Materi 6: Ditribusi Diskrit Khusus

U if ( ) M l i i l

•

Uniform (seragam)

•

Bernoulli

•

Binomial

•

Poisson

•

Multinomial

•

Hipergeometrik

•

Geometrik

•

Binomial Negatif

•

Poisson

•

Binomial Negatif

MA 2081 St at ist ika Dasar Ut riweni Mukhaiyary

Dist ribusi unif orm (seragam)

(

g

)

•

Peubah acak

X

diasumsikan setiap nilainya

(

x

x

x

) memiliki peluang yang sama

(

x

₁

,

x

₂

, …,

x

_k

) memiliki peluang yang sama.

•

Distribusi peluang

X

:

Bukt i :

mean dan variansi unt uk p a dist ribusi seragam mean dan variansi unt uk p. a dist ribusi seragam.

1

k k _x k

Berdasarkan def inisi ekspekt asi,

C

t h 1

Cont oh 1

•

Pelantunan sebuah dadu.

Pelantunan sebuah dadu.

1 15.17 12.25 2.92

•

Percobaan terdiri dari 1 usaha

Percobaan terdiri dari 1 usaha

Usaha

G l Sukses

•

Peluang sukses



p

Peluang gagal



1

p

Gagal

Peluang gagal



1

-p

•

Misalkan

1, jika terjadi sukses

0, jika terjadi tidak sukses (gagal)

X  

Dist ribusi Bernoulli

X

b

di t ib

i B

lli

•

X

berdist ribusi Bernoulli,

1

 1

(1 ) , 0,1

( ) ( ; )

0 ,

x x

p p x

P X x ber x p

x lainnya



  

  _{ }



•

Rat aan

:

E

[

X

] =

µ

_x

=

p

Variansi : Var(

X

)



2

p

(

1 p

)

Percobaan Binomial

•

n

usaha yang berulang.

•

Tiap usaha memberi hasil yang dapat

dikelompokkan menj adi sukses at au gagal.

P l

g k

t id k

b

b h

d

i h g

•

Peluang sukses t idak berubah dari usaha yang

sat u ke yang berikut nya.

Di

ib

i Bi

i l

Dist ribusi Binomial



Distribusi binomial parameter

Distribusi binomial, parameter

n

n

dan

dan

p

p

Cont oh 2

Suatu penelitian dilakukan untuk melihat sikap

masyarakat tentang obat penenang. Penelitian

itu menunjukkan bahwa sekitar 70% penduduk

percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati

apapun obat itu hanyalah menutupi penyakit

apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit

sesungguhnya’. Menurut penelitian ini, berapa

peluang bahwa paling sedikit 3 dari 5 orang

edit ed 2011 by UM

Jawab

Misalkan peubah acakp X menyat akan banyaknyay y y

penduduk percaya ‘obat penenang tidaklah mengobati apapun, obat itu hanyalah menutupi penyakit

P

b

P i

Percobaan Poisson

•

Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.Memiliki 2 keluaran hasil : SUKSES dan GAGAL.

•

Terdef inisi pada : (yang membedakan dari percobaan Binomial)

▫

Panj ang selang wakt u

▫

Luas daerah/ area C t h

Cont oh :

- Banyak kej adian angin t ornado dalam sat u t ahun di US

t ahun di US

Proses Poisson



Selang wakt u at au daerahnya saling bebas.



Peluang pada Proses Poisson t ergant ung pada

g p

g

g p

selang wakt u dan besarnya daerah.

Dist ribusi Poisson



Peubah acak

X

berdist ribusi Poisson

Cont oh 3

Rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta badai dalam

b l ( i ) di d h d l h 7

satu bulan (empat minggu) di suatu daerah adalah 7.

a. Hitung peluang bahwa lebih dari 2 kejadian hujan

beserta badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 minggu.

b. Berapa rata-rata banyaknya kejadian hujan beserta

badai menimpa daerah tersebut dalam periode 2 p p

A

lu

r

A

n

a

li

si

s

K

a

su

Jawab

Jenis kasus

• Kasus Diskrit

• Misal p.a. X : banyak kejadian hujan beserta badai dalam satu bulan di suatu daerah • Distribusi Poisson

Satuan

• Satuan waktu : 1 bulan = 4 minggu (Kasus dapat dibagi atas 2 jenis berdasar satuan waktunya

• Jika dipandang waktu dalam bulan, ambil t = 1 • Jika dipandang waktu dalam minggu, ambil p g gg t = 4

Paramet er distribus

 

Ingat def inisi:

Hubungan dist ribusi

Bernoulli Binomial Poisson dan Normal

Bernoulli, Binomial, Poisson dan Normal

Beberapa dist ribusi diskrit lainnya

p

y

•

Distribusi Multinomial

Di t ib

i Hi

t ik

•

Distribusi Hipergeometrik

•

Distribusi Binomial Negatif

Di t ib

i M lt i

i l

Dist ribusi Mult inomial

• Bila suatu usaha tertentu dapat menghasilkan k macam hasil

E₁, E₂, …, E_k dengan peluang p₁, p₂, …, p_k, maka distribusi

dengan, Percobaan Binomial menjadi Multinomial jika setiap

1 1

C

h 4

Cont oh 4

• Peluang seorang perwakilan datang ke suatu konferensi di suatu kota menggunakan pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta

berturut-turut adalah 0.4, 0.2, 0.3, dan 0.1. Hitung peluang dari 9 perwakilan yang datang 3 orang datang menggunakan

pesawat, 3 orang dengan bus, 1 orang dengan mobil pribadi, dan 2 orang dengan kereta.

• Jawab:

Misalkan X_i : banyaknya perwakilan yang datang menggunakan transportasi i, i=1,2,3,4 berturut-turut mewakili

pesawat bus mobil pribadi dan kereta pesawat, bus, mobil pribadi, dan kereta.

       3 3 1 2

0.064 0.08 0.3 0.01 2520 1.536 10 0, 038702 3!3!1!2!



Di

ib

i Hi

ik

Dist ribusi Hipergeomet rik

• X ~ h(( , , )N, n, k)

• X : banyaknya sukses dalam sampel acak ukuran n

yang diambil dari N benda yang mengandung k

Cont oh 5

Cont oh 5

• Dari 50 gedung di sebuah kawasan industri, 12 gedung mempunyai kode pelanggaran. Jika 10 gedung dipilih

secara acak dalam suatu inspeksi, hitung peluang bahwa 3 dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

dari 10 gedung mempunyai kode pelanggaran!

• Jawab :

Misalkan X : banyak gedung yang dipilih mempunyai kode

l

( 3) (3;50,10,12) 0.2703

Kait annya dengan dist ribusi Binomial

Kait annya dengan dist ribusi Binomial

•

Percobaan binomial maupun hipergeometrik

sama-sama memiliki 2 kemungkinan, yaitu sukses

dan gagal.

•

Pe rbe d a a n

mendasar adalah pada binomial

•

Pe rbe d a a n

mendasar adalah pada binomial

percobaan dilakukan

d e n ga n p e n ge m ba lia n

sedangkan hipergeometrik, percobaan dilakukan

ta n p a p e n ge m ba lia n

.

•

Untuk ukuran sampel acak (

n

) yang diambil

semakin kecil terhadap

N

maka distribusi

semakin kecil terhadap

N

, maka distribusi

Di

ib

i G

ik

Dist ribusi Geomet rik

• X ~ g(p) atau X ~ Geom(p)

• X : banyaknya usaha sampai saat terjadi sukses pertama dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang

dari usaha-usaha yang saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

 Rataan :  Variansi :

1

(

)

( ; )

(1

)

x

,

1, 2,...

P X



x



g x p



p



p



x



 Rataan :

1

 

 Variansi :

2

2

1 p

  

Cont oh 6

Cont oh 6

• Suatu tes hasil pengelasan logam meliputi proses

pengelasan sampai suatu patahan terjadi. Pada jenis

pengelasan tertentu, patahan terjadi 80% disebabkan oleh logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada

logam itu sendiri dan 20% oleh penyinaran pada

pengelasan. Beberapa hasil pengelasan dites. Misalkan X

adalah banyak tes yang dilakukan sampai ditemukan

patahan pertama pada hasil pengelasan Hitung peluang patahan pertama pada hasil pengelasan. Hitung peluang pada tes ketiga ditemukan patahan pertama!

• Jawab :

X ~ Geom(0.2)

2

(

3)

(3; 0 2)

0 2(0 8)

0 128

P X

(



3)



g

(3; 0.2)



0.2(0.8)



0.128

 X ~ b*(k, p)

b k h b kh d k k k d

 X : banyaknya usaha yang berakhir tepat pada sukses ke-k dari

usaha-usaha saling bebas dengan peluang sukses p dan gagal (1-p).

1

• Suatu peubah acak Binomial negatif adalah jumlah dari peubah acak-peubah acak Geometrik.

X = Y + Y + + Y_k X = Y₁ + Y₂ + ... + Y_k

dimana Y₁, Y₂, ..., Y_k adalah peubah acak saling bebas,

masing-masing berdistribusi Geom(p).

C

t h 7

Cont oh 7

•

Perhatikan Contoh 6.

•

Misalkan

X

adalah banyak tes yang dilakukan

sehingga ditemukan 3 patahan pertama. Hitung

peluang bahwa dilakukan 8 tes sehingga

ditemukan 3 patahan pertama!

J

b

•

Jawab :

3 5

7

(

8)

* (8;3 0 2)

(0 2) (0 8)

0 05505

P X

(



8)



b

(8;3, 0.2)



 

 

(0.2) (0.8)



0.05505

2

P X





b



 



Ref erensi



_{Navidi, William., 2008,}

_{Statistics for Engineers and}

Scientists

2nd Ed New York: McGraw Hill

Scientists,

2nd Ed., New York: McGraw-Hill.



_{Walpole, Ronald E. dan Myers, Raymond}

H

Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

H.,

Ilmu Peluang dan Statistika untuk Insinyur dan

Ilmuwan

, Edisi 4, Bandung: Penerbit ITB, 1995.



_{Walpole, Ronald E., et.al, 2007,}

_{Walpole, Ronald E., et.al, 2007,}

_{Statistitic for}

_{Statistitic for}

Scientist and Engineering

, 8th Ed., New Jersey:

Prentice Hall.