Persamaan Dan Fungsi Eksponen

(1)

(2)

I. PERSAMAAN EKSPONEN

A. Persamaan Eksponen.

Persamaan eksponen adalah persamaan yang peubahnya berfungsi sebagai eksponen (pangkat) dari suatu bilangan berpangkat.

Contoh : 1). 2x+2= 8 2). 3x+1= 4x+1 3). (x-3)x+2= (x-3)4x-3 Ada beberapa bentuk persamaan eksponen, yaiut sebagai berikut :

1. af(x)= 1 2. af(x)= ap 3. af(x) = ag(x) 4. af(x) = bf(x) 5. af(x)= bg(x) 6. f(x)g(x)= f(x)h(x) 7. f(x)g(x)= h(x)g(x) 8. f(x)g(x)= 1 9. A.(af(x))2+ B.(af(x)) + C = 0 Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan eksponen perlu diingat sifat-sifat perpangkatan sebagai berikut :

1. _am_._an __amn 2. m n n m a a a _  3. ₍_am₎n __am.n 4. ₍_a_._b₎n __an_._bn 5. n _nn b a b a _ ) ( 6. n n m m a a  7. m _m a a  1 8. _a0 _1

Sifat-sifat lain yang perlu diingat sebagai dasar penyelesaian persamaan eksponen adalah :

1. Jika am= andan a 0 , maka m = n.

2. Jika am= bmdengan a dan b bilangan positif dan a b 1 , maka m = 0

B. Macam-macam Persamaan Eksponen

1. Bentuk _af(x) _1

a. Tentukan himpunan

penyelesaian dari persamaan 1 3 2 5 6    x x Penyelesaian : 0 ) 3 )( 2 ( 0 6 5 3 3 1 3 2 0 6 5 6 5 2 2             x x x x x x x x b. Tentukan himpunan

penyelesaian dari persamaan 1 43x9 _ Penyelesaian : 3 9 3 0 9 3 4 4 1 4 0 9 3 9 3         x x x x x

(3)

2. Bentuk _af(x) __ap

penyelesaiann dari persamaan

27 34x1 _ Penyelesaian : 1 4 4 3 1 4 3 3 27 3 3 1 4 1 4         x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }.

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

27

1

4

_

 x Penyelesaian : 2 1 2 5 2 3 8 2 3 3 3 ) 3 ( 27 1 9 3 8 2 3 4 2 4              x x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalh { 2

2 1

}. 3. Bentuk _af(x) __ag(x)

a..Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ₁₆x2 _₆₄x1 Penyelesaian : 1 1 4 3 3 2 3 3 4 2 4 4 ) 4 ( ) 4 ( 64 16 3 3 4 2 1 3 2 2 1 2                    x x x x x x x x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1 }

b..Tentukan himpunan peyelesaian dari persamaan ₃ 2_3 _4 ₉_ _1  x x x Penyelesaian : 3 2 0 ) 3 )( 2 ( 0 6 5 0 2 4 2 3 2 2 4 3 3 3 ) 3 ( 3 9 3 2 2 2 2 2 4 3 1 2 4 3 1 4 3 2 2 2                                    x atau x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2,-3}

(4)

4. Bentuk _af(x) __bf(x)

penyelesaian dari persamaan

3 3 ₇ 3x _ x Penyelesaian : 3 0 3 7 3 3 3       x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 3 }.

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 2 5 4 2 5 4 8 7x  x  x  x Penyelesaian: 4 1 0 ) 4 ) 1 ( 0 4 5 8 7 2 4 5 4 5 2 2              x atau x x x x x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 1,4 }

5. Bentuk _af(x) __bg(x)

penyelesaian dari persamaan

1 2 1 3 ₃ 5 x  x Penyelesaian : 3 log 2 5 log 3 3 log 5 log 3 log 5 log ) 3 log 2 5 log 3 ( 3 log 5 log log 2 5 log 3 3 log 3 log 2 5 log 5 log 3 3 log ) 1 2 ( 5 log ) 1 3 ( 3 log 5 log 3 5 1 2 1 3 1 2 1 3                      x x x x x x x x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah          3 log 2 5 log 3 3 log 5 log x

b. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ₂x1 _₃x1 Penyelesaian : 3 log 2 log 3 log 2 log 3 log 2 log ) 3 log 2 (log 3 log 2 log 3 log 2 log 3 log 3 log 2 log 2 log 3 log ) 1 ( 2 log ) 1 ( 3 log 2 log 3 2 1 1 1 1                      x x x x x x x x x x x x

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah          3 log 2 log 3 log 2 log x

(5)

6. Bentuk _f₍_x₎g(x) _ _f₍_x₎h(x)

Persamaan eskponen bentuk f(x)g(x)= f(x)h(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesaian, yaitu :

a. f(x) = 1 b. g(x) = h(x)

c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama genap atau f(x) dan h(x) sama-sama ganjil.

d. f(x) = 0 dengan syarat g(x) dan h(x) sama-sama positif. Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ₍ ₁₎ 2_5 _9 ₍ ₁₎2 _3  

 x x _x x

x

Penyelesaian yang mungkin :

a. f(x) = 1 (x-1) = 1 x = 2 b. _{g(x) = h(x)}__x2 _{- 5x + 9 = 2x - 3}__x2_{– 5x – 2x + 9 + 3 = 0} x2– 7x +12 = 0 (x – 4)(x – 3) = 0 x = 4 atau x = 3 c. f(x) = -1 (x – 1) = -1 x = 0

syarat : untuk x = 0 g(0) = 02– 5.0 + 9 = 9 (ganjil) h(0) = 2.0 – 3 = -3 (ganjil)

g(x) dan h(x) sama-sama ganjil , Jadi x = 0 adalah penyelesaian. d..f(x) = 0 (x – 1) = 0 x = 1

syarat : untuk x = 1 g(1) = 12– 5.1 + 9 = 1- 5 + 9 = 5 (positif) h(1) = 2.1 – 3 = 2 – 3 = -1 (negatif) g(x) positif dan h(x) negatif, jadi x = 1 bukan penyelesaian. Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {0, 2, 3, 4} 7. Bentuk _f₍_x₎g(x) __h₍_x₎g(x)

Persamaan bentuk f(x)g(x)= h(x)g(x) mempunyai beberapa kemungkinan penyelesai-an yaitu :

a. f(x) = h(x)

b. g(x) = 0 dengan syarat f(x) dan h(x) 0 Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan

2 2 2 2 ₃ ₁₎ ₍ ₆₎ 2 ( _x  _x x  _x _x x

Penyelesaian yang mungkin adalah :

a. f(x) = h(x) 2x2– 3x + 1 = x2+ x + 6 2x2– x2– 3x – x + 1 – 6 = 0 x2– 4x -5 = 0

(x + 1)(x – 5) = 0 x = -1 atau x = 5

(6)

b. g(x) = 0 x -2 = 0 x = 2

syarat : untuk x = 2 f(2) = 2.22– 3.2 + 1 = 8 – 6 + 1 = 3 0

h(2) = 22+ 2 + 6 = 4 + 2 + 6 = 12 0 f(x) dan h(x) 0 , jadi x = 2 adalah penyelesaian.

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 2 , 5} 8. Bentuk _f(_x)g(x) _1

Persamaan eksponen bentuk f(x)g(x)= 1 mempunyai beberapa kemungkinan penye-lesaian yaitu :

a. g(x) = 0 dengan syarat f(x) 0. b. f(x) = 1

c. f(x) = -1 dengan syarat g(x) genap. Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan ( 2 1)( 2 4) 1

 

_x x 

x

Penyelesaian yang mungkin adalah :

a. g(x) = 0 x2– 4 = 0 x2= 4 x = 2

syarat : untuk x = 2 f(2) = 22+ 2 – 1 = 4 + 2 – 1 = 5 0 untuk x = -2 f(-2) = (-2)2+ (-2) – 1 = 4 – 2 – 1 = 1 0 f(x) 0 , jadi 2 dan -2 adalah penyelesaian.

b. f(x) = 1 x2+ x – 1 = 1 x2+ x – 1 – 1 = 0 x2+ x – 2 = 0 (x - 1)(x + 2) = 0 x = 1 atau x = -2 c. f(x)= -1 x2+ x – 1 = -1 x2+ x – 1 + 1 = 0 x2+ x = 0 (x + 1)x = 0 x = -1 atau x =0

syarat : untuk x = -1 g(-1) = (-1)2– 4 = 1 – 4 = -3 (ganjil), jadi x = -1 bukan penyelesaian. Untuk x = 0 g(0) = 02– 4 = 0- 4 = -4 (genap), jadi x = 0 adalah penyelesaian.

Dengan demikian himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 1 , 2}

9. Bentuk _A.(_af(x))2 __B(_af(x))__C _0,_dengan _A_0

Bentuk persamaan ini dapat diselesaikan dengan mengubah ke bentuk persamaan kuadrat dalam af(x).

(7)

Contoh :

a..Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 42x+ 4x– 2 = 0.

b. Tentukan himpunan penyelesaian persamaan 4x+ 2x+1= 8

Penyelesaian: 42x+ 4x– 2 = 0

(4x)2+ 4x– 2 =

misal y = 4x, diperoleh persamaan :

y2+ y – 2 = 0 (persamaan kuadrat dalam y)

(y + 2)(y -1) = 0

y = -2 atau y = 1

untuk y = -2 4x= - 2 (tidak ada penyelesaian)

untuk x = 1 4x= 1 x = 0

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah { 0 }

Penyelesaian :

4x+ 2x+1= 8 (22)x+ 2x.21– 8 = 0

(2x)2+ 2.2x– 8 = 0

misal y = 2x, diperoleh persamaan y2_{+ 2y – 8 = 0 (persamaan kuadrat dalam y)}

(y + 4)(y – 2) = 0

y = -4 atau y = 2

untuk y = -4 2x= -4 (tidak ada penyelesaian)

untuk y = 2 2x= 2 x = 1.

Jadi himpunan penyelesaianya adalah { 1 }.

SOAL LATIHAN:

1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : a. 43x6 _1 b. 3 25 6 1   x x c. 8 2 3 10 1    x x d. 7 2 2 15 1    x x

4. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : a. 3x-4= 5x-4 b. 2 2 5 3 2 2 5 3 6 4 x  x  x  x c. 2 6 8 2 6 8 6 5x  x  x  x d. 2 2 8 2 2 8 3 2x  x  x  x 5. Tentukan himpunan

penyelesaian dari persamaan : a. 27 1 32x1 _ b. 8 1 2 2 4   x x c. 125 1 5 2 5 5    x

3. Tentukan himpunan penyelesaian

5. Tentukan nilai x yang memenuhi maan. a. ₍₂_x_₁₎x3 _₍₂_x_₁₎2x5 b. 3 2 2 6 ) 5 ( ) 5 (_x_ x _ _x_ x x c. 2 2 1 3 2 7 4 ) 5 2 ( ) 5 2 ( _x_ x  x _ _x_ x  x dari persamaan : a. ₃2x4 _₃3x5 b. 2 3 4 2 4 2 4 4x  x _ x  x c. 4 1 64 4 1 2           x x x

6. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan : a. 2 2 1 2 2 1 ) 5 ( ) 3 5 (_x _ _x_ x  _ _x __x_ x  b. ₍₂_x2 __x_₅₎x3 _₍_x2 _₃_x₎x3

(8)

d. ₂x3 _3 ₁₆x3

7. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan .

a. (_x_3)2x6 _1 b. (_x2 _3_x_1)x5 _1

8..Tentukan nilai x yang memnuhi persama-an : a. 25x+ 5x+1– 6 = 0 b. 5x+ 51-x= 6 c. 2x+1+ 22x+3= 36 d. 9x+ 3x+1– 4 = 0 e. 22x+3– 17.2x+ 2 = 0 f. 22x– 2x+1= 8 c. (_x2 _4_x_3)x2 _1 d. (2 5) 2 7 6 1   x  x x e. ( 2 15 55) 2 4 1    _x x  x f. (_x2 _11_x_29)x2 _1

II. FUNGSI EKSPONEN A. Fungsi Eksponen.

Bentuk umum fungsi eksponen adalah f(x) = k.af(x), a > 0 dan a 1.

1. Bila fungsi f(x) = k.af(x) ,dengan a > 1 , a Q, dan x R, maka fungsi f(x) disebut fungsi naik.

2. Bila fungsi f(x) = k.af(x), dengan 0 < a < 1, a Q dan x R, maka fungsi f(x) but fungsi turun.

Grafik fungsi eksponen berupa garis lengkung yang selalu memotong sumbu Y di titik (0,1) dan selalu berada di atas sumbu X. Perhatikan gambar di bawah ini.

f(x) = k.ax f(x) = k x a    1

(9)

Penyelesaian : Fungsi eksponen y = f(x) = 2x x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = 2x 8 1 4 1 2 1 1 2 4 8

3. Gambarkan grafik fungsi f(x) =

x       2 1 , untuk -3 x 3 ! Penyelesaian : Fungsi eksponen y = f(x) = x       2 1 x -3 -2 -1 0 1 2 3 y = x       2 1 8 4 2 1 2 1 4 1 8 1

y = 2

x

y =

x       2 1

(10)

B. Pertidaksamaan Eksponen

Dari grafik fungsi eksponen di atas tampak bahwa : 1..Untuk a > 1. Bila af(x)ag(x), maka f(x) g(x). Bila af(x) ag(x), maka f(x) g(x). 2..Untuk 0 < a < 1. Bila af(x) ag(x), maka f(x) g(x). Bila af(x)ag(x), maka f(x) g(x). Contoh:

1..Tentukan nilai x yang memenuhi pertidaksamaan 24x-7> 8 ! Penyelesaian : 24x-7> 8 24x-7> 23, karena a = 2, a > 1 , maka : 4x – 7 > 3 4x > 10 x > 2 ½

Jadi nilai x yang memenuhi adalah x > 2½

2..Tentukan batas-batas nilai x yang nuhi pertidaksamaan 3 2 4 3 2 1 2 1                x x Penyelesaian : 3 2 4 3 2 1 2 1              

 x x _{, karena a = ½ dan 0<a< 1}

maka :

3x + 4 > 2x – 3

3x – 2x > -3 – 4

x > -7

Jadi batas nilai x yang memenuhi adalah x > -7

3..Tentukan batas-batas nilai x yang me memnuhi pertidaksamaan ₂ 2_3 _2 ₁₆ _2  x x x Penyelesaian : ₂ 2_3 _2 ₁₆ _2  x x x ₂ 2_3 _2 ₍₂4₎ _2  x x x ₂ 2_3 _2 ₂4 8  x x x _{( a = 2 , a > 1)} maka : x2+ 3x – 2 4x – 8 x2+ 3x – 4x - 2 + 8 0 x2– x – 6 0 (x +2)(x-3) 0 + + + + + + - - - + + + + + +

4..Tentukan batas-batas nilai x yang nuhi pertidaksamaan x x x 6 2 2 1 2 1 2               Penyelesaian : x x x 6 2 2 1 2 1 2               ( a = ½ , 0 < a < 1) maka : x2– x < 6 – 2x x2– x + 2x – 6 < 0 x2+ x – 6 < 0 (x + 3)(x – 2) < 0 + + + + + + - - - + + + + + +

(11)

SOAL-SOAL LATIHAN

1..Gambarlah grafik fungsi eksponen berikut dengan interval {x /-3x 3} a. f(x) = 3x b. f(x) = 2x+1 c. f(x) = (½)x+1 d. f(x) = x       3 1

2..Tentukan batas-batas nilai x yang me memnuhi pertidaksamaan : a. 163x+264x-1 b. 3 2 6 1   x x c. 32x+1+5.3x< 2 d. 22x– 2x+1> 8

4..Tentukan himpunan penyelesaian dari per tidaksamaan : a. 3x-3< 93 b. 37x< 2 2 9x  c. 81x< ₃21x2 d. 9.3x-7243x-1 e. x x x _        25 1 5 2 6

5..Carilah himpunan penyelesaian dari tidaksamaan :

3..Tentukan batas-batas nilai x yang me menuhi pertidaksamaan : a. 2 3 2 2 1 4 1                x x b. 1 2 3 2 1 4 1                 x x c. 27 1 3 1 2 4 9        x  x d. 5 1 4 5 1 5 1 2                x x x a. 7 49 1 7x6 _ b. ₈x3 _₂x5 c. 9 1 2 5 5 1 2           x x x d. .3 2.3 9 3 1_ 2 _ _      x x e. 4 2 8 15 1    x x f. 5x+ 51-x< 6

D..Penerapan Fungsi Eksponen.

Fungsi eksponen dapat diterapkan dalam beberapa permasalahan di anataranya adalah Masalah pertumbuhan dan penluruhan (penyusutan).

1..Pertumbuhan.

Pertumbuhan adalah berkembangnya suatu keadaan yang mengalami penambahan atau kenaikan secara eksponensaial. Peristiwa yang termasuk dalam pertumbuhan adalah pertambahan penduduk, perhitungan bunga majemuk di bank dan lain-lain. Bila kekadaan awal dinyatakan dengan M, laju pertumbuhan dinyatakan dengan i dan lamanya pertumbuhan dengan n, maka keadaan setlah n periode adalah :

Mn = M(1 + i)n Contoh :

1) Amir menabung uang di bank sebesar Rp 500.000,00 dengan bunga majemuk sebesar 5% setahun. Berapa uang Amir setelah 3 tahun ?

Penyelesaian :

(12)

Mn= M(1 + i)n

M3= 500.000,00(1 + 0,05)3

= 500.000,00(1,05)3 = 500.000,00(1,157625) = 578.812,50

Jadi uang Amir setelah 3 tahun sebesar Rp 578.812,50.

2).Suatu modal sebesar Rp 1.000.000,00 dibungakan dengan bunga majemuk denga suku bunga 4% tiap empat bulan. Tentukan besarnya modal itu setelah dibungakan selama 3 tahun ?

Penyelesaian

Modal = M = 1.000.000,00, suku bunga i = 4% tiap 4 bulan , karena periodenya tiap 4 bulan, maka dalam 1 tahun ada 3 peride, 3 tahun ada 9 periode dengan demikian n = 9 Mn = M(1 + i)n M9= 1.000.000,00(1 + 0,04)9 = 1.000.000,00(1,04)9 = 1.000.000,00(1,42) = 1.420.000,00

Jadi besarnya modal setelah 3 tahun adalah 1.420.000,00

3).Banyak penduduk suatu kota mula-mula 600.000 jiwa. Banyak penduduk kota itu setelah n tahun adalah Pn = P(1,2)(0,1)n. Tentukan banyak penduduk kota itu setelah 10 tahun !. Penyelesaian : P = 600.000 n = 10 Pn = P(1,2)(0,1)n P10= 600.000(1,2)(0,1)10 = 600.000(1,2)1 = 600.000(1,2) = 720.000

Jadi seteleh 10 tahun penduduk kota itu sebanyak 720.000 jiwa. 2.. Peluruhan (Penyusutan).

Peluruhan (penyusutan) adalh berubahnya suatu keadaan yang mengalami pengurangan (penyusutan) secara eksponensial. Peristiwa yang termasuk dalam peluruhan (penyusutan) diantaranya adalah peluruhan zat radioaktif, penyusutan harga suatu barang, dan lain-lain.

(13)

Contoh :

1). Sebuah mobil dengan harga Rp 30.000.000,00 tiap-tiap tahun ditaksir harganya menyusut 10%. Berapa harga mobil setelah 4 tahun ?

Penyelesaian : M = Rp 30.000.000,00, i = 10 = 0,1, n = 4 Mn = M(1 –i)n M4= 30.000.000(1 – 0,1)4 = 30.000.000(0,9)4 = 30.000.000(0,6561) = 19.683.000

Jadi harga mobil setelah 4 tahun adalah Rp 19.683.000,00

2). Kadar radioaktif mineral mluruh secara eksponensial dengan laju perluruhan 8% setiap jam. Berapa persenkah kadar radioaktif mineral tersebut setelah 3 jam ? Penyelesaian:

Jika kadar radioaktif mula-mula M, maka kadar radioaktif mineral setelah 3 jam adalah

M3= M(1 – i)3, dengan i = 8% = 0,08

= M(1 – 0,08)3 = M(0,92)3 = M(0,778688)

Jadi setelah 3 jam kadar radioaktif mineral tinggal (0,778688) x 100% = 77,8688% SOAL-SOAL LATIHAN.

1.. Ahmad menabung di bank sebesar Rp 200.000,00. Bank memberikan bunga majemuk sebesar 2% perbulan. Tentukan besarnya uang Ahmad setelah 8 bulan !

2.. Ratna menabung sejumlah uang di bank dengan suku bunga 20% pertahun. Agar dalam waktu 3 tahun uang Ratna menjadi Rp 345.600,00. Berapa besar Ratna harus menabung pada awal tahun ?

4. Sebuah sel membelah menjadi 6 sel setiap 30 detik. Jika ada 2 sel yang membelah, tentukan banyak sel hasil pembelahan setelah 2 menit ?

4. Pertumbuhan penduduk suatu kecamatan berjalan secara eksponensial dengan laju pertumbuhan 2% pertahun. Pada awal tahun 1992 banyak penduduk kecamatan itu 200.000 jiwa. Tentukan banyak penduduk kecamatan tersebut pada :

a. awal tahun 1996 b. akhir tahun 1997

5.. Suatu koloni serangga populasinya berlipat dua dalam waktu 8 hari. Apabila sekarang terdapat serangga sebanayk 4.000 dalam koloni itu. Berapa banyak serangga :

(14)

6.. Sebuah sepeda motor dibeli dengan harga Rp 7.200.000,00. Setiap tahun harga sepeda motor tersebut menyusut 15% dari harga pada akhir tahun sebelumnya. Berapa harga sepeda motor tersebut setelah 4 tahun ?

7.. Harga suatu mesin elektronik sebesar Rp 1.000.000,00 tiap-tiap tahun menyusut 10%. Tentukan harga mesin elektronik tersebut setelah tahun ke empat !

8.. Arus Io ampere berkurang menjadi I ampere setelah t detik menurut rumus I = Io.2-t. Jika Io = 16 ampere. Setelah berapa detik arus berkurang menjadi 2 ampere ?

9.. Suatu zat radioaktif meluruh secara eksponensial dengan laju peluruhan 25% setiap jam. Tinggal berapa persen kadar radioaktif itu setelah 6 jam ?

10.. Sepotong logam pana mendingin secara eksponensial menurut rumus T = To.2-1,2t. Dalam hal ini T adalah selisih suhu logam dengan suhu udara sekitar mula-mula. Diketahui suhu logam dan suhu udara sekitar mula-mula adalah 360oC dan 30oC. Tentukan suhu logam setelah :

a. 5 menit b. 10 menit.

(15)

DAFTAR PUSTAKA

1. PR Matematika Kelas II SMU 2c, 1999, Basuki Hidayat, M.Mukti Aji, Intan Pariwara.

2. Setrategi Memahami Matematika SMTA seri A, Fatah Ashari, dkk, Epsilon Group Bandung, 1991

3. Matematika Kels XII Program Studi Ilmu Alam, 2005, Kartini, dkk, Intan Pariwara. 4. Matematika SMA Program ilmu-ilmu Fisik dan Ilmu-ilmu Biologi, 1991, Al