Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu dan Rekonstruksi. Edisi Semester 2 17/18 EYH 1

Pencuplikan Sinyal Waktu Kontinyu

dan Rekonstruksi

5.1 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit 5.1.1 Sampling

5.1.1.1 Sampling Priodik

5.1.1.2 Representasi domain frekuensi proses sampling 5.1.1.3 Frequency Ambiguity

5.1.2 Rekonstruksi

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit 5.2 Pengolahan Sinyal Dijital

5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter) 5.2.1.1 Anti aliasing Filter

5.2.1.2 Rangkaian Sampling and Hold (S/H) 5.2.1.3 Kuantisasi dan Coding

5.2.2 Konversi Digital ke Analog (D/A Converter) 5.2.2.1 Interpolasi Zero-order-hold (ZOH)

5.2.2.2 Interpolasi First-order-hold (FOH) 5.2.2.3 Interpolasi Cubic Spline

5.1 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

(Discrete Time Signal Processing)

Discrete time

system

h(n)

x(n)

y(n)

x(n) n 12 3 4 5 6 7 8 y(n) n 12 3 4 5 6 7 8

Contoh : Pemfilteran

Filter LTI

h(n)

x(n)

y(n)

x(n) n 12 3 4 5 6 7 8 y(n) n 12 3 4 5 6 7 8

Filter LTI

H

(

_e

j

₎

X(e

j

₎

_X(e

j

₎

( )

( )

( )

( )

( )

( )

DTFT j DTFT j DTFT j

x n

X e

h n

H e

y n

Y e







  

Filter design

 

 

Deretan sinyal diperoleh dari pencuplikan secara periodik sinyal kontinyu ( ). ( )

-dimana adalah perioda sampling dan 1/ adalah frekue

c c s x n x t x n x nT n T f T      

 

s

nsi sampling (sampel per detik). Frekuensi sampling dapat juga dinyatakan dengan 2 / (radians per detik).

Sistem yang merepresentasikan persamaan ( ) disebut ideal continuous-to-discrete-time c T x n x nT    

(C/D) converter diilustrasikan pada gambar berikut

C/D

x_c(t)

T

x(n)=x_c(nT)

Dalam prakteknya operasi sampling diimplementasikan dengan A/D converter yang dapat

dianggap sebagai aproksimasi ideal C/D konverter.

5.1.1 Sampling

Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit)

T Konversi impulse train ke deretan x_c(t) x_s(t) s(t) x(n)=x_c(nT) x_c(t) x_s(t) x(n) t t n s(t) t T 12 3 4 5 6 7 8 T = Perioda pencuplikan f_s= 1/T = frekuensi pencuplikan









Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

( )

( )

( ). ( )

= ( ).

=

(

).

n s c c n c

s t

t nT

x t

x t

s t

x t

t nT

x nT

t

   



























s

-Transformasi Fourier dari ( )

2

( )

-

2 / (radians per detik).

Transformasi Fourier dari ( )

1

1

2

1

( )

( )

( )

( )

-2

2

n s k s s c c s c k

nT

s t

S j

k

T

T

x t

X

j

X

j

S j

X

j

k

X

j

T

T

     

 

 

 

 

 

 

 

  









_





_









-





2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit)

Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dari ( )

( )

(

)

Karena

s k s j Tn s c n

k

x t

X

j

x nT e

     

 

 





 









(

)

dan

(

) =

( )

maka

( )

(

)

(

)

1

1

2

(

)

-

(

)

c j j n n j j T s _T j T c s c

x n

x nT

X e

x n e

X

j

X e

X e

k

X e

X

j

k

X

j

T

T

T

T

       



 









 



_



_











   





Edisi Semester 2 17/18 EYH 7









Secara matematis proses sampling direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Modulasi oleh impulse train modulator

( )

( )

( ). ( )

= ( ).

=

(

).

n s c c n c

s t

t nT

x t

x t

s t

x t

t nT

x nT

t

   



























s

-Transformasi Fourier dari ( )

2

( )

-

2 / (radians per detik).

Transformasi Fourier dari ( )

1

1

2

1

( )

( )

( )

( )

-2

2

n s k s s c c s c k

nT

s t

S j

k

T

T

x t

X

j

X

j

S j

X

j

k

X

j

T

T

     

 

 

 

 

 

 

 

  









_





_









-





2. Konversi impulse train ke deretan (sinyal waktu diskrit)

Transformasi Fourier Waktu Kontinyu dari ( )

( )

(

)

Karena

s k s j Tn s c n

k

x t

X

j

x nT e

     

 

 





 









(

)

dan

(

) =

( )

maka

( )

(

)

(

)

1

1

2

(

)

-

(

)

c j j n n j j T s _T j T c s c k k

x n

x nT

X e

x n e

X

j

X e

X e

k

X e

X

j

k

X

j

T

T

T

T

         



 









 



_



_











   





T

X

_c

(j



)

Konversi deretan impuls ke deretan waktu diskrit x_c(t) x_s(t) s(t)

X

_s

(j



)

X(e

j

₎

x[n]=x_c(nT) x_c(t) x_s(t) x(n) t t n s(t) t T 12 3 4 5 6 7 8









( ) ( ) ( ) ( ) 2 ( ) - - ( ) ( ) ( ) ( ). ( ) 1 ( ) ( ) ( 2 c c s n k s s s c s c x t X j s t S j s t t nT k T x t X j x t x t s t X j X j S                   



 



 

















1 2 1 ) ( ) - -2 ( ) ( ) 1 1 2 ( ) ( ) ( ) - ( ) c s c s k k j j j T s _T c s c k k j X j k X j kj T T x n X e k X j X e X e X j k X j T T T T                              _  _  









    _    T = Perioda pencuplikan f_s= 1/T = frekuensi pencuplikan

0 10 20 30 40 50

0 10 20 30 40 50

x_c(t) = cos  t x[n] = cos  n

x_c(t) = cos 2F t x[n] = cos 2f n

x_c(t) = cos 2.1000 t x[n] = x_c(nT_s) = cos 2000(n.1/6000)

= cos 2000t x[n] = cos 2000/6000n = cos 1/3 n

X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 ) Fs=6000 Hz t x_c(t) x[n] n F=1kHz - 4000 -2000 0 2000 4000 12000  (rad/s)

X

_c

(j



)

 -1/3 1/3  5 / 3  2 7 /3



(rad)

X(e

j

₎





















  

)

T

k

2

T

(

j

X

T

1

)

e

(

X

s s k c s j





Ts=1/6000 s

X

_c

(j



)

Konversi deretan impuls ke deretan waktu diskrit x_c(t) x_s(t) s(t)

X

_s

(j



)

X(e

j

₎

X[n]=x_c(nT)

Sinyal x_c(t)=cos (2000t) dicuplik dengan

(a) sampling rate 2500 Hz



_s

=5000

rad/s ,

sehingga diperoleh sinyal hasil cuplikan :x[n]=x_c(nT) = cos (2000nT) = cos( 2000/2500n) =cos[0.8n]

(b) sampling rate 1500 Hz, s=3000rad/s ,

sehingga diperoleh sinyal hasil cuplikan :x[n]=x_c(nT) = cos (2000nT) = cos( 2000/1500 n)

= cos[ (4/3n) ]

= cos[ (2- 2/3) n] aliasing =cos[2/3n]

5.1.1.3 Frequency ambiguity

1 kHz

7 kHz

- 4000 -2000 0 2000 4000



(rad/s)

- 5000 -2000 0 2000 5000 10000



(rad/s)

X

_c

(j



)

S(j



)

-5000 -3 000-2000 2000 3000 5000 7000 8000 10000 12000



(rad/s)

 2/T T=1/2500 s

X

_s

(j



)

/T - 2 - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2 .8 3.2 4 4 .8 



(rad)

X(e

j

₎

 x_c(t)=cos (2000t) x [n]=cos(0.8 n)

sampling rate 2500 Hz s=5000rad/s ,



-

k



T

2

k s



  









X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )



 



( )

2000 -

2000

-s s s k

X

j

k

k

T





_

_

_

_



 



 

 

 





 



( )

j

0.8 - 2

0.8 - 2

k

X e





 



k



 



k



 











- 3000 0 3000 6000 9000



(rad/s)

S(j



)

X

_s

(j



)

X(e

j

₎

-3 000 -2000 -1000 0 1000 20003000 4000 5000 6000 9000 12000



(rad/s)

-2 -1.33 -0.66 0 0.661.33 2 2.66 3.33 4 6 8



(rad/s)

2/T - 4000 -2000 0 2000 4000



(rad/s)

X

_c

(j



)

 /T  T=1/1500 s x_c(t)=cos (2000t)

sampling rate 1500 Hz s=3000 rad/s ,

aliasing



-

k



T

2

k s



  











 



( )

2000 -

2000

-s s s k

X

j

k

k

T





_

_

_

_



 



 

 

 



X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )



4

 

4



3 3

( )

j

- 2

- 2

k

X e





 



k



 



k



 











5.1.2 Rekonstruksi

Konversi sinyal waktu diskrit ke impulse train x(n) _x s(t) T x_r(t) x_s(t) x_r(t) t t x(n) n 12 3 4 5 6 7 8 Filter Rekonstruksi Ideal h_r(t)

Secara matematis proses rekonstruksi ideal ((konverter diskrit ke kontinyu ideal).

direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Konversi deretan (sinyal waktu diskrit) ke impulse train

  



Secara matematis proses rekonstruksi direpresentasikan dalam 2 tahap;

1. Konversi deretan (sinyal waktu diskrit) ke impulse train

( )

-

2.Pemfilteran dengan filter rekonstruksi ideal

s n

x t

x n



t nT

 





berupa filter lowpass

Filter rekonstruksi adalah filter lowpass ideal :

,

(

)

0 ,

2

Respon

c r c s c

T

H

j

T





  



  

_{  }





 



 





  



 

_



_



sin

/

impuls filter lowpass ideal : ( )

/

( )

( )

( )

( )

-

-sin

/

( )

/

r r r s r r n n r n

t T

h t

t T

x t

h t

x t

h t

x n

t nT

x n h t nT

t

nT

T

x t

x n

t

nT

T











     

































X(ej) Konversi sinyal waktu diskrit ke impulse train x(n) _x s(t) T

X

s

(j



)

X_r(j) x_r(t) x_s(t) x_r(t) t t x(n) n 12 3 4 5 6 7 8 T = Perioda pencuplikan Filter Rekonstruksi Ideal h_r(t) h_r(t)H_r(j) T   r

Filter Rekonstruksi adalah filter lowpass ideal : ,

( ) 0 ,

2

sin / Respon impuls filter lowpass ideal : h (t)

/ c r c s c T H j T t T t T







        _{  }       T 



H_r(j) T h_r(t)

Teorema Pencuplikan Nyquist

Bila x

_c

(t) adalah sinyal dengan lebar bidang frekuensi terbatas : X

_c

(j



)=0,



>



_N

Maka x

_c

(t) secara unik dinyatakan oleh cuplikannya x[n]=x

_c

(nT), bila

- 4000 -2000 0 2000 4000



(rad/s)

- 5000 -2000 0 2000 5000 10000



(rad/s)

X

_c

(j



)

S(j



)

-5000 -3 000-2000 2000 3000 5000 7000 8000 10000 12000



(rad/s)

 2/T T=1/2500 s

X

_s

(j



)

/T - 2 - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2 .8 3.2 4 4 .8 



(rad)

X(e

j

₎

 x_c(t)=cos (2000t) x [n]=cos(0.8 n)

sampling rate 2500 Hz s=5000rad/s ,



-

k



T

2

k s



  









X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )



 



( )

2000 -

2000

-s s s k

X

j

k

k

T





_

_

_

_



 



 

 

 





 



( )

j

0.8 - 2

0.8 - 2

k

X e





 



k



 



k



 











- 5000 -3000 -2000 0 2000 3000 5000 10000



(rad/s)

-5000 -2500 0 2500 5000 10000



(rad/s)

X

_s

(j



)

X(e

j

₎

- - 1.2 -0.8 0.8 1.2 2 2.4 3.2 4 4.8



(rad)

H_r(j) - 4000 -2000 0 2000 4000



(rad/s)

X

_r(

j



)

,

- 3000 0 3000 6000 9000



(rad/s)

S(j



)

X

_s

(j



)

X(e

j

₎

-3 000 -2000 -1000 0 1000 20003000 4000 5000 6000 9000 12000



(rad/s)

-2 -1.33 -0.66 0 0.661.33 2 2.66 3.33 4 6 8



(rad/s)

2/T - 4000 -2000 0 2000 4000



(rad/s)

X

_c

(j



)

 /T  T=1/1500 s x[n] = cos [2/3n] x_c(t)=cos (2000t)

sampling rate 1500 Hz s=3000 rad/s ,

aliasing



-

k



T

2

k s



  











 



( )

2000 -

2000

-s s s k

X

j

k

k

T





_

_

_

_



 



 

 

 



X_c(j )= ( -2000 )+ ( +2000 )



4

 

4



3 3

( )

j

- 2

- 2

k

X e





 



k



 



k



 











-3 000 -2000 -1000 0 1000 20003000 4000 5000 6000 9000 12000



(rad/s)

- -1.33 -0.66 0 0.66 1.33 2  1.33 1.66 4 6 8



(rad/s)

X(e

j

₎

X

_s

(j



)

Hr(j) -3000 -1000 0 1000 3000



(rad/s)

X

_r

(j



)

Hr(j) -3 000 -1500 0 1500 3 000 6000 9000 12000



(rad/s)

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

Konversi deretan impuls ke diskrit Sistem diskrit H(ej₎ Konversi diskrit ke deretan impuls Filter Rekonstruksi Ideal H_r(j) xc(t) xs(t) x[n] X(ej₎ y[n] Y(ej₎ y_s(t) Ys(j) y_r(t) Yr(j) T

5.1.3 Pengolahan Sinyal Waktu Diskrit

 









1 2

Sinyal masukan sistem waktu diskrit [ ] ( ) ( ) ( )

Sinyal keluaran sistem waktu diskrit [ ]

sin / Setelah rekonstruksi: ( ) [ ] / Spektr j c c k r n k x n x nT X e X j T T T y n x n t nT T y t y n t nT T 











         _  _              





 

.

 

um sinyal ( ) ( ) ( ). 0

Bila sistem waktu diskrit adalah sistem linier dan tidak berubah terhadap

j T j T r r r T Y e T y t Y j H j Y e T





   _{ }      _{ }  _{ }  waktu, maka ( ) ( ) ( ) dan ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ) ( ) ( ) ( )

Bila ( ) mempunyai spektral t

j j j j T j T r r j T r r c k c Y e H e X e Y j H j H e X e k Y j H j H e X j T T T x t   





              _  _  



 

erbatas maka (j ) 0, dan

( ) adalah filter low pass ideal, maka

( ). ( ) 0 c r j T c r X T H j H e X j T Y j T







       _{  }      _{ } 

 

aliasing terjadi tidak agar tinggi cukup n pencuplika frekuensi • terbatas ya frekuensin pita lebar masukan sinyal • waktu. terhadap berubah tidak dan linier diskrit waktu sistem • : bila waktu terhadap berubah tidak dan linier adalah dijital secara sinyal pengolahan Sistem : Catatan T ) e ( H ) (j H : ana dim T j X ). (j H ) (j Y maka rate, Nyquist n pencuplika frekuensi Bila T j eff c eff r          _    

A/D Converter

5.2 Pengolahan Sinyal Digital (Digital Signal

Processing)

Digital Processor

x(n)

y(n)

D/A Coverter Prefilter A/D Coverter Postfilter

x(t)

y(t)

Sampling & Hold Quantizer Encoder

Edisi Semester 2 17/18 EYH 28

5.2.1 Konversi Analog ke Digital (A/D Converter)

5.2.1 .1 Anti aliasing filter

5.2.1.2 Sample and Hold Circuit

Courtesy from Discrete time signal processing , Alan V.Oppenheim

X_s(t) s(t)

X

_a

(t)

Zero order Hold h_a(t)

Courtesy from Digital Signal Processing, John G.Proakis and Dimitris G Manolakis

5.2.1.3 Quantization and Coding

Quantization : proses nonlinear dan non invertible yang memetakan amplituda x(n)=x(nT) pada waktu t=nT ke amplituda yang diambil dari satu set nilai yang berhingga,

k x

k

Analisis Error kuantisasi

• Signal to quantization noise (power) ratio (SQNR), dalam

skala dB :

dB

76

.

1

02

.

6

:

signal

modulating

sinusoidal

scale

full

PCM

sistem

untuk

Misal

input

sinyal

variansi

converter

A/D

dari

range

R

kuantisasi

bit

jumlah

log

20

81

.

16

02

.

6

















b

SQNR

b

R

b

SQNR

x x





5.2.2 Konversi Digital to Analog

Practical D/A Converter

5.2.2.1. Zero order hold interpolation

Zero order hold interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter interpolasi,

   

t



x

n

,

n

T

_s



n





n



1



T

_s

x

_a

 

lainnya

,

0

T

0

,

1

_s













t

t

h

5.2.2.2. First order hold interpolation

First order hold interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter interpolasi,

5.2.2.3 Cubic spline interpolation

Cubic spline interpolation

Diperoleh dari pemfilteran impulse train menggunakan filter dengan fungsi

cubic spline sebagai berikut;

 

lainnya

0,

2

,

1

0

,

1

































_{s s} s s s

T

t

T

T

t

T

t

T

t

t

h

 

 

 



 



 

_s



_s





_s s s a

T

n

n

nT

nT

t

n

nT

t

n

nT

t

n

n

t

x

1

,

₃ 3 2 2 1 0



























