MAKALAH
TURUNAN
Disusun oleh: Agusman Bahri A1C214027 Dosen Pengampu: Dra. Irma Suryani, M.PdPROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS JAMBI 2015
ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Tuhan Yang Maha Esa karena hanya atas limpahan rahmat dan karunia-Nya penulis dapat menyelesaikan makalah Turunan ini hingga selesai.
Pada kesempatan ini penulis mengucapkan terima kasih kepada Ibu Dra. Irma Suryani, M.Pd selaku dosen pengampu mata kuliah Bahasa Indonesia yang telah memberi arahan dan bimbingan kepada penulis untuk menyusun makalah ini. Penulis juga mengucapkan terimakasih kepada teman-teman yang telah memberikan doa, motivasi, saran dan kritik sehingga makalah ini dapat terselesaikan.
Penulis menyadari makalah ini masih banyak kekurangan baik dari segi penulisan maupun materi penyampaiannya. Dengan menyadari hal tersebut maka penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan selanjutnya. Namun demikian, penulis berharap makalah ini dapat berguna dan bermanfaat dalam menambah wawasan dan pengetahuan bagi berbagai pihak yang membutuhkan.
Jambi, Mei 2015
iii DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ...ii
DAFTAR ISI ...iii
BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang ...1 1.2 Rumusan Masalah ...2 1.3 Tujuan Penulisan ...2 1.4 Manfaat Penulisan ...2 BAB II PEMBAHASAN 2.1 Defenisi Turunan ...3
2.2 Aturan Pencarian Turunan ... 5
2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta ... 5
2.2.2 Turunan Fungsi Identitas ... 5
2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat ... 6
2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta ... 6
2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih ... 7
2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi ... 7
BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan ...10
3.2 Saran ...11 DAFTAR PUSTAKA
BAB I PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Secara umum Matematika merupakan ilmu yang mempelajari pola dari struktur, perubahan, dan ruang secara informal. Dan dapat pula disebut sebagai ilmu tentang bilangan dan angka. Matematika merupakan alat yang dapat memperjelas dan menyederhanakan suatu keadaan atau situasi melalui abstraksi, idealisasi, atau generalisasi untuk suatu studi ataupun pemecahan masalah. Contoh sederhana dalam kehidupan sehari-hari pada saat kita mau mengatur uang belanja bagi ibu rumah tangga, uang saku anak-anak, mengatur uang kiriman bagi anak kost, dan lain-lain secara tidak langsung semuanya merupakan bagian dari Matematika, yang mana hal itu membutuhkan suatu pemecahan masalah. Oleh karena itu, masalah tersebut dapat dicari solusinya dengan menggunakan ilmu Matematika, walaupun tidak dipungkiri bahwa Matematika hanya sebatas ilmu yang dipelajari untuk itu. Padahal jika ditelaah lebih mendalam, sebenarnya Matematika banyak sekali terapannya, yaitu: dalam Fisika, Kimia, Biologi, juga dalam bidang ilmu sosial, dan lain-lain.
Kalkulus merupakan salah satu cabang dari ilmu Matematika yang mempelajari tentang hal-hal yang berhubungan dengan pencarian tingkat perubahan (pencarian arah/garis singgung pada suatu kurva) dan pencarian area yang terletak di bawah kurva. Dan di dalam Kallkulus terdiri dari beberapa materi, diantaranya adalah konsep Turunan (Derivatif). Turunan (derivatif) tidak lain merupakan hasil dari suatu proses pendiferensialan atau diferensiasi dari suatu fungsi. Jadi, turunan erat sekali hubungannya dengan diferensial. Jika kita ingin menentukan turunan dari suatu fungsi, maka yang perlu dilakukan adalah melakukan pendiferensialan fungsi tersebut. Dan hasil yang diperoleh dari proses pendiferensilan itu disebut turunan (derivatif). Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan.
2 1.2 Rumusan Masalah
Dari beberapa uraian di atas tulisan ini secara khusus akan membahas tentang.
1. Apakah yang dimaksud dengan turunan?
2. Notasi apa yang digunakan untuk menyatakan suatu turunan? 3. Bagaimana cara untuk menentukan turunan dari suatu fungsi? 4. Aturan-aturan apa saja yang terdapat dalam diferensiasi?
1.3 Tujuan Penulisan
Dari rumusan masalah di atas penulisan makalah ini mempunyai tujuan sebagai berikut.
1. Mengetahui defenisi turunan.
2. Mengetahui macam-macam notasi yang dapat digunakan untuk menyatakan turunan dari suatu fungsi.
3. Mengetahui cara menentukan turunan dari suatu fungsi. 4. Mengetahui Aturan-aturan yang digunakan dalam diferensiasi.
1.4 Manfaat Penulisan
Penulisan makalah ini dapat bermanfaat bagi pembaca sebagai referensi untuk mempelajari ilmu matematika tentang diferensial (turunan) yang merupakan salah satu materi dari suatu cabang ilmu matematika kalkulus. Bagi pelajar sekolah menengah, materi turunan ini akan dipelajari pada kelas XI, jadi makalah ini juga dapat bermanfaat bagi siswa sekolah menengah sebagai bahan acuan untuk pelajaran diferensial.
BAB II PEMBAHASAN
2.1 Defenisi Turunan
Konsep turunan sebagai bagian utama dari kalkulus dipikirkan pada saat yang bersamaan oleh Sir Isaac Newton ( 1642 – 1727 ), ahli matematika dan fisika bangsa Inggris dan Gottfried Wilhelm Leibniz ( 1646 – 1716 ), ahli matematika bangsa Jerman. Turunan ( diferensial ) digunakan sebagai suatu alat untuk menyelesaikan berbagai masalah dalam geometri dan mekanika. Menurut Stewart (2001: 146) turunan merupakan perkembangan dari kecepatan dan kemiringan garis singgung, turunan dapat digunakan untuk memecahkan persoalan yang menyangkut laju perubahan dan hampiran fungsi.
Dari grafik di bawah ini, diketahui fungsi 𝑦 = 𝑓(𝑥) pada interval 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + ℎ, sehingga nilai fungsi berubah dari 𝑓(𝑎) sampai dengan 𝑓(𝑎 + ℎ).
Perubahan rata-rata nilai fungsi 𝑓 terhadap 𝑥 pada interval 𝑎 < 𝑥 < 𝑎 + ℎ adalah 𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
(𝑎+ℎ)−𝑎 =
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(𝑎)
ℎ . Jika nilai ℎ makin kecil maka
nilai lim
ℎ→0
𝑓(𝑎+ℎ)−𝑓(ℎ)
ℎ disebut laju perubahan nilai fungsi 𝑓 pada 𝑥 = 𝑎. Limit
ini disebut turunan atau derivatif fungsi 𝑓 pada 𝑥 = 𝑎.
lim
ℎ→0
𝑓(𝑥+ℎ)−𝑓(ℎ)
ℎ disebut turunan fungsi 𝑓 di 𝑥 yang ditulis dengan notasi
𝑓′(𝑥), sehingga kita peroleh rumus sebagai berikut:
X Y 𝑎 𝑎 + ℎ ℎ 𝑓(𝑎 + ℎ) 𝑓(𝑎) 𝑓(𝑎 + ℎ) − 𝑓(𝑎) 𝑦 = 𝑓(𝑥)
4
Menurut Purcell, dkk. (2004: 111) “jika limit memang ada, dikatakan
bahwa 𝑓 terdiferensiasikan di 𝑥. Pencarian turunan disebut diferensiasi;
bagian kalkulus yang berhubungan dengan turunan disebut kalkulus diferensial.”
Contoh 2.1 Jika 𝑓(𝑥) = 13𝑥 − 6. Tentukanlah nilai 𝑓′(4) Peneyelesaian 𝑓′(4) = lim ℎ→0 𝑓((4) + ℎ) − 𝑓(4) ℎ = limℎ→0 (13((4) + ℎ) − 6) − (13(4) − 6) ℎ = lim ℎ→0 13(4) + 13ℎ − 6 − 13(4) + 6 ℎ = 13ℎ ℎ = 13
Dalam pencarian nilai turunan suatu fungsi, kita akan selalu melibatkan penggunaan limit, sebagaimana dijelaskan oleh Purcell, dkk. (2004: 112) sebagai berikut.
Pencarian turunan selalu melibatkan pengambilan limit suatu hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Tugas kita adalah menyederhanakan hasil bagi ini sehingga dapat mencoret faktor ℎ dari pembilang dan penyebut, lalu kita
dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi.
Turunan dari suatu fungsi 𝑓(𝑥) atau 𝑦 terhadap 𝑥 dapat dinyatakan dalam salah satu simbol berikut:
𝑦′= 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥𝑦 = 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥𝑦 = lim∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥 Penjelasan
Turunan harus disebutkan secara lengkap “turunan 𝑦 terhadap 𝑥” terlebih jika variabel bebas yang mungkin bukan hanya 𝑥.
Turunan dapat dianggap sebagai diferensial variabel tak bebas dibagi diferensial variabel bebasnya.
𝑦′ disebut turunan atau 𝑑𝑒𝑟𝑟𝑖𝑣𝑎𝑡𝑖𝑣𝑒. 𝑑𝑦 disebut diferensial dari 𝑦 yang artinya perubahan kecil mendekati nol dari 𝑦.
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ
5 2.2 Aturan Pencarian Turunan
Dalam pencarian nilai turunan dari suatu fungsi, terdapat beberapa aturan yang telah dikembangkan untuk pencarian turunan tanpa menggunakan defenisi secara langsung. Rumus-rumus ini sangat menyederhanakan tugas pendiferensialan.
2.2.1 Turunan Fungsi Konstanta
Fungsi konstanta 𝑓(𝑥) = 𝑐 mempunyai grafik fungsi berupa garis mendatar 𝑦 = 𝑐, yang memiliki kemiringan 0, sehingga kita harus mempunyai 𝑓′(𝑥) = 0. Bukti: 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑐 − 𝑐 ℎ = lim ℎ→00 = 0 Contoh 2.2.1 𝑑 𝑑𝑥7 = 0 𝑑 𝑑𝑥25 = 0 𝑑 𝑑𝑥27 = 0
2.2.2 Turunan Fungsi Identitas Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥, maka 𝑓′(𝑥) = 1 Bukti: 𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑥 + ℎ − 𝑥 ℎ = limℎ→0 ℎ ℎ = lim ℎ→01 = 1 Contoh 2.2.2 𝑑 𝑑𝑥25𝑥 = 25 ∙ 𝑑 𝑑𝑥𝑥 = 25 ∙ 1 = 25 𝑑 𝑑𝑥27𝑥 = 27 ∙ 𝑑 𝑑𝑥𝑥 = 27 ∙ 1 = 27 𝑑 𝑑𝑥(𝑐) = 0 𝑑 𝑑𝑥(𝑥) = 1
6 2.2.3 Turunan Fungsi Pangkat
Jika 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛, dengan 𝑛 bilangan bulat positif, maka 𝑓’(𝑥) = 𝑛𝑥𝑛−1
Bukti: 𝑓’(𝑥) = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 (𝑥+ℎ)𝑛− 𝑥𝑛 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑥𝑛+ 𝑛𝑥𝑛−1ℎ+ 𝑛(𝑛−1)2 𝑥𝑛−2ℎ2+ …. +𝑛𝑥ℎ𝑛−1+ ℎ2− 𝑥𝑛 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 ℎ[𝑛𝑥𝑛−1+ 𝑛(𝑛−1)2 𝑥𝑛−2ℎ +⋯+𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1] ℎ = lim ℎ→0[𝑛𝑥 𝑛−1+ 𝑛(𝑛−1) 2 𝑥 𝑛−2ℎ + ⋯ + 𝑛𝑥ℎ𝑛−2 + ℎ𝑛−1]
Di dalam kurung, semua suku kecuali yang pertama mempunyai ℎ sebagai faktor, sehingga masing-masing suku ini mempunyai limit nol bila ℎ mendekati nol. Jadi
Contoh 2.2.3 𝑑 𝑑𝑥𝑥 3 = 3𝑥3−1 = 3𝑥2 𝑑 𝑑𝑥𝑥 28= 28𝑥28−1= 3𝑥27
2.2.4 Turunan Kelipatan Konstanta
Turunan dari konstanta dikali fungsi adalah sama dengan konstanta dikali turunan fungsi tersebut, hal ini sebagaimana dikatakan oleh Stewart (2001: 168) bahwa
pada waktu fungsi baru dibentuk dari fungsi lama dengan cara penambahan, pengurangan, perkalian atau pembagian, turunan dapat dihitung dalam bentuk turunan fungsi yang lama. Khususnya rumus berikut yang mengatakan bahwa turunan konstanta kali fungsi adalah konstanta kali turunan fungsi tersebut
Jika 𝑔(𝑥) = 𝑐𝑓(𝑥), maka 𝑔′(𝑥) = 𝑐𝑓′(𝑥). 𝑑
𝑑𝑥(𝑥)
7 Bukti: 𝑔′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑐𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑐𝑓(𝑥) ℎ = lim ℎ→0𝑐 [ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ ] = 𝑐 limℎ→0[ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ ] = 𝑐𝑓′(𝑥)
Untuk contoh turunan kelipatan konstanta dapat dilihat pada contoh 2.2.2
2.2.5 Turunan Penjumlahan dan Selisih
Jika 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥), maka 𝐹′(𝑥) = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥), dengan syarat
𝑓 dan 𝑔 dapat didiferensialkan (mempunyai turunan). Bukti: 𝐹′(𝑥) = lim ℎ→0 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ = limℎ→0 [𝑓(𝑥 + ℎ) ± 𝑔(𝑥 + ℎ)] − [𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] ℎ = lim ℎ→0[ 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ ± 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ ] = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ ± limℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ = 𝑓′(𝑥) ± 𝑔′(𝑥) Contoh 2.2.5 𝑑 𝑑𝑥[12𝑥 2+ 3𝑥 − 6] = 𝑑 𝑑𝑥12𝑥 2+ 𝑑 𝑑𝑥3𝑥 − 𝑑 𝑑𝑥6 = 24𝑥 + 3
2.2.6 Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Turunan Hasil Kali
Jika 𝐹(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥); 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan maka 𝐹′(𝑥) = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) Bukti: 𝐹′(𝑥) = lim ℎ→0 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ℎ 𝑑 𝑑𝑥𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥[𝑓(𝑥) + 𝑔(𝑥)] = 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥) + 𝑑 𝑑𝑥𝑔(𝑥)
8
Agar dapat menghitung limit ini, kita akan memisahkan fungsi 𝑓 dan 𝑔 seperti pada bukti turunan penjumlahan. Kita dapat mencapai pemisahan ini dengan mengurangkan dan menambahkan suku 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) pada pembilang:
𝐹′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ℎ = lim ℎ→0[𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ + 𝑔(𝑥) 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ ] = lim ℎ→0𝑓(𝑥 + ℎ) limℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ + limℎ→0𝑔(𝑥) limℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ = 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) + 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) Contoh 2.2.6.1
Tentukanlah turunan dari [𝑥(27𝑥 + 2)]
misal 𝑓(𝑥) = 𝑥 → 𝑓′(𝑥) = 1, dan 𝑔(𝑥) = 27𝑥 + 2 → 𝑔′(𝑥) = 27 𝑑 𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥)𝑔 ′(𝑥) + 𝑓′(𝑥)𝑔(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥[𝑥(27𝑥 + 2)] = 𝑥(27) + (27𝑥 + 2)(1) = 27𝑥 + 27𝑥 + 2 𝑑 𝑑𝑥[𝑥(27𝑥 + 2)] = 54𝑥 + 2
Turunan Hasil Bagi Jika 𝐹(𝑥) =𝑓(𝑥)
𝑔(𝑥); 𝑓 dan 𝑔 keduanya dapat didiferensialkan maka
𝐹′(𝑥) =𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥)−𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 Bukti: 𝐹′(𝑥) = lim ℎ→0 𝐹(𝑥 + ℎ) − 𝐹(𝑥) ℎ = limℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) 𝑔(𝑥 + ℎ)− 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥) ℎ = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ)(𝑓(𝑥) ℎ ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥)
Kita dapat memisahkan 𝑓 dan 𝑔 dalam ungkapan ini dengan cara mengurangkan dan menambahkan suku 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) pada pembilang:
𝑑 𝑑𝑥[𝑓(𝑥)𝑔(𝑥)] = 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥𝑔(𝑥) + 𝑔(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥)
9 𝐹′(𝑥) = lim ℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − 𝑔(𝑥 + ℎ)(𝑓(𝑥) ℎ ∙ 𝑔(𝑥 + ℎ) ∙ 𝑔(𝑥) = lim ℎ→0 𝑔(𝑥)𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)ℎ − 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥)ℎ 𝑔(𝑥 + ℎ)𝑔(𝑥) = lim ℎ→0𝑔(𝑥)limℎ→0 𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ − limℎ→0𝑓(𝑥)limℎ→0 𝑔(𝑥 + ℎ) − 𝑔(𝑥) ℎ lim ℎ→0𝑔(𝑥 + ℎ)limℎ→0𝑔(𝑥) =𝑔(𝑥)𝑓 ′(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 Contoh 2.2.6.2 𝑑 𝑑𝑥 (27𝑥 + 2) 𝑥 misal 𝑓(𝑥) = 27𝑥 + 2 → 𝑓′(𝑥) = 27 dan 𝑔(𝑥) = 𝑥 → 𝑔′(𝑥) = 1 𝑑 𝑑𝑥[ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)] = 𝑔(𝑥)𝑓′(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑔′(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 𝑑 𝑑𝑥 (27𝑥 + 2) 𝑥 = 𝑥(27) − (27𝑥 + 2)(1) 𝑥2 = 27𝑥 − 27𝑥 − 2 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥 (27𝑥 + 2) 𝑥 = − 2 𝑥2 𝑑 𝑑𝑥[ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)] = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑑 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑 𝑔(𝑥) [𝑔(𝑥)]2
BAB III PENUTUP
3.1 Kesimpulan
1. Turunan merupakan limit dari perbandingan perubahan nilai 𝑦 terhadap perubahan nilai 𝑥 dimana perubahan nilai 𝑥 mendekati 0. Turunan dari suatu fungsi 𝑓 pada 𝑥 dapat dinyatakan dalam bentuk rumus berikut:
𝑓′(𝑥) = lim ℎ→0
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥) ℎ
2. Dalam turunan terdapat beberapa macam notasi penulisan untuk menyatakan turunan dari suatu fungsi yaitu sebagai berikut:
𝑦′= 𝑓′(𝑥) =𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥𝑦 = 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥) = 𝐷𝑥𝑦 = lim∆𝑥→0 ∆𝑦 ∆𝑥
3. Turunan dapat ditentukan dengan cara mengambil limit dari suatu hasil bagi dengan pembilang dan penyebut keduanya menuju nol. Kita dapat menyederhanakan hasil bagi ini sedemikian rupa sehingga kita dapat mencoret faktor pembilang dan penyebut yang mendekati nol, lalu kita dapat menghitung limitnya dengan cara subsitusi.
4. Dalam turunan terdapat beberapa aturan turunan yang merupakan pengembangan dari penggunaan defenisi umum turunan sehingga tidak lagi melibatkan penggunaan limit. Beberapa aturan-aturan turunan diantaranya adalah sebagai berikut:
Turunan Fungsi Konstanta 𝑑
𝑑𝑥𝑐 = 0
Turunan Fungsi Identitias 𝑑
𝑑𝑥𝑥 = 1
Turunan Fungsi Pangkat 𝑑 𝑑𝑥𝑥
𝑛 = 𝑛𝑥𝑛−1
Turunan Fungsi Kelipatan Konstanta 𝑑
𝑑𝑥𝑐𝑓(𝑥) = 𝑐 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥)
11 Turunan Penjumlahan dan Selisih
𝑑 𝑑𝑥[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)] = 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥) ± 𝑑 𝑑𝑥𝑔(𝑥)
Turunan Hasil Kali dan Hasil Bagi Turunan hasil kali
𝑑 𝑑𝑥[𝑓(𝑥) ∙ 𝑔(𝑥)] = 𝑑 𝑑𝑥𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) + 𝑓(𝑥) 𝑑 𝑑𝑥𝑔(𝑥) Turunan hasil bagi
𝑑 𝑑𝑥[ 𝑓(𝑥) 𝑔(𝑥)] = 𝑔(𝑥)𝑑𝑥𝑑 𝑓(𝑥) − 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑑 𝑔(𝑥) [𝑔(𝑥)]2 3.2 Saran
Dalam penulisannya makalah ini dapat dijadikan sebagai referensi untuk mempelajari diferensial. Makalah ini berisi tentang pengertian difererensial dan beberapa aturan turunan. Namun aturan-aturan turunan yang ada di dalam makalah ini belumlah lengkap, aturan-aturan turunan yang terdapat di dalam makalah ini hanyalah beberapa aturan dasar yang dirasa penting untuk dipelajari oleh pembaca. Penulis menyadari bahwa pada makalah ini masih banyak terdapat kekurangan oleh karena itu penulis sangat mengharapkan kritik dan saran dari pembaca sehingga penulis dapat memperbaiki kekurangan pada makalah ini sehingga dapat bermanfaat baik bagi pembaca maupun bagi penulis sendiri.
DAFTAR PUSTAKA
Degeng, I.W. 2007. Kalkulus Lanjut: Persamaan Diferensial & Aplikasinya. Jakarta: Graha Ilmu
Purcell, E.J. dkk. 2004. Kalkulus Jilid I, Edisi 8. Jakarta: Erlangga
Soedyarto, Nugroho dan Maryanto. 2008. Matematika Untuk SMA dan MA Kelas
XI Program IPA. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional
