159
XII. BALOK ELASTIS KHUSUS
12.1. Balok Berpenampang Simetris
Jika beban transversal yang menghasilkan lengkungan (bending) dikenakan pada balok yang penampangnya simetris maka tidak menghasilkan torsi (puntiran).
Tegangan pada balok:
I My
Tetapi jika beban tranversal bekerja pada balok yang penampangnya tidak simetris, rumus tegangan balok tersebut tidak berlaku.
12.2. Pusat Geseran
Setiap penampang balok elastis mempunyai suatu titik yang apabila suatu gaya transversal dikenakan hanya akan menghasilkan lengkungan (bending) saja tanpa menimbulkan torsi pada balok. Titik tersebut disebut Pusat Geseran (shear center).
160
12.3. Penentuan Pusat Geseran
Untuk daerah irisan penampang yang mempunyai satu sumbu simetri, pusat geser terletak pada sumbu simetri balok.
Tegangan geser pada balok:
Ib
VQ
V = Gaya geser; Q = Momen Pertama; I = Momen inersia; b = ketebalan Momen pertama (Q):
Q
yda
Gaya geser:
dx
dM
V
12.4. Lenturan Asimetrik
Lenturan asimetrik adalah lenturan yang tidak terjadi dalam bidang simetri penampang.
Gambar 12.1. Lenturan Asimetrik
Tegangan lentur:
yz
I
I
I
z
I
M
I
M
y
I
M
I
M
z y yz z z y yz y y z 2
Serat pada sumbu netral bebas dari tegangan longitudinal,sehingga:
tan
yz y y z yz z z yI
M
I
M
I
M
I
M
z
y
= sudut inklinasi161
12.5. Balok Lengkung
Distribusi tegangan dalam balok lengkung mengikuti pola hiperbolik. Tegangan maksimum selalu pada bagian sebelah dalam (cekung) dari balok tersebut. Pada balok lengkung sumbu netral tertarik ke arah pusat lengkungan balok, akibat tegangan-tegangan yang lebih tinggi yang terbentuk di bawah sumbu netral.
Pada balok lengkung letak sumbu netral tidak berimpit dengan sumbu titik berat. Persamaan tegangan normal yang bekerja pada balok lengkung adalah:
r
y
y
A
My
Dimana: M = momen lenturA = luas penampang balok
r = jarak sb. Netral dari pusat lengkungan y = jarak serat dari sb. Netral
162
Contoh-Contoh Soal Dan Pembahasannya
1. Hitunglah pusat geseran (e) pada penampang balok di bawah ini.
Momen pertama (Q):
sin
)
(
)
cos
(
2 0t
R
Rd
t
R
yda
Q
c yo
Cat:
y
R
cos
da
tRd
cos
sin
Momen inersia (I):
2
)
cos
(
3 0 2 2R
t
tRd
R
da
y
I
Cat:
cos
41sin
2 1 2
[
sin
]
2
sin
)
2
/
(
2 3Rt
V
t
R
t
t
R
V
yda
Ib
V
c yo
Momen dari tegangan geser ini terhadap sembarang titik = momen dari resultan V terhadap titik yang sama.
0)
(
sin
2
Ve
R
tRd
Rt
V
163
0sin
2
Ve
d
VR
Ve
VR
cos
02
R
e
4
2. Jawab: a.
44
.
127
14
.
3
100
4
4
mm
R
e
b.
7 4 3 310
57
.
1
2
10
100
2
mm
t
R
I
3. Carilah pusat geseran pada dinding tipis seperti yang terlihat pada gambar.
Jawab: Bagian A-B
I
Vx
t
x
It
V
75
75
a
I
Vt
x
x
dx
I
Vxt
V
9
.
375
10
4
...
...
...
...
...
50
0
75
1
Suatu penampang seperti gambar jari-jari 100 m dan tebal 10 m, tentukan jarak pusat geseran (e) dan momen inersianya. Diketahui: R = 100 m t = 10 m Ditanya : e dan I e t R V A B C D E F 75 mm 75 mm 50 mm 50 mm 50 mm 25 mm
164 Bagian B-C
b
y
y
I
Vt
dy
y
y
I
Vt
V
y
y
I
V
y
u
u
tdu
o
u
t
It
V
...
...
4
.
35
0
5
10
9
.
1
2
353
.
0
75
3750
2
2
353
.
0
75
3750
0
45
sin
4
.
35
50
75
50
Jumlah momen-momen gaya:
mm
t
t
e
t
du
u
u
t
o
u
t
t
I
I
t
e
Ve
o
V
V
8
.
42
5
10
5
.
6
7
10
785
.
2
sehingga
5
10
5
.
6
4
.
35
0
2
45
sin
4
.
35
50
2
2
75
50
2
3
100
12
1
:
dimana
7
10
785
.
2
b
dan
a
subsitusi
50
45
sin
2
2
1
75
2
4. Jawab Jawab:Maka momen terhadap sumbu y dan z adalah: Sebuah struktur alumunium terlihat seperti gambar di samping, memiliki bending momen sebesar 5 kNm. Diberikan nilai sbb:
2 6 2 6 4 6
10
5
10
7
.
10
10
4
.
1
mm
Iyz
mm
Iz
mm
Iy
165
kNm
Mz
kNm
My
o o47
.
4
'
33
26
cos
5
235
.
2
'
33
26
sin
5
Sudut inklinasi adalah:
' 6 6 6 6 6 6 6 6 20 12 2188 . 0 10 5 10 235 . 2 10 1 . 4 10 47 . 4 10 5 10 47 . 4 10 7 . 10 10 235 . 2 tan o MyIyz MzIy MzIyz MyIz
Tegangan yang diberikan pada koordinat:
MPa B B MPa A A 4 . 35 2 6 10 5 6 10 7 . 10 6 10 1 . 4 85 6 10 5 6 10 47 . 4 6 10 7 . 10 6 10 235 . 2 75 6 10 5 6 10 235 . 2 6 10 1 . 4 6 10 47 . 4 4 . 35 2 6 10 5 6 10 7 . 10 6 10 1 . 4 85 6 10 5 6 10 47 . 4 6 10 7 . 10 6 10 235 . 2 75 6 10 5 6 10 235 . 2 6 10 1 . 4 6 10 47 . 4 166
Jawab:
Tegangan geser dihitung dengan
I
Vz
z
zt
It
V
yda
Ib
V
c yo2
2
2
...(a) Gaya resultan V1:I
Vt
dz
t
I
Vz
V
4 50 0 2 12
.
1
10
2
Dari rumus (a) didapatkan
50
50
25
50
25
x
I
V
t
t
x
It
V
Gaya resultan V2:
mm
t
t
e
maka
t
t
t
I
Ve
I
Vt
I
Vt
b
dan
a
an
subsitusik
Ve
V
V
sehingga
b
I
Vt
dx
x
I
V
V
35
10
167
.
4
10
46
.
1
10
167
.
4
50
50
2
100
12
1
2
10
25
.
1
10
1
.
2
50
2
50
2
...
...
...
...
...
10
25
.
1
25
50
5 7 5 2 3 7 5 2 1 50 0 5 2
6. Suatu balok baja memiliki penampang seperti pada gambar disamping. Hitunglah jarak posisi pusat geseran (e) dari titik perpotongan antara sumbu simetri horizontal dan tengah-tengah penampang balok.
20 mm 15 mm 15 mm 25 mm 25 mm
e
V
t167 Jawab: 0 2 2 2
87
.
36
25
15
sin
25
20
15
mm
AB
AB
2
0 2 2 6 . 0 0 1 0 1 13
.
0
40
40
6
.
0
40
87
.
36
sin
25
25
y
y
I
V
u
u
I
V
tdu
u
It
V
tdu
u
It
V
yda
It
V
y y u u y u u
I
Vt
y
y
I
Vt
V
tdy
y
y
I
V
V
tdy
V
y y y y5
.
10937
3
.
0
40
25 0 3 3 3 . 0 2 2 40 1 25 0 2 1 25 0 1
I
t
e
I
Vt
Ve
V
Ve
M
437500
25
8
.
0
5
.
10937
2
25
87
.
36
cos
2
0
1 0
t
t
t
I
u
u
u
t
t
I
du
u
t
t
I
du
u
t
t
I
tdu
u
t
I
Ad
bh
I
u u u u u u7
.
64166
53750
7
.
10416
1600
2
7
.
10416
6
.
0
40
2
7
.
10416
6
.
0
15
25
2
7
.
10416
87
.
36
sin
25
25
2
50
12
1
12
25 0 3 3 36 . 0 2 2 48 25 0 2 25 0 2 25 0 2 3 2 3
168
mm
t
t
I
t
e
6
.
82
7
.
64166
437500
437500
7. Carilah pusat geseran pada gambar di bawah ini.
Jawab:
mm
t
t
e
sehingga
tmm
t
t
I
ana
I
t
e
I
Vt
dx
x
I
Vt
V
xt
It
V
I
Vt
dy
y
y
I
Vt
V
yt
y
It
V
96
.
7
10
46
.
11
10
125
.
9
10
46
.
11
25
25
2
100
12
1
dim
10
125
.
9
10
125
.
3
25
5
.
937
25
5
.
937
10
3
.
1
2
50
2
50
4 5 4 4 2 3 5 25 0 4 2 25 0 4 2 1
169
8. Hitunglah pusat geseran (e) pada balok berpenampang kanal di bawah ini.
c yoyda
It
V
Jarak dari centroid:h
/
2
Luas:xt
Jawab:
Tegangan geser pada A-B:
xt
h
It
V
)
2
/
(
dx
x
I
Vth
dx
xt
h
I
Vt
tdx
V
b b b x x
0 2 1 0 0 1
(
/
2
)
I
th
Vb
x
I
Vth
V
b4
2 0 2 4 1 1
Karena simetri, gaya-gaya pada bagian bawah juga sama besar. Jumlah momen dari gaya-gaya ini terhadap sembarang titik = momen dari resultan V terhadap titik yang sama.
Ve
h
V
(
)
2
21 1
Ve
I
b
Vth
4
2 2I
t
h
b
e
4
2 2
2
/
12
/
)
2
/
(
2
12
1
3 2 3 2bth
th
h
bt
th
I
Jadi,
b
h
b
bth
th
t
h
b
e
3
/
2
2
/
12
/
4
3 2 2 2
170
9. Pada gambar diketahui: Dimensi 127 x 127 x 22.2
Iy = Iz = 7.41 x 10-6 m4 dan Iyz = -4.201 x 10-6 m4
My = 0, Mz = 10 kN
Tentukan sudut inklinasi sumbu netral dan tegangan lentur di titik A
Jawab:
o z zm
M
m
M
5
.
29
567
.
0
0
10
41
.
7
10
201
.
4
0
tan
6 4 4 6
Koordinat titik A: y = z = -39.9 mm
MPa
m
m
m
m
Nm
m
Nm
124
10
201
.
4
10
41
.
7
10
41
.
7
0399
.
0
10
201
.
4
000
.
10
0
0399
.
0
0
10
41
.
7
000
.
10
2 4 6 4 6 4 6 4 6 4 6
171
Latihan Soal
1. Balok kayu seperti terlihat pada Gambar di bawah ini terbuat dari empat lembar papan yang dipaku kuat. Hitunglah momen inersia dan tegangan geser satuan pada sumbu netral (maksimum) yang disebabkan oleh tegangan geser transversal total V sebesar 5 kN.
2. Balok yang diperlihatkan pada Gambar di bawah ini terbuat dari tiga papan yang diikat bersama membentuk ikatan tunggal. Hitunglah momen inersia seluruh penampang dan tegangan geser satuan pada bidang AA dan pada bidang sumbu netral yang disebabkan oleh gaya geser total V sebesar 2.5 kN.
3. Suatu balok baja memiliki penampang seperti pada gambar disamping. Hitunglah jarak posisi pusat geseran (e) dari titik perpotongan antara sumbu simetri horizontal dan tengah-tengah penampang balok.
172
4. Carilah pusat geseran pada Gambar berikut!
5. Carilah pusat regangan pada gambar berikut ini!
