eksponenlogaritma 131203075411 phpapp01

(1)

(2)

Kelompok 3 :

Amalia Ovi Mustika Seno

04 / X MSc 6

Defiska Andang Nugraha

12 / X MSc 6

Isnan Yunus Alhalim

23 / X MSc 6

Refonda Alam Hagriyatama

34 / X MSc 6

(3)

Kompetensi

Dasar

Setelah mengikuti pembelajaran eksponen dan logaritma siswa mampu:

1. Menghayati pola hidup disiplin, kritis, bertanggung jawab, konsisten, dan jujur

serta menerapkannya dalam kehidupan sehari-hari;

2. Memilih dan menerapkan aturan eksponen dan logaritma sesuai dengan

karakteristik permasalahan yang akan diselesaikan dan memeriksa

kebenaran langkah-langkahnya;

3. Menyajikan masalah nyata menggunakan operasi aljabar berupa eksponen

dan logaritma serta menyelesaikannya menggunakan sifat-sifat dan aturan

(4)

Pengalaman Belajar

Melalui pembelajaran materi eksponen dan logaritma, siswa memperoleh pengalaman belajar: • Mengkomunikasikan karakteristik masalah otentik yang pemecahannya terkait eksponen

dan logaritma;

• Merancang model Matematika dari sebuah permasalahan autentik yang berkaitan dengan

eksponen dan logaritma;

• Menyelesaikan model Matematika untuk memperoleh solusi permasalahan yang diberikan;

• Menafsirkan hasil pemecahan masalah;

• Membuktikan berbagai sifat terkait eksponen dan logaritma;

• Menuliskan dengan kata-katanya sendiri konsep persamaan kuadrat berdasarkan ciri-ciri

yang dituliskan sebelumnya;

• Membuktikan sifat-sifat dan aturan matematika yang berkaitan dengan eksponen dan

logaritma berdasarkan konsep yang sudah dimiliki;

(5)

(6)

EKSPONEN



Fungsi Eksponen

Perhatikan tabel berikut! Ada beberapa sifat grafik fungsi eksponen!

Sifat-sifat tersebut adalah sebagai berikut:

1. Jika x negatif dan rumus fungsi dengan pangkat positif = hasilnya adalah

pecahan

2. Jika x positif dan rumus fungsi dengan pangkat positif = hasilnya adalah

positif

3. Jika x negatif dan rumus fungsi dengan pangkat negatif = hasilnya adalah

positif

4. Jika x positif dan rumus fungsi dengan pangkat negatif = hasilnya adalah

pecahan

5. Jika x nol dan rumus fungsi dengan pangkat positif/negatif = hasilnya adalah satu

x

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

f(x)

=

2

x

⅛

⅟

₄

⅟

₂

1

2

4

8

16

f(x)

=

2

-x

8

4

2

1

⅟

₂

⅟

₄

⅛

⅟

₁₆

f(x)

=

3

x

⅟

₂₇

⅟

₉

⅟

₃

1

3

9

27

81

(7)

-3.5

-3

-2.5

-2

-1.5

-1

-0.5

0:00

0

0.5

1

1.5

12:00

0:00

12:00

0:00

12:00

Y-Values



Bentuk Pangkat



_{Pangkat Bulat Positif}

Misal: a = bilangan real; n = bilangan bulat positif; maka:

an_{= a x a x a x…x a}

Artinya: bilangan a dikalikan sebanyak n faktor; dengan a sebagai basis, dan n

sebagai pangkat, maka dihasilkan an

Contoh:

1. 22 _{= 2 x 2 = 4}

2. 35 ₌_{3 x 3 x 3 x 3 x 3 = 243}

3. -24 _{= - (2 x 2 x 2 x 2) = -16}

4. (-5)2 _{= (-5 x -5) = 25}

(8)

•

Sifat-Sifat Pangkat Bulat Positif

1. a

m

x a

n

= a

m+n

Dimana; a bilangan real, m dan n bilangan bulat positif

- Bukti:

am_{x a}n _{= a x a x a x…x a x a x a x a x…x a}

= a x a x a x a x a

= am+n

- Contoh:

1. 5

3

x 5

2

= 5

3+2

= 5

5

= 3125

2. 9

2

x 27

2

= (3

2

)

2

x (3

3

)

2

= 3

4

x 3

6

= 3

4+6

= 3

10

= 59049

n faktor m faktor

(9)

2. a

m

: a

n

= a

m-n

- Bukti:

am_{: a}n _{= a x a x a x…x a : a x a x a x…x a}

= a x a x a x a x a

= am-n

- Contoh:

1. 3

5

: 3

2

= 3

5-2

= 3

3

= 27

2. 2

3

: 8

= 2

3-3

= 2

0

= 1

3. 2

2

: 4

2

= 2

2

: (2

2)2

= 2

2-4 _{= 2}-2

=

⅟

4

m faktor _{n faktor}

(10)

3. (a

m

)

n

= a

mxn

- Bukti:

(am₎n _{= a}m_{x a}m _{x a}m_{…x a}m

=

ax ax a…x a ax ax a…x a ax ax a…x a … ax ax a…x a

= ax ax a…x a = amxn

- Contoh:

1. (2x8⅓₎2 _{= (2}1+1₎2

= (22₎2

= 24

= 16

n faktor

m faktor m faktor m faktor m faktor

n faktor

(11)



Pangkat Nol

Diperoleh dari sifat am_:an_=am-n_{, jika}_a_{bilangan real,}_m_dan_n_{bilangan bulat}

positif, dan m = n.

- _{Bukti :}

25_{: 2}5_{= 2 x 2 x 2 x 2 x 2}

2 x 2 x 2 x 2 x 2 Jadi, a0 _{= 1}



Pangkat Bulat Negatif

Perhatikan pola pemangkatan berikut ini!

22_{= 4} ₂-1₌⅟₂

21_{= 2} ₂-2₌⅟₄

20_{= 1} _dst…

Jadi, a-n_{= 1}n

- _{Bukti :}_a-n_{= 1}n _{= 1 =}₁

= 1

a

a a x a x a x…x a

n faktor

(12)



Pangkat Pecahan

-

Misal: a bilangan bulat dan a ≠ 0; m dan n bilangan bulat positif,

Maka:

Contoh:

- Misal: a bilangan bulat dan a ≠ 0; m dan n bilangan bulat positif,

Maka:

Contoh:

(13)

•

Sifat-Sifat Pangkat Pecahan

1.

- Misal: a bilangan bulat dan a > 0, dan adalah pecahan, n ≠ 0. - Contoh:

2.

- Misal: a bilangan bulat dan a > 0, dan adalah pecahan, n ≠ 0.

(14)

(15)

• Sederhanakanlah operasi pemangkatan berikut ini!

1.)

2.)

3.)

4.)

5.)

(16)



Bentuk Akar

Sebelum mempelajari bentuk akar, terlebih dahulu mengetahui konsep:

• Bilangan Rasional

Adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk , dengan a dan b bilangan

bulat dan b ≠ 0.

- Contoh : ¼, ½, ¾, 2, 3, , dll. • Bilangan Irrasional

Adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk pecahan, dan mengandung

bentuk desimal yang tak terhingga dan tak berpola. - Contoh: , , , dll.

Bilangan Irrasional yang menggunakan tanda akar ( ) dinamakan bentuk akar. Namun, tidak semua bilangan yang berada dalam tanda akar merupakan bentuk akar.

(17)



Operasi pada Bentuk Akar

• Penjumlahan dan Pengurangan

Dimana, p,q,r bilangan real dan r ≥ 0; maka berlaku:

• Perkalian dan Pembagian

Beberapa sifat perkalian dan pembagian pada bentuk akar adalah sebagai berikut:

- Perkalian:

- Pembagian:

(18)



Merasionalkan Penyebut Bentuk Akar

Pada prinsipnya, cara merasionalkan penyebut bentuk akar suatu pecahan adalah dengan mengalikannya dengan bentuk akar sekawannya.

1. Merasionalkan bentuk

Caranya dengan mengalikan

Jadi:

2. Merasionalkan bentuk dan

Bilangan sekawan dari adalah , dan sebaliknya

(19)

3. Merasionalkan bentuk dan

Bentuk

dan saling sekawan

Jadi:

4. Menyederhanakan bentuk

Coba perhatikan proses berikut ini!

(20)

(21)

Contoh Soal:

•

Penjumlahan dan Pengurangan

1.

2.

•

Perkalian dan Pembagian

1.

2.

•

Merasionalkan

(22)

(23)

(24)

• Carilah hasil dari operasi pengakaran berikut ini!

1.)

2.)

• Rasionalkan penyebut pecahan berikut ini!

3.)

• Tentukan nilai

4.)

• Sederhanakan bentuk akar berikut ini!

5.)

(25)

(26)

LOGARITMA



Hubungan Eksponen dan Logaritma

Logaritma pada hakekatnya merupakan kebalikan dari proses pemangkatan

dan/atau pengakaran.

Unsur Logaritma:

= Basis = Numerus

= Hasil Logaritma

x

m

a

m

a

x



x



a

log



Logaritma

Bentuk

Akar

Bentuk

Pangkat

Bentuk

x

m

(27)



Fungsi Logaritma

Perhatikan tabel berikut! Ada beberapa sifat grafik fungsi logaritma!

Sifat-sifat tersebut antara lain:

1. Jika x pecahan dan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif,hasil = negatif

2. Jika x bilangan bulat positif > 1 dengan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif, hasil = positif

3. Jika x pecahan dan rumus fungsi dengan basis pecahan, hasil = positif

4. Jika x bilangan bulat positif > 1 dengan rumus fungsi dengan basis pecahan, hasil = positif

5. Jika x=1 dengan rumus fungsi dengan basis bilangan bulat positif / pecahan, hasil = nol

x

1

2

3

4

8

9

f(x)

=

2

log

x

-1

-1,5

-2

₀

1

1,5

2

3

3,15

f(x)

=

log

x

1

1,5

2

0

-1

-1,5

-2

-3

-3,15

f(x)

=

3

log

x

-0,5

-1

-1,25

₀

0,5

1

1,25

1,9

2

(28)

(29)

(30)

• Hitunglah nilai dari :

1.)

2.)

3.)

• _Sederhanakan 4.)

5.)

(31)