FATHIN A RESTU NUGROHO X PMP EX A 16

(1)

FATHIN A RESTU NUGROHO

X PMP EX A

(2)

(3)

A. Persamaan Kuadrat

Persamaan Kuadrat merupakan suatu persamaan polinomial berorde 2 dengan bentuk umum dari persamaan kuadrat yaitu y=ax²+bx+c dengan a≠0 dan koefsien kuadrat a merupakan koefsien dari x², koefsien linear b merupakan koefsien dari x sedangkan c adalah koefsien konstan atau biasa juga disebut suku bebas. Nilai koefsien a,b dan c ini yang menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

Persamaan kuadrat dalam x mempunyai bentuk umum:

ax2_{+ bx + c =}₀_{, a ¹}₀_{a, b}_dan_c_{adalah bilangan real.}

1. 1. Menyelesaikan Persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat dapat diselesaikan dengan beberapa cara, yaitu dengan:

a) memfaktorkan,

Nilai x1 dan x2 disebut akar-akar (penyelesaian) persamaan kuadrat.

(4)

Jadi, penyelesaian dari x2_{– 4}_x_{+ 3 = 0 adalah 3 dan 1.}

1. b. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan melengkapkan kuadrat sempurna

Persamaan kuadrat ax2_{+ bx}_{+ c =}_{0 dapat diselesaikan dengan mengubahnya menjadi (}_x₊_p₎2

= q.

Contoh 1:

(5)

Jawab: x2_{– 6}_x_{+ 5 = 0}

1. c. Menyelesaikan persamaan kuadrat dengan menggunakan rumus

Rumus penyelesaian persamaan kuadrat a x2_{+ b}_x_{+ c =}_{0 adalah}

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari x2_{+ 7}_x_{– 30 = 0.}

(6)

a = 1 , b = 7 , c = – 30

x = 3 atau x = –10

Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah {–10 , 3}.

2. Jenis-jenis Akar Persamaan Kuadrat

Kita perhatikan kembali persamaan kuadrat ax2_{+ bx}_{+ c =}_{0 dengan akar-akarnya ,}_b2_{– 4ac}

disebut diskriminan (D). Sehingga rumus penyelesaian persamaan kuadrat dapat ditulis sebagai .

Dari rumus tersebut tampak bahwa nilai x tergantung dari nilai D.

Apabila:

1. D > 0 maka ÖD merupakan bilangan real positif, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real berlainan, .

2. D = 0 maka ÖD = 0, sehingga persamaan kuadrat mempunyai dua akar real sama. .

3. D < 0 maka ÖD merupakan bilangan tidak real (imajiner), maka persamaan kuadrat tidak mempunyai

akar real atau persamaan kuadrat mempunyai akar tidak real.

Contoh :

(7)

1. x2_{– 10}_x_{+ 25 = 0}

3. Jumlah dan hasilkali akar-akar persamaan kuadrat

1. Persamaan kuadrat ax2_{+ bx}_{+ c =}_{0 mempunyai akar}_x

1 dan x2. Dengan tanpa menyelesaikan persamaan tersebut,

(8)

= (x1 + x2)2 – 2 x1x2 = 2 (-3)2 – 2 . 4 = 1

4. Menyusun Persamaan Kuadrat

Persamaan kuadrat dapat disusun dengan:

v menggunakan perkalian faktor,

v menggunakan jumlah dan hasilkali akar-akar.

1. a. Menyusun persamaan kuadrat dengan menggunakan perkalian faktor

Pada bahasan terdahulu, persamaan kuadrat x2₊_{p x}₊_q_{= 0 dapat dinyatakan sebagai}

(x – x1) (x – x2) = 0 sehingga diperoleh akar-akar persamaan itu x1 dan x2. Dengan demikian jika

akar-akar

persamaan kuadrat x1 dan x2 maka persamaannya adalah (x – x1) (x – x2) = 0.

Contoh 1:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 dan -2.

(9)

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya dan !

Jawab: (x – ) (x – ) = 0

= 0

6 x2_{– 2}_x_{– 3}_x_{+ 1 = 0}

6 x2_{– 5}_x_{+ 1 = 0}

1. b. Menyusun persamaan kuadrat menggunakan jumlah dan hasil kali akar-akar

Persamaan .

Dengan menggunakan x1 + x2 = – dan x1x2 = , maka akan diperoleh persamaan:

x2_{– (}_x

1 + x2)x + x1x2 = 0.

Contoh:

Tentukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya –2 dan –3.

Jawab: x1 + x2 = -2 – 3 = – 5

x1x2 = 6

Jadi, persamaan kuadratnya x2_{– (–5)}_x_{+ 6 = 0 atau}_x2_{+ 5}_x_{+ 6 = 0.}

1. c. Menyusun persamaan kuadrat yang akar-akarnya berkaitan dengan akar-akar persamaan kuadrat lain

Seringkali kita mendapatkan suatu persamaan kuadrat yang akar-akarnya berhubungan dengan akar-akar persamaan yang lain.

Contoh 1:

Susunlah persamaan kuadrat baru yang akar-akarnya 3 lebih dari akar-akar persamaan x2_{– 2}_x_{+ 3}

(10)

= x1 + x2 + 6 = x1x2 + 3(x1 + x2) + 9

Persamaan kuadrat yang akarnya a dan b adalah:

x2_{– (a + b)}_x_{+ ab = 0.}

persamaan itu disebut nilai pembuat nol fungsi f.

Nilai fungsi f untuk x = p ditulis f(p) = ap2_{+ bp + c.}

Contoh 1:

Ditentukan: f(x) = x2_{– 6}_x_{– 7}

Ditanyakan:

(11)

2. nilai f untuk x = 0 , x = –2

Jawab:

1. Nilai pembuat nol fungsi f diperoleh jika f(x) = 0

x2_{– 6}_x_{– 7 = 0}

Supaya merupakan suatu kuadrat sempurna, syaratnya D = 0.

D = (p – 1)2_{– 4 . 3 . 3 = 0}

1. 2. Nilai Maksimum dan Minimum Fungsi Kuadrat

Untuk menentukan nilai maksimum/minimum fungsi kuadrat, perhatikan uraian berikut:

1) f(x) = x2_{– 2}_x_{– 3}

(12)

=(x – 1)2_{– 4}

Bentuk kuadrat selalu bernilai positif atau nol, maka (x – 1)2_{mempunyai nilai paling kecil}

(13)

grafk dari,

2. [Penyelesaian]

3. Dengan mengikuti langkah-langkah menyelesaikan fungsi kuadrat dan

grafknya , yang telah dikemukakan diatas yaitun

⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0 n ⬄ Menentukan titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0 n ⬄ Menentukan titik puncak n

(14)

[Penyelesaian]

⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, ⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

⬄ Menentukan titik puncak,

⬄ Sketsa grafkn

[Penyelesaian]

(15)

⬄ Grafk Fungsi n

grafk fungsi kuadrat,

[Penyelesain]

(16)

⬄ Sketsa grafk n

[Penyelesaian]

⬄ Titik potong dengan sumbu x, untuk y = 0, ⬄ Titik potong dengan sumbu y, untuk x = 0,

⬄ Titik puncak grafk,

(17)

4. Menentukan Fungsi Kuadrat yang Grafiknya Memenuhi Syarat-syarat Tertentu

Suatu fungsi kuadrat dapat ditentukan apabila fungsi itu:

1. melalui tiga titik yang berlainan.

2. memotong sumbu-X dan melalui sebuah titik lain.

3. melalui sebuah titik dan koordinat titik terendah/tertinggi diketahui. 4. menyinggung sumbu-X dan melalui sebuah titik.

1. a. Fungsi kuadrat yang grafiknya melalui tiga buah titik

Contoh:

Tentukan persamaan grafik fungsi kuadrat yang melalui titik (–1 , 0) , ( 1 , 8 ) dan ( 2, 6 ).

Jawab :

Misal persamaan grafik adalah y = a x2_{+ b}_x_{+ c}

Grafik melalui titik (–1 , 0) ® 0 = a(–1)2₊_b_{(–1) +}_c

0 = a – b + c ………. (1)

Grafik melalui titik (1 , 8) ® 8 =a (1)2₊_b_{(1) + c}

(18)

Grafik melalui titik ( 2 , 6 ) ® 6 = a (2)2₊_b_{(2) +}_c

b. Fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X

Misalkan titik potongnya (p , 0) dan (q , 0).

(p , 0) dan (q , 0) memenuhi persamaan y = a x2_{+ b}_x_{+ c}_{sehingga 0=}_ap2_{+ bp}₊_c_dan

0= aq2_{+ bq}₊_c_{. Kedua persamaan itu dikurangkan, akan diperoleh:}

(19)

= a(x2_{– (}_p₊_q₎_x_{+ pq}₎

= a(x – p) (x – q)

Jadi, y = a(x – p) (x – q) adalah fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di (p,0) dan (q,0).

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), serta melalui titik (–3, –8) !

Jawab:

Grafik memotong sumbu-X di titik (–5,0) dan (1,0), maka fungsi kuadratnya

y = a(x – (–5)) (x – 1)

1. c. Menentukan fungsi kuadrat jika koordinat titik puncak grafik fungsi itu diketahui

Koordinat titik tertinggi/ terendah grafik fungsi kuadrat y = ax2_{+ bx}_{+ c}_{adalah .}

Dengan melihat kembali kajian terdahulu, maka fungsi kuadrat y = ax2_{+ bx}_{+ c}_dapat

dinyatakan dengan .

Sehingga fungsi kuadrat yang berpuncak di (p , q) adalah y = a (x – p)2₊_q

Contoh:

(20)

Jawab:

d. Fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X

Perhatikan kembali bahasan tentang “Titik potong grafik dengan sumbu-X”. Grafik akan menyinggung sumbu-X jika dan hanya jika b2_{– 4}_ac_{= 0, maka koordinat titik tertinggi atau}

terendah adalah (,0).

Sehingga .

Jadi, fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X adalah .

Sehingga fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X adalah y = a(x – p)2

Contoh:

Tentukan fungsi kuadrat yang grafiknya menyinggung sumbu-X di titik (2,0) dan melalui titik (0,4) !

Jawab:

Fungsi kwadrat yang grafiknya menyinggung sumbu X di (2,0) adalah

y = a (x – 2)2

(21)

4 = a(0 – 2)2_{= 4}_a

a = 1