5 2.1 Konsep Elemen Hingga
Weaver, W., dkk (1993) menjelaskan bahwa bila suatu kontinum dibagi-bagi menjadi beberapa bagian yang lebih kecil, maka bagian-bagian kecil ini disebut elemen hingga. Dinamakan elemen hingga karena ukuran elemen kecil ini berhingga. Pendekatan dengan elemen hingga merupakan suatu analisis pendekatan yang berdasarkan asumsi peralihan atau asumsi tegangan, bahkan dapat juga berdasarkan kombinasi dari kedua asumsi tadi dalam setiap elemennya. Karena pendekatan berdasarkan fungsi peralihan merupakan teknik yang sering sekali dipakai, maka langkah-langkah berikut ini dapat digunakan sebagai pedoman bila menggunakan pendekatan berdasarkan asumsi tersebut, antara lain:
a. Bagilah kontinum menjadi sejumlah elemen (subregion) yang berhingga dengan bentuk geometri yang sederhana (segitiga, segiempat, dan sebagainya);
b. Pilihlah titik-titik pada elemen yang diperlakukan sebagai titik nodal di mana syarat keseimbangan dan kompabilitas harus dipenuhi;
c. Asumsikan fungsi peralihan pada setiap elemen sedemikian rupa sehingga peralihan pada setiap titik sembarang dipengaruhi oleh nilai titik nodalnya; d. Pada setiap elemen khusus yang dipilih tadi, harus dipenuhi persyaratan
hubungan regangan-tegangannya dan hubungan tegangan regangannya; e. Tentukan kekakuan dan beban titik modal ekuivalen untuk setiap elemen
dengan menggunakan prinsip usaha atau prinsip energy;
f. Turunkan persamaan keseimbangan untuk setiap titik nodal dari diskretisasi kontinum ini sesuai dengan kontribusi elemennya;
g. Selesaikan persamaan keseimbangan ini untuk mencari peralihan titik nodal; h. Hitunglah tegangan pada titik-titik tertentu dalam elemen tadi;
i. Tentukan reaksi perletakan pada titik nodal yang tertahan bila diperlukan. 2.2 Analisa Dinamis pada Struktur
2.2.1 Pengertian Dinamika Struktur
Dinamik merupakan suatu keadaan dimana perubahan pada sebuah elemen terjadi terhadap waktu dalam konteks gaya yang bekerja pada struktur tersebut. Beban dinamis dapat berupa variasi besarnya (magnitude), arahnya (direction) atau
posisinya (point of application) berubah terhadap waktu. Sehingga respon struktur terhadap beban dinamik berupa lendutan dan tegangan yang bersifat dinamik menurut beban yang dialaminya [Budio, S. P., 1990].
Adapun perbedaan beban statis dan dinamis terletak pada sumber bebannya dimana lendutan dan tegangan internal dalam kasus beban statis ditimbulkan langsung oleh beban P, sedangkan untuk kasus beban dinamis, percepatan yang dialami oleh sebuah elemen akibat P(t) menimbulkan gaya inersia yang terdistribusi pada seluruh elemen. Apabila pengaruh gaya inersia pada elemen terjadi sangat signifikan maka perlu dilakukan analisa dinamis. Adapun perbedaan perlakuan beban statis dan beban dinamis pada sebuah elemen balok dapat dilihat pada gambar di bawah ini.
2.2.2 Analisa Dinamis pada Struktur
Menurut Budio, S. P. (1990) dalam buku “Dinamika” menjelaskan bahwa langkah-langkah dalam analisa dinamis adalah sebagai berikut:
Gambar 2.1 Langkah-langkah dalam Analisa Struktur (Sumber: Dinamika, Budio, S.P., 1990)
Dari bagan alir di atas, dapat dilihat bahwa model analitis terdiri dari: a. Asumsi-asumsi yang dibuat untuk menyederhanakan sebuah sistem; b. Gambar dari model analitis tersebut;
Untuk model analitis dapat dibagi menjadi dua bagian, yaitu: a. Model berkesinambungan (Continues Model);
b. Model diskrit (Discrete-ParameterModel).
Pada dasarnya, model berkesinambungan (continues model) memiliki jumlah derajat kebebasan [numberof Degree of Freedom (DOF)] yang tak terhingga. Namun pada kenyataanya, untuk mempermudah analisa, sebuah model matematis dapat mereduksi jumlah yang tak terthingga tersebut menjadi jumlah yang diskrit.
Gambar 2.2 Model Analitis Berkesinambungan (Continue) dan Diskrit (Discrete-Parameter) pada Sebuah Balok Kantilever
(Sumber: Dinamika, Budio, S.P., 1990)
2.2.3 Getaran Bebas Sistem Single Degree of Freedom (SDOF)
Menurut Budio, S.P. (1990), pada umumnya, sistem dalam keadaan berderajat kebebasan satu (Single Degree of Freedom) yang dipengaruhi oleh sebuah beban harmonis dan memiliki redaman, dinyatakan dalam persamaan berikut:
(2.1) Dimana m = massa (ton) c = redaman (kN s/m) k = kekakuan (kN/m) = percepatan (m/s2) = kecepatan (m/s) = perpindahan (m)
8
(2.2) Dimana
= frekuensi sudut dari beban (rad/s) t = waktu (s)
P0 = amplitudo dari beban (ton)
Anil K.Chopra dalam buku Dynamics of Structures menjelaskan waktu yang diperlukan untuk sebuah sistem tak teredam untuk menyelesaikan satu putaran dalam getaran bebas disebut periode alamiah getaran dari sistem, dimana dinyatakan dalam notasi Tn, dalam satuan detik. Ini berhubungan dengan frekuensi alamiah getaran,
n,dalam satuan radian per detik:
(2.3) Sebuah sistem menjalankan 1/Tn putaran dalam 1 detik. Frekuensi alamiah
dinyatakan sebagai:
(2.4) Satuan dari fn adalah hertz (Hz) [putaran per detik (cps)]; fn berhubungan dengan n
melalui
(2.5) Dimana
= periode alamiah getaran (s) = frekuensi alamiah getaran (Hz) = frekuensi alamiah getaran (rad/s)
Istilah frekuensi alamiah getaran berlaku untuk kedua n dan fn.
Properti getaran alamiah n , Tn and fn hanya tergantung pada massa dan
kekakuan dari struktur. Semakin kaku dua sistem SDF (Single Degree of Freedom) yang memiliki massa yang sama akan memiliki frekuensi alamiah yang tinggi dan periode natural yang lebih pendek. Sama halnya ketika semakin berat dua struktur yang memiliki kekakuan yang sama akan memiliki frekuensi alamiah yang lebih kecil dan periode alamiah yang lebih panjang.
2.2.4 Respon Getaran Genetor
Sumber getaran sebuah mesin pada umumnya berasal dari rotor dalam mesin tersebut yang bergerak dengan kecepatan rotasi tertentu. Dalam buku Dynamics of Structures, Anil K. Chopra menjelaskan mengenai respon getaran dari generator yang berputar. Adapun penjelasannya adalah sebagai berikut:
Generator getaran (atau mesin gemetar) dikembangkan untuk menyediakan sumber harmonik eksitasi yang tepat untuk menguji struktur dalam skala penuh. Gambar 2.3 menunjukkan generator getaran yang berbentuk dua keranjang datar berputar berlawanan arah pada sumbu vertikal.
Gambar 2.3 Counterrotating Eccentric Weight Vibration Generator (Sumber: Dynamics of Structures, Anil K. Chopra)
Dengan menempatkan berbagai jumlah berat dalam keranjang, besaran bobot berputar dapat diubah. Kedua massa kontra berputar, , /2, ditunjukkan secara skematis pada Gambar. 2.4 sebagai massa disamakan dengan eksentrisitas = e; lokasi mereka di t = 0 ditunjukkan pada (a) dan pada beberapa waktu t dalam (b). Gaya inersia massa yang berputar dalam komponen x ditiadakan, dan komponen y bergabung untuk menghasilkan kekuatan.
(2.6) Dimana:
P(t) = Gaya Harmonik (ton) = Massa Rotor (ton)
e = nilai eksentrisitas rotor
= frekuensi sudut dari beban (rad/s) t = waktu pembebanan (s)
Dengan meletakkan generator getaran pada struktur yang akan dianalisa, gaya ini dapat disalurkan ke struktur, amplitudo gaya harmonik ini sebanding dengan kuadrat dari ω frekuensi eksitasi. Oleh karena itu, sulit untuk menghasilkan kekuatan pada frekuensi rendah dan tidak praktis untuk mendapatkan respon statis struktur.
Dengan asumsi bahwa massa eksentrik kecil dibandingkan dengan m massa struktur, persamaan yang mengatur gerak sistem SDF yang timbul oleh generator getaran adalah
(2.7)
Gambar 2.4 Rotor Genetar Bergetar: (a) Posisi Awal; (b) Posisi dan Gaya pada waktu t
(Sumber: Dynamics of Strutures, Anil K. Chopra)
2.2.5 Transmibilitas Gaya (TR)
Oleh karena adanya gaya dinamik yang ditimbulkan oleh mesin bergetar, upaya pengurangan getaran pada mesin tersebut sangatlah penting. Upaya pengurangan getaran pada mesin (Po) biasanya dilakukan dengan memasang spring
peredam pada mesin sehingga amplitudo yang tersalurkan kepada struktur (fto) dapat
terminimalisir. Adapun persamaan transmibilitas gaya dijelaskan oleh Anil K. Chopra sebagai berikut:
(2.8) Dimana:
TR = nilai transmibilitas
= Gaya yang tersalurkan ke dalam struktur (ton)
= Gaya getaran dari mesin (ton)
= rasio redaman mesin
= frekuensi getaran mesin (rad/s)
= frekuensi alamiah redaman (rad/s)
11
Sudah ada beberapa metode numerik yang telah digunakan untuk menyelesaikan persamaan getaran bebas pada sebuah sistem seperti Time-Stepping Methods, Methods Based on Interpolation of Excitation, Central Difference Method dan Newmark’s Method. Dalam penelitian ini, penyelesaian persamaan getaran bebas menggunakan ketiga metode numerik tersebut sebagai angka pembanding. Adapun Methods Based on Interpolation of Excitation ini dijelaskan oleh Anil K. Chopra dalam buku Dynamics of Structures sebagai berikut:
Sebuah prosedur numerik yang sangat efisien dapat dikembangkan untuk sistem linear dengan interpolasi eksitasi dalam setiap interval waktu dan mengembangkan solusi yang tepat. Jika interval waktu yang singkat, interpolasi linear dapat memuaskan. Gambar di bawah ini menunjukkan bahwa dari waktu ke waktu interval ti ≤ t ≤ ti+1, fungsi eksitasi diberikan oleh
(a) dimana
(b) dan waktu variabel τ bervariasi dari 0 sampai ∆ti. Untuk kesederhanaan aljabar,
pertama mempertimbangkan sistem tanpa redaman; kemudian, prosedur akan diperluas untuk mencakup redaman. Persamaan yang harus dipecahkan adalah
(c)
Gambar 2.5 Notasi untuk Linear Interpolasi Eksitasi (Sumber: Dynamics of Strutures, Anil K. Chopra)
Tanggapan u (τ) selama interval waktu 0 ≤ τ ≤ ∆ti adalah jumlah dari tiga
bagian: (1) getaran bebas karena ui awal perpindahan dan kecepatan di τ = 0, (2)
respon terhadap langkah kekuatan pi dengan kondisi awal nol, dan (3) respon untuk
meningkatkan kekuatan (∆pi / ∆ti) τ dengan kondisi awal nol. Mengadaptasi solusi
yang tersedia untuk tiga kasus, memberikan
(2.9) dan
(2.10) Menganalisa persamaan ini pada = ∆ti memberikan perpindahan ui+1 dan
kecepatan pada waktu i+1:
(2.11)
(2.12) Persamaan ini dapat ditulis sebagai persamaan pengulangan:
(2.13) (2.14) dimana
Dengan:
= kecepatan (m/s) = perpindahan (m) = beban harmonik (ton) = rasio redaman struktur = selisih waktu (s)
= kekakuan struktur (kN/m) = frekuensi alamiah struktur (rad/s)
=
Mengulangi derivasi di atas untuk sistem teredam di bawah-kritis (yaitu, ζ <1) menunjukkan bahwa persamaan 2.7 and 2.8 juga berlaku untuk teredam sistem dengan ekspresi untuk koefisien A, B, ..., D' yang diberikan di atas. Mereka bergantung pada parameter sistem ωn, k, Dan ζ, dan pada interval waktu ∆t ≡ ∆ti.
Karena persamaan pengulangan berasal dari solusi eksak dari persamaan gerak, satu-satunya pembatasan ukuran langkah waktu ∆t adalah bahwa hal itu memungkinkan pendekatan yang dekat dengan fungsi eksitasi dan itu memberikan hasil respon pada interval waktu yang berdekatan sehingga puncak respon dapat terjawab. Prosedur numerik ini sangat berguna ketika eksitasi didefinisikan pada interval waktu yang berdekatan - seperti untuk percepatan tanah gempa - sehingga interpolasi linear pada dasarnya sempurna. Jika langkah waktu ∆t konstan, koefisien A, B, ..., D' perlu dihitung hanya sekali.
Solusi eksak dari persamaan gerak yang diperlukan dalam prosedur numerik ini layak hanya untuk sistem linear. Tentu mudah dikembangkan untuk sistem SDF,
seperti yang ditunjukkan di atas, tetapi akan tidak praktis untuk sistem MDF kecuali respon mereka diperoleh sebagai superposisi dari respons modal.
2.2.7 Respon Beban Dinamik dengan Central Difference Method
Urutan penyelesaian respon dinamik dengan Central Difference Method terdapat dalam buku Dynamics of Structures yang dijelaskan dalam tabel berikut. Tabel 2.1 Central Difference Method
1. Perhitunga Awal 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5
2. Perhitungan untuk setiap langkah waktu, i 2.1
2.2
2.3 Jika diperlukan: ;
3. Pengulangan untuk waktu berikutnya.
Ganti i dengan i+1 dan ulangi langkah 2.1, 2.2 dan 2.3 untuk waktu berikutnya. Dimana:
= massa struktur (ton) = beban harmonik (ton) = redaman (kN.s/m) = kekakuan struktur (kN/m) = percepatan awal (m/s2) = kecepatan awal (m/s) = posisi awal (m) = selisih waktu (s)
2.2.8 Respon Beban Dinamik dengan Newmark’s Method
Penyelesaian dengan metode Newmark terbagi menjadi dua, yakni average acceleration dan linear acceleration. Dan untuk urutan penyelesaian respon dinamik dengan kedua metode tersebut terdapat dalam buku Dynamics of Structures yang dijelaskan dalam tabel berikut.
Tabel 2.2 Newmark’s Method Kasus Khusus
(1) Average acceleration method ( )
(2) Linear acceleration method ( ) 1. Perhitungan Awal
1.1 1.2 Pilih 1.3
1.4 ; dan
2. Perhitungan untuk setiap langkah waktu, i 2.1
2.2
2.3
2.4
2.5 ; ;
3. Pengulangan untuk langkah waktu berikutnya. Ganti i dengan i+1 dan ulangi langkah 2.1, 2.2 dan 2.3 untuk waktu berikutnya.
Dimana:
= massa struktur (ton) = beban harmonik (ton) = redaman (kN.s/m) = kekakuan struktur (kN/m) = percepatan awal (m/s2) = kecepatan awal (m/s) = posisi awal (m) = selisih waktu (s)
2.2.9 Frekuensi dan Pola Getaran Alamiah
Setiap elemen struktur dalam sebuah sistem memiliki frekuensi sendiri yang dikenal frekuensi alamiah, dimana frekuensi ini dipengaruhi oleh kekakuan dan massa dari elemen tersebut. Penjelasan mengenai frekuensi dan model getaran alamiah terdapat dalam Dynamics of Structures oleh Anil K. Chopra sebagai berikut:
Frekuensi alamiah ωn dan modal harus memenuhi persamaan aljabar:
(2.15) Dimana:
= massa struktur (ton) = kekakuan struktur (kN/m) = frekuensi alamiah struktur (rad/s) = pola getar alamiah
Persamaan aljabar ini disebut masalah matriks eigen. Kekakuan dan massa matriks diketahui; masalahnya adalah untuk menentukan skalar dan vektor ߶݊. Persamaan 2.15 dapat diartikan sebagai seperangkat persamaan aljabar homogen N untuk unsur N . Set ini selalu memiliki solusi , yang tidak berguna karena berarti tidak ada gerakan. Ini memiliki solusi yang berarti jika
(2.16) N akar, menentukan N frekuensi alami dari getaran. Akar-akar persamaan karakteristik juga dikenal sebagai eigenvalues, nilai-nilai karakteristik, atau nilai-nilai normal. Ketika frequency alami diperoleh, persamaan 2.15 dapat diselesaikan untuk sesuai vektor ke dalam sebuah konstanta perkalian. Sesuai dengan N getaran alami frekuensi dari sistem N-DOF, ada vektor N independen yang dikenal sebagai mode alami getaran, atau bentuk modus alami getaran. Vektor ini juga dikenal sebagai vektor eigen, vektor karakteristik atau mode normal.
2.2.10 Matriks Modal
Penjelasan mengenai matriks modal menurut Anil K. Chopra adalah sebagai berikut: N eigenvalue dan N mode alami dapat disusun dalam matriks. Biarkan mode alami sesuai dengan frekuensi alami memiliki elemen , dimana j menunjukkan DOFs. N vektor eigen kemudian dapat ditampilkan dalam matriks persegi tunggal, masing-masing kolom yang merupakan modus alami:
(2.17)
Dimana
2.2.11 Displacement Response
Dalam buku Dynamics of Structures, Anil K. Chopra juga menjelaskan mengenai perhitungan lendutan untuk Sistem Multi Degree of Freedom melalui sistem modal. Adapun penjelasannya adalah sebagai berikut:
Untuk kekuatan dinamis yang berasal dari eksternal didefinisikan oleh p(t), respon dinamik dari sistem MDF dapat ditentukan untuk modal koordinat qn(t).
Setiap persamaan modal adalah bentuk yang sama dengan persamaan gerak untuk sistem SDF. Dengan demikian, metode solusi dan hasil yang tersedia untuk sistem SDF dapat disesuaikan untuk mendapatkan solusi qn(t) untuk persamaan modal.
Setelah modal koordinat qn (t) telah ditentukan, kontribusi model ke-n untuk
perpindahan nodal u (t) adalah
(2.18) Dimana:
u (t) = perpindahan nodal (m) = pola getar alamiah
qn(t) = perpindahan nodal pada koordinat (m)
Dan dengan menggabungkan kontribusi modal diperoleh total perpindahan sebagai berikut:
(2.19) Prosedur ini dikenal sebagai analisis modal klasik atau metode modus superposisi klasik karena individu (uncoupled) persamaan modal diselesaikan untuk menentukan modal koordinat qn(t) dan tanggapan modal un(t), dan yang terakhir
digabungkan untuk mendapatkan total tanggapan u(t). Lebih tepatnya, metode ini disebut metode superposisi modus perpindahan klasik karena perpindahan modal yang disuperposisikan. Metode analisis ini dibatasi untuk sistem linear dengan redaman klasik.
2.2.12 Persamaan Modal untuk Sistem Teredam
Penyelesaian dinamika struktur untuk MDOF menggunakan metode modal, dijelaskan oleh Anil K. Chopra sebagai berikut: sistem ortogonalitas pada model alamiah menunjukkan bahwa persamaan berikut adalah matriks persegi yang diagonal:
Dimana:
K = Matriks kekakuan struktur untuk persamaan modal (kN/m) M = Matriks massa struktur untuk persamaan modal (ton) k = Kekakuan struktur (kN/m)
m = Massa struktur (ton)
= Matriks modal untuk masalah nilai eigen.
Ketika redaman diikutkan, persamaan gerak pada sebuah sistem MDOF adalah (2.21) Menggunakan transformasi persamaan. 2.14, di mana adalah mode alami sistem tanpa redaman, persamaan ini dapat ditulis dalam bentuk koordinat modal. Namun, untuk beberapa bentuk redaman yang idealisasi wajar untuk banyak struktur, persamaan menjadi uncoupled, seperti untuk sistem undamped sebagai berikut:
(2.22) dimana
(2.23) = Matriks redaman untuk persamaan modal (kN.s/m)
c = redaman struktur (kN.s/m)
Persamaan 2.23 digunakan untuk setiap n = 1 hingga N dan set persamaan N dapat disusun dalam bentuk matriks:
(2.24)
2.2.13 Matriks Redaman untuk Modal Superposisi
Dalam kasus sistem teredam, perlu adanya perhitungan matriks redaman pada sistem sebagai mana penurunan rumus dan penjelasannya telah dijelaskan oleh Anil K. Chopra sebagai berikut:
Sebuah prosedur alternatif untuk menentukan matriks sebuah redaman klasik dari rasio redaman modal adalah
(2.25) Dimana C adalah matriks diagonal dengan elemen diagonal n yang setara dengan redaman modal generalisasi:
Dimana:
C = Matriks diagonal redaman (kN.m/s)
ζ = rasio redaman
M = Matriks massa untuk persamaan modal (ton) = frekuensi alamiah struktur (rad/s)
Dengan ζn diperkirakan seperti dijelaskan. Sehingga c dapat ditulis sebagai berikut (2.27) Dimana
c = Matriks redaman struktur untuk persamaan modal (kN s2/m)
Menggunakan persamaan ini untuk menghitung c mu ngkin tampak prosedur tidak efisien karena memerlukan inversi dua matriks ordo N, sejumlah DOFs. Namun, inverse dari modal matriks Φ dan dari ΦT dapat ditentukan dengan sedikit perhitungan karena properti orthogonality mode.
Dimulai dengan hubungan ortogonal
(2.28) Dapat ditunjukkan sebagai
(2.29) Karena M adalah matriks diagonal dari massa modal generaliasi Mn, M-1 segera dikenal sebagai matriks diagonal dengan elemen = 1 / Mn. Jadi Φ-1 dan (ΦT)-1 dapat dihitung secara efisien dari persamaan di atas. Sehinga
(2.30) Karena M dan C adalah matriks diagonal, c dapat ditulis sebagai berikut:
(2.31)
2.3 Pelat Lantai
2.3.1 Mengenal Tentang Pelat Lantai
Secara struktural, pelat lantai merupakan elemen gedung yang sisi-sisinya bertumpu pada balok ataupun kolom dan merupakan salah satu elemen gedung yang berfungsi sebagai tempat beraktivitas. Dengan kata lain, pelat lantai merupakan elemen yang pertama menerima beban langsung dari sumbernya. Pelat lantai juga merupakan pembatas antar tingkat yang satu dengan tingkat yang berikutnya. Berikut ini adalah fungsi dari pelat lantai antara lain:
a. Sebagai pemisah antar ruang bawah dan ruang atas; b. Sebagai tempat beraktivitas bangunan;
c. Menambah kekakuan bangunan dalam arah horizontal;
d. Sebagai tempat menempelnya kabel listrik, lampu, dan pipa air dari ruang bawah;
Mengingat fungsinya yang penting, maka perencanaan pelat lantai harus dilakukan secara teliti. Adapun hal-hal yang harus dipertimbangkan ketika merencanakan tebal dan perkuatan dalam pelat lantai adalah:
a. Besarnya beban yang bekerja di atas pelat tersebut; b. Jarak antar balok atau kolom yang menjadi tumpuan pelat; c. Bahan material yang digunakan untuk membangun pelat lantai.
Pelat merupakan struktur bidang (permukaan) yang lurus (datar atau tidak melengkung) yang tebalnya jauh lebih kecil dibandingkan dengan dimensinya yang lain. Geometri suatu pelat biasanya dibatasi oleh garis lurus atau garis lengkung. Ditinjau dari statika, kondisi tepi (boundary condition) pelat bias bebas (free), bertumpuan sederhana (simply supported), jepit dan tumpuan titik atau terpusat. [Arief, S., dkk. (2012)]
Menurut Katili (2000) dalam bukunya “Aplikasi Metode Elemen Hingga pada Pelat Lentur” menjelaskan bahwa pelat adalah suatu struktur solid 3 dimensi yang mempunyai tebal h (arah z) lebih kecil dibandingkan dengan dimensi lainnya yaitu penampang Lx (dalam arah x dan lebar Ly (dalam arah y). Dalam model teori yang telah dikembangkan, analisa dan modelisasi struktur pelat dapat disederhanakan menjadi sebuah bidang datar yang disebut permukaan referensi, yaitu bidang tengah pelat atau bidang xy (z = 0). Deskripsi ini dapat dilihat pada gambar di bawah ini. Dengan permodelan in semua relasi (persamaan keseimbangan, tegangan, deformasi, hukum Hooke dan ekspresi energi) struktur solid 3D akan digeneralisasikan menjadi model solid 2D dengan mengikuti hipotesa-hipotesa yang diambil sesuai dengan model teori yang dipergunakan.
Gambar 2.6 Deskripsi Geometri Pelat
(Sumber: Aplikasi Metode Elemen Hingga pada Pelat Lentur, Katili, 2000)
2.3.2 Kekakuan pada Pelat Lantai
2.3.2.1Hubungan Tegangan dan Regangan Lentur pada Pelat Lantai
Menurut Weaver, W. Jr., dkk (1993), apabila suatu pelat tipis diberi beban dalam arah normal terhadap permukaannya, pelat tersebut akan melendut, dan mengalami lenturan (state of flexture). Tegangan dan regangan pada pelat lebih rumit karena mencakup dua dimensi.
Pada gambar di bawah ini dapat dilihat sebuah elemen pelat lentur yang kecil dengan bidang x-y sebagai bidang netralnya dengan tebal elemen sesuai dengan tebal pelat t, serta panjang dan lebarnya dinyatakan dalam dx dan dy.
Gambar 2.7 Lenturan dalam Pelat
Apabila ditinjau sebuah bagian pada elemen yang terletak sejauh z dari bidang normal, dapat dilihat jenis-jenis tegangan dan regangan yang mempengaruhi deformasi dalam pelat yang melendut. Regangan yang bekerja pada bidang ini dapat ditulis sebagai berikut:
(2.32) Anggapan dasar dalam teori pelat tipis adalah bidang normal sumbu netral akan tetap lurus selama deformasi. Oleh karena itu, peralihan u dan v dalam w dapat dinyatakan sebagai berikut:
(2.33) Dengan mensubstitusikan persamaan (2.33) dan (2.34) maka dapat menunjukkan hubungan regangan peralihan dalam pelat yang melentur.
(2.34)
dimana
ε = regangan normal
γ = regangan geser
Hubungan ini hanya melibatkan satu macam translasi (w) dan tiga macam regangan (εx, εy dan γxy). Kedua translasi u dan v merupakan variasi linear terhadap bidang netral seperti yang ditunjukkan pada persamaan (2.34). Disamping itu, regangan normal εz dan regangan geser γxz dan γyz dalam analisis pelat tipis biasanya diabaikan.
Dalam gambar 2.7 dilukiskan tegangan yang terjadi pada keping kecil, yaitu
σx, σx, dan σxy, beserta regangannya, εx, εy, dan γxy. Hubungan tegangan regangan pelat dapat dianggap sama dengan pada keadaan tegangan bidang. Hal ini dimungkinkan karena pelat tersebut cukup tipis dan tidak ditahan dalam arah z (kecuali pada perletekannya). Jadi, untuk material isotropik akan diperoleh:
(2.35) dimana
E = Matriks tegangan regangan
Bila materialnya ortotropik dengan x dan y sebagai sumu material, matriks tegangan-regangan E akan menjadi:
(2.37)
dengan elemen-elemen matriks yang sama dengan persamaan:
(2.38)
2.3.2.2 Elemen Segiempat
Dalam buku Elemen Hingga untuk Analisis Struktur, Weaver, W., dkk (1993) membahas tentang elemen pelenturan pelat yang dikenal dengan segiempat MZC karena ditemukan oleh Melosh, Zienkiemicz, dan Cheung.
Gambar 2.8 Segiempat MZC (Sumber: Data Pribadi, 2014)
(2.39) Dimana:
E = Matriks hubungan tegangan regangan t = tebal pelat lantai (m)
= poisson ratio
a = setengah lebar pelat arah x (m) b = setengah lebar pelat arah y (m)
6 0 0 -6a 0 8a2 -6 0 6a 6 Sym. 0 0 0 0 0 -6a 0 4a2 6a 0 8a2 -3 0 3a 3 0 3a 6 0 0 0 0 0 0 0 0 -3a 0 2a2 3a 0 4a2 6a 0 8a2
3 0 -3a -3 0 -3a -6 0 -6a 6
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -3a 0 4a2 3a 0 2a2 6a 0 4a2 -6a 0 8a2 6 6b 8b2 0 0 0 Sym. 3 3b 0 6 3b 4b2 0 6b 8b2 0 0 0 0 0 0 -3 -3b 0 -6 6b 0 6 3b 2b2 0 6b 4b2 0 -6b 8b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -6 -6b 0 -3 -3b 0 3 -3b 0 6 6b 4b2 0 3b 2b2 0 -3b 4b2 0 -6b 8b2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
1 b 0 -a -2ab 0 -1 -b 0 1 Sym. -b 0 0 b 0 0 0 0 a 2ab 0 1 0 0 -1 0 -a 1 0 0 0 0 0 0 -b 0 0 0 0 -a 0 0 a -2ab 0 -1 0 a 1 0 0 -1 b 0 1 0 0 0 0 0 0 b 0 0 -b 0 a 0 0 0 0 0 0 0 0 -a 2ab 0 21 3b 8b2 -3a 0 8a2 -21 -3b 3a 21 Sym. -3b -8b2 0 3b 8b2 -3a 0 -2a2 3a 0 8a2 21 3b -3a -21 -3b -2a 21 -3b 2b2 0 3b -2b2 0 -3b 8b2 3a 0 2a2 -3a 0 -8a2 3a 0 8a2 -21 -3b 3a 21 3b 3a -21 3b -3a 21 3b -2b2 0 -3b 2b2 0 3b -8b2 0 -3b 8b2
26
Adapun matriks massa konsisten untuk segiempat MZC yang dijelaskan William Weaver Jr adalah sebagai berikut:
(2.40)
2
2.4 Balok / Grid
2.4.1 Kekakuan pada Balok/Grid
2.4.1.1Matriks Kekakuan Elemen Balok/Grid Lentur (Flexural Element)
Gambar 2.9 Kekakuan dalam Balok/Grid (Sumber: Data Pribadi, 2014)
Kekakuan elemen grid yang mengalami lentur (flexural element) dijelaskan oleh Paul R. Johnston (1993) dalam buku Elemen Hingga untuk Analisis Struktur sebagai berikut.
Gambar di atas melukiskan elemen lentur lurus yang melendut pada bidang x-y. Dalam gambar ditentukan adanya sebuah peralihan umum v, yaitu translasi dalam arah y. Jadi:
(a) Gaya tubuh yang ditinjau merupakan komponen tunggal by (gaya per satuan
panjang) yang bekerja dalam arah y. Maka:
(b) Pada titik nodal 1 kedua peralihan titik nodal yang diberi notasi q1 dan q2
adalah translasi dalam arah y dan rotasi kecil dalam arah z. Translasi dalam arah y dan rotasi kecil dalam arah z. Translasi digambarkan dengan mata panah tunggal, sedangkan rotasi dilukiskan dengan mata panah ganda. Hal yang sama juga berlaku untuk titik nodal 2 peralihan diberi nomor 3 dan 4 berturut-turut merupakan translasi dan rotasi kecil. Maka, vektor peralihan titik nodal akan menjadi:
(c) x y z Mxx Mxx Mzz Myy Mzz Myy Pz Px Py Pz Px Py
Dimana
(d) Turunan ini (atau putaran sudut) dapat dianggap sebagai suatu rotasi kecil walaupun sebenarnya juga mempengaruhi perubahan translasi pada titik nodal tersebut. Aksi titik nodal yang terjadi pada titik nodal 1 dan 2 adalah:
(e)
Gambar 2.10 Elemen Lentur
(Sumber : Elemen Hingga untuk Analisis Struktur, Weaver, W. Jr., dkk, 1991) Py1 dan Py2 menunjukkan gaya dalam arah y pada titik nodal 1 dan 2,
sedangkan noatasi Mz1 dan Mz2 mewakili momen dalam arah z pada kedua titik nodal
tersebut.
Karena ada 4 peralihan titik nodal, fungsi peralihan lengkap untuk elemen lentur ini dapat diasumsikan sebagai berikut:
Kemudian matriks geometri g menjadi:
(g) Dalam hal ini peralihan kedua (rotasi) pada setiap titik nodal memiliki hubungan diferensial dengan peralihan yang pertama (translasi). Jadi, kita juga perlu menurunkan g terhadap x.
(h) Kini matriks h dapat dibentuk untuk kedua titik nodal tadi:
(i)
Invers dari matriks h adalah:
(j)
Dari mengalikan kembali h-1 dengan g akan diperoleh matriks fungsi bentuk peralihan dalam matriks f sebagai berikut:
(k)
Keempat fungsi bentuk ini dilukiskan dalam gambar 2.10. Di sana digambarkan perubahan v sepanjang elemen akibat dari satu satuan peralihan titik nodal dari keempat arah peralihan, q1 hingga q4.
Hubungan regangan-peralihan dapat diturunkan untuk elemen lentur dengan mengasumsikan bahwa penampang yang rata akan tetap rata selama deformasi seperti yang ditunjukkan dalam gambar 2.10. Translasi u dalam arah x pada setiap titik dalam penampang adalah:
(l) Dengan menggunakan hubungan ini, kita dapat memperoleh persamaan regangan lentur:
(m) Dengan adalah kelengkungan.
Dari persamaan di atas dapat dilihat bahwa operator differensial linier d yang menghubungkan dengan v adalah:
(o) Sehingga diperoleh matriks regangan-peralihan B seperti di bawah ini:
(p) Hubungan antara tegangan lentur σx dan regangan lentur dinyatakan dengan:
(q) Maka:
dan (r)
Kekakuan elemen adalah sebagai berikut:
(s)
(t)
Melalui perkalian dan integrasi (dengan EI konstan) akan dihasilkan:
(2.41)
Dimana
I = Momen inersia penampang terhadap garis normal (m4) E = Modulus elastisitas (kN/m2)
L = Panjang balok (m)
2.4.1.2Matriks Kekakuan Elemen Balok/Grid Torsi
Kekakuan elemen yang mengalami torsi diterangkan oleh Weaver dalam buku Elemen Hingga untuk Analisis Struktur sebagai sebuah elemen torsi yang dapat berupa tongkat pada mesin atau batang pada struktur grid. Elemen ini juga memiliki peralihan umum tunggal , yaitu rotasi kecil dalam arah x. Jadi,
(a) Akibat adanya peralihan elastis ini (rotasi kecil tadi) akan dihasilkan gaya tubuh:
Berupa momen (persatuan panjang) yang bekerja dalam arah sumbu x positif.
Peralihan titik nodal terdiri dari rotasi aksial yang kecil pada titik nodal 1 dan 2. Maka:
(c) Gaya titik nodal yang dihasilkan pada titik 1 dan 2 adalah:
(d) Berupa momen (atau torsi) dalam arah x.
Gambar 2.11 Elemen Torsi
(Sumber : Elemen Hingga untuk Analisis Struktur, Weaver, W. Jr., dkk, 1991)
Karena hanya ada dua peralihan titik nodal pada elemen torsi ini , maka dapat digunakan fungsi peralihan yang linier, yaitu:
(e) Serperti halnya pada elemen aksial, fungsi bentuk peralihan pada elemen torsi ini akan menjadi:
Gambar 2.12 Deformasi Torsi
(Sumber : Elemen Hingga untuk Analisis Struktur, Weaver, W. Jr., dkk, 1991)
Penurunan hubungan regangan-peralihan untuk elemen torsi dengan penampang lingkaran seperti yang terlihat dalam gambar 2.12. Asumsikan bahwa jari-jari penampang tetap lurus selama terjadi deformasi torsi. Di sini dapat disimpulkan bahwa regangan geser γ akan bervariasi linier terhadap panjang jari-jari r seperti berikut:
(g) Dimana adalah putaran (twist), yaitu besarnya terhadap perubahan dari putaran sudut. Jadi:
(h) Dari persamaan di atas, dapat dibuktikan bahwa nilai maksimum regangan geser terjadi pada permukaan. Jadi:
(j) Dimana R adalah jari-jari penampang. Operator diferensial linier d yang menghubungkan γ dengan adalah
(k) Maka, matriks regangan-peralihan B akan menjadi:
Yang mirip dengan matriks B pada elemen aksial, kecuali muncul nilai r.
Pada elemen torsi, hubungan antara regangan geser τ dengan regangan gesernya γ dinyatakan dengan:
(m) Dimana G adalah modulus geser matrial. Jadi:
(n) Kekauan torsi diperoleh dengan menurunkan persamaan sebagai berikut:
(2.42)
Dimana
J = Momen inersia polar (m2)
G = hubungan tegangan regangan (kN/m2) L = Panjang balok (m)
2.4.1.3Transformasi Vektor Linier
Dalam buku Analisa Struktur dengan Metode Matrix (1981), Ir. F.X. Supartono dan Ir. Teddy Boen menjelaskan bahwa suatu konstruksi adalah terdiri dari banyak elemen yang dihubungkan satu sama lain, menjadi satu kesatuan struktur. Elemen tersebut tentu tidak semuanya mendatar, ada yang tegak, ada pula yang miring, sehingga dengan demikian matrix kekakuan perlu ditransformasikan secara linier (diputar) agar supaya sesuai dengan posisi elemen yang bersangkutan.
Gambar 2.13 Dua Sistem Sumbu Cartesius, Xyz Dan Vwz, Dimana Sumbu Z Tegak Lurus Bidang Gambar
Tinjau rotasi sumbu xy ke vw diaman sumbu z sebagai sumbu dimana sumbu z sebagai sumbu putar, dengan sudut rotasi sebesar α. Sehingga hubungannya dapat ditulis sebagai berikut:
Dimana
Dengan demikian
Melihat gambar di atas, akan didapat hubungan:
Sehingga akan diperoleh
(2.43)
Untuk suatu titik pertemuan dengan enam (6) derajat kebebasan, maka matrix transformasi yang sesuai dengan titik tersebut menjadi:
(2.44) Oleh sebab itu, untuk matrix kekakuan struktur grid dalam koordinat global adalah:
(2.45) Dimana
[K] = Matriks kekakuan (kN/m) [T] = Matriks transformasi
2.4.2 Massa pada Balok
Rumus umum untuk mencari massa konsisten menurut William Weaver Jr adalah:
Untuk elemen balok atau elemen lentur dimana penampang melintang untuk tipe elemen ini mengalami translasi dalam arah y dan juga berotasi terhadap sumbu netralnya. Dengan matriks geometri:
Kemudian hasil kali gTg menjadi:
Dan integral perkalian ini sepanjang elemen L adalah:
Dan
Maka diperoleh matriks massa konsisten inersia translasi sebagai berikut:
(2.46)
Dimana
ρ = Massa jenis (ton/m3) A = Luas penampang (m2) L = Panjang balok (m)
Sedangkan untuk elemen torsi dengan penampang yang terotasi dimana akibat pengaruh rotasi kecil x akan terjadi dua komponen translasi di sembarang titik pada penampang melintang, yaitu
Nilai x adalah:
Sehingga diperoleh matriks massa konsisten untuk elemen torsi adalah sebagai berikut:
(2.47) Dimana
J = Momen inersia polar (m2)
ρ = Massa jenis (ton/m3) L = Panjang balok (m)
2.4.3 Dimensi Balok menurut SNI Beton 03-2847-2002
Dalam SNI Beton telah ditentukan tinggi minimum (hmin) balok terhadap panjang bentang, yaitu sebagai berikut:
a. L/16 untuk balok sederhana (satu tumpuan); b. L/18,5 utnuk balok menerus bentang ujung; c. L/21 untuk balok menerus bentang tengah; d. L/8 untuk balok kantilever
Dimana
L = panjang bentang balok (m) 2.5 Deformasi dan Reaksi Perletakan
Menurut Ir. F. X. Supartono dalam Analisa Struktur Metode Matrix, untuk mempersingkat proses matrix, sering dilakukan pengelompokan dalam matrix-matrix yang bersangkutan. Hal ini disebabkan lendutan di perletakan pada umunya sama dengan nol. Oleh karenanya akan sangat menguntungkan bila vektor-vektor lendutan disusun kembali, sedemikian sehingga dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu vektor lendutan pada titik bebas (Df) dan vektor lendutan di perletakan yang harganya sama dengan nol (Db)
Matrix kekakuan dan matrix gaya disusun kembali dengan koresponding dengan Df dan Db, yaitu
(2.49)
Dan
(2.50)
Dengan demikian akan diperoleh persamaan sebagai berikut:
(2.51)
Persamaan di atas dapat diekspansi menjadi
(2.52) (2.53) Mengingat {Db} = {0} maka dapat disederhanakan menjadi:
(2.54) Atau
(2.55) Dimana
{Qf} = gaya-gaya luar yang bekerja pada titik bebas (kN) [Kff] = Matriks Kekakuan pada titik bebas (kN/m) {Df} = Lendutan pada titik bebas (m)
Sedangkan
(2.56) Dimana
{Qb} = gaya-gaya yang bekerja pada perletakan (kN)
[Kbf] = Matriks Kekakuan pada titik terkekang akibat gaya luar (kN/m) {Df} = Lendutan pada titik bebas (m)
Akan tetapi reaksi yang diperoleh belum merupakan reaksi sebenarnya sehingga masih harus dikurangi dengan gaya-gaya yang langsung diterima oleh perletakan sebagai gaya aksi, untuk mendapatkan reaksi yang sebenarnya.
2.6 Jenis-jenis Mesin Bergetar
Variasi kebutuhan dan keperluan pengguna suatu bangunan untuk menjalankan aktivitas dalam gedung tersebut mengharuskan adanya mesin penunjang kegiatan. Oleh karena itu, penggunaan mesin berskala besar sudah razim ditemukan di gedung bertingkat tinggi. Adanya mesin-mesin tersebut perlu diperhitungkan karena mesin tersebut tidak hanya memberikan beban statis pada struktur, namun juga beban dinamis. Beban dinamis dari mesin pada umumnya berasal dari rotor ataupun generator yang berputar sehingga menimbulkan getaran dalam frekuensi tertentu.
Adapun mesin-mesin bergetar yang pada umunya ditemukan di sebuah gedung tingkat tinggi adalah sebagai berikut:
a) Mesin Genset
Genset merupakan mesin yang mampu menghasilkan tenaga listrik melalui pembakaran bahan bakar minyak. Tenaga listrik yang dihasilkan kemudian akan disalurkan untuk kegunaan kegiatan dalam sebuah gedung. Untuk gedung perkantoran biasanya memiliki genset yang dapat digunakan suatu saat ketika listrik dari PLN tidak tersedia. Sebagai contoh genset pada gedung Bursa Efek Jakarta, genset tersebut menghasikan frekuensi getar sebesar 50 Hz.
Gambar 2.14 Genset di Gedung Bursa Efek Jakarta (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
Karena getaran yang dihasilkan dapat mengganggu aktivitas di sekitar dan memberikan getaran pada struktur bangunan, maka diperlukan sistem redaman yang berbentuk spring untuk mengurangi getaran yang keluar.
Gambar 2.15 Spring Peredam Getaran Mesin Genset (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
b) Mesin Chiller
Mesin Chiller merupakan mesin penyejuk ruangan yang berkapasitas rendah dibandingkan dengan water cooling system. Mesin ini berbentuk relatif lebih kecil dan menghasilkan getaran sebesar 10Hz. Pada gedung Capital Residence, mesin chiller memiliki berat sebesar 1,5 ton.
Gambar 2.16 Mesin Chiller (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
Gambar 2.17 Spring Peredam Getaran pada Mesin Chiller (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
c) Water Cooling System
Water cooling system memiliki fungsi yang sama dengan mesin chiller, namun water cooling system memiliki dimensi yang jauh lebih besar dibandingkan mesin chiller.
Gambar 2.18 Water Cooling System pada Gedung Bursa Efek Jakarta (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
d) Pompa Air
Pompa merupakan salah satu alat bergetar yang paling kecil yang diperhitungkan dalam desain sebuah gedung. Pada umumnya, pompa digunakan untuk memompa air dari lantai dasar ke lantai atas.
Gambar 2.19 Mesin Pompa Air pada Gedung Bursa Efek Jakarta (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
Gambar 2.20 Damper pada Dasar Mesin Pompa (Sumber: Dokumentasi Pribadi, 2015)
2.7 Perbandingan dengan Penelitian Sebelumnya
Ada beberapa jurnal telah dipelajari, dimana permasalahan yang dibahas dalam jurnal tersebut berkaitan dan mendukung penelitian ini. Berikut adalah perbandingan dengan penelitian yang telah dilakukan sebelumnya, antara lain: a. Marsiano, dkk (2009) telah melakukan penelitian dalam perhitungan lendutan
yang terjadi pada balok dengan metode pembebanan ASD dan LRFD;
b. Sulendra, I. K. (2011) meneliti sistem penulangan pada pelat lantai dan momen-momen yang timbul dalam pelat lantai tersebut;
c. Hamid, D. (2009) dalam jurnalnya menerangkan tentang stabilitas pelat lantai yang dianalisa dengan menggunakan metode elemen hingga;
d. Nurlinda, S., dkk (2010) melakukan penelitian dalam hal momen batas pada pelat berusuk dan ruang lingkup penelitiannya dibatasi dalam pembebanan merata saja;
e. Mirani, Z. (2009) menganalisa topik penelitiannya dengan menggunakan metode elemen hingga dan objek penelitianya merupakan balok-T komposit. Adapun batas penelitiannya hanya pada tulangan geser dalam balok tersebut; f. Diana, W. (2011) dalam jurnalnya meneliti lendutan pada pelat lantai dengan
menggunakan metode Beam on Elastic Foundation (BoEF) dan Finite Element Method (FEM). Dalam penelitian ini, pelat lantainya terletak di atas tanah yang merupakan pelat lantai dasar;
g. Purba, O. S., dkk (2014) menganalisa tegangan yang terjadi pada balok dengan menggunakan metode elemen hingga dan metode HEFT 240;
h. Mohamad, I. Q. (2012) dalam jurnalnya yang berjudul Analysis Ferrocement Slabs Using Finite Element Method menganalisa lendutan yang terjadi pada pelat yang terbuat dari beton yang diperkuat tulangan dengan menggunakan elemen hingga dalam pendekatan Lagrangian.
Pada penelitian ini akan berfokus pada analisa pengaruh beban dinamik pada pelat dan balok dengan menggunakan metode elemen hingga. Adapun penelitian ini memiliki kedekatan metodologi penetilitian dengan penelitian yang telah dilakukan oleh Mohamad, I. Q. (2012) dalam jurnal Analysis Ferrocement Slabs Using Finite Element.
Untuk penjelasan lebih detail mengenai metodologi penelitian akan dibahas dalam bab 3.
