SUBGRUP NORMAL, GRUP KUOSIEN, HOMOMORFISMA GRUP

SUBGRUP NORMAL, GRUP KUOSIEN,

HOMOMORFISMA GRUP

SUBGRUP NORMAL

Definisi 3,1 (Subgrup Normal

Suatu Subgrup H dari Grup G disebut Subgrup Normal, jika a-1Hamerupakan subset dari H, untuk setiap a E G.

Ekivalen dengan definisi di atas, H adalah Nonnal jika aH

=

Ha, untuk setiap a E G, yakni, jika Koset Kiri dan Kanan dari H sarna.

CONTOH SUBGRUP NORMAL

Contoh 3.1

Misalkan G adalah Grup dari matriks nonsingular 2 x 2, di bawah perkalian matriks. Misalkan H adalah subset dari G berisi semua matriks triangular bawah;

yakni matriks berbentuk

a 0, dengan ad * O.

c d

Akan ditunjukkan bahwa H adalah Subgrup dari G, namun bukanlah Subgrup Normal.

H adalah Tertutup di bawah perkaliandan invers matriks, dan matriks identitas I tennasuk H. KarenanyaH adalah suatu Subgrup dari G. Narnun, H bukan Subgrup ormal karena, sebagai contoh

Misalkan G adalah Grup dari matriks pada Contoh 3.1 di atas. Misalkan K adalah subset dari G berisi matriks berdeterminan 1. Akan ditunjukkan bahwa K adalah.Subgrup onnal dari G.

1 2-1 I 0 1 2 3 -2 1 0 1 2 -1 -4

1 3 1 1 1 3 = _{-1 1 1 3 1} 3 = 1 3

tidak tennasukH.

Contoh

3.2

Karena det(1)

=

I, maka I termasuk K.

Jika A dan B termasuk K, maka

det(AB)

=

det(ALdet(B)

=

⁽¹⁾⁽¹⁾

=

^I

dan karena itu AB termasuk K.

Juga,

det(A-I)

=

^lIdet(A)

=

I

dan karena itu A-I termasuk K. Maka K adalah suatu Subgrop.

Lebih Ianjut, untuk sembarang matriks X pada G dan sembarang matriks A pada K,

det(X-IAX)

=

^I

Karenanya X-lAX termasuk K. Sehingga K adalah suatu Subgrop Nonna!

dari G.

Contoh 3.3

Dibicarakan Gmp Pennutasi S3, yang Tabel Perkaliannya teIdapat pada ambar 2.1. Temyata Subgrop H

=

{e '~I} adalah tidak Nannal.

Koset Kanan dan Kiri dari H adalah sebagai berikut:

KosetKanan H

=

{e'~I}

Hf"1

=

{01,~}

H02

=

^{02'~3}

Koset Kiri H

= {e,od 01H =

^{{e 1'~3}}

02H

=

^{e2,~}

SIFAT SUBGRUP NORMAL Sitat 3.1

Sembarang Subgrup H dari suatu Grup Abel G adalah Nonnal.

Bukti

Misalkan h adalah sembarang elemen dari H dan misalkan g adalah sembarang elemen dari G. Karenanya

Karenanya H adalah Subgrup Nonnal.

Sitat 3.2

Misalkan H adalah Subgrup dari G, dan misalkan K adalah Subgmp Nonnal dari suatu Grup G. HK adalah Subgrup dari G.

Bukti

Kita hams menunjukkan bahwa e e HK dan bahwa HK adalah Tertutup di bawah perkalian dan invers.

Karena H dan K adalah Subgrup, maka ee Hdan

e e K

Karenanya e

=

ee tennasuk HK.

Pandang x, y e HK. Maka

di sini

Maka

xy

=

^h1k1h2~

=

h1h2(~-lkI~)~

Karena K adalah Nonnal,

dan karena U dan K adalah Subgrup, hl~ e H dan

(h£I~~)~ e K

Karenanya xy e UK, dan UK adalah Tertutup di bawah perkalian. Kita dapatkan pula bahwa

Karena K adalah Subgrup Nonnal, h k -Ih -I tennasuk K_{1 1 I} Juga

h -I tennasuk U1

. Oleh karena itu x-I e HK, dan karenanya UK adalah Tertutup di bawah invers..

Jadi UK adalah sebuah Subgrupo

GRUP KUOSIEN

Teorema berikut mendefinisikan Grup Kuosien, GIH, bersangkutan dengan suatu Subgmp Normal H dari G.

Teorema 3.1

MisaIkan H adalah Subgrop Normal dari suatu Grup G. Maka Koset dari H pada G membentuksuatlJGrup di bawah operasiperkalianKosel,yang didefinisikan sebagai (aH)(bH)

= abH.

Grup dari Koset tersebut dinarnakan Grup Kuosien, atau Grup Faktor, ditulis GIH.

Bulctl

PerkalianKosetadalahterdefinisirapih (well-defined),karena

(aH)(bH)

=

^a(Hb)H

=

^a(bH)H

=

ab(HH)

=

^abH

Di sini kita gunakan faletabahwa H adalah Normal, maka Hb

=

^{bH, dan,}

HH=H

Keasosiatifan perkalian Koset adalah berdasarlcan kenyataan bahwa sifat asosiatif terpenuhi pada G. H adalah elemen identitas dari GIH, karena

(aH)H

=

^a(HH)

=

^{aU dan}

H(aH)

=

^(Ha)H

=

^(aH)H

=

aU Terakhir, a-IH adalah invers dari aU karena

(a-IH)(aH)

=

^a-laU

=

^eH

= ^{H ~}

(aH)(a-IH)

=

^aa-IH

=

^eH

=

^H

Karenanya GIH adalah suatlJ Grup di bawah perkalian Kosel.

CONTOH GRUP KUOSIEN

Contoh 3.4

Misalkan Z adalah Gmp dari integer di bawah penjumlahan, dan misalkan H adalah Subgrop dari Z berisi sem08 kelipatan 5. Akan kita tunjukkan bahwa H adalah s08tu SubgropNormaldari Z, dan akan kita tentukan Gmp Kuosien ZIH.

Karena Z adalah Abel, H otomatis adalah Subgrop Normal.

Misalkan 0', I', 2', 3' dan 4' menyatakan,berturut-turot kelima Koset H, yakni

0+ H = H = {..., -10, -5, 0, 5, 10, ...}

1 + H = {..., -9, -4, 1,6, 11, ...}

2 + H = {..., -8, ~3,2, 7, 12, ...}

3 + H = {..., -7, -2, 3, 8, 13, ...}

4 + H = {..., -6, -1,4,9, 14, ...}

Tabel penjumlahanuntuk Gmp Kuosien ZIH

=

{ 0', 1', 2', 3', 4'} adalah

sebagaiberikut

Gmp ini biasanya disebut Gmp Integer Modulo 5, d8n kerapkali dinyatakan dengan Zs' Analog untuk sembarang integer positif m, terdapat Zm, .yang disebut

Gmp Integer Modulo m. .

,

+ 0' l' 2' 3' 4'

0' 0' l' 2' 3' 4'

l' l' 2' 3' 4' 0'

2' 2' 3' 4' 0' l'

3' 3' 4' 0' l' 2'

4' 4' 0' l' 2' 3'

HOMOMORFISMA

Sekarang kita definisikan suatu Hornornorfisma Grup. Juga. didefmisikan suatu Isornorfisma Grup.

Definisi 3.2 Homomorfisma

Suatu pemetaanf dari sebuahGrup 0 (denganoperasi*) ke dalam sebuah Grup 0' [denganoperasi*') adalahsebuahHornornorfisma. jika

f(a*b)

=

f(a) *' f(b), untuk setiap a. b pada G.

Sebagai tambahan, jika f adalah satu-satu (one-to-one) dan onto, maka fadalah suatu isornorfisma.

o dan 0' dikatakanisornorfis,ditulisG .. G'.

Sekarang kita definisikan Kernel dan Image dari suatu Homornorfisma Grup f:O~O'.

Definlsi 3.3

RuangNol atau Kerneldari f, ditulisKer t, adalahhirnpunanelemendari 0 yang petanyaadalahelernenidentitase'dari G':

Ker f = (a e I f(a) = e'}

Ruang Peta atau Image dari f, ditulis f(O) atau 1m f, berisi sernua peta dari elemen 0 di bawah f:

1m f

= (b e 0'1 b = f(a) untukbeberapaa e G}

Istilah Range juga digunakan untuk Image.

CONTOH HOMOMORFISMA

Contoh 3.5

MisalkanG adalah Gmp dari bilanganreal di bawah penjumlahan,dan misalkan G' adalah Grup dari bilangan real positif di bawah perkalian. Akan kita tunjukkan bahwa pemetaan f : G ~ G'., yang didefinisikansebagai f(a)

=

2a, adalah sebuah Homomorfisma. Apakah ia suatu isomorfisma?

Pemetaan f adalah Homomorfisma, karena

f(a+b)

=

^2a+b

=

2~b

=

^f(a)f(b)

Lebih lanjut, karena f satu-satu (one-to-one) dan onto, f adalah sebuah isomorfisma.

Contoh 3.6

Misalkan G adalah Grup dari matriks bujursangkar order n yang real dan nonsingular, di bawah perkalian. Akan kita tunjukkan bahwa fungsi determinan.

adalah suatu Homomorfismadari G ke dalarn G'

.

G' adalah Gmp dari bilangan real tak nol di bawahperkalian.

Misalkan A dan B adalah matriks pada G. Maka det(AB)

=

det(A)

·

^det(B)

Karenanya fungsi determinan adalah suatu Homomorfisma.

SIFAT HOMOMORFISMA

Sifat 3.3

Diberikan suatu Homomorfisma f: G ~ G', berlaku bahwa

f(e) = e'

Buld;

Karena f(e)

=

f(e*e)

=

f(e) *' f(e), maka e'

=

f(e)-l *' f(e)

=

f(e)"1*' (f(e) *' f(e»

=

[f(e)-I *' f(e)] *' f(e)

= e' *' f(e)

= f(e)

Sitat 3.4

Diberikan suatu Homomorfisma f : G ~ G', berlaku bahwa f(a)-l

=

^f(a-I),

unbJk sembarang elemen a pada G.

Buldl

MenggunakanSifat 3.3, kita peroleh

f(a) *' f(a-l)

=

f(a*a-I)

=

f(e)

= e'

= f(e)

= f(a-I*a)

= f(a-I) *' f(a)

Teorema 3.2:

Misalkan f : G ~ G' adalah suatu Homomorfismadengan Kemel K. Maka (i) K adalah suatu Subgrop Nonnal dari G, dan

(ii) Gmp Kuosien GIK adalah isomorfis dengan image dari f.

Bukt;

(i) Dari Sifat 3,

f(e)

=

^e'

maka e E K.

Sekarang p~clang a.b E K clan g E G. Maka f(a)

=

^{e', clan}

f(b) = e'

Karenanya

f(OO) = f(a)f(b)

= e'e'

= e' f(a-I) = f(a)-I

= e'-I

=e'

f(gag-I) = f(g)f(a)f(g-I)

= f(g)e'f(gyl

= (f(g)e')f(gyl

= f(g)f(gyl

= e'

Karenanya 00, a-I, clangag-I tennasuk K. clan karenanya K adalah suatu Subgrup Nonnal.

(ii) Misa1kanH subset 0' adalah image dari ft dan definisikan sebuah pemetaan

0: GIK -+ H dengan0(Ka) =

^f(a).

Kita tunjukkan bahwa (2)adalah terdefinisi rapih; yakni

jika Ka

=

^{Kb, maka}

0(Ka)

=

^0(Kb)

Pandang Ka ^;:: Kb. Dan karenanya ab-1 e K. Maka f(ab-1)

= e', dan

f(a)f(byl = f(a)f(b-1)

= f(ab-1)

= e'

Karenanya f(a)= f(b), dan berarti

0(Ka)

=

0(Kb)

Sehingga 0 terdefmisi rapih.

Kita selanjutnya menunjukkan bahwa 0 adalah suatu Homomorfisma:

0(KaKb)

=

^0(Kab)

=

^f(ab)

=

^f(a)f(b)

=

0(Ka) 0 (Kb)

Karena 0 adalah suatu Homomorfisma. Kita akan menunjukkan bahwa _ adalah satu-satu (one-to-one).

Pandang 0(Ka)

=

0(Kb). Maka f(a)

=

^{f(b) atau}

f(a)f(b)-l

=

e'

f(a)f(b-l)

=

^{e', atau}

f(ab~l) = e'

Karenanya 00-10 K, dan sekali lagi dengan Contoh 2.16, Ka

=

Kb. Sehingga

o

adalah satu-satu (one-tOfne).

Akhimya, kita tunjukkan bahwa

0

adalah onto. Misalkan h 0 H. Karena H adalah image dari f, Terdapat suatu.a e 0 sedemikian sehingga f(a)

=

h. Karenanya 0(Ka)

=

^f(a) = h, dan karenanya 0 adalah onto. Berarti OIK isomorfis dengan H, dan Teorema 3.2(ii) terbukti.

CONTOH LAIN

Contoh 3.7

Misalkan f: 0 -+ 0' didefinisikait sebagai f(z)

=

Izl dengan 0 adalah Grup dari bilangan kompleks tak nol di bawah perkalian, dan 0' adalah Grup dari bilangan real tak nol di bawah perkalian.

(a) Tunjukkan bahwa f adalah sebuah Grup Homomorfisma, (b) Nyatakan secara geometrik kernel K dari Homomorfisma f

(a) f(zlz2)

= ^I

^zlZ:z

^I

=

I zl I I Z:zI

=

f(zl)f(Z:z)

(b) K terdiri dari bilangan kompleks z sedemikian sebingga I z I

=

^{1; yakni,}

K adalah lingkaran berjari-jari satu.

Contoh 3.8

Kita akan menyatakan Orup Kuosien OIK Contoh 3.7 yang laIu.

O/K adalah isomorfis dengan image dari f, yang adalah Grup dari bilangan real positif di bawah perkalian.

Contoh 3.9

Kita tunjukkan bahwa sembarang Grup siklik adalah isomorfis baik terhadap integerZ di bawah penjumlahan,ataupunterhadapZm, integerdi bawah penjumlahan

Misa1kana sembarang elemen pada sebuah Grup G.

Fungsi f : Z --+ G yang didefmisikan sebagai f(n)

=

aD adalah suatu Homomorfisma, u..na

f(m+n)

=

^arn+n

=am.aD

= f(m)f(n)

Image dari suatu gp(a), Subgrup sildik yang dibentuk oleh a. Karenanya, gp(a) isomorfis ZJK, dengan K adalah kernel dari f. Jika K

=

{O},maka gp(a) isomorfis Z. Pada lain pihak, jika m adalah order dari a, maka K = {kelipatan dari m}, dan karenanya gp(a) isomorfis~.