• Tidak ada hasil yang ditemukan

BAHAN AJAR BARISAN DAN DERET KELAS VIII KURIKULUM 2013

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Membagikan "BAHAN AJAR BARISAN DAN DERET KELAS VIII KURIKULUM 2013"

Copied!
17
0
0

Teks penuh

(1)

BAHAN AJAR

BARISAN DAN DERET KELAS VIII

KURIKULUM 2013

Oleh:

Widyaningsih, S. Pd

(2)

2

BARISAN DAN DERET

A. Pola Bilangan

Pola adalah sebuah susunan yang mempunyai bentuk yang teratur dari bentuk yang satu ke bentuk berikutnya.

Bilangan adalah sesuatu yang digunakan untuk menunjukkan kuantitas (banyak, sedikit) dan ukuran (berat, ringan, panjang, pendek, luas) suatu objek. Bilangan ditunjukkan dengan suatu tanda atau lambang yang disebut angka.

Pola bilangan adalah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu. Contoh bilangan-bilangan yang memiliki pola adalah nomor rumah di perumahan, rumah –rumah disebelah kiri bernomor 1,3,5,7,9, ..., 87 sedangkan rumah-rumah disebelah kanan bernomor 2, 4, 6, 8, ... , 88. Kedua contoh tersebut merupakan bilangan yang berpola karena memiliki selisih 2 tiap sukunya.

Berikut ini adalah contoh pola-pola bilangan yaitu : 1. Pola Garis Lurus

Penulisan bilangan yang mengikuti pola garis lurus merupakan pola bilangan yang paling sederhana. Suatu bilangan hanya digambarkan dengan noktah yang mengikuti pola garis lurus. Misalnya,

Mewakili bilangan 2.

Mewakili bilangan 3.

Mewakili bilangan 4.

Mewakili bilangan 5.









2. Pola Persegi Panjang

Pada umumnya, penulisan bilangan yang didasarkan pada pola persegi panjang hanya digunakan oleh bilangan bukan prima. Pada pola ini, noktah-noktah disusun menyerupai bentuk persegi panjang.

Misalnya,

(3)

3

mewakili bilangan 6, yaitu 2 x 3 = 6

mewakili bilangan 8, yaitu 2 x 4 = 8

mewakili bilangan 6, yaitu 3 x 2 = 6

  

  

   

   

 

 

  3. Pola Persegi

Penulisan pola bilangan yang mengikuti pola persegi. Semua noktah digambarkan dengan jumlah yang sama. Perhatikan uraian berikut.

mewakili bilangan 1, yaitu 1 1 = 1

mewakili bilangan 4, yaitu 2 × 2 = 4

mewakili bilangan 9, yaitu 3 3 = 9

mewakili bilangan 16, ya

 

 

  

  

  

   

   

   

   

itu 4 4 = 16

Bilangan-bilangan tersebut merupakan bilangan kuadrat (pangkat dua).

4. Pola Segitiga

Bilangan pun dapat digambarkan melalui noktah yang mengikuti pola segitiga.

(4)

4 mewakili bilangan 1

mewakili bilangan 3

mewakili bilangan 6

 

 

  

Bilangan yang mengikuti pola segitiga dapat dituliskan sebagai berikut.

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, ...

Ternyata, bilangan-bilangan tersebut dibentuk mengikuti pola sebagai berikut:

5. Pola Bilangan Ganjil dan Genap

a. Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.

(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.

(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

b. Pola bilangan ganjil memiliki aturan sebagai berikut.

(1) Bilangan 1 sebagai bilangan awal.

(2) Bilangan selanjutnya memiliki selisih 2 dengan bilangan sebelumnya.

6. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Bilangan yang berpola segitiga Pascal selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1. Selain itu, di dalam susunannya selalu ada angka yang diulang. Adapun aturan-aturan untuk membuat pola

(5)

5

segitiga Pascal adalah sebagai berikut:

a. Angka 1 merupakan angka awal yang terdapat di puncak.

b. Simpan dua bilangan di bawahnya. Oleh karena angka awal dan akhir selalu angka 1, kedua bilangan tersebut adalah 1.

c. Selanjutnya, jumlahkan bilangan yang berdampingan. Kemudian, simpan hasilnya di bagian tengah bawah kedua bilangan tersebut.

d. Proses ini dilakukan terus sampai batas susunan bilangan yang diminta.

B. Barisan dan Deret 1. Barisan Bilangan

Barisan bilangan adalah urutan bilangan yang dibuat dengan suatu aturan tertentu. Bilangan-bilangan yang menyusun barisan disebut suku.

Contoh:

a. 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...

Aturan: menambahkan dengan 1 atau urutan bilangan cacah.

Suku ke-1 adalah 0, ditulis U1 = 0 Suku ke-2 adalah 1, ditulis U2 = 1 Suku ke-3 adalah 2, ditulis U3 = 2

Suku ke-4 adalah 3, ditulis U4 = 3, dan seterusnya.

b. 20, 17, 14, 11, 8, ...

Aturan: mengurangkan dengan 3.

U1 = 20, U2 = 17, U3 = 14, U4 = 11, U5 = 8, dan seterusnya.

c. 1, 2, 4, 8, 16, 32, ...

Aturan: mengalikan dengan bilangan 2.

(6)

6

U1 = 1, U2 = 2, U3 = 4, U4 = 8, U5 = 16, dan seterusnya.

d. 486, 162, 54, 18, 6, ...

Aturan: dibagi dengan bilangan 3.

U1 = 486, U2 = 162, U3 = 54, U4 = 18, U5 = 6, dan seterusnya.

2. Deret

Perhatikan ,barisan berikut ini : a. 2 , 4 , 6, 8, 10, 12 ,... Un

b. 1, 3, 7 , 9, ... Un

Berdasarkan pola barisan contoh diatas , dapat diperoleh penjumlahan sebagai berikut :

a. 2 + 4 + 6 + 10+ 12+ ...+ Un ( deret ) b. 1+ 3 + 7 + 9, ... Un (deret )

Penjumlahan suku-suku pada barisan-barisan tersebut seperti contoh diatas dinamakan Deret. Sehingga :

C. Aritmatika

1. Barisan Aritmatika

a. Menentukan suku ke-n barisan aritmetika

Barisan bilangan dapat diteruskan sampai takterhingga. Untuk menentukan suku tertentu dari suatu barisan bilangan, diperlukan pola tertentu yang dapat memudahkan pencariannya. Pola tertentu tersebut merupakan rumus aljabar yang menghubungkan barisan bilangan yang diketahui dengan bilangan asli.

Contoh:

1) Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ..., n

Bilangan ganjil 2 2 2 2 2

1 3 5 7 9 11 ...Un ...?

 Jika adalah suatu barisan maka dinamakan deret

(7)

7

Aturan: barisan bilangan ganjil adalah menambahkan dengan 2 untuk setiap suku berikutnya.

U1 = 1 = (2 1) - 1 U2 = 3 = (2 2) - 1 U3 = 5 = (2 3) - 1 U4 = 7 = (2 4) - 1 U5 = 9 = (2 5) - 1

U6 = 11 = (2 6) - 1 .

. .

Un = 2n-1

2) Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5 ..., n Barisan bilangan

4 4 4 4 4

6 10 14 18 22 26 ...Un ...?

Aturan: barisan bilangan ganjil adalah menambahkan dengan 4 untuk setiap suku berikutnya.

U1 = 6 = (4 1) + 2 U2 = 10= (4 2) + 2 U3 = 14= (4 3) + 2 U4 = 18= (4 4) + 2 U5 = 22= (4 5) + 2 U6 = 26= (4 6) + 2 .

. .

3) Bilangan asli 1, 2, 3, 4, 5, ..., n Barisan bilangan

(8)

8

5 5 5 5

5

100 95 90 85 80 75 ...Un ...?

Aturan: barisan bilangan ganjil adalah menambahkan dengan 4 untuk setiap suku berikutnya.

U1 = 100 = 105 - (5 1) U2 = 95 = 105 - (5 2) U3 = 90 = 105 - (5 3) U4 = 85 = 105 - (5 4) U5 = 80 = 105 - (5 5) U6 = 75 = 105 - (5 6) .

. .

Un = 105 – 5n

Dari ketiga contoh tersebut, terlihat baha suku-suku berurutan pada setiap barisan bilangan mempunyai selisih atau beda yang tepat. Barisan bilangan seperti itu disebut Barisa Aritmetika.

Jika nilai suku-sukunya makin lama makin besar maka disebut Barisan Aritmetika Naik dan jika nilai suku-sukunya makin lama makin kecil, maka disebut Baris Aritmetika Turun.

b. Menentukan suku ke-n dengan rumus

Selain menggunakan pola hubungan barisan bilangan dengan bilangan asli, suku ke-n suatu barisan bilangan juga dapat dicari dengan menggunakan rumus.

i. Barisan Aritmetika

1 2 3 4 5 6 ... n

b

b b b

b

U U U U U U U

Selisih atau beda tiap suku dimisalkan dan suku pertama dimisalkan .

(9)

9

1 2 3

4 5

( 1)

(0 ) (1 ) (2 ) (3 ) (4 ) .

. .

... ( 1)

n

n suku

U a a b

U a b a b

U a b a b

U a b b a b

U a b b b a b

U a b b b b a n b

   

    

    

     

      

        

Jadi, untuk menentukan suku ke-n (Un) dari barisan aritmetika digunakan rumus:

( 1) Un  a nb

Dimana = U1 dan b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = ...

Contoh:

1. Diketahui barisan aritmetika 2, 5, 8, 11, 14, ...

Tentukan rumus suku ke-n dan nilai suku ke-100 Penyelesaian:

Diketahui = 2 dan b = 5 – 2 = 3, maka Un = + (n – 1)b U100 = 3(100) – 1

= 2 + (n – 1)3 = 300 – 1

= 2 + 3n – 3 = 299

= 3n – 1

Jadi, Un = 3n – 1 dan U100 = 299

2. Suatu suku ke-20 baris aritmetika yakni 225 sedangkan selisih tiap suku adalah 5. Tentukan suku pertama dan suku ke 10!

Penyelesaian:

Diketahui U20 = 225 dan b = 5, maka

Un = + (n – 1)b U10= 130 + (101)5 U20 = + (20 – 1)5 = 130 + 45=175

(10)

10 225 = + (19)5 225 = + 95 = 225 – 95 = 130

Jadi, U1 = 130 dan U10 = 175

2. Deret Aritmatika Contoh deret :

1) 1 + 3+ 5 + 7 +9 + ... + Un

Deret ini disebut deret aritmatika naik karena nilai Un semakin besar.

2) 99 + 96 +93 +90 + ...+ Un

Deret ini disebut deret aritmatika turun karena nilai Un semakin kecil Untuk menentukan suku-suku pada deret aritmatika dapat dilakukan sebagai berikut :

Misalkan , jumlah n suku pertama deret tersebut dilambangkan dengan Sn maka

( ) ... ( ( 2) ) ( ( 1) )

( ( 1) ) ( ( 2) ) ... ( )

S a a b a n b a n b

n

S a n b a n b a b a

n

         

         

+ 2Sn (2a (n 1)b (2a (n 1)b ... (2a (n 1) )b

n suku

         

 

2 (2 ( 1) ) 2 ( 1)

n n 2

Sn a n b maka Sn a n b

Jadi , jumlah n suku pertama deret aritmatika adalah :

Oleh karena U a (n 1)b n   

, rumus Sn dapat dituliskan :

Contoh :

1) Tentukan jumlah bilangan bulat antara 250 dan 1000 yang habis dibagi 7.

Penyelesaian :

(11)

11

Jumlah bilangan bulat antar 250 sampai 1000 yang habis dibagi 7 adalah

252 + 259 + 266 + ... + 994 .

252, 7 dan n 994 sehingga

abU

107

( 1) 994 252 ( 1)7

994 252 7 7

994 245 7

7 994 245

7 749

107

( )

2

107(252 994) 66.661 2

n

n n

U a n b

n n n n

n n

S n a U

S

  

  

  

 

 

 

  

2) Sebuah perusahaan tas memproduksi 2000 buah tas di tahun pertama produksinya. Karena hasil penjualannya terus meningkat maka pemilik perusahaan menaikkan produksinya sebesar 10 % dari produksi awal tiap tahunnya. Tentukanlah :

a. Jumlah tas yang diproduksi pada tahun ke-5 . b. Jumlah tas yang diproduksi hingga tahun ke-5 Penyelesaian :

Diketahui : Suku pertama (a) = 2000 Beda (b) = 10% × 2000= 200 n=5

Ditanyakan :

a. Jumlah tas yang diproduksi pada tahun ke-5 (U5) b. Jumlah tas yang diproduksi sampai tahun ke-5 (S5) Jawab :

Menentukan U5

(12)

12

5

( 1)

2000 (5 1)200 2000 (4)200 2800

Un a n b

U

  

  

 

Jadi jumlah tas yang diproduksi pada tahun ke -5 adalah 2800.

Menentukan S5

 

 

5

2

5 2000 2800 2

12000

n n

S n a U

S

 

 

Jadi jumlah tas yang diproduksi dari awal sampai tahun ke-5 adalah 12.000.

D. Geometri

1. Barisan Geometri

Barisan geometri yaitu barisan bilangan yang mempunyai perbandingan atau rasio tetap untuk dua suku berurutan. Bila rasio dari barisan lebig dari satu maka disebut Barisan Geometri Naik, dan jika kurang dari satu maka disebut Barisan Geometri Turun.

1. Barisan geometri

1 2 3 4 5 ... n

b b

b b

b

U U U U U U

Misalkan:

(13)

13

1

0 1

1 2

2 3

3 4

4 5

1

( 1)

, :

. . .

... n

n

n faktor

U a maka

U a a r

U a r a r

U a r r a r

U a r r r a r

U a r r r r a r

U a r r r r a r

  

   

    

     

      

       

Jadi, untuk menentukan suku ke-n barisan geometri, digunakan rumus:

1 n

Unar

Dimana, = U1 dan r = = = ... (r = rasio) a. Contoh:

 Diketahui barisan geometri 3, 6, 12, 24, 48, ...

Tentukan suku ke 10 Penyelesaian:

= 3 r = = 2

1 n

Una x r U10 = 3 x 210-1 = 3 x 29 = 3 x 512 = 1536

Jadi, suku ke-10 barisan geometri diatas adalah 1536.

 Diketahui suku ke-6 suatu barisan geometri adalah 486. Jika suku yang pertama 2, tentukan rasio dan rumus suku ke-n Penyelesaian:

a. Menentukan rasio terlebih dahulu

(14)

14

1

6 1 6

5

5

5

5 5

486 2 486

2 243 3 3

n

Un a r

U a r

r r

r r r

 

 

 

b. Menentukan rumus suku ke n

1

2 3 1 n n

n n

U a x r

U x

2. Deret Geometri

Dari bagian sebelumnya ,kita ketahui bahwa jika U U U1, 2, 3,...,Un adalah barisan geometri maka suku-sukunya dapat ditulis a, ar , ar2, ar3, ... , ar n-1. Jika setiap suku barisan geometri tersebut dihubungkan dengan operasi “+” , maka kita akan mendapatkan barisan penjumlahan .

Barisan penjumlahan diatas dinamakan deret geometri .

Misalkan jumlah n suku pertama deret geometri dilambangkan dengan Sn maka berlaku hubungan berikut :

2 1

1

...

... ( )

n n

n

n n

n

S a ar ar ar

rS ar ar ar dikalikan r

    

   

(1 )

(1 ) (1 ) (1 )

n

n n

n n

n

n

n

n

S rS a ar

r S a ar S a ar

r

a r

S r

  

  

 

 

2 3 2 1

... n n

aararar  ar ar

(15)

15

Apabila baris ke-2 kita kurangkan dengan baris ke-1 maka akan di peroleh

( 1)

( 1) ( 1)

( 1)

( 1)

n

n n

n n

n n

n

n

rS S a ar

S r ar a

S r a r S a r

r

   

  

  

 

Dengan demikian jumlah n suku pertama deret geometri adalah sebgai berikut :

Contoh :

1. Tentukan jumlah delapan suku pertama adalah dari barisan 2, 6, 18, 54 ,...

Penyelesaian :

2 6 3

adan r 2

 

1

n

n

r a

S r

 

 sehingga

8 8

2(3 1) (6561 1)

2 6560

3 1 2

S     

jadi jumlah delapan suku pertamanya adalah 6560

2. Diketahui barisan geometri : 3, 6, 12, 24, 48, ..., Un. Tentukan suku ketujuh (U7) dan jumlah tujuh suku pertamanya (U7).

Jawab:

 Menentukan suku ke-7

(16)

16

1

6 7

3(2)6

3 64 192

n

Un ar maka

U ar

 

 Menentukan jumlah tujuh suku pertama

7 7

( 1) 1 3(2 1)

2 1 3(128 1)

2 1 3(127)

1 381

n

n

S a r r S

 

 

 

(17)

17

DAFTAR PUSTAKA

Avianti Nuniek. 2007 . Mudah Belajar Matematika. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional

Wagiyo, dkk.2008. Pegangan belajar matematika. Jakarta: PT Galaxy Puspa Mega

Djumanta,wahyusdin,dkk. 2008. Belajar Matematika Aktif dan Menyenagkan. Jakarta: PT.Setia Purna Invest

Referensi

Dokumen terkait

Pengaruh jumlah laju alir fase air dan fase organik pacta stripping uranium proses purex siklus 1 menggunakan pelarut asam nitrat encer (0,025 N) :;~cara kontinyu, untuk

K;S<-* : Membentuk  Menunuk Super'isor dan Koordinator !elaksana kegiatan dalam rangka #erakan Satu $umah Satu %umantik di Desa  Kelurahan ...Kecamatan ...Kabupaten

3.5.1. Jika seseorang melaksanakan hak dan kewajibannya sesuai dengan kedudukannya, ia telah menjalankan suatu peranan. Pembedaan antara kedudukan dan

Yang harus dilakukan adalah memberikan nilai evaluasi pada setiap mobility dengan cara memperhitungkan beberapa factor diantaranya adalah jumlah petak, 5 daerah petak,

Termasuk dalam pendapatan ini yaitu jasa yang diberikan oleh anggota rumah atau orang lain untuk kepentingan rumah tangga yang dapat dinilai dengan uang.. Pendapatan yang

Rasio ini merupakan rasio yang menunjukkan posisi kas yang dapat menutupi hutang lancar dengan kata lain Cash Rasio merupakan rasio yang menggambarkan kemampuan kas

The drying rate constants derived from fitting the experi- mental data with Page’s model were four times higher when the drying temperatures were increased from 40 ∘ C to 60 ∘ C

Self-efficacy karir dan persepsi terhadap masa depan karir memiliki hubungan yang linier dan mempengaruhi kematangan karir pada siswa SMK PGRI Wonoasri dengan