I PENDAHULUAN II LANDASAN TEORI

I PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Setiap orang mendambakan berhenti bekerja di suatu masa dalam siklus kehidupannya dan menikmati masa tuanya dengan tentram. Terjaminnya kesejahteraan di masa tua akan menciptakan ketenangan dalam bekerja. Untuk menjamin kesejahteraan di masa tuanya itu, diperlukan suatu rencana pengalokasian aset-aset yang ada agar bisa dimanfaatkan dan dinikmati di masa tua. Untuk mendapatkan semua itu, anuitas adalah salah satu pilihan yang akan membantu menyusun suatu perencanaan jangka panjang atas dana serta aset-aset nasabah.

Anuitas pada dasarnya sama dengan produk asuransi, yaitu memberikan perlindungan terhadap kehilangan penghasilan, tetapi berbeda dari fungsi utamanya. Asuransi jiwa memberikan perlindungan atas kemungkinan seseorang kehilangan penghasilan karena meninggal terlalu cepat, sedangkan anuitas memberikan perlindungan atas kemungkinan seseorang membutuhkan penghasilan karena hidup terlalu lama. Anuitas dapat menjadi alternatif pilihan yang berguna untuk melindungi kehilangan pendapatan selama menjalani masa tua.

Di Amerika Serikat kontrak anuitas variabel adalah suatu rencana pengumpulan aset jangka panjang di mana seluruh keuntungan yang didapat tidak dikenai pajak sebelum tahap pengumpulan aset berakhir. Di dalam kontrak anuitas variabel, retirement adalah masa ketika tahap pengumpulan aset berakhir. Pada saat retirement, tahap

pengumpulan aset dalam kontrak anuitas variabel berakhir dan kemudian tahap penerimaan pendapatan dimulai. Pada tahap penerimaan pendapatan, individu dapat menentukan dua pilihan yaitu:

(i) Dapat melakukan penarikan seluruh aset yang ada di dalam rekening dengan risiko pajak yang besar, atau

(ii) Seluruh dari aset yang ada di dalam rekening dapat diubah ke dalam bentuk anuitas.

1.2 Tujuan Penulisan

Tujuan penulisan karya ilmiah ini ialah mengoptimalkan pilihan alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel. Alokasi aset di dalam rekening anuitas variabel terpisah menjadi dua sub-rekening, yaitu sub-rekening aset bebas risiko dan sub-rekening aset berisiko. Secara teoritis akan dibahas pengambilan keputusan dalam mengalokasikan aset ke dalam rekening anuitas variabel agar diperoleh hasil yang optimal pada saat retirement.

1.3 Sistematika Penulisan

Penulisan karya ilmiah ini terdiri atas pendahuluan pada Bab I yang meliputi latar belakang, tujuan, serta sistematika penulisan. Pada Bab II berisi landasan teori yang menunjang karya ilmiah ini. Bab III berisi model optimalisasi alokasi aset. Bab IV berisi suatu contoh penerapan. Bab V berisi simpulan dan saran. Pada Bab VI berisi daftar pustaka penunjang karya ilmiah ini.

II LANDASAN TEORI

2.1 Ruang Contoh, Kejadian dan Peluang Definisi 1. Percobaan Acak (random trial)

Dalam suatu percobaan seringkali dilakukan pengulangan yang dilakukan dalam kondisi yang sama. Semua kemungkinan hasil yang akan muncul dapat diketahui, tetapi hasil pada percobaan berikutnya tidak dapat diduga dengan tepat. Percobaan yang semacam ini disebut percobaan acak.

(Hogg, McKean and Craig 2005)

Definisi 2. Ruang Contoh (sample space) Himpunan dari semua kemungkinan hasil dari suatu percobaan acak disebut ruang contoh, dinotasikan dengan Ω.

(Grimmet and Stirzaker 2001) Definisi 3. Kejadian (event)

Suatu kejadian A adalah himpunan bagian dari ruang contoh Ω.

Definisi 4. Medan-σ (σ -field)

Medan-σ adalah suatu himpunan F yang anggotanya terdiri atas himpunan bagian ruang contoh Ω, yang memenuhi kondisi berikut : 1. ∅ ∈ F , 2. Jika A A1, 2,...∈ F maka 1 i i A ∞ = ∈

∪

F, 3. Jika A∈ F maka _Ac_{∈ F}.

(Grimmet and Stirzaker 2001) Definisi 5. Ukuran Peluang (probability measure)

Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Ukuran peluang adalah suatu fungsi

pada

(

yang memenuhi:

: [0,

P F → 1] Ω F,

)

1. P

( )

∅ =0 dan P

( )

Ω =1.

2. Jika adalah himpunan yang saling lepas yaitu untuk

setiap pasangan , maka

. 1, 2,... A A ∈ F i j A ∩A = ∅ i≠ j

( )

1 1 i i i i P ∞ A ∞ P A = = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝

∪

⎠

∑

(Grimmet and Stirzaker 2001) 2.2 Peubah Acak dan Fungsi Massa

Peluang

Definisi 6. Peubah Acak (random variable) Misalkan F adalah medan-σ dari ruang contoh Ω. Suatu peubah acak X adalah suatu fungsi X:Ω →R dengan sifat

untuk setiap

( )

{

ω∈ Ω: X ω ≤x

}

∈ F x R∈ . (Grimmet and Stirzaker 2001) Definisi 7. Peubah Acak Diskret (discrete random variable)

Peubah acak X dikatakan diskret jika nilainya hanya pada himpunan bagian yang terbilang dari R.

(Grimmet and Stirzaker 2001) Catatan:

Suatu himpunan bilangan C disebut terbilang, jika C terdiri atas bilangan terhingga atau anggota C dapat dipadankan 1-1 dengan bilangan bulat positif.

Definisi 8. Fungsi Massa Peluang (probability mass function)

Fungsi massa peluang dari peubah acak diskret X adalah fungsi p R: → 1 yang

[ ]

0, diberikan oleh:

( )

(

)

X

p x =P X=x .

(Grimmet and Stirzaker 2001) Definisi 9. Peubah Acak Kontinu (continuous random variable)

Peubah acak X dikatakan kontinu jika ada fungsi f_X

( )

x sehingga fungsi sebaran

( )

P

(

)

X

F x = X ≤x dapat dinyatakan sebagai:

( )

x

( )

X X

F x f u

−∞

= ∫ du,

x R∈ , dengan f R: →

[ ]

0,∞ adalah fungsi yang terintegralkan. Fungsi f disebut fungsi kepekatan peluang bagi X.

(Grimmett and Stirzaker 2001) Setiap peubah acak memiliki fungsi sebaran, sebagaimana didefinisikan berikut ini.

2.3 Fungsi Sebaran, Sebaran Eksponen dan Sebaran Normal

Definisi 10. Fungsi Sebaran (distribution function)

Misalkan X adalah peubah acak dengan ruang . Misalkan kejadian

A A= −∞

(

,x

]

⊂ A ,

maka peluang dari kejadian A adalah

(

)

(

( ) P

X X

p A = X ≤x =F x

)

.

Fungsi F_X disebut fungsi sebaran dari peubah acak X.

(Hogg, McKean and Craig 2005) Definisi 11. Sebaran Eksponen (exponential distribution)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar eksponen dengan parameter λ>0, jika nilainya terletak pada

[

dan memiliki fungsi kepekatan peluang:

)

0,∞

( )

x

X

f x =λe−λ

I

(

x≥0

)

.

(Hogg, McKean and Craig 2005) Definisi 12. Sebaran Normal (normal distribution)

Suatu peubah acak X dikatakan menyebar normal dengan parameter μ dan σ , 2 dinotasikan dengan N

(

μ σ , jika , 2

)

mempunyai fungsi kepekatan peluang:

( )

1 exp

(

₂

)

2 2 2 X x f x μ σ π σ ⎛ ₋ ⎞ ⎜ ⎟ = − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ dengan −∞ < < ∞ . x

2.4 Nilai Harapan dan Fungsi Pembangkit Momen

Definisi 13. Nilai Harapan (expected value) 1. Jika X adalah peubah acak diskret dengan

fungsi massa peluang , maka nilai harapan dari X, dinotasikan dengan

( )

X p x

[ ]

E X , adalah:

[ ]

E X X

( )

x xp x =

∑

,

asalkan jumlah di atas konvergen mutlak. 2. Misalkan X adalah peubah acak kontinu

dengan fungsi kepekatan peluang fX

( )

x .

Nilai harapan dari X adalah:

[ ]

X

( )

E X xf x dx

∞ −∞

=

∫

,

asalkan integral di atas konvergen mutlak. (Hogg, McKean and Craig 2005) Definisi 14. Fungsi Pembangkit Momen (moment generating function)

Misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskret dan adalah bilangan positif sehingga untuk , nilai harapan

ada. Jika

h

h t h

− < <

(

tX

E e

)

X peubah acak kontinu dengan fungsi kepekatan peluang f , fungsi X

pembangkit momen dari X didefinisikan sebagai:

( )

∞

( )

. −∞ =

∫

tX tx X E e e f x dt

Jika X peubah acak diskret dengan fungsi

massa peluang , fungsi pembangkit momen dari X p X didefinisikan sebagai:

( )

tX =

∑

tx

( )

X x E e e p x .

Fungsi pembangkit momen dari peubah acakXdinotasikan MX

( )

t .

(Grimmet and Stirzaker 2001) 2.5 Proses Stokastik dan Gerak Brown

1-Dimensi

Definisi 15. Proses Stokastik (stochastic process)

Proses stokastik X ={ ( ),X t t T∈ } adalah suatu himpunan dari peubah acak yang memetakan suatu ruang contoh Ω ke suatu ruang keadaan S.

(Ross 2003)

Definisi 16. Ruang Keadaan (state space) Misalkan X adalah suatu peubah acak yang memiliki nilai pada himpunan terbilang S, maka S dikatakan ruang keadaan.

(Grimmet and Stirzaker 2001) Definisi 17. Gerak Brown 1-Dimensi (1-dimensional Brownian motion)

Proses stokastik B t

( )

, dikatakan sebagai gerak Brown 1-dimensi, apabila

[

0,

)

t∈ ∞

( )

B t

memiliki sifat-sifat berikut: 1. P B

{

( )

0 =0

}

= . 1 2. Untuk sembarang , peubah acak , 0 1 2 0≤ ≤ ≤ ≤ ≤t t t ... t_n

( )

1

( )

0 B t −B t

( )

2

( )

1 , ...,

( )

n

(

n B t −B t B t −B t ₋₁

)

saling bebas. 3. Untuk 0 s t≤ ≤ , selisih

( )

( )

B t −B s menyebarN

(

0,t s−

)

(Oksendal 2003) 2.6 Persamaan Diferensial Stokastik

1-Dimensi dan Proses Ito 1-Dimensi Definisi 18. Persamaan Diferensial Stokastik 1-Dimensi (1-dimensional stochastic differential equation)

Persamaan diferensial stokastik 1-dimensi adalah proses stokastik X t

( )

pada ruang peluang

(

Ω F, , P

)

yang memiliki bentuk:

( )

(

( )

,

)

(

( )

,

)

( )

dX t =a X t t dt b X t t dB t+ , dengan B t

( )

adalah gerak Brown 1-dimensi pada

(

Ω F, , P

)

.

(Oksendal 2003) Definisi 19. Proses Ito 1-Dimensi (1-dimensional Ito process)

Proses Ito (integral stokastik) 1-dimensi adalah proses stokastik X t

( )

pada ruang peluang

(

Ω F, , P

)

yang memiliki bentuk:

( )

( )

(

( )

)

( )

(

)

( )

0 0 0 , , . t t X t X a X s s d b X s s dB s = + +

∫

∫

s

dengan B t

( )

adalah gerak Brown 1-dimensi pada

(

Ω F, , P

)

.

2.7 Sebaran Kehidupan, Nilai Harapan Sisa Hidup dan Percepatan Kematian Definisi 20. Sebaran Kehidupan (lifetime distribution)

Misalkan seseorang berumur x memiliki sisa waktu hidup , maka umur orang tersebut pada saat meninggal adalah

( )

T x

( )

x T x+ . T

merupakan peubah acak, dengan fungsi sebaran G, dengan:

( )

(

)

, 0

G t =P T≤t t≥

merupakan peluang seseorang yang berumur x akan meninggal pada saat t tahun. Fungsi

( )

G t umumnya dinotasikan dengan sehingga

tqx

( )

tqx =G t .

Fungsi bertahan hidup ( )s t didefinisikan:

( )

(

)

( ) 1 , 0

s t = −G t =P T>t t≥ adalah peluang seseorang yang berumur x akan bertahan hidup sampai usia t tahun. fungsi s t

( )

umumnya dinotasikan dengan

sehingga .

tpx tpx =s t

( )

(Gerber 1997) Definisi 21. Nilai Harapan Sisa Hidup (expected remaining lifetime)

Misalkan seseorang berusia x memiliki sisa waktu hidup T x

( )

. T merupakan peubah acak dengan fungsi kepekatan peluang g t

( )

. Nilai harapan sisa hidup seseorang berumur x yang dinotasikan dengan e_x:

( )

(

)

( )

0 x e =E T x =

∫

∞t g t dt (Gerber 1997) Definisi 22. Percepatan Kematian (force of mortality)

Percepatan kematian adalah banyaknya orang yang meninggal setiap saat pada usia x. Percepatan kematian seseorang berusia x dinotasikan dengan

η

_x:

( )

( )

ln 1

( )

1 x g t d _{G t} G t dt η = = − ⎡_⎣ − ⎤_⎦ −

dengan G t

( )

adalah peluang seseorang akan meninggal pada saat t tahun dan g t

( )

merupakan fungsi kepekatan peluang yang berpadanan dengan G t

( )

.

(Gerber 1997)

2.8 Fungsi Kepuasan dan Constant Relative Risk Aversion (CRRA)

Definisi 23. Fungsi Kepuasan (utility function)

Misalkan

X

=

{

x x x

₁

, , ,...,

_{2 3}

x

_n

}

adalah himpunan konsumsi, maka fungsi kepuasan konsumsi U berada dalam himpunan konsumsi di mana

U X

:

→

R

.

(Fishburn 1970) Definisi 24. Constant Relative Risk Aversion (CRRA)

Misalkan adalah fungsi kepuasan U dari kekayaan W, maka constant relative risk

aversion (CRRA) didefinisikan dalam bentuk persamaan: ( ) U W

( ) ( )

1 ( ) 1-1 U W W γ γ ⎡ ⎤ = ⎢ ⎥ − ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ,

dengan γ adalah koefisien Constant relative

risk aversion (γ ≠1)

(Anderson and Hardeker 2003) 2.9 Aset

Definisi 25. Aset (asset)

Aset adalah sesuatu yang memiliki nilai ekonomi dan nilai pertukaran.

(Harvey and Gretchen 2002) Definisi 26. Aset Bebas Risiko (risk-free asset)

Aset bebas risiko adalah aset yang memiliki tingkat imbal hasil yang pasti di masa depan.

(Harvey and Gretchen 2002) Definisi 27. Aset Berisiko (risky asset) Aset berisiko adalah aset yang tingkat imbal hasil di masa yang akan datang tidak pasti.

(Harvey and Gretchen 2002) 2.10 Anuitas

Definisi 28. Anuitas (annuity)

Anuitas adalah suatu rangkaian pembayaran/penerimaan secara berkala dengan periode waktu yang sama.

(Rejda 2004) Definisi 29. Anuitas Hidup (life annuity) Anuitas hidup adalah suatu rangkaian pembayaran/penerimaan setiap periode selama tertanggung hidup.

Definisi 30. Anuitas Tetap (fix annuity) 2. Jika dan suatu konstanta dan

adalah peubah acak, maka:

1

k k₂ V V₁, ₂

[

1 1 2 2

]

1

[ ]

1 2

[ ]

2

E k V+k V =k E V +k E V . Secara umum, jika adalah

konstanta dan adalah

peubah acak, maka:

1, ,...,2 n k k k 1, ,...,2 n V V V

[

1 1 2 2 ... n n

]

E k V +k V + +k V

[ ]

[ ]

[ ]

1 1 2 2 ... n n k E V k E V k E V = + + + .

Anuitas tetap adalah suatu rangkaian pembayaran/penerimaan setiap periode dengan jumlah yang tetap.

(Rejda 2004) Definisi 31. Anuitas Variabel (variable annuity)

Anuitas variabel adalah rangkaian pembayaran/penerimaan setiap periode tidak tetap (naik atau turun) bergantung pada harga

saham di pasar bursa. (Hogg, McKean and Craig 2005)

Bukti: lihat Hogg, McKean and Craig 2005. (Rejda 2004)

Teorema 2. Fubini (Fubini's theorem) Definisi 32. Anuitas Segera (immediate

annuity) Misalkan

(

X A, ,μ dan 1

)

(

Y, B,μ adalah 2

)

dua ruang ukuran σ berhingga. Jika atau 0 f ≥

(

1, 2

)

X Y f d μ μ × < ∞

∫

maka:

Anuitas segera adalah rangkaian pembayaran/penerimaan secara berkala pada tiap akhir periode yang telah ditentukan.

(Rejda 2004)

( ) ( ) ( )

, 2 1 X Y X Y f x yμ dy μ dx f dμ × =

∫∫

∫

2.11 Volatilitas, Dividen, Bunga dan Diskon

( ) ( ) (

, 1 2

Y X

f x yμ dx μ dy

=

∫∫

)

.

Definisi 33. Volatilitas (volatility)

Volatilitas σ menyatakan tingkat risiko suatu aset yang ditunjukkan oleh keacakan harga

saham. Bukti: lihat Durret 1996. (Durret 1996)

(Harvey and Gretchen 2002)

Teorema 3. Formula Ito 1-Dimensi (the 1-dimensional Ito formula)

Definisi 34. Dividen (dividend)

Dividen adalah pembagian keuntungan kepada pemegang saham berdasarkan banyaknya saham yang dimiliki.

Misalkan X_t adalah proses Ito yang diketahui berbentuk:

= +

t t

dX u dt v dB ,

(Harvey and Gretchen 2002)

dan misalkan g t x

( )

, ∈C2

(

[

0,∞

)

x R

)

(gterturunkan dua kali yang kontinu dalam

[

)

(

0,∞ x R ). Misalkan

)

, maka merupakan proses Ito, dan

(

,

t

Y =g t X

Definisi 35. Bunga (interest)

Bunga adalah imbal hasil yang dibayarkan

oleh peminjam atas dana yang diterima. t

)

t Y (Rejda 2004)

(

)

(

)

(

)(

)

2 2 2 , , 1 _{, ,} 2 t t t t t g g dY t X dt t X dX t x g _{t X dX} x t ∂ ∂ = + ∂ ∂ ∂ + ∂

Definisi 36. Diskon (discount)

Diskon adalah metode pengurangan bunga pinjaman di awal transaksi.

(Rejda 2004) dengan dihitung mengikuti kaidah:

(

) (

2

) (

_. t t dX = dX dX_t

)

Definisi 37. Faktor Diskon (discount factor) Faktor diskon pada waktu tahun ke-h dengan tingkat diskon sebesar δ didefinisikan sebagai: vh =e−δh.

0 , .

t t t t

dt dt⋅ = ⋅dt dB =dB dt⋅ = dB dB⋅ =dt

(Oksendal 2003) (Gerber 1997) Bukti: lihat Oksendal 2003.

2.12 Beberapa Teorema yang Digunakan Teorema 1. Beberapa sifat dari nilai harapan: