FATHIN A RESTU NUGROHO
X PMP EX A
A.
Persamaan Kuadrat
Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c dengan a≠0 dan koefsien kuadrat a merupakan koefsien dari x², koefsien linear b merupakan koefsien dari x sedangkan c adalah koefsien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai koefsien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.
Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:
ax2 + bx + c = 0 , a ¹ 0 a, b dan c adalah bilangan real.
1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat
Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:
a) memfaktorkan,
Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.
Jadi, penyelesaian dari x2 – 4 x + 3 = 0 adalah 3 dan 1.
1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna
Persamaan kuadrat ax2+ bx+ c = 0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (x + p)2
= q.
Contoh 1:
Jawab: x2 – 6 x + 5 = 0
1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus
Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2+ bx+ c = 0 adalah
Contoh :
Tentukan himpunan penyelesaian dari x2 + 7x – 30 = 0.
a = 1 , b = 7 , c = – 30
x = 3 atau x = –10
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.
2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat
Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2+ bx+ c = 0 dengan akar-akarnya , b2 – 4ac
disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .
Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.
Apabila:
1. D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .
2. D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .
3. D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai
akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.
Contoh :
1. x2 – 10 x + 25 = 0
3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat
1. Persamaan kuadrat ax2+ bx+ c = 0 mempunyai akar x
1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut,
= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1
4. Menyusun Persamaan Kuadrat
Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:
v menggunakan perkalian faktor,
v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.
1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor
Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2 + p x + q = 0 dapat dinyatakan sebagai
(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika
akar-akar
persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.
Contoh 1:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !
Jawab: (x – ) (x – ) = 0
= 0
6 x2 – 2 x – 3 x + 1 = 0
6 x2 – 5 x + 1 = 0
1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar
Persamaan .
Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1x2 = , maka akan diperoleh persamaan:
x2 – (x
1 + x2)x + x1x2 = 0.
Contoh:
Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.
Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5
x1x2 = 6
Jadi, persamaan kuadratnya x2 – (–5)x + 6 = 0 atau x2 + 5x + 6 = 0.
1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain
Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.
Contoh 1:
Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2 – 2x + 3
= x1 + x2 + 6 = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9
Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:
x2 – (a + b)x + ab = 0.
persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.
Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2 + bp + c.
Contoh 1:
Ditentukan: f(x) = x2 – 6x – 7
Ditanyakan:
2. nilai f untuk x = 0 , x = –2
Jawab:
1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0
x2 – 6 x – 7 = 0
Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.
D = (p – 1)2 – 4 . 3 . 3 = 0
1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat
Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:
1) f(x) = x2 – 2x – 3
=(x – 1)2 – 4
Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2 mempunyai nilai paling kecil
grafk dari,
2. [Penyelesaian]
3. Dengan mengikuti langkah-langkah menyelesaikan fungsi kuadrat dan
grafknya , yang telah dikemukakan diatas yaitun
⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 n ⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 n ⬄ Menentukan titik puncak n
[Penyelesaian]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, ⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
⬄ Menentukan titik puncak,
⬄ Sketsa grafkn
[Penyelesaian]
⬄ Grafk Fungsi n
grafk fungsi kuadrat,
[Penyelesain]
⬄ Sketsa grafk n
[Penyelesaian]
⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, ⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,
⬄ Titik puncak grafk,
4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu
Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:
1. melalui tiga titik yang berlainan.
2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.
3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui. 4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.
1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik
Contoh:
Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).
Jawab :
Misal persamaan grafik adalah y = a x2+ bx+ c
Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2 + b (–1) + c
0 = a – b + c ………. (1)
Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2 + b (1) + c
Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2 + b (2) + c
b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X
Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).
(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2+ bx+ c sehingga 0= ap2+ bp+c dan
0= aq2+ bq+c . Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:
= a(x2 – (p + q)x+ pq)
= a(x – p) (x – q)
Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !
Jawab:
Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya
y = a(x – (–5)) (x – 1)
1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui
Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2+ bx+ c adalah .
Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2+ bx+ c dapat
dinyatakan dengan .
Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2 + q
Contoh:
Jawab:
d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X
Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2 – 4ac = 0, maka koordinat titik tertinggi atau
terendah adalah (,0).
Sehingga .
Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .
Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2
Contoh:
Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !
Jawab:
Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah
y = a (x – 2)2
4 = a(0 – 2)2 = 4a
a = 1
