BAB 4 Sistem Persamaan Linear

BAB 4

Sistem Persamaan Linear

1. Tinjauan Ulang Matrik

2. Sistem Linear Segitiga Atas

2. Sistem Linear Segitiga Atas

3. Eliminasi Gauss dan Pivoting

4. Invers Matriks

5. Dekomposisi Segitiga

6. Metode Iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel

7. Sistem Linear Tridiagonal

1. Tinjauan Ulang Matrik

Matrik adalah deretan bilangan berbentuk siku empat yang disusun secara bersistem dalam baris-baris dan kolom-kolom.

Matrik yang mempunyai M baris dan N kolom disebut matrik M x N. Huruf kapital A menyatakan suatu matrik dan huruf kecil berindeks a_ij menyatakan satu dari bilangan-bilangan yang membentuk matrik, ditulis

dengan a adalah bilangan yang ada dilokasi (i, j), yaitu elemen yang berada

N

j

dan

M

i

untuk

a

A

=

(

_ij

)

_{M xN}

1

≤

≤

1

≤

≤

dengan a_ij adalah bilangan yang ada dilokasi (i, j), yaitu elemen yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j dalam deretan tersebut. Dalam bentuk rinci ditulis,                     = MN Mj M M iN ij i i N j N j a a a a a a a a a a a a a a a a A ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 1 2 2 22 21 1 1 12 11 Baris ke-i Kolom ke-j

Beberapa matriks khusus:

Matriks Diagonal

Matriks diagonal adalah matrik bujursangkar

dengan semua elemen bukan diagonal bernilai nol.

             = NN a a a D ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 0 0 ... 0 22 11

Matriks Bujur sangkar

Matriks bujur sangkar adalah matriks yang

banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom.

A

berukuran

N x N

.

Matriks Satuan

Matriks satuan adalah matrik diagonal yang semua

elemennya bernilai satu.

            = 1 ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 1 0 0 ... 0 1 I

Matriks Segitiga atas

Matrik segitiga atas adalah matriks bujur sangkar

dengan semua elemen di bawah diagonal bernilai

nol.

a

_ij

= 0

untuk

i > j

.

_             = N N a a a a a a U ... 0 0 ... ... ... ... ... 0 ... 2 22 1 12 11

Matriks Tridiagonal

Matriks tridiagonal adalah matrik bujursangkar

yang memenuhi

a

_ij

= 0

untuk |

i – j

|

≥ 2

              = NN a a a a a T ... 0 0 ... ... ... ... 0 ... 0 ... 22 21 12 11

Matriks Segitiga bawah

Matriks segitiga bawah adalah matriks bujur

sangkar dengan semua elemen di atas diagonal

bernilai nol.

a

_ij

= 0

untuk

i < j

.

Sistem Persamaan Linear

              = NN N N a a a a a a L ... ... ... ... ... 0 ... 0 ... 0 2 1 22 21 11   NN

Sistem Persamaan Linear

Sistem M persamaan linear atau himpunan M persamaan linear simultan

dalam N bilangan x

₁

, x

₂

, …, x

_n

yang tidak diketahui adalah suatu

himpunan persamaan berbentuk

M N MN M M N N N N

c

x

a

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

...

..

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11 Koefisien-koefisien

a

ij dan

c

i adalah bilangan-bilangan yang diberikan

Sistem disebut homogen bila semua

c

_i nol, jika tidak sistem disebut tak homogen.

Sistem persamaan linear tersebut dapat juga dituliskan sebagai suatu

persamaan vektor,

dengan matriks koefisien A = [a

_ij

] adalah matriks M x N,

C

AX =

              = MN M M N N a a a a a a a a a A ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11               = N x x x X ... 2 1               = M c c c C ... 2 1

Sedangkan dan adalah

vektor-vektor kolom

Solusi dari sistem persamaan linear adalah himpunan bilangan

x , x , …,

Solusi dari sistem persamaan linear adalah himpunan bilangan

x

₁

, x

₂

, …,

x

_N yang memenuhi semua

M

persamaan tersebut.

Vektor solusi dari sistem persamaan linear adalah vektor

X

yang

2. Sistem Linear Segitiga Atas

Sistem persamaan linear AX = C, dengan matrik koefisien A berupa matrik segitiga atas, dapat ditulis dalam bentuk,

N N N N N N N N N N N

c

x

a

c

x

a

x

a

c

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

=

=

+

=

+

+

=

+

+

+

− − − − −_{1, 1 1 1, 1} 2 2 2 22 1 1 2 12 1 11

..

...

...

...

...

...

...

...

Dengan asumsi elemen-elemen diagonal tak nol,

a

_kk

≠ 0,

untuk k = 1, 2, 3, …, N maka terdapat suatu solusi tunggal dari sistem linear tersebut.

Jika asumsi ini tidak terpenuhi, maka akan tidak terdapat solusi atau tak hingga banyaknya solusi N

N

NN

x

c

a

=

Solusinya dapat dicari dengan melakukan

penyulihan mundur

, yaitu dengan menyelesaikan persamaan terakhir pertama kali, diperoleh nilai

x

_N, seterusnya nilai

x

_N-1 dan yang terakhir diperolah dari persamaan pertama adalah nilai

x

₁. Persamaan terakhir bila diselesaikan akan menghasilkan

x

_N dengan

NN N N

a

c

x =

Nilai

x

_N yang diketahui dapat digunakan dalam persamaan sebelum persamaan terakhir, diperoleh

x

_N-1 dengan

1 , 1 , 1 1 1 − − − − −

−

=

N N N N N N N

a

x

a

c

x

Selanjutnya nilai x_N dan x_N-1 dipakai untuk mencari nilai x_N-2.

Setelah nilai-nilai

x

_N

, X

_N-1

, x

_N-2

, …, x

_k+1 diketahui, diperoleh nilai x_k sebagai,

Algoritma Penyulihan Mundur untuk sistem linear Segitiga atas

Masukan :

n

;

a

_ij , i, j = 1, 2, 3, …, n;

c

_i , i = 1, 2, 3, …, n 2 , 2 , 2 1 1 , 2 2 2 − − − − − − − − − − = N N N N N N N N N N a x a x a c x 1 ..., , 2 , 1 , 1 − − = − =

∑

+ = N N k a x a c x kk N k j j kj k k Masukan :

n

;

a

_ij , i, j = 1, 2, 3, …, n;

c

_i , i = 1, 2, 3, …, n Langkah-langkah: NN N N a c x _:= Untuk k := n-1, n-2, …, 1 lakukan Jumlah := 0 Untuk j := k+1, k+2, …, n lakukan Jumlah := jumlah + a_kj . x_j k k a jumlah c x = −

Determinan matrik Segitiga Atas

Jika A matrik segitiga, maka det(A), determinan A, diberikan oleh hasilkali

elemen-elemen diagonal, det(A) = a

₁₁

.a

₂₂

. … a

_NN

Contoh 4.1

Gunakan penyulihan mundur untuk menyelesaikan sistem persamaan linear

6 3 4 5 6 7 4 7 2 20 3 2 4 4 4 3 4 3 2 4 3 2 1 = = + − = − + − = + + − x x x x x x x x x x 6 3x₄ = Jawab

Dari persamaan terakhir diperoleh x₄ = 6/3 = 2.

Dengan memakai x₄ untuk mendapatkan x₃ dari persamaan ketiga, diperoleh

1 6 ) 2 ( 5 4 3 = − − = x

Dengan memakai x₄ dan x₃ untuk mendapatkan x₂ dari persamaan kedua, diperoleh 4 2 ) 2 ( 4 ) 1 ( 7 7 2 = − − − − − − = x

Akhirnya x₁ diperoleh dari persamaan pertama, 3

4 ) 2 ( 3 ) 1 ( 2 ) 4 ( 1 20 1 = − − − − − = x

3. Eliminasi Gauss dan Pivoting

Akan dikembangkan sebuah skema yang lebih efisien untuk menyelesaikan sistem persamaan linear umum AX = C, dengan N persamaan dan N bilangan yang tidak diketahui. Caranya adalah sistem persamaan linear umum tersebut dirubah menjadi sebuah sistem persamaan segitiga atas UX = Y yang setara dan kemudian dapat diselesaikan menggunakan metode penyulihan mundur. Dua sistem persamaan linear berukuran N x N dikatakan setara jika himpunan-himpunan solusinya sama. Teorema-teorema dari aljabar linear memperlihatkan bahwa bilamana transformasi tertentu diterapkan pada suatu sistem yang

Operasi-operasi berikut bila diterapkan pada sistem linear akan menghasilkan sistem yang setara.

1. Pertukaran : urutan dari dua persamaan dapat ditukar.

bahwa bilamana transformasi tertentu diterapkan pada suatu sistem yang diketahui, maka himpunan solusinya tidak berubah.

2. Penskalaan : perkalian sebuah persamaan dengan konstanta tak nol. 3. Penggantian : sebuah persamaan dapat digantikan oleh jumlah

persamaan itu dengan suatu kelipatan sebarang persamaan lainnya.

Contoh 4.2

Carilah persamaan parabola

y = A + Bx + Cx

2 _{yang melalui titik-titik (1,1),} (2,-1) dan (3,1).

Jawab

Untuk masing-masing titik diperoleh persamaan yang mengaitkan nilai x terhadap nilai y. Hasilnya berupa sistem

Peubah A dieliminasi dari persamaan kedua dan ketiga dengan cara masing-masing mengurangkan persamaan pertama dari kedua dan ketiga, diperoleh

1 9 3 1 4 2 1 = + + − = + + = + + C B A C B A C B A

masing mengurangkan persamaan pertama dari kedua dan ketiga, diperoleh

Peubah B dieliminasi dari persamaan ketiga dengan cara mengurangkannya dengan dua kali persamaan kedua, diperoleh persamaan yang setara

Dengan penyulihan mundur diperoleh C = 2, B = -8 dan A = 7 sehingga persamaan parabola adalah y = 7 - 8x + 2x2_.

0 8 2 2 3 1 = + − = + = + + C B C B C B A 4 2 2 3 1 = − = + = + + C C B C B A

Cara yang paling efisien menyelesaikan sistem linear AX = C adalah

menyimpan semua koefisiennya dalam array berukuran N x (N+1). Koefisien-koefisien C disimpan dalam kolom N+1 dari array, yaitu a_i,N+1 = c_i. Tiap baris memuat semua koefisien yang diperlukan untuk menyatakan satu persamaan dalam sistem linear. Matrik yang dilengkapi, disingkat matrik lengkap

dinyatakan oleh [A,C] sehingga sistem linear dinyatakan sebagai,

              = N N c a a a c a a a c a a a C A ... ... ... ... ... ... ... ] , [ 21 22 2 2 1 1 12 11

Operasi-operasi baris berikut bila diterapkan pada matrik lengkap akan menghasilkan sistem yang setara.

1. Pertukaran : urutan dari dua baris dapat ditukar.

Sistem linear AX = C dengan matrik lengkap yang diberikan dapat diselesaikan dengan melakukan operasi baris elementer (OBE) pada matrik lengkap

[A,C]. Peubah-peubah x_k adalah pemegang posisi untuk koefisien-koefisien dan dapat dihilangkan sampai akhir perhitungan.

2. Penskalaan : perkalian sebuah baris dengan konstanta tak nol. 3. Penggantian : sebuah baris dapat digantikan oleh jumlah baris itu

dengan suatu kelipatan sebarang baris lainnya.

  

Tumpuan

Bilangan

a

_kk pada posisi (k, k) yang dipakai untuk mengeliminasi

x

_k dalam

baris-baris k+1, k+2, …, N dinamakan elemen tumpuan ke-k, dan k disebut baris tumpuan.

Contoh 4.3

Nyatakan sistem berikut dalam bentuk matrik lengkap dan cari suatu sistem segitiga atas yang setara serta solusinya.

28 3 4 2 13 4 2 4 3 1 4 3 2 1 = + + = + + + x x x x x x x Jawab

Matrik lengkapnya adalah:

6 2 3 3 20 2 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 1 = + + + − = + + + x x x x x x x x             −3 1 3 2 6 20 1 2 2 4 28 3 4 0 2 13 4 1 2

1 Baris pertama sebagai baris tumpuan yang dipakai untuk mengeliminasi kolom pertama dibawah

diagonal dan a₁₁ sebagai elemen tumpuan. Tumpuan

Nilai p_i1 adalah pengali baris pertama yang harus dikurangi dari baris i untuk i = 2, 3, 4.

p₂₁= 2 p₃₁= 4 p₄₁= -3

            − − − − − − 45 14 6 7 0 32 15 2 6 0 2 5 2 4 0 13 4 1 2

1 Baris kedua sebagai baris tumpuan yang dipa-kai untuk mengeliminasi kolom kedua dibawah diagonal dan a₂₂ sebagai elemen tumpuan. Tumpuan

Nilai p_i2 adalah pengali baris kedua yang harus dikurangi dari baris i untuk i = 3, 4.

p₃₂= 1.5 p₄₂= -1.75           − − − − − 35 5 . 7 5 0 0 2 5 2 4 0 13 4 1 2

1 Baris ketiga sebagai baris tumpuan yang dipa-kai untuk mengeliminasi kolom ketiga dibawah diagonal dan a₃₃ sebagai elemen tumpuan. Tumpuan

Nilai p₄₃ adalah pengali baris ketiga yang

p = -1.9 Diperoleh hasil,    0 0 9.5 5.25 48.5

Nilai p₄₃ adalah pengali baris ketiga yang harus dikurangi dari baris ke 4.

p₄₃= -1.9             − − − − − − − 18 9 0 0 0 35 5 . 7 5 0 0 2 5 2 4 0 13 4 1 2

1 Berupa matriks segitiga atas.

Menggunakan algoritma penyulihan

mundur diperoleh x₄= 2, x₃ = 4, x₂ = -1 dan x₁ = 3.

Diperoleh hasil,

Proses eliminasi Gauss harus dimodifikasi sehingga dapat dipakai dalam keadaan apapun.

Pivoting

Jika a_kk = 0 maka baris ke-k tidak dapat dipakai sebagai elemen tumpuan. Karena itu perlu mencari baris r, dengan a_rk ≠ 0 dan r > k dan kemudian

mempertukarkan baris k dan baris r sehingga diperoleh elemen tumpuan tak nol. Proses ini disebut pivoting, dan kriteria penentuan baris mana yang

dipilih disebut strategi pivoting. Jadi strategi pivoting yang paling sederhana adalah jika a_kk ≠ 0 maka langsung dilanjutkan melakukan eliminasi sedangkan jika a_kk = 0 maka dilakukan pivoting.

Algoritma Eliminasi Gauss Algoritma Eliminasi Gauss

Diberikan matrik lengkap A = [a_ij], n x (n+1); terdiri dari [A,C]. Untuk k = 1, 2, 3, …, n-1 lakukan

Cari i > k yang terkecil sehingga a_ik ≠ 0

Jika i demikian tak ada maka beri tanda bahwa A singulir dan berhenti Jika tidak, tukarkan isi baris I dan k dari A dan lanjutkan

Untuk i = k+1, k+2, …, n lakukan p := a_ik / b_kk

Untuk j = k+1, k+2, …, n+1 lakukan a_ij := a_ij – p.a_kj

Jika a_nn = 0 maka beri tanda bahwa A singulir dan berhenti. Lanjutkan dengan algoritma penyulihan mundur.

Pivoting untuk memperkecil galat

Jika terdapat beberapa elemen tak nol pada kolom k yang terletak pada

atau di bawah diagonal, maka terdapat pilihan untuk menentukan baris

mana yang yang ditukar.

Pivoting parsial paling umum digunakan. Karena komputer menggunakan

hitungan presisi tetap, maka dimungkinkan bahwa suatu galat kecil akan

terjadi setiap kali operasi hitungan dilaksanakan.

Untuk memperkecil perambatan galat, maka periksa besarnya semua

elemen di kolom ke k yang terletak pada atau di bawah diagonal, dan

elemen di kolom ke k yang terletak pada atau di bawah diagonal, dan

melokasikan baris r yang mempunyai elemen dengan nilai mutlak terbesar,

yaitu

Kemudian menukarkan baris r dan baris k untuk r > k.

Biasanya makin besar elemen tumpuannya, akan menghasilkan perambatan

galat yang makin kecil

}

|

|

|,

|

...,

|,

|

|,

{|

|

|

a

_rk

=

maks

a

_kk

a

_k+_1,k

a

_N−_1,k

a

_Nk

Algoritma Eliminasi Gauss dengan Pivoting Parsial Masukan : n ; a_ij, i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, n+1 Langkah-langkah: Untuk k = 1, 2, 3, …, n-1 lakukan l := k Untuk i = k+1, k+2, …, n lakukakan Jika |a_ik| > |a_lk| maka l := i

Jika a_lk = 0 maka matrik singulir dan hentikan proses Jika l ≠ k maka Untuk j = k, k+1, …, n+1 lakukan t := a ; a := a ; a := t t := a_kj; a_kj := a_lj; a_lj := t Untuk i = k+1, k+2, …, n lakukan p := a_ik / a_kk Untuk j = k, k+1, …, n+1 lakukan a_ij := a_ij – p.a_kj x_n := a_n,n+1 / a_nn Untuk k := n-1, n-2, …, 1 lakukan jumlah := 0 Untuk j := k+1, k+2, …, n lakukan jumlah := jumlah + a_kj.x_j x_k := (a_k,n+1 - jumlah)/a_kk Latihan : Aplikasikan algoritma Eliminasi Gauss dengan Pivoting Parsial untuk menyelesaikan masalah pada Contoh 4.3.

4. Invers Matriks

Variasi lain dari eliminasi Gauss adalah eliminasi Gauss-Jordan. Dalam hal ini penyulihan mundur dalam eliminasi Gauss dihindari dengan melakukan perhitungan tambahan yang mereduksi matriks ke

bentuk diagonal

sebagai pengganti

bentuk segitiga

.

Metode ini mempunyai keuntungan dalam menyelesaikan sistem persamaan pada komputer.

Invers (balikan) suatu matriks bujur sangkar A yang tak singulir pada prinsipnya dapat ditentukan dari penyelesaian n sistem,

AX = c_j, j = 1, 2, …, n

dengan c_j adalah kolom ke-j dari matrik satuan nxn.

Cara lain yang lebih disukai untuk menghasilkan invers dari matrik A, yaitu A-1_,

adalah menggunakan eliminasi Gauss-Jordan untuk mengoperasikan matriks

A dan matrik satuan I sehingga masing-masing direduksi menjadi matrik I dan

matriks A-1_.

Penyelesaian sistem persamaan linear n x n dapat dilakukan dengan mencari invers dari matriks A. Solusi untuk AX = C diberikan oleh X = A-1_{C . Namun}

Contoh 4.4

Tentukan invers dari matrik Jawab Mulai dengan matrik lengkap [A, I]           − = 0 1 1 5 2 3 1 0 2 A           −1 0 0 0 1 1 0 1 0 5 2 3 0 0 1 1 0 2 Tukar baris 1 dengan baris 2, kemudian bagi baris 1 sehingga a₁₁ = 1           −1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 2 0 33 . 0 0 67 . 1 67 . 0 1 Eliminasi elemen-elemen    1 0.67 1.67 0 0.33 0 Tukar baris 2 dengan baris 3,    1 0.67 1.67 0 0.33 0 _{elemen-elemen} pada kolom 1 di bawah diagonal         − − − − − − 1 33 . 0 0 67 . 1 67 . 1 0 0 67 . 0 1 33 . 2 33 . 1 0 dengan baris 3, kemudian bagi baris 2 sehingga a₂₂ = 1         − − − − 1 67 . 0 1 33 . 2 33 . 1 0 60 . 0 20 . 0 0 1 1 0 Eliminasi elemen-elemen pada kolom 2 kecuali pada diagonal           − − − − 8 . 0 4 . 0 1 1 0 0 6 . 0 2 . 0 0 1 1 0 4 . 0 2 . 0 0 1 0 1 _{Bagi baris 3} dengan -1 sehingga a₃₃ = 1 _         − − 8 . 0 4 . 0 1 1 0 0 6 . 0 2 . 0 0 1 1 0 4 . 0 2 . 0 0 1 0 1 Eliminasi elemen-elemen pada kolom 3 di atas diagonal           − − − − − 8 . 0 4 . 0 1 1 0 0 4 . 1 2 . 0 1 0 1 0 4 . 0 2 . 0 1 0 0 1 Matrik Satuan muncul

pada bagian kiri dari matriks lengkap dan

matriks invers pada bagian kanan, sehingga           − − − − − = − 8 . 0 4 . 0 1 4 . 1 2 . 0 1 4 . 0 2 . 0 1 1 A

Algoritma Gauss-Jordan untuk Invers Matriks

Masukan : n ; a_ij, i = 1, 2, …, n ; j = 1, 2, …, 2n (Matrik A adalah matrik lengkap [A,I])

Langkah-langkah:

Untuk k = 1, 2, 3, …, n lakukan l := k

Jika k = n, lanjutkan ke langkah (1) Untuk i = k+1, k+2, …, n lakukakan

Jika |a_ik| > |a_lk| maka l := i

(1) Jika a_lk = 0 maka matrik singulir dan hentikan proses Jika l ≠ k maka

Untuk j = k, k+1, …, 2n lakukan Latihan : Untuk j = k, k+1, …, 2n lakukan t := a_kj; a_kj := a_lj; a_lj := t Untuk j = k+1, k+2, …, 2n lakukan a_kj := a_kj / a_kk a_kk := 1 Untuk i = 1, 2, …, n lakukan jika i ≠ k maka p := a_ik / b_kk untuk j := k+1, k+2, …, 2n lakukan a_ij := a_ij - p a_kj Latihan : Aplikasikan algoritma Eliminasi Gauss-Jordan untuk invers matriks untuk menyelesaikan masalah pada Contoh 4.4.

5. Dekomposisi Segitiga

Pada sub-bab terdahulu terlihat bahwa betapa mudahnya untuk menyelesaikan sistem segitiga atas.

Karena itu, diberikan matrik A yang taksingulir, kemudian faktorkan matrik A tersebut menjadi matrik segitiga atas U dan matrik segitiga

bawah L. Agar matrik U dan L tunggal maka elemen-elemen diagonalnya tidak boleh sebarang.

Ada dua macam pemfaktoran.

a. Pemfaktoran Doolittle, mensyaratkan elemen diagonal L semuanya a. Pemfaktoran Doolittle, mensyaratkan elemen diagonal L semuanya

bernilai 1 dan elemen diagonal U taknol.

b. Pemfaktoran Crout, mensyaratkan elemen diagonal L taknol dan semua elemen diagonal U bernilai 1.

                    =           = 33 23 22 13 12 11 32 31 21 33 32 31 23 22 21 13 12 11 0 0 0 . 1 0 1 0 0 1 u u u u u u l l l a a a a a a a a a A Misalkan matrik A berukuran 3 x 3, bila difaktorkan diperoleh: Misalkan matrik A berukuran 3 x 3, bila difaktorkan diperoleh:                     =           = 1 0 0 1 0 1 . 0 0 0 23 13 12 33 32 31 22 21 11 33 32 31 23 22 21 13 12 11 u u u l l l l l l a a a a a a a a a A

Jika penukaran baris tidak diperlukan pada waktu menggunakan eliminasi Gauss, maka pengali-pengali p_ij adalah elemen-elemen diagonal bawah dari matrik L dalam pemfaktoran Doolittle.

Misalkan untuk matriks A berukuran 3 x 3, maka l₂₁ = p₂₁, l₃₁ = p₃₁ dan l₃₂ = p₃₂. Selain itu, elemen-elemen dari matrik L dan U dapat dihitung secara langsung, dengan menghitung hasil kali LU kemudian memakai sifat kesamaan dua

matriks LU = A.

Penyelesaian sistem persamaan linear .

Misalkan A adalah matrik koefisien dari sistem linear AX = C yang mempunyai

A = LU LUX = C

pemfaktoran segitiga A = LU. Solusi dari sistem linear LUX = C diperoleh

dengan cara mendefinisikan Y = UX dan kemudian menyelesaikan dua sistem

LY = C dan UX = Y.

Pertama diselesaikan Y dari persamaan LY = C memakai algoritma penyulihan

maju dan diikuti dengan menyelesaikan X dari UX = Y memakai algoritma penyulihan mundur.

Contoh 4.5

Diberikan sitem persamaan linear berikut,

a. Bila A adalah matrik koefisien dari sistem persamaan linear di atas, tentukan matrik segitiga L dan U sebagai faktor dari matrik A.

b. Tentukan solusi dari sistem persamaan linear diatas dengan menggunakan dekomposisi matrik A tersebut.

7 6 2 20 5 4 2 2 3 4 3 2 1 3 2 1 3 2 1 = + + = + − − − = − + x x x x x x x x x Jawab a. Tulis                     =           − − − = 33 23 22 13 12 11 32 31 21 0 0 0 . 1 0 1 0 0 1 6 2 1 5 4 2 1 3 4 u u u u u u l l l A           + + + + + = 33 23 32 13 31 22 32 12 31 11 31 23 13 21 22 12 21 11 21 13 12 11 u u l u l u l u l u l u u l u u l u l u u u

Dari kesamaan dua matriks dan kesamaan elemen yang seletak, diperoleh 5 . 8 6 5 . 0 2 25 . 0 1 5 . 4 5 5 . 2 4 5 . 0 2 1 3 4 33 33 23 32 13 31 32 22 32 12 31 31 11 31 23 23 13 21 22 22 12 21 21 11 21 13 12 11 = ⇔ = + + − = ⇔ = + = ⇔ = = ⇔ = + − = ⇔ − = + − = ⇔ − = − = = = u u u l u l l u l u l l u l u u u l u u u l l u l u u u           − − = 1 5 . 0 25 . 0 0 1 5 . 0 0 0 1 L           − − = 5 . 8 0 0 5 . 4 5 . 2 0 1 3 4 U

Sehingga matrik segitiga bawah L dan matrik

segitiga atas U adalah

b.   0.25 −0.5 1 _0 0 8.5_ 7 5 . 0 25 . 0 20 5 . 0 2 3 2 1 2 1 1 = + − = + − − = y y y y y y Gunakan metode

penyulihan maju untuk menyelesaikan persamaan LY = C. Diperoleh nilai-nilai y₁ = -2 y₂ = 19 y₃ = 17 17 5 . 8 19 5 . 4 5 . 2 2 3 4 3 3 2 3 2 1 = = + − − = − + x x x x x x Gunakan metode penyulihan mundur untuk menyelesaikan persamaan UX = Y. Diperoleh nilai-nilai x₃ = 2 x₂ = -4 x₁ = 3

Pemfaktoran Cholesky

Misalkan A adalah matrik bujur sangkar yang definit positif dan simetri. Maka A dapat ditulis dalam bentuk A = LU dengan L dan U adalah matrik-matrik segitiga bawah dan atas, dengan U = LT_.

Contoh 4.6

Gunakan metode Cholesky untuk menentukan solusi dari sitem persamaan linear , 101 5 17 2 14 14 2 4 3 2 1 3 2 1 − = − + = + + x x x x x x Jawab Tulis                     =           − − = 33 32 22 31 21 11 33 32 31 22 21 11 0 0 0 . 0 0 0 83 5 14 5 17 2 14 2 4 l l l l l l l l l l l l A 155 83 5 14 _{1 2 3} 3 2 1 = + − x x x

Dari kesamaan dua matriks dan kesamaan elemen yang seletak, diperoleh           + + + + + = 2 33 2 23 2 13 22 23 12 13 13 11 23 22 13 12 2 22 2 12 12 11 13 11 12 11 2 11 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l 5 83 ; 3 5 4 17 ; 7 14 ; 1 2 ; 2 4 33 2 33 2 23 2 13 23 23 22 13 12 22 2 22 2 12 13 13 11 12 12 11 11 2 11 = ⇔ = + + − = ⇔ − = + = ⇔ = + = ⇔ = = ⇔ = = ⇔ = l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l

          − = 5 3 7 0 4 1 0 0 2 L           − = 5 0 0 3 4 0 7 1 2 T L 155 5 3 7 101 4 14 2 3 2 1 2 1 1 = + − − = + = y y y y y y Gunakan metode

penyulihan maju untuk menyelesaikan persamaan LY = C. Diperoleh nilai-nilai y₁ = 7 y₂ = -27 y₃ = 5

Gunakan metode Diperoleh nilai-nilai

Sehingga matrik segitiga bawah L dan matrik

segitiga atas LT _adalah

5 5 27 3 4 7 7 2 3 3 2 3 2 1 = − = − = − + x x x x x x Gunakan metode penyulihan mundur untuk menyelesaikan persamaan LT_{X = Y.} Diperoleh nilai-nilai x₃ = 1 x₂ = -6 x₁ = 3

6. Metode Iterasi Jacobi dan Gauss-Seidel

Metode penyelesaian sistem persamaan linear yang telah dibahas sebelumnya adalah metode perhitungan secara langsung.

Selanjutnya akan dibahas metode penyelesaian sistem persamaan linear secara taklangsung atau metode iteratif.

Iterasi Jacobi

Misalkan diberikan sistem persamaan linear, N N

x

c

a

x

a

x

a

+

+

...

+

=

1 1 2 12 1 11

dengan matrik Koefisien

N N NN N N N N N N

c

x

a

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

c

x

a

x

a

x

a

=

+

+

+

=

+

+

+

=

+

+

+

...

..

...

...

...

...

...

...

...

2 2 1 1 2 2 2 22 1 21 1 1 2 12 1 11               = NN N N N N a a a a a a a a a A ... ... ... ... ... ... ... 2 1 2 22 21 1 12 11