungsi

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A adalah fungsi

quasi-filled. Dari Algoritma 1.1 dapat diketahui nilai

f

 

x

₁* tetapi belum diketahui nilai minimum global dari

f

 

x

, jadi sulit untuk menentukan batas bawah dari parameter A pada Teorema 3.3.

Masalah minimisasi fungsi (1.1) dapat diselesaikan jika diperoleh

x 

X

_I sedemikian hingga memenuhi

f

 

x



f

 

x

*





, dengan

f

 

x

* adalah nilai minimum global dari masalah

 

P

_I dan



adalah toleransi maksimal yang diberikan. Jadi, jika minimum lokal terakhir

x

₁* maka memenuhi

 

*



 

*





1

f

x

x

f

.

Teorema 3.4 Diberikan



konstanta positif yang kecil dan

 

 

1

exp

2 1











B

A

. Untuk

setiap minimum lokal terakhir

x

₁* dari

f

 

x

yang memenuhi

f

 

x

₁*



f

 

x

*





, fungsi quasi-filled

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A mempunyai minimum lokal dalam himpunan

S

2, dengan

*

x

adalah minimum global dari f(x).

Bukti Untuk

exp

 

t



1

fungsi monoton naik tegas untuk sebarang

t

 ,



0





dan

 

*



 

*





1

f

x

x

f

, diperoleh

 

 









1

exp

 

1

exp

f

x

*



f

x

₁* 2







2



, kemudian

 

 

 









₁ exp

 

 

1 exp 2 1 2 * 1 * 1      







B x f x f B . Jika

 

 

1

exp

2 1











B

A

, maka

 

 

 









1 exp * ₁* 2 1     x f x f B A



.

Karena parameter A memenuhi kondisi pada Teorema 3.3 maka fungsi quasi-filled

)

(

0 * 1, ,

x

P

x x

A mempunyai minimum lokal dalam himpunan

S

2.

Teorema 3.4 memberikan batas bawah dari parameter A yang hanya bergantung pada toleransi maksimal yang diberikan,



.

Teorema 3.5 Titik awal

x 

₀

S

_I adalah minimum lokal dari

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A jika

x

0 adalah

minimum lokal dari

f

 

x

.

Bukti Jika

x 

0

S

_I adalah minimum lokal dari

f

 

x

, maka terdapat persekitaran

N

 

x

0

sedemikian hingga untuk setiap

x



N

 

x

₀



X

_I berlaku f

 

x  f

 

x₀  f

 

x₁* , sehingga

))

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

(

)

(

)

(

* 2 1 0 , ,1* 0













x

x

A

f

x

f

x

x

P

x x A







₀





_{0 0}



_{, ,}

 

₀ 0 * 1

x

P

x

x

x

x









_{Ax x}







berlaku untuk setiap

x



N

 

x

₀



X

_I. Jadi

x 

₀

S

_I adalah minimum lokal dari

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A .

Dibentuk masalah program integer tak linear bantuan yang berhubungan dengan masalah minimisasi fungsi (1.1) sebagai berikut

min

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A , dengan

x 

X

I (3.4)

Dari uraian di atas diketahui bahwa untuk sembarang toleransi



0 yang diberikan,

jika

 

 

1

exp

2 1











B

A

maka

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A adalah fungsi quasi-filled dari

f

 

x

di titik

minimum lokal terakhir

x

₁* yang memenuhi

f

 

x

₁*



f

 

x

*





. Jadi jika digunakan suatu metode peminimuman lokal untuk menyelesaikan masalah minimisasi fungsi (3.4) dari sembarang titik awal pada

X

I, maka dengan sifat dari fungsi quasi-filled diperoleh bahwa

barisan titik minimum konvergen ke titik awal

x

₀ atau ke titik

x 



X

_I sehingga

 

 

* 1

x

f

x

f





. Jika diperoleh titik minimum x maka titik x dipakai sebagai titik awal untuk meminimumkan kembali

f

 

x

pada

X

_I, sehingga diperoleh

x 



X

_I yang memenuhi

f

 

x





f

 

x



yang lebih baik dari

x

₁*.

3.3 Algoritma Fungsi Quasi-Filled Satu Parameter Algoritma fungsi quasi-filled satu parameter diberikan sebagai berikut :

Langkah 1: Diberikan sebuah konstanta

N

_L



0

sebagai parameter toleransi untuk mengakhiri proses peminimuman dari masalah minimisasi fungsi (1.1) dan konstanta kecil



0 sebagai toleransi optimal yang diinginkan. Dipilih sembarang x XI

1

0 .

Langkah 2: Diawali dengan x 1₀ X_I dicari minimum lokal

x

₁* dari

f

 

x

dengan menggunakan Algoritma 1.1.

Langkah 3: Bentuk fungsi quasi-filled

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A seperti berikut :

))

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

(

)

(

)

(

1_{0 1}* 2 , ,1* 10













x

x

A

f

x

f

x

x

P

x x A





,

dengan A0 dan memenuhi kondisi pertidaksamaan (3.3) atau

 

 

1

exp

2 1











B

A

. Diberikan N 0. Langkah 4: Jika

N 

N

_L, dilanjutkan ke Langkah 7.

Langkah 5: Ditentukan N  N 1. Dipilih sebuah titik awal yang berada di

X

_I untuk mulai meminimumkan

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x

A pada

X

I, dengan menggunakan sembarang

metode peminimuman lokal. Diperoleh

x

₁, minimum lokal dari

(

)

0 * 1, ,

x

P

x x A .

Jika x ₁ x1₀ maka kembali ke Langkah 4. Selain itu dilanjutkan ke Langkah 6.

Langkah 6: Diawali dengan titik

x

₁ dicari minimum

f

 

x

pada

X

_I. Kemudian diperoleh minimum lokal

x

₂* dari

f

 

x

. Dimisalkan

x 

₁*

x

₂*, lalu kembali ke Langkah 3.

Langkah 7: STOP algoritma, hasil

x

₁* dan

f

 

x

₁* adalah penyelesaian pendekatan dan nilai minimum global dari masalah minimisasi fungsi (1.1).

3.4 Penerapan Metode Fungsi Quasi-Filled Satu Parameter

Berikut ini disajikan contoh kasus optimasi fungsi integer tak linier dan penerapan pendekatan fungsi quasi-filled dalam penyelesaiannya.

Diberikan masalah program integer tak linear berikut (Shang dan Han, 2005)

min

  

















  















1 1 2 1 2 2 2 1

1

1

n i i i n

n

n

i

x

x

x

x

x

f

(3.5) kendala xi 5,

i



1

,

2

,



,

n

x

_i : integer Penyelesaian

Masalah (3.5) mempunyai

11

n titik fisibel dan mempunyai beberapa titik minimum lokal. Untuk n=2 mempunyai 4 minimum lokal, n=3 mempunyai 6 titik minimum lokal, n=4 mempunyai 7 minimum lokal n=5 mempunyai 10 minimum lokal dan seterusnya.

Dipilih



 

t 

t

dan



 

t 

t

, sehingga dapat dibentuk fungsi quasi-filled:

)

1

)

}]

0

),

(

)

(

(exp([min{

)

(

* 2 1 1 0 , ,*1 10













x

x

A

f

x

f

x

x

P

x x A dan diberikan



0.05,

 

1

1

exp

2









B

A

, max



 0



110 1  x x n B I X x dan parameter toleransi

N

_L



10

n. Untuk n=2 Diberikan



0.05,

A



6

.

0503



10

3,

B



10

2



1

dan

N

_L



10

2. Dan masalah (3.5) menjadi

min

f

  

x



x

₁



1



2





x

₂



1



2



2



x

₁2



x

₂



2 (3.6) kendala x_i 5, i=1,2.

x

_i : integer Dipilih titik awal yang fisibel x10 

 

4,3 .

Proses 1

Fase 1. Pencarian titik minimum lokal f(x) diawali dengan x1₀ 

 

4,3 Dicari minimum lokal dari masalah (3.6) dengan menggunakan Algoritma 1.1. Dibentuk persekitaran titik awal,

 

                                     2 4 , 4 4 , 3 3 , 3 5 , 3 4 1 0 x N . Untuk

_













3

4

1 0

x

, maka diperoleh

 













 

351 338 4 9 13 2 2 3 3 4 2 1 3 1 4 2 2 2 2 2 2 2 1 0              x f

Dengan cara perhitungan yang sama, nilai fungsi untuk persekitaran

_













3

4

1 0

x

dapat dilihat pada Tabel 3.1.

Tabel 3.1 Nilai fungsi untuk titik persekitaran dari

_













3

4

1 0

x

x f(x)













3

5

988













3

3

80













4

4

306













2

4

402

Karena f

 

x1₀  f

 

x , xN

 

x1₀ X_I tidak dipenuhi maka

_













3

4

1 0

x

bukan titik

minimum lokal. Kemudian dipilih xN

 

x1₀ X_I, dengan f

 

x  f

 

x1₀ . Dari Tabel 3.1 diperoleh

_













3

3

x

.

Selanjutnya proses pencarian minimum lokal diulang sebanyak 2 iterasi sehingga menghasilkan titik minimum lokal yaitu

_













3

2

* 1

x

. Dari

_













3

2

* 1

x

diperoleh

f

 

x

1*



7

. Fase 2. Kemudian dibentuk fungsi quasi-filled berikut:

 

6

.

0503

10



exp





min



 

7

,

0







1



3

4

3 2 3 4 , 3 2 , 10 0503 . 6 3

























            

x

f

x

x

P

.

Dibentuk masalah program integer tak linear bantuan yaitu minimisasi

 

6

.

0503

10



exp





min



 

7

,

0







1



3

4

_{3 2} 3 4 , 3 2 , 10 0503 . 6 3

























            

x

f

x

x

P

(3.7) kendala xi 5, i=1,2.

Diberikan N=0. Karena N < NL maka proses dilanjutkan dengan mencari titik minimum lokal

dari masalah (3.7). Diberikan N=1. Dipilih titik awal

_













2

2

1 0 p

x

.

Untuk mencari titik minimum lokal analog seperti pada fase 1. Diperoleh titik minimum lokal untuk P

 

x              3 4 , 3 2 , 10 0503 . 6 3 yaitu

_















2

1

1

x

dengan

f

 

x

1





3

. Karena 1 0 1 x x  maka

proses dilanjutkan dengan mengulangi proses 1 dengan mengambil titik

_















2

1

1

x

sebagai titik awal. Proses 2

Fase 1. Pencarian titik minimum lokal f(x) diawali dari titik

_













2

1

2 0

x

Untuk mencari titik minimum lokal analog seperti pada proses sebelumnya. Diperoleh titik minimum lokal yaitu

_













1

1

* 2

x

. Dari

_













1

1

* 2

x

diperoleh

 

*

0

2



x

f

. Fase 2. Dimisalkan 2* * 1

x

x 

, kemudian dibentuk kembali fungsi quasi-filled baru yaitu

 

6

.

0503

10



exp





min



 

0

,

0







1



2

1

3 2 2 1 , 1 1 , 10 0503 . 6 3

























            

x

f

x

x

P

. Diberikan N=0.

Karena

N

 0



N

L maka proses dilanjutkan dengan diberikan N 011. Dicari titik

minimum lokalnya dan iperoleh titik minimum lokal

_















1

1

2

x

dan

f

 

x

2





0

.

Proses penghitungan diulang sampai diperoleh N=

10

2



1

sehingga dihasilkan















1

1

* global

x

dan f



x*global



0. Penghitungan berhenti pada

10

1

2





N

, karena

N 

N

L.

Diperoleh x*global 

 

1,1 dengan





0

*



global

x

f .

Jadi meskipun diambil titik awal berbeda dan untuk n berbeda tetap diperoleh hasil akhir yang sama yaitu xglobal* 



1,1,1,1



dengan





0

*  global x f . 3. KESIMPULAN

Dari keseluruhan pembahasan dapat diperoleh kesimpulan sebagai berikut.

1. Metode fungsi quasi-filled satu parameter digunakan untuk mencari titik minimum global dari masalah program integer tak linear. Penyelesaian masalah program integer tak linear menggunakan metode fungsi quasi-filled satu parameter terdiri dari dua fase yaitu fase minimisasi fungsi objektif dan fase minimisasi fungsi quasi-filled satu parameter. Proses penghitungan berhenti jika jumlah iterasi di fase kedua lebih besar dari nilai parameter toleransinya,

N

_L. Titik minimum lokal fase pertama pada iterasi terakhir merupakan titik minimum global.

2. Berdasarkan eksperimen dari contoh diperoleh kesimpulan bahwa pengambilan titik awal yang berbeda-beda pada Algoritma 2.1 mempengaruhi hasil titik minimum lokal tetapi tidak mempengaruhi hasil titik minimum global masalah semula.

DAFTAR PUSTAKA

Shang, Y. and Han, B. (2005). One-Parameter Quasi-Filled Function Algorithm for Nonlinear Integer Programming, J. Zhejiang Univ. SCI., Vol.6A(4), pp: 305-310. Zhang, L.S., Gao, F., Zhu, W. X. (1999). Nonlinear Integer Programming and Global

Optimization, Journal of Computational Mathematics, pp: 179-190.

Zhu, W.X. (2000). A Filled Function Method for Nonlinear Integer Programming, ACTA of Mathematicae Applicatae Sinica (in Chinese), pp: 481-487.

Zhu, W.X. (2003). On the Globally Convexized Filled Function Method for Box Constrained Continuous Global Optimization, It Appeared in Optimization. http://www.optimization-online.org/DB-FILE/2004/03/846.pdf.