interpolasi2

MX 211: Metode Numerik

MX 211: Metode Numerik

((Revisi Terakhir: Juni 2009 Revisi Terakhir: Juni 2009 ))

Oleh: Oleh:

Didit Budi Nugroho, M.Si. Didit Budi Nugroho, M.Si.

Program Studi Matematika

Program Studi Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Fakultas Sains dan Matematika

Universitas Kristen Satya Wacana

Universitas Kristen Satya Wacana

Naskah ini ditulis ketika penulis mengajar Metode Numerik (MX 211) di Universitas Naskah ini ditulis ketika penulis mengajar Metode Numerik (MX 211) di Universitas Kristen Satya Wacana pada Semester 2 tahun 2008-2009 dan juga Trimester 2 tahun Kristen Satya Wacana pada Semester 2 tahun 2008-2009 dan juga Trimester 2 tahun 2008-2009 di Soe, Nusa Tenggara Timur. Catatan ini membentuk naskah dasar untuk 2008-2009 di Soe, Nusa Tenggara Timur. Catatan ini membentuk naskah dasar untuk kuliah "Metode Numerik".

kuliah "Metode Numerik".

Tujuan yang ingin dicapai dari mata kuliah Metode Numerik adalah memahami Tujuan yang ingin dicapai dari mata kuliah Metode Numerik adalah memahami kon-sep dasar metode numeris, mengetahui kekurangan dan kelebihan dari setiap metode, sep dasar metode numeris, mengetahui kekurangan dan kelebihan dari setiap metode, dan

dan juga mampu juga mampu untuntuk uk mengamengaplikplikasikasikannannya. ya. KareKarena na itu, itu, nasknaskah ah ini ini difokdifokuskuskan an padapada pemahaman konsep matematis dasar dan penyelesaian masalah menggunakan metode pemahaman konsep matematis dasar dan penyelesaian masalah menggunakan metode num

numerik dengan bantuan prograerik dengan bantuan program m MatLaMatLab. b. BeberaBeberapa pa metode disajikametode disajikan n dengadengan n algo algo--ritma dalam

ritma dalam pseudocode  pseudocode  sehingga pembaca atau pengguna bisa mengimplementasikan sehingga pembaca atau pengguna bisa mengimplementasikan dalam bahasanya sendiri. Di sini, analisis (seperti untuk galat) tidak diberikan secara dalam bahasanya sendiri. Di sini, analisis (seperti untuk galat) tidak diberikan secara mendalam.

mendalam.

Naskah ini memerlukan masukan dan saran dari pembaca demi perbaikan dan Naskah ini memerlukan masukan dan saran dari pembaca demi perbaikan dan pengem-bangan secara terus menerus. Harapannya adalah bahwa naskah ini memberikan bangan secara terus menerus. Harapannya adalah bahwa naskah ini memberikan man-faat yang lebih dalam pengajaran Metode Numerik.

faat yang lebih dalam pengajaran Metode Numerik. Salatiga, Juli 2009

Salatiga, Juli 2009 Didit B. Nugroho Didit B. Nugroho

DAFTAR ISI

DAFTAR ISI

K KAATTA A PPEENNGGAANNTTAAR R ii D DAAFFTTAARR IISSII iiii D DAAFFTTAAR R GGAAMMBBAAR R iivv D DAAFFTTAARR TTAABBEELL vv 1 1 PPeennddaahhuulluuaann 11 2 2 GGaallaatt 33

22..1 1 PPeennggeerrttiiaan n GGaallaat t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

22..2 2 PPeenngghhiittuunnggaan n GGaallaat t . . . . . . . . . . . 44

3 3 PPeennccaarriiaan n AAkkaar r 66 33..1 1 AAkkaarr--aakkaar r PPeerrssaammaaaan n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

33..2 2 MMeettoodde e BBaaggi i DDuua a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

33..3 3 MMeettoodde e PPoossiissi i PPaallssu u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1100

33..4 4 MMeettoodde e IItteerraassi i TTiittiik k TTeettaap p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1111

33..5 5 MMeettoodde e NNeewwttoonn--RRaapphhssoon n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1144

33..6 6 MMeettoodde e GGaarriis s PPoottoonng g . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177

4 4 MMeettoodde e IItteerraassi i 2200 44..1 1 IItteerraassi i JJaaccoobbi i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2200

44..2 2 IItteerraassi i GGaauussss--SSeeiiddeel l . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2233

44..3 3 IItteerraassi i SSOOR R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2255

5 5 IInntteerrppoollaassi i PPoolliinnoommiiaal l 2288 55..1 1 IInntteerrppoollaassi i LLiinneeaar r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288

55..2 2 IInntteerrppoollaassi i KKuuaaddrraattiik k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2288

55..3 3 IInntteerrppoollaassi i NNeewwttoon n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2299

55..4 4 IInntteerrppoollaassi i LLaaggrraanngge e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3322

6 6 IInntteerrppoollaassi i SSpplliinne e 3366 66..1 1 SSpplliinne e LLiinneeaar r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3366

66..2 2 SSpplliinne e KKuuaaddrraattiik k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3399

66..3 3 SSpplliinne e KKuubbiik k . . . . . . . . . . . 4422

ii ii

77..1 1 RReeggrreessi i LLiinneeaar r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5500

77..2 2 RReeggrreessi i PPoolliinnoommiiaal l DDeerrajajaat t DDuua a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5522

77..3 3 LLiinneeaarriissaassi i FFuunnggssi i TTaak k LLiinneeaar r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5555

8 8 DDiiffeerreennssiiaassi i NNuummeerriik k 5577 88..1 1 TTuurruunnaan n PPeerrttaamma a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5577

88..2 2 EEkkssttrraapopollaassi i RRiicchhaarrddssoon n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6600

88..3 3 TTuurruunnaan n KKeedduua . . . . . a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611

9 9 PPeerrssaammaaaan n DDiiffeerreennssiiaal l BBiiaassa a 6633 99..1 1 MMeettoodde e EEuulleer r . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6633

99..2 2 MMeettoodde e HHeeuun n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6666

99..3 3 MMeettoodde e TTiittiik k TTeennggaah h . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6688

99..4 4 MMeettoodde e RRuunnggee--KKuutttta a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7711

1 10 0 IInntteeggrraassi i NNuummeerriik k 7744 1100..1 A1 Attuurraan n TTrraappeessiiuum m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7744

1100..2 At2 Atuurraann--aattuurraan n SSiimmppssoon n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7766 D

DAFTAR GAMBAR

3.1 Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode bagi dua. . . 7

3.2 Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode posisi palsu. . . . 10

3.3 Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode iterasi titik tetap y = x, y = g(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

3.4 Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode Newton-Raphson. . 14

3.5 Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode Secant. . . 17

5.1 Kurva polinomial Newton untuk Contoh 5.3. . . 33

6.1 Spline kuadratik untuk Contoh 6.2. . . 38

6.2 Spline kuadratik untuk Contoh 6.3. . . 41

6.3 Pendekatan dengan polinomial spline kubik. . . 42

6.4 Spline kuadratik untuk Contoh 6.4. . . 48

7.1 Kurva linear dengan metode kuadrat terkecil untuk titik-titik data dalam Contoh 7.1. . . 53

7.2 Kurva polinomial derajat dua dengan metode kuadrat terkecil untuk titik-titik data dalam Contoh 7.2. . . 55

9.1 Ilustrasi dari penurunan metode Euler. . . 64

9.2 Ilustrasi dari penurunan metode Heun. . . 66

9.3 Ilustrasi penurunan metode titik tengah. . . . 68

10.1 Ilustrasi dari aturan trapesium. . . 75

5.1 Tabel beda terbagi hingga untuk orde 3. . . 30 7.1 Linearisasi dari fungsi tak linear dengan transformasi data. . . 56 8.1 Tabel ekstrapolasi Richardson untuk beda maju sampai hampiran orde  4. 60 8.2 Tabel ekstrapolasi Richardson untuk beda pusat sampai hampiran orde  8. 61 9.1 Perbandingan hasil dari metode-metode penyelesaian untuk persamaan

diferensial y0(t) = y(t)

_

t2 + 1, 0

_

t

_

2, y(0) = 0:5. . . . . . . . . . . 73

Bab 1

Pendahuluan

Tujuan Pembelajaran:



Mengetahui apa yang dimaksud dengan metode numerik.



Mengetahui kenapa metode numerik perlu dipelajari.



Mengetahui langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik.

Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah matematika dengan pengoperasian aritmatika (hitungan).

Beberapa alasan mengapa kita harus mempelajari metode numerik:

1. Metode numerik merupakan alat bantu pemecahan masalah matematika yang sangat ampuh. Metode numerik mampu menangani sistem persamaan besar, ketidaklinearan, dan geometri yang rumit yang dalam praktek rekayasa seringkali tidak mungkin dipecahkan secara analitik.

2. Di pasaran banyak tersedia program aplikasi numerik komersil. Penggunaan apli-kasi tersebut menjadi lebih berarti bila kita memiliki pengetahuan metode nu-merik agar kita dapat memahami cara paket tersebut menyelesaikan persoalan. 3. Kita dapat membuat sendiri program komputer tanpa harus membeli paket

pro-gramnya. Seringkali beberapa persoalan matematika tidak selalu dapat disele-saikan oleh program aplikasi. Sebagai contoh, terdapat program aplikasi tertentu yang tidak dapat dipakai untuk menghitung integrasi lipat dua, atau lipat tiga. Mau tidak mau, kita harus menulis sendiri programnya. Untuk itu, kita harus mempelajari cara pemecahan integral lipat dua atau lebih dengan metode nu-merik.

4. Metode numerik menyediakan sarana untuk memperkuat kembali pemahaman matematika, karena metode numerik ditemukan dengan cara menyederhanakan matematika yang lebih tinggi menjadi operasi matematika yang mendasar.

Langkah-langkah penyelesaian persoalan numerik: 1. Identi…kasi masalah.

2. Memodelkan masalah secara matematis.

3. Identi…kasi metode numerik yang diperlukan untuk menyelesaikan masalah.

4. Implementasi metode dalam komputer.

5. Analisis hasil akhir: implementasi, metode, model dan masalah.

Jenis-jenis persoalan matematika yang akan diselesaikan secara numerik dalam naskah ini:

1. Pencarian akar-akar persamaan tak linear.

2. Metode iteratif untuk penyelesaian sistem persamaan linear 3. Interpolasi linear, kuadrat, Newton, dan spline.

4. Regresi kuadrat terkecil. 5. Diferensiasi numerik.

6. Persamaan diferensial biasa. 7. Integrasi numerik.

Bab 2

Galat

Tujuan Pembelajaran:



Mengetahui de…nisi dan jenis-jenis galat.



Mengetahui bagaimana menghitung galat.

2.1 Pengertian Galat

Penyelesaian secara numerik dari suatu persamaan matematik hanya memberikan nilai perkiraan (hampiran) yang mendekati nilai eksak (yang sebenarnya) dari penyelesaian analitis. Berarti dalam penyelesaian numerik tersebut terdapat galat terhadap nilai eksak.

Ada tiga macam galat:

1. Galat bawaan, terjadi karena kekeliruan dalam menyalin data, salah membaca skala, atau karena kurangnya pengertian mengenai hukum-hukum …sik dari data yang diukur.

2. Galat pembulatan (round-o¤ error ), terjadi karena tidak diperhitungkannya be-berapa angka terakhir dari suatu bilangan. Sebagai contoh, 3.1415926 dapat dibulatkan menjadi 3.14.

3. Galat pemotongan (truncation error ), terjadi karena tidak dilakukannya hitungan sesuai dengan prosedur matematik yang benar. Sebagai contoh, turunan pertama dari V  (t) terhadap t dihitung dengan prosedur

dV   dt = V   t = V  (ti+1)



V  (ti) ti+1



ti :

Contoh lain yaitu pengambilan beberapa suku awal dari deret Taylor:

f  (xi+1) = f  (xi) +f 0(xi) (xi+1



xi) + f 00(xi) 2! (xi+1



xi) 2 +f  000_(x i) 3! (xi+1



xi) 3 _+:::+ f (n)(xi) n! (xi+1



xi) n₊ Rn dengan Rn = f (n+1)(c) (n+ 1)! (xi+1



xi) n+1 _{dimana c}

2

[xi; xi+1]. 3

Dari deret Taylor di atas, dipunyai hampiran orde-0: f  (xi+1)



f  (xi); hampiran orde-1: f  (xi+1)



f  (xi) + f 0(xi) (xi+1



xi); hampiran orde-2: f  (xi+1)



f  (xi) + f 0(xi) (xi+1



xi) + f 00(xi) 2! (xi+1



xi) 2_:

Contoh 2.1   Diberikan fungsi 

f  (x) =

_

0:1x4

_

0:15x3

_

0:5x2

_

0:25x+ 1:2:

Turunan pertama dan kedua dari f  (x) berturut-turut yaitu 

f 0(x) =

_

0:4x3

_

0:45x2

_

x

_

0:25; f 00(x) =

_

1:2x2

_

0:9x

_

1;

Dimulai dari x = 0, diperoleh hampiran orde-1 untuk f  (1):

f  (1)

_

f  (0) + f 0(0)(1

_

0) = 1:2

_

0:25 = 0:95;

dan hampiran orde-2 untuk f  (1):

f  (1)

_

f  (0) +f 0(0)(1

_

0) + f  00₍₀₎ 2! (1



0) 2 _{= 1:2}



0:25

_

0:5 = 0:9:

2.2 Penghitungan Galat

Untuk galat pembulatan dan pemotongan, hubungan antara hasil yang eksak dengan hampirannya dapat dirumuskan oleh

nilai eksak = hampiran + galat. Dengan menyusun kembali persamaan di atas, diperoleh

E s = galat = nilai eksak - hampiran

dimana subskrip s menunjukkan bahwa galat adalah galat sejati.

Kelemahan dari de…nisi di atas adalah bahwa tingkat besaran dari nilai yang diperiksa sama sekali tidak diperhatikan. Sebagai contoh, galat satu sentimeter jauh lebih berarti  jika yang diukur adalah paku ketimbang jembatan. Salah satu cara untuk

memperhi-tungkan besarnya besaran yang sedang dievaluasi adalah dengan menormalkan galat terhadap nilai eksak, yaitu

galat relatif = nilai eksak - hampiran nilai eksak .

Bab 2. Galat 5

Galat relatif dapat juga dikalikan dengan 100% agar dapat dinyatakan sebagai

s = persen galat relatif =

 nilai eksak - hampiran

nilai eksak



100%.

Dicatat bahwa untuk metode numerik, nilai eksak hanya akan diketahui jika fungsi yang ditangani dapat diselesaikan secara eksak. Jika tidak demikian, maka alternatifnya adalah menormalkan galat dengan menggunakan hampiran terbaik yang tersedia dari nilai eksak, yaitu terhadap hampiran itu sendiri, seperti yang dirumuskan oleh

h =

galat hampiran

hampiran



100%

= hampiran sekarang



  hampiran sebelumnya

hampiran sekarang



100%

Pencarian Akar

Tujuan Pembelajaran:



Mengetahui metode-metode pencarian akar dari persamaan tak linear.



Mengetahui keunggulan dan kelemahan dari setiap metode.



Mengaplikasikan metode-metode pencarian akar untuk persamaan yang sama.

3.1 Akar-akar Persamaan

Akar atau pembuat nol dari suatu fungsi adalah nilai-nilai dari variabel bebas yang membuat fungsi bernilai nol. Sebagai contoh, penyelesaian analitik untuk fungsi kua-dratik f  (x) = ax2+bx+c = 0 diberikan oleh

x =

 

b



p 

_b2



4ac

2a :

Contoh lain, kita tidak mungkin mendapatkan suatu penyelesaian analitik untuk fungsi

f  (x) = ex

_

x = 0.

Secara umum, terdapat dua kelompok metode untuk pencarian akar dari persamaan tak linear:

1. Metode Pengurung.

Sesuai dengan namanya, tebakan akar dalam metode ini selalu berada "dalam kurung" atau berada pada kedua sisi dari nilai akar. Karena itu, di sini diper-lukan dua tebakan awal untuk akar. Metode ini mempunyai suatu keunggulan yaitu konvergen (makin lama makin mendekati nilai sebenarnya), dan mempunyai kelemahan yaitu konvergensinya relatif lambat. Contoh dari metode pengurung yaitu metode bagi dua (bisection ) dan metode posisi palsu ( false position ). 2. Metode Terbuka.

Dalam metode ini, pencarian dimulai dari suatu nilai tunggal variabel bebas, atau dua nilai yang tidak perlu mengurung akar. Metode ini mempunyai suatu kelemahan yaitu tidak selalu konvergen, tetapi mempunyai keunggulam yaitu jika konvergen maka konvergensinya lebih cepat daripada metode pengurung. Con-toh dari metode terbuka yaitu metode iterasi titik tetap ( …xed-point iteration ), metode Newton-Raphson, dan metode garis potong ( secant ).

Bab 3. Pencarian Akar 7

Penggunaan metode pengurung didasarkan pada teorema berikut ini.

Teorema 3.1  Diberikan f  : [a; b]

 _!

R  _{adalah kontinu, dimana a; b}

 ₂

R _{dan a < b.}

Jika f  (a)

_

f  (b) < 0, maka terdapat c

₂

(a; b) sedemikian sehingga f  (c) = 0.

3.2 Metode Bagi Dua

Metode ini mengasumsikan bahwa fungsi f (x)   adalah kontinu pada interval [a₁; b₁], serta f  (a1) dan f  (b1) mempunyai tanda berlawanan, artinya f  (a1)



f  (b1) < 0. Karena

itu terdapat minimal satu akar pada interval  [a₁; b₁].

Idenya adalah interval selalu dibagi dua sama lebar. Jika fungsi berubah tanda sepan- jang suatu subinterval, maka letak akarnya kemudian ditentukan ada di tengah-tengah

subinterval. Proses ini diulangi untuk memperoleh hampiran yang diperhalus. (Lihat Gambar 3.1.)  y  x a1  x2  x1 _b1  y = f  ( x)  x3

Gambar 3.1:  Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode bagi dua.

Dicatat bahwa terdapat beberapa kriteria penghentian pencarian akar jika diberikan suatu toleransi keakuratan , yaitu

s < , h < , atau nmaks = N 

 2

N:

Proses untuk metode bagi dua diberikan seperti dalam Algoritma 1.

Contoh 3.2  Selesaikan persamaan  x2

_

3 = 0   dalam interval  [1;2]   menggunakan  metode bagi dua sampai lima iterasi.

Penyelesaian.  Proses metode bagi dua adalah seperti berikut ini. Iterasi 1: a₁ = 1 =

₎

f  (a₁) =

_

2; b₁ = 2; x₁ = a1 + b1 2 = 1 + 2 2 = 1:5 =

)

f  (x1) =



0:75:

Algorithm 1 Algoritma Metode Bagi Dua Masukan:

fungsi kontinu: f  (x)

interval yang mengurung akar:  [a₁; b₁] maksimum iterasi: N 

 ₂

N

toleransi keakuratan: "; misalnya " = 105 Penghitungan Inti:   Ketika n

_

N dan h

 

,

Hitung: xn =

an +bn

2 .

Tentukan subinterval mana yang akan mengurung akar:

a) Jika f  (an)



f  (xn) < 0, maka an+1 = an, bn+1 = xn.

b) Jika f  (an)



f  (xn) > 0, maka an+1 = xn, bn+1 = bn.

c) Jika f  (an)



f  (xn) = 0, maka diperoleh akar sama dengan xn.

Berhenti. Hitung: h =





xn



xn1 xn







100%, n

_

1

Hasil akhir:   akar xn sedemikian sehingga f  (xn)



0:

Iterasi 2: Diamati bahwa f  (a₁)

_

f  (x₁) > 0, maka

a₂ = x₁ = 1:5 =

₎

f  (a₂) =

_

0:75; b₂ = b₁ = 2; x₂ = a2 + b2 2 = 1:5 + 2 2 = 1:75 =

)

f  (x2) = 0:0625; 2 =





x2



x1 x₂







100% =





1:75

_

1:5 1:75







100% = 14:29%: Iterasi 3: Diamati bahwa f  (a₂)

_

f  (x₂) < 0, maka

a3 = a2 = 1:5 =

)

f  (a3) =



0:75; b₃ = x₂ = 1:75; x₃ = a3 + b3 2 = 1:5 + 1:75 2 = 1:625 =

)

f  (x3) =



0:3594; ₃ =





x₃

_

x₂ x3







100% =





1:625

_

1:75 1:625







100% = 7:69%: Iterasi 4: Diamati bahwa f  (a₃)

_

f  (x₃) > 0, maka

a₄ = x₃ = 1:625 =

₎

f  (a₄) =

_

0:3594; b4 = b3 = 1:75; x₄ = a4 +b4 2 = 1:625 + 1:75 2 = 1:6875 =

)

f  (x4) =



0:1523; ₄ =





x₄

_

x₂ x₄







100% =





1:6875

_

1:625 1:6875







100% = 3:7%:

Bab 3. Pencarian Akar 9

Iterasi 5: Diamati bahwa f  (a4)



f  (x4) > 0, maka

a₅ = x₄ = 1:6875 =

₎

f  (a₅) =

_

0:1523; b₅ = b₄ = 1:75; x₅ = a5 + b5 2 = 1:6875 + 1:75 2 = 1:7187 =

)

f  (x5) =



0:0459; 5 =





x5



x4 x5







100% =





1:7187

_

1:6875 1:7187







100% = 1:82%: Jadi pada iterasi ke-5 diperoleh akar hampiran x = 1:7187. H

Dalam MatLab, Algoritma 1 untuk metode bagi dua diimplementasikan dalam fungsi

bagidua() berikut ini.

function [x,galat] = BagiDua(f,X,N,tol)

% BagiDua Menyelesaikan persamaan f(x) = 0 menggunakan metode bagi dua. %

% Input: f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline(’ekspresi’,’x’) % X = [a b] = vektor titik-titik ujung interval dengan a < b % N = maksimum iterasi

% tol = toleransi keakuratan %

% Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif

% ---PENGHITUNGAN INTI:

if nargin < 4, tol = 1e-3; end %dinamakan BagiDua(f,X,N) if nargin < 3, N = 100; end %dinamakan BagiDua(f,X) a = X(1); % batas kiri interval

b = X(2); % batas kanan interval x = (a+b)/2; % hampiran awal

n = 1; galat = 1; % supaya iterasi pertama dapat dikerjakan while ( n <= N & galat > tol ) % kriteria penghentian

if f(a)*f(x)<0 b = x ; elseif f(a)*f(x)>0 a = x ; else break end

xnew = (a+b)/2; % titik tengah interval

galat = abs((xnew - x)/xnew)*100; % galat relatif x = xnew;

n = n+1; end

Dimisalkan xs adalah akar sejati dari f  (x) = 0. Dicatat bahwa kita dapat menurunkan

batas galat untuk metode bagi dua seperti berikut ini.

j

xs



xn+1

j  j

bn+1



an+1

j

= 1 2

j

bn



an

j

=



1 2



2

j

bn1



an1

j

= ::: =



1 2



n

j

b₁

_

a₁

_j

Ini berarti bahwa telah ditunjukkan

 _j

xs



xn+1

j 

k

j

xs



xn

j

, dengan k = ₂1. Lebih

lanjut, ini dinamakan konvergensi linear dan k dinamakan konstanta galat asimtotik. Dalam contoh di atas, banyaknya langkah yang diperlukan untuk menjamin bahwa galat kurang dari  103 _{dihitung seperti berikut:}



1 2



n

j

2

_

1

_{j }

103 =

₎



1 2



n



103 =

₎

2n

_

103 =

₎

nln(2)

_

3ln(10) =

₎

n

_

10:

3.3 Metode Posisi Palsu

Metode posisi palsu adalah metode pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selisih tinggi dari dua titik batas interval yang mengurung akar. Metode ini merupakan salah satu alternatif untuk mempercepat konvergensi.

 y  x a1 b₁  x1  x2  x3  y = f  ( x)

Gambar 3.2:  Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode posisi palsu.

Idenya adalah menghitung akar (yang merupakan titik ujung interval baru) yang meru-pakan absis untuk titik potong antara sumbu x dengan garis lurus yang melalui kedua titik yang absisnya adalah titik-titik ujung interval lama. (Lihat Gambar 3.2) Rumus untuk mencari akar adalah sebagai berikut. Diasumsikan bahwa fungsi f (x) adalah kon-tinu pada interval  [an; bn], dan f  (an)



f  (bn) < 0. Garis yang melalui titik  (an; f  (an))

dan (bn; f  (bn)) mempunyai persamaan

y

_

f  (an) =

f  (bn)



f  (an)

bn



an

(x

_

an):

Garis memotong sumbu x jika y = 0, sehingga diperoleh titik absis sebagai hampiran akar yaitu

xn = an



bn



an

f  (bn)



f  (an)

f  (an):   (3.1)

Proses untuk metode posisi palsu adalah seperti metode bagi dua tetapi penghitungan

Bab 3. Pencarian Akar 11

Contoh 3.3  Selesaikan persamaan  x2

_

3 = 0   dalam interval  [1;2]   menggunakan  metode posisi palsu sampai lima iterasi.

Penyelesaian. Berikut ini adalah tabel penyelesaian sampai lima iterasi.

n an bn xn f  (xn) n =





xnxn_1 xn





% 1 1 2 1:6667

_

0:22222222

_

2 1:66667 2 1:7273

_

0:01652892 3:50877192 3 1:72727 2 1:7317

_

0:00118976 0:25608194 4 1:73170 2 1:7320

_

0:00008543 0:01840773 5 1:73202 2 1:7321

_

0:00000613 0:00132172 6 1:73204 2 1:7321

_

0:00000044 0:00009489

Jadi pada iterasi ke-6 diperoleh akar hampiran x = 1:7320 dengan f  (x) =

_

0:000006.

H

3.4 Metode Iterasi Titik Tetap

Metode iterasi titik tetap adalah metode yang memisahkan x  sedemikian sehingga

f  (x) = 0  ekivalen dengan x = g(x). Selanjutnya p adalah suatu akar dari f  (x)  jika hanya jika p adalah suatu titik tetap dari g(x). Kita mencoba untuk menyelesaikan

x = g(x) dengan menghitung

xn = g(xn1); n = 1;2;:::

dengan menggunakan tebakan awal x₀. Ilustrasi gra…s untuk penyelesaian xn diberikan

oleh Gambar 3.3  y  x  x0  x2 x1  y = g ( x)  x3  x4  y = x

Gambar 3.3:  Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode iterasi titik tetap y = x, y = g(x).

Proses untuk metode bagi dua diberikan seperti dalam Algoritma 2.

Contoh 3.4   Gunakan metode iterasi titik tetap sampai lima iterasi untuk menyele-saikan x2

_

3 = 0 dengan tebakan awal x₀ = 1:5.

Algorithm 2 Algoritma Iterasi Titik Tetap Masukan:

fungsi kontinu: f  (x), g(x) tebakan awal: x₀

maksimum iterasi: N 

 ₂

N

toleransi keakuratan: "; misalnya " = 105 Penghitungan Inti:   Ketika n

_

N dan h

 

,

Hitung: xn = g(xn1). Hitung: h =





xn



xn1 xn







100%

Hasil akhir:   akar xn sedemikian sehingga f  (xn)



0:

Penyelesaian. Persamaan dapat diubah ke beberapa bentuk:

Kasus 1: x = 3 x = g1(x) =

)

xn = 3 xn1 Kasus 2: x = x

_



x2

_

3

_

 = g₂ (x) =

₎

xn = xn1





x2n1



3



Kasus 3: x = x

_

x 2



3 2 = g3 (x) =

)

xn = xn1



x2_n1

_

3 2 Penyelesaian untuk Kasus 3:

Iterasi 1: x₁ = x₀

_

x 2 0



3 2 = 1:5



 1:52

_

3 2 = 1:875; ₁ =





1:875

_

1:5 1:875







100% = 20%: Iterasi 2: x₂ = x₁

_

x 2 1



3 2 = 1:875



 1:8752

_

3 2 = 1:6172; ₂ =





1:6172

_

1:875 1:6172







100% = 15:94%: Iterasi 3: x₃ = x₂

_

x 2 2



3 2 = 1:6172



 1:61722

_

3 2 = 1:8095; ₃ =





1:8095

_

1:6172 1:8095







100% = 10:63%: Iterasi 4: x4 = x3



x 2 3



3 2 = 1:8095



 1:80952

_

3 2 = 1:6723; ₄ =





1:6723

_

1:8095 1:6723







100% = 8:20%:

Bab 3. Pencarian Akar 13 Iterasi 5: x₅ = x₄

_

x 2 4



3 2 = 1:6723



 1:67232

_

3 2 = 1:7740; 4 =





1:7740

_

1:6723 1:7740







100% = 5:73%:

Berikut ini adalah penyelesaian sampai lima iterasi untuk ketiga kasus.

n xn

Kasus 1 Kasus 2 Kasus 3 0 1:5 1:5000 1:5 1 2 2:2500 1:875 2 1:5 0:1875 1:6172 3 2 3:1523 1:8095 4 1:5

_

3:7849 1:6723 5 2

_

15:1106 1:7740

Terlihat bahwa Kasus 1 dan Kasus 2 adalah divergen, tetapi Kasus 3 adalah konvergen.

H

Berikut ini diberikan kriteria kekonvergenan dari metode iterasi titik tetap.

Teorema 3.5   Diambil k  = max

axb

j

g

0_(x)

j

. Metode iterasi titik tetap adalah konvergen   jika hanya jika k < 1.

Bukti.   Dimisalkan xs adalah akar sejati dari f  (x) = 0, maka

j

xs



xn

j

=

j

g(xs)



g(xn1)

j

=



g0( ) (xs



xn1)





k

j

xs



xn1

j

berdasarkan Teorema Nilai Rata-rata. Karena itu

j

xs



xn

j 

k

j

xs



xn1

j 

k2

j

xs



xn2

j     

kn

j

xs



x0

j

:

Kita mencatat:

1. Telah ditunjukkan bahwa

 _j

xs



xn

j 

k

j

xs



xn1

j

, yang berarti metode iterasi

titik tetap adalah konvergen secara linear.

2. Karena k

 _{ j}

g0(xs)

j

, kita akan memilih fungsi iterasi g(xs) sedemikian sehingga

j

g0(xs)

j

 adalah kecil.

Dari contoh sebelumnya dipunyai xs =

p 

3 = 1:73205, maka

Kasus 1: g0(x) =

_

3 x2 =

)



g 0_(x s)



 = 1 : divergen; Kasus 2: g0(x) = 1

_

2x =

₎

_

g0(xs)



 = 2:4641 : divergen; Kasus 3: g0(x) = 1

_

x =

₎



g0(xs)



 = 0:73025 : konvergen:

Dalam MatLab, Algoritma 2 untuk metode iterasi titik tetap diimplementasikan dalam fungsi  TitikTetap() berikut ini.

function [x,galat] = TitikTetap(g,x0,N,tol)

% TitikTetap Menyelesaikan persamaan x = g(x), ekivalen dengan f(x)=0, % menggunakan metode iterasi titik tetap.

%

% Input: g = fungsi dari x, gunakan fungsi inline(’ekspresi’,’x’) % x0 = tebakan awal

% N = maksimum iterasi

% tol = toleransi keakuratan %

% Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif

% ---PENGHITUNGAN INTI:

if nargin < 4, tol = 1e-3; end if nargin < 3, N = 100; end n = 1; galat = 1;

while ( n <= N & galat > tol ) x = g(x0); galat = abs((x - x0)/x)*100; x0 = x; n = n+1; end

3.5 Metode Newton-Raphson

Metode Newton-Raphson adalah metode pendekatan yang menggunakan satu titik awal dan mendekatinya dengan memperhatikan kemiringan kurva pada titik tersebut. Pen- jelasan gra…s mengenai metode ini adalah seperti dalam Gambar 3.4.

 y

 x

 x0 x1 x2

 y = f  ( x)

Gambar 3.4:   Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode Newton-Raphson.

Diasumsikan bahwa fungsi f (x) adalah kontinu. Idenya adalah menghitung akar yang merupakan titik potong antara sumbu x  dengan garis singgung pada kurva di titik (xn1; f  (xn1)). Kemiringan kurva di titik tersebut adalah f 0(xn1), sehingga garis

singgung mempunyai persamaan

Bab 3. Pencarian Akar 15

Karena itu diperoleh akar hampiran dengan mengambil y = 0, yaitu

xn = xn1



f  (xn1)

f 0_(x

n1)

:   (3.2)

Algorithm 3 Algoritma Metode Newton-Raphson Masukan:

fungsi kontinu: f  (x), f 0(x) tebakan awal: x0

maksimum iterasi: N 

 ₂

N

toleransi keakuratan: "; misalnya " = 105

Penghitungan Inti:   Ketika n

_

N dan h

 

,

Hitung: xn = xn1



f  (xn1) f 0_(x n1) . Hitung: h =





xn



xn1 xn







100%

Hasil akhir:   akar xn sedemikian sehingga f  (xn)



0:

Contoh 3.6   Gunakan metode Newton-Raphson untuk menyelesaikan x2

_

3 = 0 de-ngan tebakan awal x₀ = 1:5.

Penyelesaian.   Karena f  (x) = x2

_

3, f 0(x) = 2x dan dibentuk rumus pencarian akar:

xn = xn1



x2_n1

_

3 2xn1 ; n = 1;2;::: Iterasi 1: x₁ = x₀

_

x 2 0



3 2x0 = 1 :5

_

 1:5 2



3 2

_

1:5 = 1:75; ₁ =





1:75

_

1:5 1:75







100% = 14:2857142%: Iterasi 2: x₂ = x₁

_

x 2 1



3 2x₁ = 1:75



 1:752

_

3 2

_

1:75 = 1:73214; ₂ =





1:73214

_

1:75 1:73214







100% = 1:0309278%: Iterasi 3: x₃ = x₂

_

x 2 2



3 2x₂ = 1:73214



 1:732142

_

3 2

_

1:73214 = 1:73205; ₃ =





1:73205

_

1:73214 1:73205







100% = 0:0053143%:

Iterasi 4: x₄ = x₃

_

x 2 3



3 2x3 = 1 :73205

_

 1:73205 2



3 2

_

1:73205 = 1:73205; ₄ =





1:73205

_

1:73205 1:73205







100% = 0%:

Jadi pada iterasi ke-4 diperoleh akar hampiran x = 1:73205. H

Metode Newton-Raphson merupakan suatu contoh dari metode iterasi titik tetap,  xn =

g(xn1), dimana fungsi iterasinya adalah

g(x) = x

_

f  (x) f 0_(x):

Dari sini diperoleh bahwa

g0(xs) = 1



 [f 0(xs)]2



f  (xs)



f 00(xs)

[f 0_(x

s)]2

= 0

dengan mengingat bahwa f  (xs) = 0  dan f 0(xs)

6

= 0. Ini mengakibatkan bahwa metode

Newton adalah konvergen lebih cepat daripada secara linear; pada kenyataannya dipu-nyai

j

xs



xn

j 

C 

j

xs



xn1

j

2

yaitu konvergen kuadratik.

Dalam MatLab, Algoritma 3 untuk metode Newton-Raphson diimplementasikan dalam fungsi  NewRap() berikut ini.

function [x,galat] = NewRap(f,f1,x0,N,tol)

% NewtonRaphson Menyelesaikan persamaan f(x) = 0 menggunakan metode Newton-Raphson. %

% Input: f = fungsi dari x, gunakan fungsi inline(’ekspresi’,’x’)

% f1 = turunan pertama dari f(x), cari dengan fungsi \QTR{bf}{diff} % x0 = tebakan awal

% N = maksimum iterasi

% tol = toleransi keakuratan %

% Output: x = akar hampiran yang memenuhi kriteria % galat = persen galat relatif

% ---PENGHITUNGAN INTI:

if nargin < 4, tol = 1e-3; end if nargin < 3, N = 100; end n = 1; galat = 1;

while ( n <= N & galat > tol )

x = x0-f(x0)/f1(x0); % persamaan (3.2) galat = abs((x - x0)/x)*100;

x0 = x; n = n+1; end

Bab 3. Pencarian Akar 17

3.6 Metode Garis Potong

Masalah yang ada dalam metode Newton adalah terkadang sulit untuk mendapatkan turunan pertama f 0(x). Alternatifnya adalah turunan f 0(xn1), kemiringan garis di

(xn1; f  (xn1)), dihampiri oleh kemiringan garis potong yang melalui  (xn2; f  (xn2))

dan (xn1; f  (xn1)):

f 0(xn1)



f  (xn2)



f  (xn1)

xn2



xn1

:

Jadi iterasi xn yaitu

xn = xn1



f  (xn1) (xn2



xn1)

f  (xn2)



f  (xn1)

:   (3.3)

Penjelasan gra…s mengenai metode ini adalah seperti dalam Gambar 3.5.

 y  x  x0  x-1  x1  x2  x3  y = f  ( x)  x4

Gambar 3.5:   Ilustrasi gra…s untuk akar hampiran dalam metode Secant.

Dicatat:

1. Persamaan di atas memerlukan dua tebakan awal x tetapi tidak memperhatikan perubahan tanda dari f  (x).

2. Kemudian dapat ditunjukkan bahwa

j

xs



xn

j 

C 

j

xs



xn1

j

1:6;

sehingga metode garis potong lebih cepat daripada metode iterasi titik tetap, tetapi lebih lambat daripada metode Newton-Raphson.

Proses untuk metode garis potong diberikan seperti dalam Algoritma 4.

Contoh 3.7  Gunakan metode garis potong untuk menyelesaikan  x2

_

3 = 0   dengan  tebakan awal x1 = 1 dan x0 = 2.

Algorithm 4 Algoritma Garis Potong Masukan:

fungsi kontinu: f  (x) dua tebakan awal: x_1, x₀

maksimum iterasi: N 

 ₂

N

toleransi keakuratan: "; misalnya " = 105 Penghitungan Inti:   Ketika n

_

N dan h

 

,

Hitung: xn = xn1



f  (xn1) (xn2



xn1) f  (xn2)



f  (xn1) . Hitung: h =





xn



xn1 xn







100%

Hasil akhir:   akar xn sedemikian sehingga f  (xn)



0:

Penyelesaian.  Dituliskan rumus untuk metode  garis potong :

xn = xn1





x2_n1

_

3

_

(xn2



xn1)



x2_n2

_

3

_

_

_

x2_n1

_

3

_

= xn1





x2_n1

_

3

_

(xn2



xn1) x2_n2

_

x2_n1 ; n = 1;2;::: Iterasi 1: x₁ = x₀

_



x 2 0



3



(x1



x0) x2_1

_

x2₀ = 2





22

_

3

_

(1

_

2) 12



22 = 1:66667; ₁ =





1:66667

_

2 1:66667







100% = 20%: Iterasi 2: x2 = x1





x2₁

_

3

_

(x0



x1) x2₀

_

x2₁ = 1:66667





1:666672

_

3

_

(2

_

1:66667) 22



1:666672 = 1:72727; ₂ =





1:72727

_

1:66667 1:72727







100% = 3:50877%: Iterasi 3: x₃ = x₂

_



x 2 2



3



(x1



x2) x2₁

_

x2₂ = 1:72727





1:727272

_

3

_

(1:66667

_

1:72727) 1:666672



1:727272 = 1:73214; 3 =





1:73214

_

1:72727 1:73214







100% = 0:28116%: Iterasi 4: x₄ = x₃

_



x 2 3



3



(x2



x3) x2₂

_

x2₃ = 1:73214





1:732142

_

3

_

(1:72727

_

1:73214) 1:727272



1:732142 = 1:732051; ₄ =





1:732051

_

1:73214 1:732051







100% = 0:00532%:

Bab 3. Pencarian Akar

Bab 3. Pencarian Akar 1919

Jadi pada iterasi

ke-Jadi pada iterasi ke-44 diperoleh akar hampiran diperoleh akar hampiran xx =  = 11::732051732051.. HH

Dalam MatLab,

Dalam MatLab, AlgorAlgoritma 4 itma 4 untuuntuk k metode garis metode garis potong diimplemepotong diimplementantasiksikan an daladalamm fungsi

fungsi  Secant()  Secant() berikut ini. berikut ini.

funct

function ion [x,ga[x,galat] lat] = = SecanSecant(f,xt(f,x_1,x0_1,x0,N,t,N,tol)ol) %

% SecSecant ant MenMenyelyelesaesaikaikan n perpersamsamaan f(x) = aan f(x) = 0 0 menmengguggunaknakan an metmetodeode %

% ggaarriis s ppoottoonng g ((SSeeccaanntt)).. %

% %

% InpInput: ut: f f = = funfungsi dari x, gsi dari x, gungunakaakan n funfungsi inlingsi inline(’e(’ekseksprepresi’si’,’x,’x’)’) % % xx__1 1 = = tteebbaakkaan n aawwaal l ppeerrttaammaa % % xx0 0 = = tteebbaakkaan n aawwaal l kkeedduuaa % % N N = = mmaakkssiimmuum m iitteerraassii % % ttool l = = ttoolleerraannssi i kkeeaakkuurraattaann % % %

% OutOutputput: : x x = = akaakar r hamhampirpiran an yanyang g memmemenuenuhi hi krikriterteriaia %

% ggaallaat t = = ppeerrsseen n ggaallaat t rreellaattiiff %

% ---PE---PENGHINGHITUNGATUNGAN N INTI:INTI: if nar

if nargigin n < < 4, tol = 4, tol = 1e1e-3-3; ; enendd if nar

if nargigin n < < 3, N 3, N = = 10100; end0; end n = 1; galat = 1;

n = 1; galat = 1;

while ( n <= N & galat > tol ) while ( n <= N & galat > tol )

x

x = = x0-f(x0-f(x0)*x0)*(x_1-(x_1-x0)/x0)/(f(x_(f(x_1)-f(1)-f(x0))x0)); ; % % persapersamaan maan (3.3(3.3)) gal

galat at = = absabs((x ((x - - x0)x0)/x)/x)*10*100;0; x_ x_1 1 = = x0x0;; x0 = x; x0 = x; n = n+1; n = n+1; end end

Metode Iterasi

Metode Iterasi

Tujuan Pembelajaran: Tujuan Pembelajaran:



Mengetahui metode-metode penyelesaian sistem persamaan linear secara iterasi.Mengetahui metode-metode penyelesaian sistem persamaan linear secara iterasi.



Mengaplikasikan iterasi Jacobi, Gauss-Seidel, dan SOR.Mengaplikasikan iterasi Jacobi, Gauss-Seidel, dan SOR.

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier

Untuk menyelesaikan suatu sistem persamaan linier AAxx _= = bb_{, dipunyai pilihan antara, dipunyai pilihan antara}

met

metode ode lanlangsugsung ng ataatau u metmetode ode iteiterasrasi. i. ConContoh dari toh dari metmetode ode lanlangsugsung ng yayaitu metodeitu metode inv

invers, ers, elimieliminasi nasi GaussGauss, , dan dan dekdekomposisomposisii LU LU . . Metode iterMetode iterasi mempuasi mempunynyai keleai kelebihanbihan dalam hal kemurahan memori dan waktu

dalam hal kemurahan memori dan waktu CPU CPU . Metode ini dimulai dari penentuan. Metode ini dimulai dari penentuan nilai

nilai awawal al vekvektortor xx₀₀  sebaga  sebagai i suatu suatu penypenyelesaelesaian ian awawal al untuuntukk xx_{. . TTerderdapaapat beberat beberapapa}

metode iterasi seperti

metode iterasi seperti iteraiterasi si JacoJacobi, bi, iteraiterasi si GausGauss-Seis-Seidel, dan del, dan iteraiterasi si SOR.SOR. Suatu klas besar dari metode iterasi dapat dide…nisikan sebagai berikut. Sistem

Suatu klas besar dari metode iterasi dapat dide…nisikan sebagai berikut. Sistem  A Axx _= = b b

dituliskan menjadi

dituliskan menjadi QQxx _{= = ((QQ}

_

_

_AA))xx _+ + bb _{untuk suatu matriks untuk suatu matriks QQ  yang berorde sama  yang berorde sama}

dengan

dengan AA. Selanjutnya dide…nisikan suatu skema iterasi ke-. Selanjutnya dide…nisikan suatu skema iterasi ke-kk::

Q

Qxx((kk)) _{= = ((QQ}

_

_

_AA))xx((kk1)1)₊₊bb_{; ; kk =  = 11;;22;; :::::;:;    (4.1)(4.1)}

untuk

untuk xx(0)(0) _{adaladalah ah suatu tebaksuatu tebakan awal. an awal. DiasuDiasumsikmsikan bahwaan bahwa QQ adalah adalah  non-singular  non-singular ,,}

sehingga skema iterasi menghasilkan suatu barisan tunggal vektor-vektor

sehingga skema iterasi menghasilkan suatu barisan tunggal vektor-vektor

_

xx((kk))



_..

4.

4.1

1 It

Iter

eras

asi

i Ja

Jaco

cobi

bi

Pertama kali dicatat bahwa matriks

Pertama kali dicatat bahwa matriks A A dapat dituliskan sebagai dapat dituliskan sebagai A A = = L L++DD++U U , dengan, dengan

L

L  adalah matriks segitiga bawah,  adalah matriks segitiga bawah, DD adalah matriks diagonal, dan adalah matriks diagonal, dan U U   adalah matriks  adalah matriks segit

segitiga atas. iga atas. IteraIterasi si JacoJacobi bi memilmemilihih QQ = = D D. Karena itu. Karena itu

x

x((kk)) _{== DD}11_((DD

_

_

_AA))xx((kk1)1) _++DD11bb

=

= DD11

n

n

bb

_

_

_((AA

_

_

_DD))xx((kk1)1)

o

o

_{; ; kk =  = 11;;22;; :::::;:;}

dengan asumsi bahwa masukan-masukan diagonal dari

dengan asumsi bahwa masukan-masukan diagonal dari AA tidak sama dengan nol (jika tidak sama dengan nol (jika tidak maka dilakukan penukaran baris-baris dan kolom-kolom untuk mendapatkan tidak maka dilakukan penukaran baris-baris dan kolom-kolom untuk mendapatkan su-atu sistem

atu sistem yanyang g ekivekivalen)alen). . UntuUntuk k langlangkkah ah ke-ke-kk, komponen-komponen, komponen-komponen xx((_iikk))  dinyatakan  dinyatakan oleh oleh x x((_iikk)) == 11 a aiiii

0

0

@

@

bbii





n n

X

X

 j  j=1=1; ; jj66==ii a aijijxx _j j((kk1)1)

1

1

A

A

; ; ii =  = 11;;22;:::;n;:::;n    (4.2)(4.2) 20 20

Bab 4. Metode Iterasi

Bab 4. Metode Iterasi 2121

Contoh 4.1

Contoh 4.1   Diketahui sistem persamaan linear:  Diketahui sistem persamaan linear: 10 10xx₁₁

_

_

xx₂₂ + 2 + 2xx₃₃ = = 66;;





xx₁₁ + 11 + 11xx₂₂

_

_

xx₃₃ + 3 + 3xx₄₄ = = 2525;; 22xx11





xx22 + 10 + 10xx33





xx44 ==





1111;; 33xx₂₂

_

_

xx₃₃ + 8 + 8xx₄₄ = = 1515::

Sistem persamaan tersebut diubah susunannya menjadi  Sistem persamaan tersebut diubah susunannya menjadi 

x x₁₁ == 11 10 10 (6 + (6 +xx22





22xx33));; x x₂₂ == 11 11 11 (25 + (25 +xx11 + + xx33





33xx44));; x x₃₃ == 11 10 10 ( (





1111





22xx11 + +xx22 + +xx44));; x x44 == 11 88 (15 (15





33xx22 + + xx33)):: Kita bisa menyatakan bahwa nilai 

Kita bisa menyatakan bahwa nilai xx11,, xx22,, xx33, dan , dan xx44 yang berada di ruas kiri sebagai  yang berada di ruas kiri sebagai 

x

x((barubaru)). . SemSemententarara itu, nilaa itu, nilai i xx₁₁,, xx₂₂,, xx₃₃, dan , dan xx₄₄  yang berada di ruas kanan sebagai   yang berada di ruas kanan sebagai 

x

x((lamalama)). Secara umum, sistem persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi seperti . Secara umum, sistem persamaan tersebut dapat dituliskan menjadi seperti 

x x((₁₁kk)) == 11 10 10



xx ((kk1)1) 2 2





22xx ((kk1)1) 3 3 + 6+ 6



;; x x((₂₂kk)) == 11 11 11



xx ((kk1)1) 1 1 ++xx ((kk1)1) 3 3





33xx ((kk1)1) 4 4 + 25+ 25



;; x x((₃₃kk)) == 11 10 10







22xx ((kk1)1) 1 1 ++xx ((kk1)1) 2 2 ++xx ((kk1)1) 4 4





1111



;; x x((₄₄kk)) == 11 88







33xx ((kk1)1) 2 2 ++xx ((kk1)1) 3 3 + 15+ 15



::

Dimisalkan bahwa nilai-nilai awal 

Dimisalkan bahwa nilai-nilai awal xx(0)(0) ₌₌ 00_{. . PadPada langa langkah kah kk = = 11, diperoleh nilai-nilai , diperoleh nilai-nilai} 

untuk  untuk xx(1)(1)_:: x x(1)(1)₁₁ == 66 10 10;; xx (1) (1) 2 2 == 25 25 11 11;; xx (1) (1) 3 3 ==





11 11 10 10;; xx (1) (1) 4 4 == 15 15 88 :: Setel

Setelah ah nilai-nilai-nilai nilai xx(1)(1) _{diperdiperoleh, oleh, pepenghitnghitungan ungan diulandiulangi gi kembkembali ali dengan dengan nilai nilai kk = = 22}

untuk memperoleh nilai-nilai  untuk memperoleh nilai-nilai xx(2)(2)_::

x

x₁(2)₁(2) = 1= 1::04730473;; xx₂(2)₂(2)= 11= ::71597159;; xx₃(2)₃(2) ==

_

_

00::80528052;; xx(2)(2)₄₄ = 0= 0::88528852::

Proses diulang lagi untuk nilai-nilai 

Proses diulang lagi untuk nilai-nilai  kk  ber  berikuikutnytnya. a. BeriBerikut ini kut ini dibdiberierikan kan suasuatu tu hasihasil l  sampai langkah

ke-sampai langkah ke-44..

k k 00 11 22 33 44 x x((₁₁kk)) 0 0 00::6600000 0 11::0044773 3 00::9933226 6 11::01520152 x x((₂₂kk)) 0 0 22::2277227 7 11::7711559 9 22::0055330 0 11::95379537 x x((₃₃kk)) 00

_

_

11::10001000

_

_

00::80528052

_

_

11::04930493

_

_

00::96819681 x x((₄₄kk)) 0 0 11::8888552 2 00::8888552 2 11::1133009 9 00::97389738

Untuk kriteria penghentian iterasi, kita bisa menggunakan suatu norma dari vektor: Untuk kriteria penghentian iterasi, kita bisa menggunakan suatu norma dari vektor:

ll11 = =

kk

xx

kk

₁₁ = maks = maks

1

1iinn

jj

xxii

jj

::

Sebagai contoh, vektor

Sebagai contoh, vektor xx _{= = (3(3;;}

_

_

_{22;;88;;5)5) memiliki norma memiliki norma} ll11 = =

kk

xx

kk

₁₁ = maks = maks

1

1iinn

fj

fj

33

jj

;;

j

j

22

jj

;;

jj

88

jj

;;

jj

55

jg

jg

= 8= 8::

Sekarang kita ambil kriteria penghentian dalam metode iterasi: Sekarang kita ambil kriteria penghentian dalam metode iterasi:

ll11 = =





xx ((kk))





xx((kk1)1)





11 = maks= maks11iinn





xx ((kk)) ii





xx ((kk1)1) ii





::

Berdasarkan kriteria tersebut, metode iterasi Jacobi dapat dinyatakan seperti dalam Berdasarkan kriteria tersebut, metode iterasi Jacobi dapat dinyatakan seperti dalam Algoritma 5, sedangkan implementasi dalam MatLab diberikan oleh fungsi

Algoritma 5, sedangkan implementasi dalam MatLab diberikan oleh fungsi   jacobi()  jacobi()..

Algorithm 5

Algorithm 5 Algoritma Iterasi Jacobi Algoritma Iterasi Jacobi Masukan:

Masukan:

matriks koe…sien sistem:

matriks koe…sien sistem: AA

₂₂

RRnnnn

vektor konstanta sistem:

vektor konstanta sistem: bb

₂₂

RRnn

vektor penyelesaian awal:

vektor penyelesaian awal: xx(0)(0)

₂₂

RRnn

maksimum iterasi:

maksimum iterasi: N N 

 ₂

 ₂

NN

toleransi keakuratan:

toleransi keakuratan: ";"; misalnya misalnya "" =  = 101066

Penghitungan Inti: Penghitungan Inti: Dibentuk matriks:

Dibentuk matriks: P P == D D11((DD

_

_

AA)) dan dan QQ = = D D11bb.. Ketika

Ketika kk

_

_

N N dandan  norm  norm

_

_

"",, Hitung:

Hitung: xxnn _== Q Q

_

_

_P P xx((nn1)1) norm

norm = maks = maks₁₁iinn

jj

xxii

jj

Hasil akhir:

Hasil akhir:   vektor  vektor xx _{sedemikian sehingga sedemikian sehingga AA}xx

_

_

_b:b:

funct

function ion X X = = jacojacobi(A,bi(A,b,X0b,X0,N,to,N,tol)l) %

% jacjacobi obi MenMenyelyelesaesaikaikan n SPL AX SPL AX = = b b menmengguggunaknakan iteraan iterasi Jacobsi Jacobi.i. %

% %

% InInpuput: t: A A = = mamatrtrikiks s kokoefefisisieien n dadari sistri sistemem % % b b = = vveekkttoor r kkoonnssttaan n ddaarri i ssiisstteemm % % XX0 0 = = ppeennyyeelleessaaiiaan n aawwaall % % N N = = mmaakkssiimmuum m iitteerraassii % % ttool l = = ttoolleerraannssi i kkeeaakkuurraattaann % % %

% OutOutputput: : X X = = penpenyelyelesaesaian ian sissistemtem if nar

if nargigin n < < 5, tol = 5, tol = 1e1e-6-6; ; enendd if nar

if nargigin n < < 4, N 4, N = = 10100000; ; enendd if

if narnargin < gin < 3, 3, X0 X0 = = zerzeros(os(sizsize(be(b)); end)); end n

n = = sizsize(Ae(A,1),1);; X = X0;

X = X0; P

P = = zerzeros(os(n,nn,n);); for i = 1:n for i = 1:n for j = 1:n for j = 1:n i f j ~ = i i f j ~ = i

Bab 4. Metode Iterasi 23

P(i,j) = A(i,j)/A(i,i); % elemen dari matriks inv(D)*(D-A) end

end

Q(i) = b(i)/A(i,i); % elemen dari matriks inv(D)*b end

while k <= N & norma > tol

X = Q’ - P*X; % persamaan (4.2) norma = max(abs(X-X0));

X0 = X; end

4.2 Iterasi Gauss-Seidel

Dari persamaan (4.2) dicatat bahwa komponen-komponen dari x(k) diketahui, tetapi tidak digunakan, ketika penghitungan komponen-komponen sisanya. Metode Gauss-Seidel merupakan suatu modi…kasi dari metode Jacobi, yaitu semua komponen-kom-ponen terakhir yang dihitung dipergunakan. Prosedur dalam metode Gauss-Seidel diperoleh dengan memilih Q = D + L. Karena itu, dari (4.1) didapatkan bentuk matriks

(D +L)x(k) _{= (D +L}

_

_A)x(k1) ₊b Dx(k) ₌

_

_Lx(k)

_

_U x(k1)₊b

x(k) _{= D}1



b

_

_Lx(k)

_

_U x(k1)



_{; k = 1;2; ::::}

Jadi, skemanya adalah

x(_ik) = 1 aii

0

@

bi



i1

X

 j=1 aijx _j(k)



n

X

 j=i+1 aijx _j(k1)

1

A

; i = 1;2;:::;n   (4.3)

dengan asumsi bahwa untuk langkah k, komponen-komponen x _j(k), 1

_

 j

 _

i

_

1, sudah diketahui.

Contoh 4.2  Diperhatikan kembali sistem persamaan linear pada contoh sebelumnya. Sistem persamaan diubah susunannya menjadi 

x(₁k) =

_

1 10



x (k1) 2



2x (k1) 3 + 6



; x(₂k) = 1 11



x (k) 1 +x (k1) 3



3x (k1) 4 + 25



; x(₃k) = 1 10





2x (k) 1 +x (k) 2 +x (k1) 4



11



; x(₄k) = 1 8





3x (k) 2 +x( k) 3 + 15



:

Pada langkah k = 1, diperoleh nilai-nilai untuk x(1)_:

x(1)₁ = 0:6000; x(1)₂ = 2:3272; x(1)₃ =

_

0:9873; x(1)₄ = 0:8789:

untuk memperoleh nilai-nilai x(2)_:

x(2)₁ = 1:0300; x(2)₂ = 2:0369; x(2)₃ =

_

1:0145; x(2)₄ = 0:9843:

Proses diulang lagi untuk nilai-nilai  k  berikutnya. Berikut ini diberikan suatu hasil  sampai langkah ke-4.

k 0 1 2 3 4

x(₁k) 0 0:6000 1:0300 1:0066 1:0009

x(₂k) 0 2:3272 2:0369 2:0036 2:0003

x(₃k) 0

_

0;9873

_

1:0145

_

1:0025

_

1:0003

x(₄k) 0 0:8789 0:9843 0:9984 0:9998

Untuk keperluan komputasi, iterasi (4.3) dinyatakan secara khusus untuk i = 1 dan

i = n berturut-turut: x(₁k) =

0

@

b1



n

X

 j=2 a1 jx _j(k1)

1

A

; x(nk) = 1 ann

0

@

bn



n1

X

 j=1 anjx _j(k)

1

A

:   (4.4)

Sekarang kita bisa menyatakan skema untuk iterasi Gauss-Seidel seperti dalam Algo-ritma 6 dan implementasi dalam MatLab diberikan oleh fungsi  gauseid().

Algorithm 6 Algoritma Iterasi Gauss-Seidel Masukan:

matriks koe…sien sistem: A

₂

Rnn

vektor konstanta sistem: b

₂

Rn

vektor penyelesaian awal: x(0)

₂

Rn

maksimum iterasi: N 

 ₂

N

toleransi keakuratan: "; misalnya " = 106

Penghitungan Inti:   Ketika 1

_

k

_

N dan norm

_

", Hitung: x(₁k) menggunakan (4.4)

untuk i = 2 : 1 : n

_

1

Hitung: x(_ik) menggunakan (4.3)

x(nk) menggunakan (4.4)

Hitung:  norm = maks1in

j

xi

j

Hasil akhir:   vektor x _{sedemikian sehingga A}x

_

_b:

function X = gauseid(A,b,X0,N,tol)

% gauseid Menyelesaikan SPL AX = b menggunakan iterasi Gauss-Seidel. %

% Input: A = matriks koefisien dari sistem

% b = vektor kolom untuk nilai konstanta dari sistem % X0 = penyelesaian awal

% N = maksimum iterasi

% tol = toleransi keakuratan %

Bab 4. Metode Iterasi 25

if nargin < 5, tol = 1e-6; end if nargin < 4, N = 1000; end

if nargin < 3, X0 = zeros(size(b)); end n = size(A,1);

X = X0;

while k <= N & norma > tol

X(1,:) = (b(1)-A(1,2:n)*X(2:n,:))/A(1,1); % persamaan (4.4) for i = 2:n-1

tmp = b(i,:)-A(i,1:i-1)*X(1:i-1,:)-A(i,i+1:n)*X(i+1:n,:); X(i,:) = tmp/A(i,i); % persamaan (4.3)

end X(n,:) = (b(n,:)-A(n,1:n-1)*X(1:n-1,:))/A(n,n); % persamaan (4.4) norma = max(abs(X-X0)); X0 = X; end

4.3 Iterasi SOR

Berikutnya diperhatikan suatu metode untuk mempercepat konvergensi dari metode iterasi. Dipilih

Q = 1

!D + L

dengan ! adalah suatu faktor skala, maka iterasi (4.1) menjadi



1 !D +L



_x(k) ₌



1 !D +L



A



_x(k1) _+b



1 !D +L



_x(k) ₌



1 !

 

1



_D



U 



x(k1)₊b 1 !Dx (k) ₌



Lx(k) ₊



1 !

 

1



_D



U 



x(k1) _+b x(k) ₌

_

_!D1_Lx(k) ₊

_

₁

_

_!

_

_!D1_U 

_

x(k1) _+!D1_b x(k) ₌ x(k1)

_

_!D1



_Lx(k) _+Dx(k1) _+U x(k1)

_

_b



untuk k = 1;2;:::. Secara jelas, ini diproses dengan cara:

x(_ik) = x(_ik1)

_

! aii

0

@

X

_i<j a jix (k) i +aiix (k1) i +

X

i>j a jix(_ik1)



bi

1

A

= (1

_

!)x(_ik1)+ ! aii

0

@

bi



i1

X

 j=1 aijx _j(k)



n

X

 j=i+1 aijx _j(k1)

1

A

  (4.5)

untuk i = 1;2;:::;n, dan diasumsikan bahwa untuk langkah ke-k, komponen-komponen

x _j(k), 1

_

 j

 _

i

_

1, sudah diketahui.

Untuk ! = 1, iterasi (4.5) memberikan metode Gauss-Seidel. Untuk  0 < ! < 1, prose-durnya dinamakan metode  under-relaxation  dan dapat digunakan untuk memperoleh konvergensi dari beberapa sistem yang tidak konvergen oleh metode Gauss-Seidel. Untuk ! > 1, prosedurnya dinamakan metode  overrelaxation , yang digunakan un-tuk mempercepat konvergensi bagi sistem yang konvergen oleh teknik Gauss-Seidel.

Metode-metode tersebut disingkat SOR untuk   Successive Overrelaxation   dan digu-nakan untuk penyelesaian sistem linier yang muncul dalam penyelesaian numeris dari persamaan diferensial parsial tertentu.

Contoh 4.3   Diketahui sistem persamaan linear: 4x₁ + 3x₂ = 24;

3x₁ + 4x₂

_

x₃ = 30;



x2 + 4x3 =



24:

Persamaan untuk metode relaksasi dengan ! = 1:25:

x(₁k) = (1

_

1:25)x(₁k1) + 1:25 4



24



3x (k1) 2



=

_

0:25x(₁k1)

_

0:9375x(₂k1) + 7:5; x(₂k) = (1

_

1:25)x(₂k1) + 1:25 4



30



3x (k) 1 +x (k1) 3



=

_

0:9375x(₁k)

_

0:25x₂(k1)+ 0:3125x(₃k1) + 9:375; x(₃k) = (1

_

1:25)x(₃k1) + 1:25 4





24 +x (k) 2



= 0:3125x(₂k)

_

0:25x(₃k1)

_

7:5:

Tabel berikut ini menampilkan hasil penghitungan sampai langkah ke-4 menggunakan  penyelesaian awal x(0)₌0_.

k 0 1 2 3 4

x(₁k) 1 7:5000 3:4277 3:3987 3:0442

x(₂k) 1 2:3438 3:4607 3:8465 3:9606

x(₃k) 1

_

6:7676

_

4:7266

_

5:1163

_

4:9832

Skema iterasi (4.5) diimplementasikan dengan fungsi MatLab  SOR() berikut ini.

function X = SOR(A,b,X0,N,tol,w)

% SOR Menyelesaikan SPL Ax = b menggunakan iterasi SOR %

% Input: A = matriks koefisien dari sistem

% b = vektor kolom untuk nilai konstanta dari sistem % X0 = penyelesaian awal

% w = faktor skala

% tol = toleransi keakuratan %

% Output: X = penyelesaian sistem if nargin < 6, w = 1.25; end if nargin < 5, tol = 1e-6; end if nargin < 4, N = 1000; end

if nargin < 3, X0 = zeros(size(b)); end n = size(A,1);

X = X0; for k = 1:N

Bab 4. Metode Iterasi 27 for i = 2:n-1 tmp = b(i,:)-A(i,1:i-1)*X(1:i-1,:)-A(i,i+1:n)*X(i+1:n,:); X(i) = (1-w)*X(i)+w*tmp/A(i,i); end X(n) = (1-w)*X(n)+w*(b(n,:)-A(n,1:n-1)*X(1:n-1,:))/A(n,n); galat = max(abs(X-X0));

if galat < tol, break; end X0 = X;