TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY

(1)

TEOREMA TITIK TETAP BANACH UNTUK MENDAPATKAN SYARAT KEKONVERGENAN METODE JACOBY

La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad R¹⁾, La Ode Safrudin ²⁾

1) Staf Pengajar Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Haluoleo, Kendari 93231

2) Alumni Jurusan Matematika, FMIPA, Universitas Haluoleo, Kendari 93231

ABSTRAK

Tulisan ini membahas tentang Teorema Titik Tetap Banach (teorema kontraksi) dan aplikasinya untuk mendapatkan syarat umum kekonvergenan metode Jacoby untuk menyelesaikan sistim persamaan linear. Dengan merekonstrksi satu barisan iteratif (n) pada ruang metrik (X,d), kita dapat menunjukan bahwa limit barisan tersebut merupakan satu-satunya titik tetap dari pemetaan T:X→X. Dengan menggunakan Teorema Titik Tetap Banach dapat diperoleh syarat kekonvergenan suatu metode iterasi suatu sistim persamaan linear seperti dicontohkan pada metode Jacoby.

Kata kunci: Teorema Titik Tetap Banach, sistim persamaan linier, konvergen, Metode Jacoby.

Diterima: Desember 2012

Disetujui untuk dipublikasikan: Maret 2013

1. PENDAHULUAN

Sistim persamaan linier yang ditemui pada bidang aplikasi teknik dan fisika tidak selalu mudah diselesaikan menggunakan metode langsung. Sebagai contoh diskritisasi persamaan differensial Poisson dan Laplace 2D menggunakan metode beda hingga menghasilkan sistim persamaan linier berukuran besar, sehingga dibutuhkan memory komputer yang sangat besar untuk menyelesaikannya. Tetapi bentuk matriknya mempunyai struktur yang teratur dan elemennya kebanyakan nol, sehingga penyelesaian sistim persamaan linier selanjutnya dipilih metode iterasi [1].

Metode iterasi mempunyai kekurangan yakni bisa saja gagal mendapatkan solusi (tidak konvergen). Dengan demikian kajian mengenai syarat kekonvergenan metode iterasi menjadi penting sebelum memumutuskan menggunakan suatu metode iterasi.

Salah satu metode iterasi yang sering digunakan untuk menyelesaikan sistim persamaan linier adalah metode Jacoby. Pada tulisan ini akan dibahas mengenai Teorema Titik Tetap Banach untuk mendapatkan syarat kekonvergenan metode iterasi Jacoby.

(2)

2. TEOREMA TITIK TETAP BANACH [2]

Teorema 1. Teorema Titik Tetap Banach (Teorema Kontraksi)

Misalkan X=(X,d) adalah suatu ruang metrik, dimana X ≠ Ø. Misalkan juga X merupakan ruang metrik yang lengkap dan pemetaan T:X→X adalah suatu kontraksi pada ruang metrik X. Maka pemetaan T mempunyai tepat satu titik tetap.

Bukti:

(i). Pilih ∝ ϵ (0,1) sedemikian hingga d(T((, T(y)) ≤ ∝ (, Untuk setiap , ϵ X,

ambil x0 ϵ X sebarang,

ambil barisan iteratif (xn) di X yang didefinisikan sebagai

x0,x1 = T(x0),x2 = T(x1) T²(x0), … , xn = T(xn-1) = Tⁿ(x0), … ………(1) (ii). Akan ditunjukan bahwa barisan (xn) yang di definisikan diatas

merupakan barisan Cauchy.

Ambil ε > 0 sebarang. Klaim untuk n>m, n, m ϵ N berlaku

d (xm, xn)≤ (∝1−∝d(x⁰,x1) …….………..(2) Pilih k ϵ N, k ≥∝ log( (1−∝/(,

Maka untuk setiap m>n, n, n ϵ k berlaku d(xm,xn) ≤ _"∝^∝^! (,

≤ ^∝^∝^#$%(

&('(∝

)*+,,+'-

"∝ (,

= ₀₍₁^{/( "∝}

,,1_' 0(1_,,1_'

"∝ =

Karena > 0 sebarang maka (3 merupakan barisan Cauchy di X karena X lengkap dan (3 Cauchy di X , maka barisan (3 konvergen di X, sebut

3 → .

(iii). Akan ditunjukan bahwa x merupakan titik tetap dari pemetaan T.

Dari definisi kontraksi dan ketidaksamaan segitiga diperoleh

(, 5( ≤ (, + (, 5( = (, + (5(" , 5(.

(3)

≤ (, +∝ (" , .

Ambil > 0 sebarang,

pilih 7 8 9 sedemikian hingga (, <^/_; dan (" , <^/_; maka *, 5(- <_;^/+^/_;= .

Karena > 0 sebarang, maka *, 5(- = 0, maka menurun sifat metrik

= 5(. Jadi, x adalah titik tetap pemetaan T.

(iv). Akan ditunjukan bahwa merupakan satu-satunya titik tetap pemetaan T.

Misalkan x dan y adalah tetap pemetaan T, maka, 5( = dan 5( = .

Menurut definisi kontraksi,

(, = *5(, 5( - ≤∝ (, = 0.

Karena 0 <∝< 1, maka(, = 0, akibatnya, menurut sifat metrik, x = y.

Jadi, x adalah satu-satunya titik tetap pemetaan T.

Bukti Klaim

Dari definisi kontraksi dan barisan iteratif (3 di > diperoleh (? , = *5(, 5(" - ≤∝ (? ,

=∝ *5(" , 5(";- ≤∝^;(" , ";

… ≤∝( ,

Dengan menggunakan sifat ketidaksamaan segitiga dan jumlah deret geometri maka untuk A > 7 berlaku

(, ≤ (, ? + (, ?; + ⋯ + (3" , 3 ≤ (∝+∝^?+ ⋯ +∝^3"(,

(4)

≤∝ C^"∝_"∝^D(!E (,

Karena 0 <∝< 1, maka pembilang 1 −∝^3"< 1.

Akibatnya,

(, ≤ ∝

1−∝ (, .

Akibat (Iterasi dan error bounds)

Bila kondisi Teorema Titik Tetap Banach (Teorema Kontraksi) dipenuhi, maka barisan iteratif (1) untuk sebarang 8 > konvergen ke titik tetap x yang unik dan pemetaan T. Error estimates adalah prior estimate

(, ≤_"∝^∝^! (, ………(3) dan posterior estimate

(, 3 ≤_"∝^∝^! (,

dengan mengambil A → ∞, maka 3→ , maka

(, ≤_"∝^∝^! (,

(v). Akan ditunjukan bahwa posterior estimate, memenuhi

(, ≤_"∝^∝^! (" ,

Dari ketidaksamaan Prior Estimate, dengan mengambil 7 = 1 menuliskan untuk dan untuk , diperoleh

(5)

( , ≤_"∝^∝ ( , .

Dengan menetapkan

= " , maka = 5( = 5(" = 1

maka diperoleh

(, ≤ ∝

1−∝ (^",

3. SISTIM PERSAMAAN LINIER DAN BARISAN [3]

Pada bagian ini dibahas tentang sistim persamaaan linier yang diubah kedalam skema ieratif sehingga dihasilkan barisan bilangan real. Barisan bilangan tersebut dapat konvergen atau tidak ke solusi sistim persamaan linier.

Teorema 2. Teorema Sistim Persamaan Linear

Bila suatu sistim

= ∁ + H, *∁= *∁I,J-, H = *KI- diberikan- ……… (4)

dari A persamaan linear dengan A variabel , ;, … , 3 yang tidak diketahui (merupakan komponen- komponen x) yang memenuhi

∑JO 3 ⎹ ∁I,J⎹ < 1; R = 1,2, … , A, ………(5)

Maka sistem persamaan tersebut tepat mempunyai solusi untuk x. Solusi ini merupakan limit barisan iteratif *⁽, ⁽, ^(;, … -, dimana ⁽ ditetapkan sebarang dan

^(?= ∁⁽+ H, 7 = 0,1,2, … ……….... (6) Batas errornya adalah

(6)

*⁽, - ≤ C_"∝^∝ E *^(", ⁽- ≤ C_"∝^∝^!E (, ………. (7)

Bukti

Misalkan X adalah semua himpunan n-tuple (n pasangan terurut) bagian real.

Tuliskan: = ( , ;, … , 3, = ( , ;, … , 3, T = (T , T;, … , T3 seterusnya.

Definisikan matrik di X dengan

(, T = maxV ⎹ I, TI⎹ ………..………. (8) Klaim X=(X,d) lengkap

Definisikan T:X→X di X dengan

= 5( = ∁ + H ……… (9)

Tuliskan definisi (9) dalam bentuk komponennya. Maka diperoleh

_IO∑_WX'^D YIJJ+ KI, R = 1,2, … , A ……… (10)

Tetapkan Z = *ZI- = 5(T.

Maka dari definisi (8) dan (9) diperoleh

( , Z = *5(, 5(T- = maxV ⎹ yV− wV⎹ = maxV ⎹ _IO∑ _WX'^D YIJJ(J− TJ⎹

≤ maxV ⎹ I, TI⎹ = maxV ⎹ ∑^{^}_]O⎹ YV,]⎹ = (, T) ∑^{^}_]O⎹ Y_V,]⎹ …....…(11) Pertidaksmaan (11) dapat di tuliskan sebagai ( , Z ≤∝ (, T dimana

∝= maxV ⎹ ∑^{^}_]O⎹ YV,]⎹ karena 0 <∝ 1, …...…………... (12)

(7)

maka menurut Teorema Titik Tetap Banach, persamaan mempunyai solusi yang unik di X. Solusi ini merupakan limit dari barisan iteratif *⁽, ⁽, ^(;, … - di mana ⁽8 > sebarang dan ^(? = ∁⁽+ H, 7 = 0,1,2, ….

Bukti klaim

Akan di tujukan bahwa X=(X,d)lengakap di mana X=Rⁿ dan metrik d didefinisikan

(, T = maxV ⎹I, TI⎹ dimana = ( , ;, … , 3, dan T = (T , T;, … , T3.

Ambilah sebarang barisan cuachy ( di _³ Tuliskan ( = (, ;, … , 3 .

Karena ( cuachy, maka untuk setiap > 0 Terdapat suatu `89 sedemikian hingga

Untuk setiap 7, a ≥ `, 7, a89 berlaku

(, ^b = maxV ⎹ I, TI⎹ < ……… (13) Maka untuk j tertentu, 1 ≤ R ≤ A, barisan

(_I⁽, _I^(;, _I^(c, … . merupakan barisan-barisan cuachy bilangan real. barisan ini konvergen di R, sebut _I⁽ → _I^(∗ bila 7 → ∞

Maka bila 7 → ∞,

⁽ → ^(∗, _;⁽→ _;^(∗, … , ₃⁽→ ₃^(∗

Definisikan ^∗= (^∗, _;^∗, _c^∗, … , ₃^∗ maka

^∗8_³. Dari …… (4.2.10), untuk a → ∞,

(8)

(, b = (, ^∗ = maxI⎹ _I⁽− _I^∗⎹ < Maka ^∗ merupakan limit dari (

Karena untuk sebarang barisan cuachy ( di _³ konvergen, maka _³ merupakan ruang metirik yang lengkap.

Diberikan sistim persamaan linear

e = Y ………(14)

dengan A adalah matriks bujursangkar berukuran n x n, detA ≠ 0, x adalah matriks kolom = *I-, 1,2, … , A dan Y adalah matriks kolom Y*fI-, R = 1,2, … , A.

Dalam menyelesaian persamaan (14) secara iteratif, matriks A dituliskan sebagai A=B-G, dimana B merupakan matriks non-singular, persamaan (14) menjadi

g = h + Y

= g^"(h + Y

= g^"h + g^"Y.

maka sesuai persamaan (4), diperoleh

∁= g^"h dan H = g^"Y …..……….. (15) 4. METODE ITERASI JACOBY

Salah satu metode iterasi yang sering di gunakan untuk mencari solusi sistim persamaan linear adalah metode Jacoby. Metode Jacoby didefinisikan sebagai:

(9)

_I^(?=_i

jj(f − ∑³_JOkIJ7_J⁽R = 1,2, … , A ………(16) Bila dituliskan dalam bentuk komponennya, diperoleh

^(?=_i

''(f − (k ;_;⁽k c_c⁽+ ⋯ + k 33(

_;^(? =_i

ll(f − (k;;_;⁽k;c_c⁽+ ⋯ + k;33( ⋮ ⋮

₃^(? =_i

DD(f − (k3;_;⁽A c_c⁽+ ⋯ + k3" _3"⁽

Bila untuk _I^? di kalikan oleh factor ajj, maka persamaan (17) menjadi k ^(?= f − (k ;_;⁽k c_c⁽+ ⋯ + k 33(

k;;_;^(?= f − (k;;_;⁽k;c_c⁽+ ⋯ + k;3₃⁽

⋮ ⋮ k₃₃₃^(?= f − (k_3;_;⁽A_c_c⁽+ ⋯ + k_3"_3"⁽

Misalkan n = o

k 0 0 k;;

… 0… 0 0 0⋮ ⋮ ⋱ ⋮

… k33

q ……...………...…. (19)

Maka −(e − n = o

0 −k

−k; 0 … −k 3

… −k;3

⋮ ⋮

−k3 −k3;

… 0⋱ ⋮

q ………...………. (20)

Dari (18), (19), dan (20) diperoleh

…….. (18)

….. (17)

(10)

n^(? = −(e − n+ Y

^(? = n^"r−(e − n⁽+ Ys = −n^"(e − n⁽− n^"Y ……... (21)

Dari (21) dan teorema sistim persamaan linear diperoleh

∁= n^"(e − n, H = n^"Y ……… (22)

Bila syarat teorema sistim persamaan linear di terapkan pada (22), maka diperoleh syarat umum kekonvergenan iterasi Jacoby yaitu,

∑ tⁱ_i^jW

jjt

3JO

JuI < 1 atau ∑ vk³JO IJv < vkIIv

JuI

……….… (23)

5. KESIMPULAN

Syarat kekonvergenan iterasi Jacoby untuk menyelesaikan sistim persamaan linier Ax=c, dimana A adalah matriks bujursangkar berukuran n x n, dengan detA ≠ 0, aij (entri matik A), adalah

∑ tⁱ_i^jW

jjt

3JO

JuI < 1 atau ∑ vk³JO IJv < vkIIv

JuI

.

DAFTAR PUSTAKA

[1] La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad, R. ,2011., Menyelesaiakan Masalah Syarat Batas Persamaan Differensial Poisson 2D, Paradigma Vol. 15 No. 2, FMIPA, Universitas Haluoleo,Kendari, http://fmipa.uho.ac.id.

[2] Royden,H.L., 1989,Real Analysis, Macmillan Publishig Company, New York.

[3] La Ode Muhammad Umar Reky Rahmad, R. 2006.,Solusi Numerik Persamaan Differensial Eliptik, Thesis S2, Jurusan Matematika, FMIPA, UGM, Jogjakarta.