MENELUSURI CARA UNTUK MENDAPATKAN RUMUS TRIPEL PYTHAGORAS. Sebelum Kita mulai menelusuri cara untuk mendapatkan rumus tripel Pythagoras (dasar), marilah sekilas Kita mengingat kembali tentang teorema Pythagoras dan tripel Pythagoras.
"Teorema Pythagoras" dinamakan menurut nama filsuf dan matematikawan Yunani abad ke-6 SM, Pythagoras. Pythagoras sering dianggap sebagai penemu teorema ini meskipun sebenarnya fakta-fakta teorema ini sudah diketahui oleh matematikawan India , Yunani, Tionghoa, dan Babilonia jauh sebelum Pythagoras lahir. Pythagoras mendapat kredit karena Dialah yang pertama membuktikan kebenaran universal dari teorema ini melalui pembuktian matematis.
Teorema Pythagoras menyatakan bahwa: Jumlah luas persegi (bujur sangkar) pada kaki sebuah segitiga siku-siku sama dengan luas persegi hipotenusa. Dengan a, b adalah kaki-kaki segitiga siku-siku dan c adalah hipotenusa maka teorema pythagoras dapat digambarkan seperti dibawah ini.
dimana
dapat digambarkan menjadi
atau menjadi
c a b
a2 b2
c2
+
=
=
a2 b
2 c
2
c2 a2
b2
a2
b2 c
b c-b
c-b
b
Gambar di atas akan Kita gunakan sebagai dasar pemahaman untuk menemukan triple Pythagoras.
Secara aljabar teorema pythagoras dapat dituliskan sebagai atau dapat juga dituliskan
sebagai .
Tripel Pythagoras
Yang dimaksud dengan “Triple Pythagoras” adalah tripel bilangan bulat positif a, b, dan c yang
memenuhi .
Contoh tripel pythagoras yang paling sederhana dan sering digunakan pada sekolah dasar dan sekolah menengah adalah 3, 4, dan 5 atau 5, 12, dan 13.
Penting untuk Kita perhatikan bahwa, jika a, b, dan c merupakan tripel Pythagoras dan k suatu bilangan bulat positif maka ka, kb, dan kc juga merupakan tripel Pythagoras, karena
. Dengan demikian Kita cukup mencari Tripel Pythagoras Dasar, yaitu tripel bilangan bulat positif a, b, dan c yang tidak mempunyai faktor sekutu selain 1 dan memenuhi persamaan .
Contoh:
3, 4, dan 5 merupakan triple Pythagoras dasar, sedangkan 6, 8, dan 10 bukan. Karena 6, 8, dan 10 mempunya faktor sekutu selain 1, yaitu 2.
Dengan bantuan internet, Kita dapat segera menemukan tripel pythagoras yang banyaknya ratusan atau bahkan ribuan. Apakah dengan cara Anda sendiri, Anda dapat mememukan tripel pythagoras yang lain selain dua tripel pythagoras diatas. Bagaimana cara Anda mendapatkannya?
Marilah Kita coba telusuri cara untuk mendapatkan rumus tripel pythagoras. Perhatikan gambar di bawah ini
Gambar di atas merepresentasikan teorema pythagoras atau . Untuk , maka didapatkan gambar seperti berikut.
Luas daerah yang berwarna oranye yaitu sama dengan . Dengan demikian ganjil sehingga a ganjil.
Dari persamaan didapatkan persamaan a2
b2 c
b c-b
c-b
b
c
b2 c
b 1
1
b
c
1
Karena , didapat persamaan .
Dengan demikian untuk setiap bilangan ganjil (mengapa?) , , dan
merupakan tripel pythagoras.
Dengan menggunakan rumus diatas kita dapat menemukan banyak (tak terhingga) tripel pythagoras yang lain, selain 3, 4, 5 dan 5, 12, 13.
Untuk , maka didapatkan gambar seperti berikut.
Diketahui , berarti b dan c keduanya ganjil atau keduanya genap.
Jika b dan c keduanya genap, maka a juga genap sehingga tripel pythagoras yang kita dapatkan adalah bukan tripel pythagoras dasar (karena faktor sekutu dari a, b, dan c tidak hanya 1, tetapi 2 juga merupakan faktor sekutu).
Jika b dan c keduanya ganjil, maka a genap.
Luas daerah yang berwarna oranye yaitu sama dengan . Dengan demikian didapat persamaan , .
Misalkan , karena b bilangan ganjil maka m genap. Dengan demikian untuk setiap m genap didapat ,
, dan merupakan
tripel Pythagoras.
Dengan menggunakan rumus diatas kita dapat menemukan banyak (tak terhingga) tripel pythagoras yang lain, diantaranya adalah:
untuk , maka didapat , , dan untuk , maka didapat , , dan untuk , maka didapat , , dan untuk , maka didapat , , dan dan seterusnya
Tentunya masih banyak tripel Pythagoras selain yang dapat kita temukan dengan dua rumus di atas. Sebuah tantangan yang menarik untuk dapat kita telusuri selanjutnya. Selamat mencoba!
