Analisis fraktal garis pantai di Yogyakarta.

(1)

ABSTRAK

Yosep Cahyo Ardi, 2017. Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.

Garis pantai memiliki bentuk yang tidak beraturan, karena tetidakteraturannya sulit untuk menentukan panjang garis pantai secara tepat. Garis pantai mempunyai pola-pola yang mirip dengan bangun- bangun fraktal. Garis pantai yang utuh dapat didekati dengan mengulangi pola-pola dasar sehingga mendekati bentuk garis pantai aslinya. Berdasarkan sifat kemiripan yang sesuai dengan sifat fraktal yaitu self similarity, maka penelitian ini menggunakan pendekatan fraktal. Metode yang digunakan adalah pengolahan citra satelit yang diambil dari Google Maps. Gambar garis pantai Yogyakarta terlebih dahulu dipotong-potong sesuai dengan karakteristiknya. Kemudian, dicari dimensi fraktalnya untuk tiap-tiap bagian menurut metode Dimensi Kotak dengan beberapa nilai Penghitungan dilakukan dengan bantuan software MATLAB. Hasil dimensi fraktal inilah yang akan digunakan untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.

Hasil penelitian menunjukkan prediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah 134 . Panjang garis pantai berdasarkan pengukuran langsung menggunakan Google Maps adalah 127 yang artinya selisih 7 atau dengan nilai galat 5,51%. Menurut Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa Yogyakarta (BLH DIY) panjang garis pantai Yogyakarta adalah 113 , yang berarti bahwa selisih 21 atau dengan nilai galat 18,58%. Prediksi dengan pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta lebih panjang 5,51% dari pengukuran langsung dengan Google Maps, dan lebih panjang 18,58% dari data panjang garis pantai Yogyakarta berdasarkan BLH DIY.

(2)

ABSTRACT

Yosep Cahyo Ardi, 2017. Fractal Analysis of Coastline in Yogyakarta. Thesis Mathematics Education Study Program, Mathematics and Sciene Education Department, Faculty of Teacher Training and Education. Sanata Dharma University.

The coastline has irregular shape, since it is difficult to determine the exact length of the coastline. The coastline has patterns that are similar to fractal builds. The intact coastline can be approached by repeating the basic patterns so as to approximate the shape of the original coastline. Based on the similarity characteristic in accordance with fractal characteristic is self similarity, this research uses fractal approach. The method used is the processing of satellite images taken from Google Maps. The image of Yogyakarta’s coastline first cut into pieces according to their characteristics. Then, looking for the fractal dimension for each section according to the Box Dimension method with multiple values . The calculation is done by using MATLAB software. The result of this fractal dimension will be used to determine the predicted value of coastline length in Yogyakarta.

The result shows that the predicted length of Yogyakarta’s coastline is 134 . The length of the coastline based on the direct measurement using Google Maps is 127 which means the difference of 7 or with the error rate of 5,51 %. According to Yogyakarta’s Environment Agency (BLH DIY) the length of Yogyakarta’s coastline is 113 , which means that the difference is 21 with an error rate of 18,58 %. The prediction with this fractal approach gives the mean that the long of Yogyakarta’s coastline is 5,51% longer than the direct measurement with Google Maps, and 18,58% longer than the long coastline data of Yogyakarta based on BLH DIY.

(3)

ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh : Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(4)

i

SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika

NIM : 131414029

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

(5)

ii SKRIPSI

Telah disetujui oleh :

Pembimbing

(6)

iii SKRIPSI

Dipersiapkan dan ditulis oleh : Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

Telah dipertahankan di depan panitia penguji pada tanggal 15 Juni 2017

dan dinyatakan memenuhi syarat Susunan Panitia Penguji

Nama Lengkap Tanda Tangan

Ketua : Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd. ... Sekretaris : Dr. Hongki Julie, M.Si. ... Anggota I : Beni Utomo, M.Sc. ... Anggota II : Dra. Haniek Sri Pratini, M.Pd. ... Anggota III : Febi Sanjaya, M.Sc. ...

Yogyakarta, 15 Juni 2017

Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma

Dekan,

(7)

iv

HALAMAN PERSEMBAHAN

Energi Mengikuti Imajinasi

(Albert Einstein)

... Janganlah kuatir akan hidupmu, akan apa yang hendak kamu makan, dan

janganlah kuatir pula akan tubuhmu, akan apa yang hendak kamu pakai.

(Lukas, 12 : 22)

Kupersembahkan untuk :

Tuhan Yesus

Bunda Maria

Ibuku Tarmi dan bapakku Haryono

(8)

v

PERNYATAAN KEASILAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 15 Juni 2017 Penulis

(9)

vi ABSTRAK

Yosep Cahyo Ardi, 2017. Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta. Skripsi. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan. Universitas Sanata Dharma.

Garis pantai memiliki bentuk yang tidak beraturan, karena tetidakteraturannya sulit untuk menentukan panjang garis pantai secara tepat. Garis pantai mempunyai pola-pola yang mirip dengan bangun- bangun fraktal. Garis pantai yang utuh dapat didekati dengan mengulangi pola-pola dasar sehingga mendekati bentuk garis pantai aslinya. Berdasarkan sifat kemiripan yang sesuai dengan sifat fraktal yaitu self similarity, maka penelitian ini menggunakan pendekatan fraktal. Metode yang digunakan adalah pengolahan citra satelit yang diambil dari Google Maps. Gambar garis pantai Yogyakarta terlebih dahulu dipotong-potong sesuai dengan karakteristiknya. Kemudian, dicari dimensi fraktalnya untuk tiap-tiap bagian menurut metode Dimensi Kotak dengan beberapa nilai Penghitungan dilakukan dengan bantuan

software MATLAB. Hasil dimensi fraktal inilah yang akan digunakan untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.

Hasil penelitian menunjukkan prediksi panjang garis pantai Yogyakarta adalah 134 . Panjang garis pantai berdasarkan pengukuran langsung menggunakan Google Maps adalah 127 yang artinya selisih 7 atau dengan nilai galat 5,51%. Menurut Badan Lingkungan Hidup Daerah Istimewa Yogyakarta (BLH DIY) panjang garis pantai Yogyakarta adalah 113 , yang berarti bahwa selisih 21 atau dengan nilai galat 18,58%. Prediksi dengan pendekatan fraktal ini memberikan arti bahwa panjang garis pantai Yogyakarta lebih panjang 5,51% dari pengukuran langsung dengan Google Maps, dan lebih panjang 18,58% dari data panjang garis pantai Yogyakarta berdasarkan BLH DIY.

(10)

vii ABSTRACT

Yosep Cahyo Ardi, 2017. Fractal Analysis of Coastline in Yogyakarta. Thesis Mathematics Education Study Program, Mathematics and Sciene Education Department, Faculty of Teacher Training and Education. Sanata Dharma University.

The coastline has irregular shape, since it is difficult to determine the exact length of the coastline. The coastline has patterns that are similar to fractal builds. The intact coastline can be approached by repeating the basic patterns so as to approximate the shape of the original coastline. Based on the similarity characteristic in accordance with fractal characteristic is self similarity, this research uses fractal approach. The method used is the processing of satellite images taken from Google Maps. The image of Yogyakarta’s coastline first cut into pieces according to their characteristics. Then, looking for the fractal dimension for each section according to the Box Dimension method with multiple values . The calculation is done by using

MATLAB software. The result of this fractal dimension will be used to determine the predicted value of coastline length in Yogyakarta.

The result shows that the predicted length of Yogyakarta’s coastline is 134 . The length of the coastline based on the direct measurement using Google Maps is 127 which means the difference of 7 or with the error rate of 5,51 %. According to Yogyakarta’s Environment Agency (BLH DIY) the length of Yogyakarta’s coastline is 113 , which means that the difference is 21 with an error rate of 18,58 %. The prediction with this fractal approach gives the mean that the long of Yogyakarta’s coastline is 5,51% longer than the direct measurement with Google Maps, and 18,58% longer than the long coastline data of Yogyakarta based on BLH DIY.

(11)

viii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma : Nama : Yosep Cahyo Ardi

NIM : 131414029

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah yang berjudul :

Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan mempublikasikan di internet atau media lain untuk kepentingan akademis tanpa meminta ijin dari saya maupun memberikan royalty kepada saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya. Yogyakarta, 15 Juni 2017

Yang menyatakan

(12)

ix

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa yang telah melimpahkan berkat dan rahmat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi yang berjudul “Analisis Fraktal Garis Pantai di Yogyakarta” ini dengan baik dan tepat waktu. Skripsi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Pendidikan.

Dalam penulisan skripsi ini, penulis menemui banyak masalah yang menghambat penulisan. Penulis menyadari skripsi ini tidak akan selesai dengan baik tanpa dukungan dan doa dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada :

1. Bapak Rohandi, Ph.D. selaku dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

2. Bapak Dr. Hongki Julie, M.Si. selaku Ketua Program Studi Pendidikan Matematika, Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

3. Bapak Beni Utomo, M.Sc. selaku dosen pembimbing skripsi yang juga sekaligus dosen pembimbing akademik yang telah bersedia meluangkan waktu, tenaga, dan masukan selama penulisan skripsi dan selama penulis menjalani kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

(13)

x

5. Seluruh staf sekretariat JPMIPA Universitas Sanata Dharma yang telah membantu dalam hal administrasi.

6. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma yang telah menyediakan buku-buku yang menunjang perkuliahan selama kuliah di Program Studi Pendidikan Matematika Universitas Sanata Dharma Yogyakarta.

7. Kedua orang tua penulis Ibu Tarmi dan Bapak Haryono yang telah membiayai kuliah, mendukung, memberi semangat, dan berdoa untuk kesuksesan penulis.

8. Van Deventer-maas Stichting yang telah membantu membiayai kuliah dalam bentuk beasiswa.

9. Kakek penulis Mbah Mitro dan keluarga besar Mbah Mitro yang telah mendukung, dan berdoa untuk penulis.

10. Saudara sepupu penulis Nidia yang telah meminjamkan laptop selama penulis menulis skripsi.

11. Teman-teman seperjuangan Dhevin, Dora, Emi, Tri, Ipo, Dina, Gerar, dan Ardian yang telah memberi dukungan, semangat, dan motivasi.

12. Teman-teman Pendidikan Matematika Kelas A yang telah berdinamika berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah.

13. Teman-teman Pendidikan Matematika angkatan 2013 yang telah berdinamika berbagi pengetahuan suka, dan duka selama kuliah.

(14)

xi

15. Teman-teman PPL yang telah memberikan semangat dan dukungan Ines, Shella, Ana, Clara, Agnes, Stephani, dan Br. Anton.

16. Semua pihak yang telah bermurah hati membantu penulis selama kuliah dan selama menulis skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Yogyakarta, 15 Juni 2017 Penulis

(15)

xii DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASILAN KARYA ... v

ABSTRAK ... vi

ABSTRACT ... vii

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH ... viii

KATA PENGANTAR ... ix

DAFTAR ISI ... xii

DAFTAR TABEL ... xiv

DAFTAR GAMBAR ... xv

DAFTAR LAMPIRAN ... xx

BAB I PENDAHULUAN ... 1

A. Latar Belakang ... 1

B. Rumusan Masalah ... 5

C. Batasan Masalah... 5

D. Tujuan Penelitian ... 5

E. Manfaat Penelitian ... 6

F. Metode Penelitian... 6

G. Sistematika Penulisan ... 8

(16)

xiii

A. Ruang Metrik ... 10

B. Ruang Fraktal ... 33

C. Transformasi ... 37

D. Sistem Fungsi Iterasi ... 41

BAB III ANALISIS FRAKTAL ... 49

A. Regresi Linear ... 49

B. Dimensi Fraktal ... 52

BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA... 73

A. Dimensi Fraktal Garis Pantai Yogyakarta... 74

B. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta ... 88

BAB V PENUTUP ... 91

A. Kesimpulan ... 91

B. Saran ... 92

DAFTAR PUSTAKA ... 94

(17)

xiv

DAFTAR TABEL

Tabel 3.1 Contoh data hasil penelitian ... 51

Tabel 3.2 Nilai residual dari contoh hasil penelitian... 51

Tabel 3.3 Perolehan jumlah selimut- untuk Citra Lena ... 71

Tabel 3.4 Nilai residual masing-masing untuk Citra Lena ... 72

Tabel 4.1 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian I ... 75

Tabel 4.2 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian II ... 77

Tabel 4.3 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian III ... 79

Tabel 4.4 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian IV ... 81

Tabel 4.5 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian V ... 83

Tabel 4.6 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VI ... 85

Tabel 4.7 Perolehan jumlah selimut- untuk garis pantai bagian VII ... 87

Tabel 4.8 Prediksi panjang garis pantai untuk tiap-tiap bagian ... 89

(18)

xv

DAFTAR GAMBAR

Gambar 1.1 (a) Segitiga Sierpinski ... 4

Gambar 1.1 (b) Kurva Koch... 4

Gambar 2.1 Contoh afinitas ... 39

Gambar 2.2 Contoh similaritas ... 40

Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma Deterministik untuk Segitiga Sierpinski... 47

Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga Sierpinski ... 47

Gambar 3.1 Himpunan Cantor ... 59

Gambar 3.2 Segitiga Sierpinski ... 61

Gambar 3.3 Kurva Von Koch ... 63

Gambar 3.4 Karpet Sierpinski ... 66

Gambar 3.5 (a) Citra Asli Lena ... 69

Gambar 3.5 (b) Citra Biner Lena dengan deteksi tepi Canny ... 69

Gambar 3.6 Diagram Alir pencacahan selimut ... 69

Gambar 3.7 List program pencacahan selimut untuk Citra Lena... 70

Gambar 3.8 Garis Regresi untuk dimensi citra Lena ... 71

Gambar 3.9 Nilai residual untuk citra Lena ... 72

Gambar 4.1 (a) Garis pantai Yogyakarta via google maps ... 74

Gambar 4.1 (b) Pemotongan garis pantai menjadi 7 bagian ... 74

Gambar 4.2 (a) Garis Pantai bagian I setelah diedit dengan Photo Scape ... 75

Gambar 4.2 (b) Citra biner garis pantai bagian I dengan deteksi tepi Canny ... 75

(19)

xvi

Gambar 4.4 Nilai residual untuk garis pantai bagian I ... 76

Gambar 4.5 (a) Garis Pantai bagian II setelah diedit dengan Photo Scape ... 77

Gambar 4.5 (b) Citra Biner garis pantai bagian II dengan deteksi tepi Canny .... 77

Gambar 4.6 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian II ... 78

Gambar 4.7 Nilai residual untuk garis pantai bagian II ... 78

Gambar 4.8 (a) Garis pantai bagian III setelah diedit dengan Photo Scape ... 79

Gambar 4.8 (b) Citra biner garis pantai bagian III dengan deteksi tepi Canny ... 79

Gambar 4.9 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian III ... 80

Gambar 4.10 Nilai residual log untuk garis pantai bagian III ... 80

Gambar 4.11(a) Garis pantai bagian IV setelah diedit dengan Photo Scape ... 81

Gambar 4.11(b) Citra biner garis pantai bagian IV dengan deteksi tepi Canny ... 81

Gambar 4.12 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian IV ... 82

Gambar 4.13 Nilai residual untuk garis pantai bagian IV ... 82

Gambar 4.14(a) Garis pantai bagian V setelah diedit dengan Photo Scape ... 83

Gambar 4.14(b) Citra biner garis pantai bagian V dengan deteksi tepi Canny ... 83

Gambar 4.15 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian V ... 84

Gambar 4.16 Nilai residual untuk garis pantai bagian V ... 84

Gambar 4.17(a) Garis Pantai bagian VI setelah diedit dengan Photo Scape ... 85

Gambar 4.17(b) Citra Biner garis pantai bagian VI dengan deteksi tepi Canny ... 85

Gambar 4.18 Garis Regresi untuk dimensi garis pantai bagian VI ... 86

Gambar 4.19 Nilai residual untuk garis pantai bagian VI ... 86

Gambar 4.20(a) Garis pantai bagian VII setelah diedit dengan Photo Scape ... 87

(20)

xvii

(21)

xviii

DAFTAR SIMBOL

: Himpunan semua bilangan real : Himpunan semua bilangan asli : Jarak titik ke titik

: Untuk semua : Elemen

: Tidak sama dengan : Tak hingga

: Ruang dimensi atas bilangan real : Barisan

_{: Barisan pemetaan-pemetaan kontraksi}

: Bola terbuka di dengan jari-jari , berpusat di ̅ : Bola tertutup di dengan jari-jari , berpusat di

: Himpunan bagian : Himpunan bagian sejati : Gabungan

: Irisan

: Himpunan kosong

: untuk suatu , Himpunan semua titik interior

: yang memenuhi himpunan semua titik limit

(22)

xix : Bukan elemen

̅ : Himpunan titik closure

: kompak , keluarga himpunan bagian tak kosong yang kompak dari

: jarak Hausdorff antara titik dan di

: Skalar bernilai real

: Dimensi Hausdorff-Besicovitch : Nilai pendekatan

: Implikasi kiri ke kanan : Implikasi kanan ke kiri : Dimensi Kotak bawah : Dimensi Kotak atas

(23)

xx

DAFTAR LAMPIRAN

(24)

1 BAB I PENDAHULUAN

A. Latar Belakang

Yogyakarta adalah salah satu tempat destinasi wisata populer di Indonesia. Yogyakarta memiliki keindahan panorama pantai yang indah. Secara umum pantai di Yogyakarta terbagi menjadi 3 wilayah pantai yaitu : Kulon Progo, Bantul, dan Gunung Kidul. Berdasarkan yogyalagi.com Kulon Progo memiliki 4 pantai, Bantul memiliki 8 pantai, sedangkan Gunung Kidul berdasarkan noyvesto.net memiliki 70 pantai. Kulon Progo dan Bantul tersusun oleh dataran Aluvial, sedangkan di Gunung Kidul berupa kawasan perbukitan Batu Gamping.

(25)

memiliki kelebihan dan kekurangan. Interpretasi foto udara memberikan hasil yang akurat namum membutuhkan biaya yang mahal, foto citra satelit membutuhkan biaya yang lebih murah namun hasilnya kurang akurat, sedangkan dengan metode survei terestris menghasilkan hasil yang cukup akura namun kurang efektif karena hanya dapat dilakukan untuk daerah-daerah yang mudah dijangkau.

Matematika adalah ilmu yang dipelajari untuk membantu menyelesaikan permasalahan yang dihadapi manusia. Secara sadar ataupun tidak sadar kita mengetahui bahwa alam berkaitan erat dengan matematika. Matematika dapat ditemukan di alam. Salah satu cabang matematika yang berkaitan dengan alam adalah geometri. Geometri berasal dari dua kata bahasa Yunani yang berarti bumi, dan ukuran, tampak bahwa Geometri muncul untuk kebutuhan pengukuran tanah (bumi) (Burton, 2011:53). Pada mulanya geometri digunakan oleh bangsa Mesir untuk menentukan batas-batas tanah yang hilang karena banjir di sungai Nil. Salah satu pelopor geometri adalah Euclides (325-265 SM) yang kini karyanya disebut sebagai Geometri Euclid. Geometri Euclid banyak diterapkan dalam bidang teknik seperti : Arsitektur, gambar-gambar perspektif, maupun gambar-gambar teknik lain. Geometri Euclid juga dapat ditemui disekitar kita. Benda-benda yang menyerupai segitiga, persegi panjang, trapesium, balok, kerucut, dan tabung dapat kita temukan di sekitar kita.

(26)

fenomena alam yang tidak dapat dikaji dengan geometri Euclid. Geometri Euclid terlalu umum untuk mempresentasikan benda-benda alam. Seorang matematikawan mengatakan bahwa Clouds are not spheres, mountains are not cones, coastlines are not circles, and bark is not smooth, nur does lighting trevel in a straight line. More generally, I claim that many patterns of nature are so irregular and fragmented Mandelbrot (1983:1). Secara tidak langsung Mandelbrot mengatakan bahwa dengan Geometri Euclid saja alam tidak dapat dikaji dengan baik. Awan tidak dapat digambarkan hanya dengan gambar bulatan saja, gunung tidak dapat digambarkan hanya dengan sebuah kerucut, garis pantai tidak dapat digambarkan hanya dengan lingkaran, dan permukaan kulit kayu tidaklah halus. Secara umum Mandelbrot mengatakan bahwa alam terdiri dari pola-pola tidak beraturan dan terpecah-pecah.

(27)

(Sumber : http://wiki.eanswers.com/id/Fraktal) (Sumber : Falconer, 2003)

Cantor dengan himpunan Cantor. Temuan-temuan itulah yang menjadi dasar berkembangnya Fraktal.

Fraktal dikenal dengan kemampunannya dalam menyajikan alam. Alam yang “rumit” dapat direpresentasikan dengan cukup baik oleh geometri fraktal. Garis Pantai adalah salah satu bentuk alam yang tak teratur. Garis Pantai memiliki lekukan-lekukan yang berbeda-beda di sepanjang garis pantai. Namun demikian, lekukan ini mirip satu sama lain. Kemiripan adalah sifat utama Fraktal, sebab bangun Fraktal bisa dihasilkan dengan mengulang pola-pola sehingga membentuk suatu bangun yang mirip dengan bangun aslinya. Ketika suatu bangun fraktal dipotong kemudian diperbesar akan terlihat bangun itu mirip dengan bangun sebelumnya. Secara terus-menerus dengan pemotongan di tak hingga dan diperbesar tetap mirip dengan bangun sebelumnya sifat ini disebut self-similarity.

Berbeda dengan Geometri Euclid, Geometri Euclid mempunyai dimensi bulat misalnya berdimensi : 0, 1, 2, atau 3. Titik mempunyai dimensi 0, garis mempunyai dimensi 1, bidang mempunyai dimensi 2, dan benda pejal mempunyai dimensi 3. Bangun Fraktal mempunyai dimensi yang berbeda

(28)

dengan dimensi Geometri Euclid. Dimensi ini bisa tidak bulat tetapi pecahan. Bangun fraktal bisa memiliki dimensi antara 0 dan 2, atau antara 2 dan 3. Pegunungan, awan, pohon, dan bunga semua mempunyai dimensi antara 2 dan 3 (Oliver, 1997:32). Dimensi pecahan pada geometri fraktal ini lebih dikenal dengan nama Dimensi Fraktal.

B. Rumusan Masalah

1. Bagaimana cara mencari dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta? 2. Bagaimana cara menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di

Yogyakarta?

3. Apa manfaat hasil penelitian bagi masyarakat yang tinggal di daerah pesisir pantai Yogyakarta?

C. Batasan Masalah

Penulisan ini membahas mengenai geometri fraktal sebagai dasar penelitian. Penelitian mengabaikan faktor susunan batuan Pantai di Yogyakarta. Peneliti hanya fokus kepada bentuk gambar citra satelit oleh Google Maps. Peneliti juga mempercayai keakuratan Google Maps sebab Google Maps telah menjadi salah satu aplikasi maps terpopuler di dunia.

D. Tujuan Penelitian

Tujuan penelitian yang ingin dicapai adalah :

(29)

3. Mengetahui relevansi penelitian bagi masyarakat di daerah pesisir pantai.

E. Manfaat Penelitian

a. Bagi Penulis

Penulis mendapatkan pengetahuan baru tentang Geometri Fraktal. Disamping itu penulis juga dapat mengetahui penerapan geometri Fraktal untuk menentukan nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta.

b. Bagi Pembaca

Pembaca dapat mengetahui geometri lain selain geometri Euclides. Pembaca juga dapat mengetahui cara mencari dimensi fraktal dan dapat mengetahui penerapan ilmu pengetahuan khususnya penerapan Geometri Fraktal untuk menemukan panjang garis pantai di Yogyakarta. Penelitian ini juga bermanfaat bagi pembaca yang ingin mengetahui metode lain yang dapat digunakan untuk menentukan panjang garis pantai.

F. Metode Penelitian

a. Jenis Penelitian

(30)

jenis data yang digunakan dalam penelitian, maka penelitian ini termasuk dalam penelitian Kuantitatif. Data yang diperoleh berupa data numerik yang diperoleh dari pengolahan objek yang digunakan. b. Metode Penelitian

Metode penelitian yang dilakukan adalah studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku, e-book, karya ilmiah, dan jurnal yang berkaitan dengan topik skripsi.

c. Objek Penelitian

Objek penelitian ini berupa citra digital yaitu representasi suatu objek yang dapat diolah dengan komputer. Objek berupa representasi garis pantai Yogyakarta dalam bentuk citra digital berformat jpg. d. Metode Pengumpulan Data

Metode pengumpulan data dilakukan dengan cara dokumentasi. Data diperoleh dari pengolahan objek yang diunduh dari Google Maps. e. Instrumen Pengumpulan Data

Instrumen yang digunakan untuk pengumpulan data adalah Google Maps dan MATLAB. Google Maps digunakan untuk memperoleh objek berupa citra digital representasi garis pantai Yogyakarta. Sedangkan MATLAB, digunakan untuk memperoleh data yang akan digunakan untuk menentukan dimensi fraktal garis pantai Yogyakarta. f. Analisis Data

(31)

analisis data untuk memperoleh prediksi panjang garis pantai. Untuk memperoleh dimensi garis pantai Yogyakarta analisis data dilakukan dengan menggunakan MATLAB. Sedangkan untuk memperoleh prediksi panjang garis pantai Yogyakarta, digunakan suatu rumus. g. Langkah-langkah Penelitian

Secara umum, penelitian ini dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut :

1. Menentukan topik skripsi.

2. Membaca referensi-referensi yang berkaitan dengan topik skripsi dari buku, e-book, skripsi, maupun jurnal.

3. Mengambil gambar objek citra satelit melalui Google Maps. 4. Membagi objek menjadi beberapa bagian.

5. Mencari dimensi fraktal masing-masing bagian dengan membuat program terlebih dahulu pada software MATLAB.

6. Mencari nilai prediksi panjang garis pantai di Yogyakarta. 7. Menyusun hasil penelitian.

G. Sistematika Penulisan

(32)

f. Metode Penelitian g. Sistematika Peneltian BAB II LANDASAN TEORI

a. Ruang Metrik b. Ruang Fraktal c. Transformasi

d. Sistem Fungsi Iterasi BAB III ANALISIS FRAKTAL

a. Regresi Linear b. Dimensi Fraktal

BAB IV ANALISIS FRAKTAL GARIS PANTAI DI YOGYAKARTA a. Dimensi Fraktal Garis Pantai

b. Prediksi Panjang Garis Pantai Yogyakarta BAB V PENUTUP

(33)

10 BAB II LANDASAN TEORI

Pada bab ini akan dibahas berbagai teori yang mendasari geometri fraktal. Teori yang dibahas diantaranya : ruang metrik, ruang fraktal, afinitas, similaritas, dan Sistem Fungsi Iterasi. Ruang metrik mendasari ruang fraktal, sedangkan afinitas dan similaritas adalah sifat utama fraktal. Sistem Fungsi Iterasi adalah suatu sistem yang membentuk bangun fraktal atau mengkonstruksi fraktal.

A. Ruang Metrik

Ruang metrik penting untuk dibahas di awal, karena teori-teori tentang fraktal didasarkan pada ruang metrik seperti halnya barisan dan ruang fraktal. Secara umum pada pembahasan ini didasarkan pada ruang Euclid dimensi atau . Ketika maka yang berarti himpunan semua bilangan real. Ketika maka akan menjadi bidang datar. Titik pada dinotasikan dengan Jika suatu himpunan bagian dari

dengan suatu fungsi jarak yang bekerja padanya dengan beberapa aksioma yang berlaku maka disebut sebagai ruang metrik. Berikut ini adalah syarat yang harus dipenuhi dari suatu ruang metrik yang disajikan dalam definisi ruang metrik.

Definisi 2.1.1 (Barnsley, 1988:11)

Misalkan adalah himpunan tak kosong. Metrik pada adalah fungsi bernilai real yang memenuhi aksioma berikut.

(34)

Metrik juga disebut sebagai fungsi jarak. Himpunan tak kosong yang dilengkapi dengan metrik pada disebut sebagai ruang metrik, dituliskan dengan .

Contoh 2.1.1

Misalkan fungsi didefinisikan | | buktikan bahwa adalah metrik di .

Penyelesaian :

Untuk membuktikan bahwa merupakan metrik, maka perlu dibuktikan memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1.

| |

Nilai mutlak bilangan real adalah tak negatif. Untuk berlaku

| |

(35)

| |

| | | |

Dari dan adalah metrik di .

Contoh 2.1.2

Misalkan didefinisikan jarak Euclides dengan √ dan buktikanlah bahwa adalah metrik di .

Penyelesaian :

√

Akar dari suatu bilangan real adalah tak negatif. Untuk berarti bahwa atau sehingga berlaku √

√

(36)

dengan , (menurut ketaksamaan segitiga)

√ √

Dari dan adalah metrik di .

Setelah mengetahui tentang ruang metrik, selanjutnya melihat hubungan antar metrik. Dua metrik yang berbeda pada bisa memiliki keterkaitan satu sama lain. Keterkaitan ini misalnya, metrik yang satu bisa dibangun oleh metrik yang lain dengan mengalikan terhadap suatu konstanta. Dua metrik yang demikian disebut dua metrik yang ekuivalen. Secara umum dua metrik yang ekuivalen dicirikan oleh definisi 2.1.2 berikut ini.

Dua metrik dan pada ruang dikatakan ekuivalen jika terdapat dan konstan dengan sedemikian sehingga

.

Contoh 2.1.3

Bukti :

Akan dibuktikan bahwa metrik dan dapat dinyatakan sebagai dengan dan konstan.

(37)

| | | | | | | |

Dengan maka diperoleh

| | | | | | | | | | | | | | | |

yang artinya bahwa dengan demikian dan adalah dua metrik yang ekuivalen.

Dua ruang metrik dan adalah ekuivalen jika terdapat fungsi dengan fungsi bijektif sedemikian sehingga metrik ̃ pada dengan definisi ̃ ( ) ekuivalen dengan .

Contoh 2.1.4

Misalkan , dan fungsi . Didefinisikan sebagai metrik Euclides dan | |. Buktikanlah bahwa dan

adalah dua ruang metrik yang ekuivalen. Bukti :

Terdapat . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa ̃ ̃ . Menurut definisi 2.1.3 berlaku bahwa

̃ ( )

| |

(38)

| | | |

Dengan diperoleh

| | | | | |

̃ ̃

Selanjutnya, akan dibahas tentang kekontinuan suatu fungsi di dalam ruang metrik. Fungsi yang kontinu di titik pasti mempunyai limit di tetapi tidak sebaliknya. Berikut ini adalah definisi dari fungsi yang kontinu.

Misalkan suatu fungsi adalah pemetaan dari ruang metrik ke ruang metrik . Fungsi dikatakan kontinu jika, untuk setiap dan terdapat sedemikian sehingga

.

Contoh 2.1.5

Misalkan diberikan dan adalah ruang metrik. Tunjukkanlah bahwa fungsi konstan kontinu.

Bukti :

Diberikan sebarang , untuk sebarang dengan fungsi konstan berlaku ( )

(39)

Contoh 2.1.6

Diketahui ruang metrik di dengan metrik Euclides. Diberikan fungsi dengan definisi untuk setiap . Tunjukkanlah bahwa kontinu.

Bukti :

Diberikan untuk sebarang . Harus dicari sedemikian sehingga untuk setiap yang memenuhi | | berlaku | |

Dipilih maka | |

| | | | | |

dengan demikian terbukti kontinu.

Suatu barisan dalam ruang metrik dapat dibedakan menjadi dua macam barisan, yaitu barisan konvergen dan barisan divergen. Kedua macam barisan tersebut mempengaruhi kelengkapan dari suatu ruang metrik. Ruang metrik dikatakan lengkap jika setiap barisan Cauchy di dalamnya konvergen ke suatu titik di ruang metriknya. Berikut ini adalah definisi dari barisan Cauchy yang dilanjutkan dengan definisi barisan konvergen.

(40)

Suku-suku pada suatu barisan jika diperhatikan untuk nilai suku ke- yang semakin besar, dapat dibedakan menjadi barisan divergen dan barisan konvergen. Barisan yang menunjukkan sifat suku ke- yang semakin besar mendekati suatu nilai tertentu disebut barisan konvergen. Sebaliknya, jika untuk nilai suku ke- yang semakin besar dari suatu barisan tidak menunjukkan semakin dekat dengan nilai tertentu disebut sebagai barisan divergen. Berikut ini definisi 2.1.6 mendefinisikan secara matematis suatu barisan konvergen.

Barisan dalam ruang metrik dikatakan konvergen ke jika untuk sebarang terdapat bilangan bulat sehingga . Titik konvergensi adalah limit dari barisan dinotasikan dengan . Titik yang merupakan konvergensi dari barisan memenuhi ̅ atau bola tertutup dengan jari-jari dan berpusat di .

(41)

bagian (subbarisan). Pada definisi 2.1.7 tersebut dikatakan bahwa, jika suatu barisan konvergen ke suatu titik maka subbarisannya juga konvergen ke titik yang sama. Hal ini berlaku juga untuk subbarisan dari suatu barisan yang konvergen ke suatu titik, barisannya juga akan konvergen ke titik yang sama dengan subbarisannya. Sebagai akibat dari definisi 2.1.7 pada proposisi 2.1.1 keterkaitan antar barisan dan subbarisan ini juga berlaku untuk barisan Cauchy.

Teorema 2.1.1 (Searcoid, 2007:86)

Misalkan adalah suatu ruang metrik, barisan di yang konvergen akan konvergen ke tepat satu titik di .

Bukti :

Diberikan barisan yang konvergen. Misalkan konvergen ke titik dan titik yang berbeda. Ambil sebarang . Maka ada sedemikian sehingga dan . Dipilih sehingga untuk menurut ketaksamaan segitiga

Jadi berarti bahwa . Terbukti bahwa barisan konvergen ke satu titik.

Teorema 2.1.2 (Barnsley, 1988:18)

Jika barisan pada ruang metrik konvergen ke maka barisan merupakan barisan Cauchy.

(42)

Diberikan ruang metrik dan barisan di yang konvergen ke . Menurut definisi 2.1.6 untuk sebarang terdapat bilangan bulat positif dan sehingga . Demikian juga untuk setiap berlaku . Menurut ketaksamaan segitiga untuk setiap . Diperoleh

sehingga barisan Cauchy.

Contoh 2.1.7

Diketahui barisan =

di ruang metrik dengan dan

adalah metrik Euclides. Buktikanlah bahwa barisan adalah barisan Cauchy dan konvergen ke 0.

Bukti :

Diberikan sebarang , maka terdapat sehingga . Untuk dan misalkan berlaku

(_{) |}_|

Selanjutnya jelas bahwa

Diperoleh dan maka terbukti bahwa barisan barisan Cauchy dan konvergen ke 0.

Definisi 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)

(43)

dikatakan subbarisan dari . Jika { } konvergen, limitnya merupakan limit dari . Jelas bahwa barisan di konvergen ke jika dan hanya jika setiap subbarisannya konvergen ke .

Proposisi 2.1.1 (Shirali dan Vasudeva, 2006:48)

Jika barisan Cauchy dalam metrik memuat sub barisan yang konvergen maka barisan itu konvergen ke limit yang sama dengan limit sub barisannya. Bukti :

Diberikan barisan Cauchy di maka untuk setiap terdapat bilangan bulat sehingga dengan . Barisan { } sub barisan dari konvergen, misal konvergen ke . Diperhatikan bahwa barisan bilangan bulat positif yang naik maka ( ) untuk . Dengan ketaksamaan segitiga diperoleh ( ) ( ) ( ) untuk . Jika , maka ( ) . Sehingga yang artinya bahwa

konvergen ke

Pada pembahasan sebelumnya telah dibahas tentang : ruang metrik, barisan Cauchy, dan barisan konvergen. Selanjutnya, pada definisi berikut ini menunjukkan hubungan ketiganya yaitu tentang ruang metrik lengkap.

(44)

Contoh 2.1.8

Ruang metrik dengan merupakan jarak Euclides adalah ruang metrik lengkap.

Bukti :

√ dengan dan . Misalkan diberikan barisan untuk ,

didefinisikan barisan Cauchy di sehingga untuk . Kemudian untuk terdapat bilangan bulat

sedemikian sehingga √( ) ( ) untuk setiap . Menggunakan prinsip kekonvergenan akan konvergen ke suatu titik katakanlah . Berlaku untuk setiap akan konvergen ke suatu titik .

Contoh 2.1.9

Diketahui ruang metrik dengan metrik Euclides dan . Ruang metrik merupakan ruang metrik tidak lengkap.

Bukti :

Terdapat barisan , akan dibuktikan barisan barisan Cauchy. Diberikan maka terdapat sehingga . Untuk setiap

(45)

Sistem bilangan real mempunyai dua tipe sifat. Sifat yang pertama adalah aljabar dengan penjumlahan, perkalian dan yang lainnya. Sifat yang kedua adalah topologi yang ada kaitannya dengan jarak antar bilangan dan konsep limit (Shirali dan Vasudeva, 2006:64). Pembahasan selanjutnya yaitu tentang topologi dalam ruang metrik khususnya himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Sebelum membahas tentang dua hal tersebut perlu diketahui terlebih dahulu tentang : persekitaran, titik interior, dan titik limit.

Misalkan ruang metrik himpunan di mana dan , disebut bola buka dengan jari-jari dan pusat . Himpunan ̅ di mana dan , disebut bola tertutup dengan jari-jari dan pusat .

Contoh 2.1.10

Bola buka di garis real adalah selang terbuka . Contoh bola tertutup ̅ di garis real adalah selang tertutup .

Diberikan ruang metrik persekitaran di adalah sebarang bola buka di dengan pusat di .

(46)

Berikut ini adalah suatu teorema 2.1.3 yang menyatakan bahwa setiap bola buka merupakan himpunan terbuka. Terorema 2.1.4 menunjukkan keterkaitan antar himpunan-himpunan terbuka dimana gabungan himpunan-himpunan terbuka merupakan himpunan terbuka, demikian juga untuk irisan himpunan-himpunan terbuka juga merupakan himpunan-himpunan terbuka.

Teorema 2.1.3 (Shirali dan Vasudeva, 2006:66)

Dalam sebarang ruang metrik , setiap bola buka adalah himpunan terbuka.

Bukti :

Misalkan adalah bola buka tak kosong maka . Ambil sebarang titik maka . Misalkan . Akan dibuktikan . Untuk sebarang berlaku , berarti bahwa . Dengan demikian dan merupakan bola buka. Sehingga

adalah himpunan terbuka di

Teorema 2.1.4 (Shirali dan Vasudeva, 2006:67) Diberikan ruang metrik , maka

dan adalah himpunan terbuka di .

Gabungan dari keluarga berhingga himpunan-himpunan terbuka adalah himpunan terbuka.

(47)

Bukti :

Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa setiap titik di adalah titik pusat bola buka otomatis terpenuhi yaitu himpunan kosong juga. Selanjutnya, ruang terbuka karena setiap titik pusat bola buka ada di .

Diberikan sebarang himpunan dan : yang merupakan keluarga himpunan terbuka. Akan dibuktikan . Jika maka jelas bahwa terbuka menurut Asumsikan bahwa , ambil sebarang maka terdapat sedemikian sehingga . adalah himpunan terbuka maka terdapat sehingga . Jadi terdapat sehingga .

terbuka.

Diberikan himpunan keluarga himpunan terbuka di dan Akan dibuktikan terbuka. Jika maka jelas bahwa terbuka menurut . Asumsikan bahwa , ambil sebarang maka terdapat sedemikian sehingga . adalah himpunan terbuka, maka terdapat sedemikian sehingga

. Dipilih maka dengan . Dengan demikian .

(48)

Titik interior dari suatu himpunan akan dibahas pada definisi 2.1.12. Dari definisi 2.1.12 diturunkan teorema 2.1.5 yang menunjukkan keterkaitan antara titik interior dengan himpunan terbuka.

Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik . Titik disebut titik interior jika terdapat bola buka dengan pusat di sedemikian sehingga untuk suatu Himpunan semua titik interior dinotasikan untuk suatu .

Contoh 2.1.11

Bukti :

. Ambil sebarang perhatikan bahwa

| | | | | | | |

| |

(49)

, dengan cara yang sama diperoleh dan . Kemudian yang berarti . Dengan demikian

Diberikan himpunan bagian dari ruang metrik .

adalah himpunan bagian terbuka dari yang memuat setiap himpunan bagian terbuka dari .

terbuka jika dan hanya jika . Bukti :

(50)

Diketahui terbuka. Berdasarkan diperoleh bahwa dan yang berarti bahwa .

Diketahui , seperti halnya pada diperoleh bahwa terbuka yang artinya juga terbuka.

Suatu titik di disebut sebagai titik limit jika memenuhi definisi 2.1.13. Jika setiap titik limit dari suatu himpunan adalah himpunan bagian dari himpunan tersebut, maka himpunan itu dikatakan himpunan tertutup. Lebih jelasnya himpunan tertutup didefinisikan pada definisi 2.1.14. Teorema 2.1.6 mengatakan hubungan antar himpunan terbuka dan himpunan tertutup. Melalui teorema 2.1.6 ini dapat diketahui bahwa jika suatu himpunan adalah tertutup maka komplemennya terbuka, demikian pula jika komplemen suatu himpunan adalah terbuka maka himpunannya tertutup. Dengan kata lain berlaku biimplikasi antara himpunan dan komplemen himpunannya.

(51)

Himpunan bagian dari ruang metrik dikatakan tertutup jika memuat setiap titik limitnya dengan kata lain .

Diberikan ruang metrik dan . tertutup di jika dan hanya jika terbuka di .

Bukti :

Andaikan tertutup di , akan dibuktikan terbuka di . Jika maka dan merupakan himpunan terbuka menurut teorema 2.1.4. Asumsikan bahwa . Ambil sebarang maka . Karena tertutup dan maka bukan titik limit sehingga terdapat sedemikian sehingga . Oleh karena itu yang berarti bahwa terbuka.

Sebaliknya, andaikan terbuka akan dibuktikan tertutup. Ambil dan titik limit . Andaikan bahwa maka . Karena terbuka maka terdapat sehingga yang berarti . Akibatnya bukan titik limit , kontradiksi dengan titik limit . Sehingga haruslah

.

(52)

Gabungan himpunan dengan himpunan titik limitnya disebut sebagai closure (penutup). Lebih jelasnya, pada definisi 2.1.15 didefinisikan closure dari suatu himpunan.

Teorema 2.1.7 (Shirali dan Vasudeva, 2006:74) Diberikan ruang metrik maka

dan adalah himpunan tertutup

Irisan dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup

Gabungan berhingga dari himpunan-himpunan tertutup adalah tertutup Bukti :

Himpunan kosong tidak memuat titik di dalamnya, syarat bahwa himpunan tertutup memuat semua titik limitnya terpenuhi oleh himpunan kosong. Sebarang ruang memuat semua titik, berarti bahwa memuat semua titik limitnya.

Diberikan himpunan keluarga himpunan tertutup di dan . Menurut teorema 2.1.6, tertutup jika terbuka. Dengan hukum De Morgan

(⋂ ) ⋃

(53)

Diberikan keluarga berhingga himpunan-himpunan tertutup dan misalkan . Menurut teorema 2.1.6 tertutup jika terbuka. Dengan hukum De Morgan diperoleh

(⋃

) ⋂

Diketahui untuk setiap adalah tertutup maka menurut teorema 2.1.6 untuk setiap adalah terbuka. Dengan menggunakan teorema 2.1.4 adalah himpunan terbuka. Karena maka terbuka sehingga tertutup.

Misalkan himpunan bagian dari ruang metrik . Himpunan disebut closure (penutup) dari dan dinotasikan dengan ̅.

Contoh 2.1.12

Diberikan ruang metrik adalah jarak Euclides di dan himpunan dengan . Titik limit adalah 2, maka ̅ .

Sebelum mempelajari tentang ruang metrik yang kompak perlu diketahui terlebih dahulu tentang selimut. Pada definisi 2.1.16 didefinisikan suatu selimut terbuka dari ruang metrik.

(54)

, maka disebut selimut terbuka dari . Keluarga bagian dari yang merupakan selimut terbuka dari disebut selimut bagian.

Contoh 2.1.13

Gabungan keluarga interval-interval terbuka pada adalah selimut terbuka di .

Ruang metrik dikatakan kompak jika setiap selimut terbuka dari mempunyai suatu selimut bagian berhingga yaitu keluarga bagian berhingga

sedemikian sehingga .

Contoh 2.1.14

Diberikan himpunan bagian terbatas dari ruang metrik . adalah himpunan kompak

Bukti :

Misalkan dan selimut terbuka dari dengan maka . Untuk ada , sedemikian sehingga

. Demikian juga untuk ada , sedemikian sehingga . Berlaku seterusnya hingga untuk ada sedemikian sehingga

(55)

Diberikan ruang metrik dan himpunan bagian tak kosong dari . dikatakan terbatas jika terdapat sedemikian sehingga .

Definisi 2.1.18 mendefinisikan tentang keterbatasan suatu himpunan. Himpunan yang terbatas adalah himpunan yang memiliki nilai maksimum untuk setiap titik-titik pada himpunannya. Nilai maksimum jarak dalam definisi 2.1.18 ditandakan dengan suatu konstantan real . Selanjutnya, melalui teorema 2.1.8 ditunjukkan bahwa himpunan kompak dari suatu ruang metrik adalah tertutup dan terbatas. Melalui teorema 2.1.8 ini secara tidak langsung menunjukkan bahwa adanya keterkaitan antara kekompakan, ketertutupan, dan keterbatasan dari suatu himpunan.

Diberikan ruang metrik dan . Jika himpunan kompak dari maka tertutup dan terbatas.

Bukti :

(56)

memenuhi ( ) ( ) . Misalkan maka himpunan bagian terbuka dari yang memuat . Selanjutnya dibuktikan bahwa . Jika maka untuk suatu dalam dan . Akibatnya ( ) ( ) maka kontradiksi dengan ( ) ( ) sehingga tidak ada titik di yang dapat menjadi titik limit di . Akibatnya semua titik di titik limit , sehingga tertutup.

Selanjutnya akan dibuktikan terbatas. Jika tidak terbatas maka terdapat dan di sedemikian sehingga untuk sebarang bilangan positif , . Mengingat kembali untuk titik pusat bola buka di , untuk jelas bahwa . Karena kompak maka terdapat sedemikian sehingga . Misalkan { ( ) }. Terdapat dan di sedemikian sehingga . Karena maka terdapat dan sedemikian sehingga dan . Menurut ketaksamaan segitiga diperoleh ( ) ( ) . Kontradiksi dengan , sehingga terbatas.

B. Ruang Fraktal

(57)

gabungan dari himpunan-himpunan kompak yang membentuk suatu ruang. Ruang tersebut dilengkapi dengan metrik yang dinamakan metrik/jarak Hausdorff. Ruang yang terbentuk dengan gabungan himpunan-himpunan kompak yang dilengkapi dengan metrik Hausdorff tersebut dinamakan ruang Fraktal. Pada definisi 2.2.1 berikut ini didefinisikan yang merupakan ruang yang titik-titiknya (elemen-elemennya) merupakan himpunan bagian tak kosong yang kompak.

Pada definisi 2.1.1 telah didefinisikan sebagai metrik pada . Pada ruang fraktal himpunan yang dipakai bukan lagi tetapi yang telah disinggung sebelumnya. Konsep jarak/metrik pada berbeda dengan jarak pada . Definisi 2.2.2, 2.2.3, dan 2.2.4 mendefinisikan tentang pengertian jarak pada . Dari definisi-definisi jarak pada ini, diturunkanlah suatu teorema yang menyatakan adalah suatu metrik pada . Sehingga, jika dalam ada sebagai metrik maka di dalam ada sebagai metriknya.

Misalkan adalah ruang metrik lengkap. Kemudian didefinisikan sebagai ruang yang titik-titiknya adalah himpunan bagian yang kompak dari yang tak kosong.

(58)

Diberikan ruang metrik lengkap dan didefinisikan . adalah jarak dari himpunan ke himpunan .

Contoh 2.2.1

Tentukan jika adalah dengan jarak Euclides, dan

Penyelesaian :

Infimum dari dicapai ketika yaitu . Jadi .

Contoh 2.2.2

Diketahui ruang metrik lengkap. Buktikan bahwa jika maka

Bukti :

Diberikan ruang metrik lengkap . Jarak Hausdorff antara titik dan di didefinisikan oleh

(59)

Teorema 2.2.1 (Edgar, 2008:72)

Diberikan ruang metrik . Fungsi Hausdorff adalah metrik pada . Bukti :

metrik jika memenuhi aksioma-aksioma pada definisi 2.1.1. Maka akan dibuktikan memenuhi aksioma-aksioma tersebut.

Untuk maka terdapat sehingga dan . Jadi jelas bahwa

. maka . Karena dan maka

Akan dibuktikan terlebih dahulu bahwa Ambil sebarang maka

Jadi dengan cara yang sama akan diperoleh juga bahwa

Selanjutnya akan dibuktikan

(60)

Berdasar dan terbukti bahwa metrik di .

Himpunan yang dilengkapi dengan metrik atau dinotasikan dengan ini disebut sebagai ruang fraktal.

C. Transformasi

Transformasi menjadi salah satu bagian yang penting dari Geometri Fraktal. Secara khusus geometri fraktal dicirikan dengan transformasi Afin. Pada bagian ini juga akan dibahas tentang similaritas. Similaritas dan Afin menjadi sifat utama dari fraktal. Bangun fraktal seperti : Segitiga Sierpinski dan Kurva Salju Von Koch dapat dibentuk melalui dua sifat ini. Sifat inilah yang menyebabkan suatu bangun fraktal mempunyai kemiripan diri di setiap skala.

a. Transformasi Afin

(61)

Definisi 2.3.1 (Crownover, 1995:62)

Suatu transformasi dari ke adalah suatu pemetaan yang memenuhi untuk setiap dan skalar

Contoh 2.3.1

Sebuah contoh transformasi linear di bidang

, Jika disajikan dalam bentuk matriks sebagai berikut :

Translasi pada adalah pemetaan dengan bentuk , dengan adalah ketetapan atau vektor konstan.

Berdasarkan pembahasan sebelumnya, setiap transformasi Afin pada dapat direpresentasikan dengan matriks vektor sebagai berikut

, Dalam menjadi

[ ]

(62)

Gambar 2.1 Contoh Afinitas

b. Similaritas

Ciri khas lain dari Geometri Fraktal selain Afin diri adalah similaritas atau kesebangunan. Sebelum membahas tentang similaritas terlebih dahulu perlu diketahui tentang pengertian Isometri. Similaritas lekat kaitannya dengan isometri. Kemiripan (similaritas) penting untuk mengkonstruksi bangun fraktal.

Transformasi disebut isometri jika memenuhi | | | |, .

Suatu transformasi disebut similar dengan rasio similaritas jika memenuhi syarat berikut

| | | |

Berikut ini adalah definisi similar untuk suatu transformasi di .

Suatu transformasi disebut similar jika transformasi afin yang mempunyai salah satu dari bentuk

(63)

Untuk translasi , bilangan real , dan sudut dengan . disebut rotasi sudut sedangkan adalah skala. Transformasi linear

adalah suatu rotasi. Transformasi linear

adalah suatu pencerminan.

Berikut ini adalah suatu gambar yang menunjukkan transformasi dan similaritas yang dapat dilakukan untuk suatu gambar

(Sumber : Barnsley, 1988)

(64)

D. Sistem Fungsi Iterasi

Konstruksi bangun fraktal tidak cukup dilakukan hanya dengan satu fungsi. Pembentukan (konstruksi) bangun fraktal membutuhkan banyak fungsi. Kumpulan fungsi-fungsi yang membentuk suatu bangun fraktal inilah yang disebut dengan Iterated Function System (IFS) atau Sistem Fungsi Iterasi. Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI terdiri dari himpunan berhingga pemetaan-pemetaan kontraksi. Berikut ini pada definisi 2.4.1 didefinisikan terlebih dahulu tentang invarian (titik tetap). Suatu titik dalam ruang metrik yang jika ditransformasikan menghasilkan titik itu sendiri disebut titik tetap. Selanjutnya pada definisi 2.4.2 menjelaskan tentang pemetaan kontraksi secara umum. Pemetaan kontraksi inilah yang akan membentuk Sistem Fungsi Iterasi.

Misalkan merupakan transformasi pada ruang metrik. Titik sedemikian sehingga ( ) disebut titik tetap.

Contoh 2.4.1

Diketahui suatu pemetaan dengan dan . Carilah titik tetap .

Jawab :

(65)

titik tetap adalah dan .

Transformasi pada ruang metrik disebut kontraktif atau pemetaan kontraktif jika terdapat sedemikian sehingga ( ) Sebarang bilangan disebut faktor kontraksi .

Contoh 2.4.1

Misalkan transformasi pada ruang metrik , dengan adalah metrik Euclid. Pemetaan didefinisikan oleh , tunjukkanlah bahwa pemetaan kontraktif.

Bukti :

Untuk menunjukkan bahwa adalah pemetaan kontraktif maka perlu ditunjukkan ( ) dengan . Ambil sebarang titik pada misalkan titik dan . Metrik adalah metrik Euclid maka

( ) ((_{) (}₎₎

(66)

dengan terbukti bahwa ( ) sehingga, adalah pemetaan kontraktif.

Berikut ini adalah suatu teorema yang menunjukkan hubungan antara pemetaaan kontraksi dengan titik tetap.

Teorema 2.4.1 (Barnsley, 1988:76)

Misalkan pemetaan kontraksi pada ruang metrik lengkap . Maka memiliki tepat satu titik tetap dan bahkan untuk sebarang titik , barisan konvergen ke . Atau berlaku

Bukti :

Diberikan barisan dengan dengan dan . Berdasarkan ketidaksamaan segitiga berlaku

adalah pemetaan kontraktif, maka untuk berlaku ( )

Diperoleh

(67)

( ) ( ) ( ) _{( )}

( ) ( )

( )

Maka untuk diperoleh

( ₎

( )

Untuk setiap dipilih sedemikian sehingga

( ) .

Untuk , diperoleh ( )

( )

( ) , sehingga merupakan barisan Cauchy. Karena lengkap barisan Cauchy mempunyai titik limit . Selanjutnya akan dibuktikan bahwa adalah titik tetap .

( )

Akan dibuktikan juga bahwa titik tetap adalah tunggal. Misalkan ada titik tetap lain yaitu dengan . Karena dan adalah titik tetap maka

( ) dan ( ).

( ) ( ) ( ) ( )

(68)

Berikut ini adalah Lemma 2.4.1 yang menyatakan hubungan antara pemetaan kontraksi dengan kekontinuan dari suatu fungsi. Jika adalah suatu pemetaan kontraksi pada ruang metrik maka kontinu. Kekontinuan dari suatu fungsi pada ruang metrik , juga mengakibatkan fungsi yang akan memetakan kedirinya sendiri. Lemma 2.4.2 menunjukkan hal tersebut. Pada definisi 2.4.2 telah didefinisikan suatu pemetaan kontraksi pada . Pada Lemma 2.4.3 menunjukkan pemetaan kontraksi pada ( ) sebagai akibat dari Lemma 2.4.1 dan Lemma 2.4.2.

Lemma 2.4.1 (Barnsley, 1988:80)

Misalkan adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik . Maka kontinu.

Bukti :

Diberikan misalkan adalah fraktor kontraksi . Terdapat sedemikian sehingga Dipilih maka diperoleh ( ) .

Lemma 2.4.2 (Barnsley, 1988:80)

Misalkan adalah pemetaan kontinu pada ruang metrik , maka memetakan ke dirinya sendiri.

Bukti :

(69)

barisan tak hingga di . Karena kompak maka tedapat subbarisan { } yang konvergen ke titik Tetapi karena kontinu maka { ( )} adalah subbarisan yang konvergen ke . Sehingga kompak.

Lemma 2.4.3 (Barnsley, 1988:80)

Misalkan adalah pemetaan kontraksi pada ruang metrik dengan faktor kontraksi . Maka yang didefinisikan dengan adalah pemetaan kontraksi pada ( ) dengan faktor kontraksi .

Bukti :

Berdasarkan Lemma 2.4.1 kontinu dan berdasarkan Lema 2.4.2 memetakan ke dirinya sendiri. Misalkan maka.

( ) { { ( ) } }

Dengan cara yang sama diperoleh ( ) akibatnya ( ) ( ) ( )

(70)

Sistem Fungsi Iterasi terdiri atas ruang metrik lengkap dengan himpunan berhingga pemetaan kontraksi yang masing-masing faktor kontraksinya adalah dengan . Sistem Fungsi Iterasi atau disingkat SFI dinotasikan dengan dan faktor kontraksinya .

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal ada dua algoritma yang digunakan. Kedua algoritma untuk mengkonstruksi bangun fraktal yaitu Random Iteration Algorithm (Algoritma Random Iterasi) dan Deterministic Algorithm (Algoritma Deterministik). Kedua algoritma ini tidak dibahas secara mendalam karena penelitian ini bukan membentuk/mengkonstruksi bangun fraktal, namun menganalisis bangun fraktal yang sudah ada. Untuk menunjukkan perbedaan keduanya berikut ini disajikan gambar 2.3 sebagai ilustrasi dari dua algoritma tersebut.

Gambar 2.3 (a) Ilustrasi algoritma

Deterministik untuk Segitiga Sierpinski

Gambar 2.3 (b) Ilustrasi algoritma Random Iterasi untuk Segitiga

Sierpinski

(71)

Contoh 2.4.2

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Segitiga Sierpinski seperti pada gambar 2.3 dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini.

[ ]

[ _] [_]

Sehingga, SFI untuk Segitiga Sierpinski gambar 2.3 adalah dengan fraktor kontraksi .

Contoh 2.4.3

Untuk mengkonstruksi bangun fraktal Kurva Koch seperti pada gambar 1.1 (b) dibutuhkan Sistem Fungsi Iterasi seperti berikut ini.

[ _]

[_] [_]

(72)

49 BAB III

ANALISIS FRAKTAL

Analisis Fraktal dilakukan dengan menggunakan teori Regresi Linear dan Dimensi Fraktal. Langkah awal dari analisis fraktal adalah menentukan dimensi fraktal dari suatu bangun fraktal. Pada bab ini dibahas dua metode untuk menentukan dimensi fraktal yaitu metode dimensi Hausdorff dan metode dimensi Kotak. Persamaan garis regresi diperlukan untuk menentukan dimensi fraktal dengan metode dimensi Kotak. Gradien dari persamaan garis regresi inilah yang menjadi dimensi fraktalnya. Untuk membantu menentukan dimensi fraktal dari citra digital, pada penelitian ini digunakan program yang dibuat dalam MATLAB.

A. Regresi Linear

(73)

mencari nilai prediksi bagi , sehingga dengan hanya mengetahui nilai akan dapat diprediksi besar nilai .

Definisi 3.1.1 (Walpole, et. al., 2012:396) Persamaan Garis Regresi ditentukan oleh :

̂

dengan dan adalah koefisien regresi, dan ditentukan oleh ∑ ∑ ∑

∑ ∑ ∑ ̅ ̅

∑ ̅ ∑ ∑

̅ ̅

Dengan

: banyaknya pengamatan

: nilai variabel pengamatan ke-: nilai variabel pengamatan ̅ : rata-rata

̅ : rata-rata