S Sttrruukkttuurrkrkriissttaall==KiKissii++BaBassiiss B BAABBII S STTRRUUKKTTUURRKKRRIISSTTAALL S Seebbaaggiiaann bebessaarrmamatteerriififissiikkaazzaattpapaddaattadadaallaahh kkrriissttaalldadanneleleekkttrroonndididadallaammnnyaya,,fifissiikkaazazatt p paaddaatt mmuullaaiididikkeemmbbaannggkkaann aawwaallababaadd kkee220,0, mmeennggiikkuuttii pepenneemmuuaann didiffrraakkssiisisinnaarr--xx ololeehh k krriissttaall.. S Seebbuuaahh krkriissttaall idideeaall didissuussuunn oolleehh sasattuuaann--ssaattuuaann ststrruukkttuurr yyaanngg idideennttiikk sseeccaarraa beberruullaanngg- -u ullaannggyayannggtatakkhihinnggggaadididdaallaammruruaanngg.. S Seemmuuaa ststrruukkttuurr krkriissttaall dadappatat didiggaammbbaarrkkaann aattaauu ddiijjeellaasskkaann ddaallaamm isisttiillaahh--iissttiillaahh lalattttiiccee ( (kkisisii))dadannsseebbuuaahhbabassiissyayannggdiditteemmppelelkkaannpapaddaasesettiiaappttiittiikklalattttiiccee(k(kisisii)).. L Laattttiiccee(k(kiissii)) ::SSeebbuauahhssuussuunnaanntitittiikkyayannggtteerraattuurrdadannpeperriiooddiikkddiidadallaammrruuaanngg S Seebbuuaahhababssttrraakkssiimamatteemmaattiikk B Baassiiss ::SSeekkuummppuullaannatatoomm--aattoomm J Juummllaahhatatoommdadallaammsseebbuuaahhbabassiiss::sasattuubbuuaahhaattoommaattaauulelebbiihh.. C Coonnttoohh:: K Kiissiidduuaadidimmeennssii BaBassiiss StStrruukkttuurrKKrriissttaall J JaarraakkanantatarrkikissiiddaallaammararaahhssuummbbuuXX== a1 J JaarraakkanantatarrkikissiiddaallaammararaahhssuummbbuuYY== a2 J Jaarraakk ddaarrii titittiikk yayanngg sasattuu kkee titittiikk yayanngg lalaiinn bboolleehh sasammaaatataauu bbeerrbbeeddaa,, jijikkaa sasammaa ((ddaallaamm k kiissii dduuaa ddiimmeennssii)) akakaann beberrbbeennttuukk bbuujjuurr sasannggkkarar ddaann jijikkaa beberrbbeeddaa akakaann beberrbbeennttuukk 44 p peerrsseeggiipapannjjaanngg..
+
+
=
=
1 a 2 a B Baassiiss T TiittiikkKKiissiiS Seebbuuaahh opopeerraassii trtraannssllaassiikikissii ddiiddeeffiinniissiikkaann sesebbaaggaaii peperrppiinnddaahhaann ddaarrii sesebbuuaahh krkriissttaall oolleehh s seebbuuaahhvevekkttoorrttrraannssllaassiikrkriissttaall((T)) 1 1 2 2 3 3
T u a
u a
u a
D Diimmaannaa:: u u==BBiillaannggaannbubulalatt a==VeVekkttoorrtrtraannssllaassiipprriimmiittiiff((jjaarraakkananttaarrtitittiikkkkiissii)) = =SSuummbbuu--ssuummbbuukrkriissttaall C Coonnttoohh:: P Poossiissiidadarrii sseebbuuaahh pupussaatt aattoomm jjdadarriisesebbuauahh babassiissrerellaattiivvee teterrhhaaddaapp titittiikk lalattttiiccee ddiimmaannaa b baassiissdidilleettaakkkkaannaaddaallaahh:: 1 2 3 j j j j r x a y a z a Dengan : 0x y zj, ,j j 1 C Coonnttoohh:: C CeellllLaLattttiicceePrPriimmiittiiff = =SSebebuauahhsseellyyaannggmmeemmppuunnyayaiiluluaassatataauuvvoolluummeeteterrkkeecciill = =LaLawwaannddaarriisesellkkononvveennssiioonanall,,yayaiittuusesellyayannggmememmppuunnyyaaiilluuaassaattaauuvovolluummee t teerrbbeessaarr 1 a 2 a T B BuukkaannVVeekkttoorr T Trraannssllaassii 1 23
2
T
a
a
1 23
2
u
u
1 1 j y j x a1 2 a B Baassiiss= =SSelelyayannggmememmppununyayaii11titittiikkkikissii = =SSebebuauahhppaarraarreelleeppiippiidd yayannggdidibbeenntutukkololeehhsusummbbuu--ssuumbmbuu.. a a a1, ,2 3 S Seelleeppiippiidd==sesebbuuaahhbabanngugunnyayannggsisissiinnyyaasseejjaajjaarr//bibiddaannggyayannggdidibbaattaassiiololeehhgagarriiss--ggaarriiss S Seejjaajjaarr.. C CaarraaMeMenneennttuukkanansesellprpriimmiittiiff(S(Suummbbuu--ssuummbbuupprriimmiittiiff)) C Caarraalalaiinnununtutukkmmeemmiilliihhsesellpeperriimmiittiiff::MMeettooddeeWWiiggnneerrSeSeiittzz.. 1 1.. HHuubbununggkkaannsesebbuuaahhtitittiikkllaattttiicceededennggaanntitittiikkllaattttiicceedidisesekkiittaarrnnyyaa.. 2 2.. ddii tteennggaahh--tteennggaahh dadann teteggaakk lluururussteterrhhaaddaapp ggaarriisspepenngghhuubbuunngg ininii,, lluukikissllaahh ggaarriiss- -g gaarriissaattaauu bibiddaanngg--bbiiddanang.g.LuLuaassteterrkkeecciillatataauuvovolluummeeteterrkkececiillyayannggdidilliinnggkkupupiioolleehh g gaarriiss--ggaarriissatataauubibiddaanngg--bbiiddaannggininiididisseebbututdedennggaannsesellppririmmiittffWWiiggnneerrsseeiittzz.. C Coontntoohh:: 1 a 2 a CPCP 1 a 2 a CPCP 1 a 1 a 2 a 2 a C CPP C CPP CPCP 1 a 2 a
T Tiippee--ttiippeellaattttiicceeddaassaarr L Laattttiiccee(k(kiissii))duduaaddiimmeennssii::adadaalilimmaa((55))jjeenniiss,,yayaiittuu 1 1 KiKissiimmiirriinngg 2 2 KiKissiibbuujjuurrsasannggkkaarr 3 3 KiKissiihheekkssaaggoonnaall 4 4 KiKissiisseeggiipapannjjaanngg 5 5 KiKissiisseeggiipapannjjaannggbeberrppuussaatt C Caattaattaann:: J Jeenniisskikissiinnoo11::jejenniisskikissiiumumuumm J Jeenniisskikissiinnoo2,2,3,3,44dadann55mmeerruuppaakkaannjejenniisskikissiikhkhuussuuss C Coonnttoohh:: K KiissiiBBuujjuurrSaSannggkkaarr K Kiissiiseseggiipapannjjaannggbbeerrppuussaatt K KiissiiHeHekkssaaggoonnaall 1 a 2 a 0 1 2 ; 90 a a J Juummllaahhtitittiikklalattttiicceeppadadaa:: C Ceellkokonvnveennssiioonnaall==44x1x1//44==11bubuaahh C Ceellprpriimmiittiiff==1/1/44xx44==11bubuaahh 1 a 2 a 0 1 2 ; 90 a a J Juumlmlaahhtitittiikklalattttiicceepapaddaa:: C Ceellkokonnvveennssiioonnaall==(4(4xx11//44))++11==22bbuuaahh C Ceellprpriimmiittiiff==44x1x1/4/4==11bbuuaahh 1 a 2 a 0 1 2 ; 120 a a J Juummllaahhttiittiikklalattttiicceeppaaddaa:: C Ceellkokonnvveennssiioonanall==((44xx11//44))++11==22bubuaahh C Ceellprpriimmiittiiff==4x4x11//44==11bubuahah
L LaattttiicceeTiTiggaaddiimmeennssii::adadaa1414jejenniiss,,yayaiittuu S SISISTTEEMM JJUUMMLLAAHH K KIISSII S SUUMMBBUU K KOONNVVEENNSSIIOONNAALL S SUUDDUUTT T Trriikklliinniikk 11 a1 a2 a3 M Moonnooklkliinniikk 22 a1 a2 a3 900 O Orrttoorroommbbiikk 44 a1 a2 a3 900 T Teettrraaggoonnaall 22 a1 a2 a3 900 K Kuububuss 33 a1 a2 a3 900 T Trroogogonnaall 11 a1 a2 a3 1200 900 H Heekkssaaggoonnaall 11 a1 a2 a3 900 , , 1200 J JuummllaahhKiKissii 1414BBuuaahh C Coonnttoohh::KiKissiiKuKububuss(3(3JeJenniiss)) a a.. KuKububussSeSeddeerrhhananaa//SSiimmpplleeCuCubbiicc(S(SCC)) S SeellPrPriimmiittiiff==SeSellKoKonnvveennssiioonnaall J Juummllaahhttiittiikklalattttiiccee==88xx1/1/88==11bubuaahh(P(Paaddaasesettiiaappsusudduuttdidippaakkaaii88kkububusussesell)) 1 ˆ a ax 2 ˆ a ay 3 ˆ a az
b b.. KuKububussPuPussaattBaBaddaann//BoBoddyyCeCenntteerrCuCubbiicc(B(BCCCC)) S SeellPrPriimmiittiiff
SSelelKKoonnvveennsisioonnaall J Juummllaahhttiittiikklalattttiicceeppaaddaa:: s seellppririmmiittiivvee==88xx1/1/88==11bubuaahh s seellkkoonnvevennssiioonnaall==((88xx11//88))++11==22bubuaahh
1 1 ˆ ˆ ˆ 2 a a x y z ; ; 2
1 ˆ ˆ ˆ 2 a a x y z
3 1 ˆ ˆ ˆ 2 a a x y z 0 109, 28 (s(suududuttaannttaarraasusummbbuu--ssuummbbuu)) c c.. KuKububussPuPussaattMuMukkaa//FaFacceeCCeennteterrCuCubbiicc((FFCCCC)) S SeellPPrriimmiittiiff
SSeellKKoonnvveennssiioonnaall J Juummllaahhttiittiikklalattttiicceeppaaddaa:: s seellpprriimmiittiivvee==88xx1/1/88==11bbuauahh s seellkokonvnveennssiioonnaall==(8(8 xx11/8/8))++(6(6 xx1/1/22)) = =4b4buuaahh
1 1 ˆ ˆ 2 a a x y
2 1 ˆ ˆ 2 a a y z ; 3
1 ˆ ˆ 2 a a x z 0 60 (s(suuddututananttaarraasusummbbuu--ssuummbbuu)) V Voolluummeesseellpprriimmiittiiff 1 2 3 c V a a a atau, 2 3 1 c V a a a atau, 3 1 2 c V a a a S SiisstteemmInInddeekkss(I(InnddeekkssMiMilllleerr)) D Diigguunnakakaannuununukkmmeennyyaattaakkaannbbiiddaannggkkrriissttaall(i(innddeekkssbbididaanngg)) A Attuurraann::1 1.. TTeennttuukkaann ttiittiikk popottoonngg aannttaarraa bibiddaanngg yayanngg bbeerrssaanngkgkuuttaann dedennggaann ssuummbbuu--ssuummbbuu ( (a a a 1, ,2 3)) // susummbbuu--ssuummbbuu prpriimmiittff atataauu kokonnvveennssiioonanall dadallaamm ssaattuuaann kokonnssttaannttaa l laattttiiccee((a a a1, ,2 3)).. 2 2.. TTeennttuukkaann kkeebbalaliikkaann (r(reecciipprrookk)) ddaarrii bibillaannggaann--bbiillaannggaann tataddii,, ddaann kekemmuuddiaiann t teennttuukkaanntitiggaabibillaannggaannbubullaatt(t(teerrkkeecciill))yayannggmememmppuunnyyaaiipeperrbbaannddiningagannyayanngg ssaammaa.. I Innddeekkss(h(hkkl)l).. C Coonnttoohh:: B BiiddaannggABABCCmememmoottoongngssuumbmbuu-s-suummbbuu:: 1 a didi 2a1 2 a didi 2a2 3 a didi 2a3 K Keebbaalliikkaannnnyyaaadadaallaahh 1 1 1, , 2 2 3 J Jiikkaakkeettiiggaabbililaannaaggnn bubullaattyayannggmememmppununyayaii p peerrbbaannddiinngagann yayanngg sasammaa sseeppeerrttii didi atataass a addaallaahh 33,, 33,, 22.. dedennggaann dedemmiikkiiaann ininddeekkss b biiddaannggABABCCtteerrsseebbututadadaallaahh((33 3322)).. P Peerrhhatatiikkaannbabahhwwaadadallaammppeennuulliissaanniinnddeekksskikittaattiiddaakkmemenngggguunnaakkaanntatannddaakokommaa.. M Miissaall:: ( (33 33 22)) ( (hh kk ll)) J Jiikkaasasallaahh sasattuu ddaarriihhkkllnneeggaattiiff,, mamakkaaininddekekssbibiddaannggteterrsseebbuuttdditituuliliss (( h kk ll)),, ararttiinnyyaahh b beerrttaannddaannegegaattiiff.. U UnnttuukkSSeellkkububuuss,,jajarraakkananttaarrbibiddaanngghhkkllddapapaattddiittuulliisssesebbaaggaaiibeberriikkuutt:: 2 2 2 hkl a d h k l
C Coonnttooh-h-ccoonnttoohhInInddeekkssMiMilllleerrununttuukksesellkukubbuusspprriimmiittiiffmamauuppuunnkkoonnvevennssiioonnaall:: K KuubbuussSSeeddeerrhhaannaa::sesellkokonnvveennssiioonnaall==sesellprpriimmiittiiff B BiiddaannggABABFFEE P PeerrppoottoonngagannbbiiddaannggABABFFEEdedennggaannsusummbbuu:: X Xddii1axˆ Y Yddii~ ayˆ Z Zdidi ~ azˆ K Keebbaalliikkaannnnyaya::1 1 1, , 1 ~ ~ J Jaaddii,,iinnddeekkssbibiddaannggABABFFEEaaddaallaahh ( (11 00 0)0) B BiiddaannggBCBCGGFF P PeerrppoottoonnggaannbbididaannggBBCCGGFFdedennggaannsusummbbu:u: X Xdidi ~ axˆ Y Ydidi1ayˆ Z Zdidi ~ azˆ K Keebbaalliikkaannnnyyaa:: 1 1 1, , ~ 1 ~ J Jaaddii,,ininddeekkssbibiddaannggBCBCGGFFaaddaallaahh ( (00 11 0)0) B BiiddaannggEFEFGGHH P PeerrppoottoonnggaannbbididaannggEFEFGGHHdedennggaannsusummbbuu:: X Xdidi ~ axˆ Y Ydidi ~ ayˆ Z Zdidi1azˆ K Keebbaalliikkaannnnyyaa:: 1 1 1, , ~ ~ 1 J Jaaddii,,ininddeekkssbibiddaannggEFEFGGHHaaddaallaahh ( (00 00 1)1)
B BiiddaannggACACGGEE P PeerrppoottoonnggaannbbididaannggACACGGEEdedennggaannsusummbbu:u: X Xdidi1axˆ Y Ydidi1ayˆ Z Zdidi ~ azˆ K Keebbaalliikkaannnnyyaa::1 1 1, , 1 1 ~ J Jaaddii,,ininddeekkssbibiddaannggACACGGEEadadaallaahh ( (11 11 0)0) B BiiddaannggDCDCGGHH B Biiddaanngg DCDCGGHH sseejjaajjaarr ddenenggaann bibiddaanngg AABBFFEE,, d daann memenneemmppeell didi susummbbuu YY dadann Z,Z, aarrttiinnyyaa b biiddaanngg tteerrsseebbuutt ttiiddaakk hahannyyaa ssaattuu tetettaappii lleebbiihh d daarriisasattuu,,mamakkaaininddeekkssbibiddananggDDCCGGHHaaddaallaahh:: { {11 00 0}0} T Taannddaa{1{1 00 0}0}memennyyaattaakkaann kukummppuullaann bibiddaanngg- -b biiddaannggyayannggsesejjaajjaarrddeennggaannbbiiddaanngg(1(1 00 00)).. S Saammaa hahallnnyyaa dedennggaann BiBiddaanngg ADADHHEE yayanngg sesejjaajjaarr ddeennggaann bbiiddaanngg BCBCGGFF,, mmaakkaa ininddeekkss b biiddaannggADADHHEEadadaallaahh {1{1 00 0}0}bbegegiittuu jujuggaadedennggaannbibiddaannggABABCCDD sseejjaajjaarrddeennggaann bbiiddaanngg E EFFGGHH,,mamakkaabibiddaannggABABCCDDadadaallaahh{0{0 00 11}},,dadannsesetteerruussnnyyaa.. J Jaaddi,i,apapaabbiillaabbiiddaannggnnyayamemenneemmppelelddiisusummbbu,u,ininddeekkssnnyyaaakakaannsasammaadedennggaannininddeekkssbbiiddaanngg y yaannggsesejjaajjaarrdedennggaannnnyyaa..
K KuubbuussPPuussaattMuMukkaa(F(FCCCC))::sesellkokonnvveennssiioonnaall
sesellprpriimmiittiiff B BiiddaannggABABEEFF P Peerrppoottoonngagann bbiiddaanngg ABABEEFF dedennggaann ssuummbbuu p prriimmiittiiff:: 1 a didi 2aˆ1 2 a didi ~ aˆ2 3 a didi 2aˆ3 M Maakkaa,, iinndedekkss bbiiddaanngg ABABEEFF papaddaa sesell prpriimmiittiiff a addalalaahh (1(1 00 1)1)PP S Seeddaannggkkanan papaddaa ssuummbbuu kkoonnvveennssiioonnaall bbiiddaanngg A ABBEEFFbbererppoototonnggaannpapaddaa:: X Xddii1axˆ Y Yddii~ ayˆ Z Zddii~ azˆ J Jaaddii,,iinnddeekkssbibiddaannggABABEEFFppaaddaasesellkokonnvveennsisioonnaalladadaallaahh(1(1 00 00))KK B BiiddaannggACACGGFF D Deennggaann memenngggguunnaakkanan ssuummbbuu kkoonnvveennssiioonnaall p paaddaa kukubbuuss FCFCCC,, bbiiddaanngg AACCGGFF mememmppununyayaii i inndedekkss(1(1 11 00))KK S Seeddaannggkkaann ppadadaa susummbbuu ppririmmiittiiff bibiddaanngg ACACGGFF b beerrppoottoonnggaannddeenngagann 1 a didi1aˆ1 2 a didi 2aˆ2 3 a didi 2aˆ3 M Maakkaa,, ininddeekkss bibiddaanngg AACCGGFF ppaaddaa sesell prpriimmiittiiff a addaallaahh(2(2 1111))PP K Keebbaalliikkanannynyaa:: 1 1 1, , 2 ~ 2 K Keebbalaliikkaannnnyaya::1 1 1, , 1 ~ ~ K Keebbaalliikkanannnyyaa::1 1 1, , 1 2 2B BiiddaannggACACHH D Deennggaann memenngggguunnaakkanan ssuummbbuu kkoonnvveennssiioonnaall p paaddaa kukububuss FCFCCC,, bibiddanangg ACACHH mememmppununyayaii i inndedekkss(1(1 11 11))KK S Seeddaannggkkaann papaddaa ssuummbbuu prpriimmiittiiff bbiiddaanngg AACCHH b beerrppoottoonnggaannddeenngagann 1 a didi1aˆ1 2 a didi1aˆ2 3 a didi1aˆ3 M Maakkaa,, iinnddeekkss bibiddaanngg ACACHH ppaaddaa sseell prpriimmiittiiff a addaallaahh(1(1 1111))PP J Jaaddii,, ininddeekkss bbididaannggnnyyaa ssaammaa babaiikk papaddaa sesell k koonnvveennssiioonnaallmmaauuppuunnpapaddaasesellppririmmiittiiff.. B BiiddaannggABABGGHH D Deennggaann memenngggguunnaakkanan ssuummbbuu kkoonnvveennssiioonnaall p paaddaa kkuubbusus FFCCCC,, bibiddaanngg AABBGGHH mememmppuunnyyaaii i inndedekkss(1(1 00 11))KK S Seeddaannggkkaann papaddaa susumbmbuu pprriimmiittiiff bbiiddaanngg ABABGGHH b beerrppoottoonnggaannddeenngagann 1 a didi 2aˆ1 2 a didi 2aˆ2 3 a didi1aˆ3 M Maakkaa,, iinndedekkss bibiddaanngg ABABGHGH ppaaddaa sesell prpriimmiittiiff a addaallaahh(1(1 1122))PP B BiiddaannggBCBCEEHH D Deennggaann memenngggguunnaakkaann susummbbuu kokonvnveennsisioonnaall p paaddaa kukubbuuss FFCCCC,, bibiddaanngg ABABGGHH mememmppuunnyyaaii i innddeekkss ((11 00 11))KK .S.Seeddanangkgkaann papaddaa ssuummbbuu p prriimmiittiiffbibiddaannggABABGGHHbbeerrppoottoonnggaanndedennggaann K Keebbalaliikkaannnnyaya::1 1 1, , 1 1 1 K Keebbaalliikkanannnyyaa:: 1 1 1, , 2 2 1
M Maakkaa,, iinnddeekkss bbiiddaanngg ABABGHGH papaddaa sesell pprriimmiittiiff adadaallaahh (1(1 11 2)2)PP.. BBeeggiittuu jujuggaa ddeennggaann b biiddaanngg--bbididaannggyayanngglalaiinnnnyyaa,,papaddaakkububususFCFCC.C. K KuubbuussPPuussaattBaBaddaann(B(BCCC)C)::sesellkokonnvveennssiioonnaall
