PROSES KEMATIAN MURNI (Pure Death Processes)

(1)

PROSES KEMATIAN MURNI (Pure Death Processes)

Komplemen dari bertambahnya proses kelahiran murni adalah dengan penurunan proses kematian murni. Hal itu ditunjukkan keberhasilan melewati state , 1, … , 2, 1 dan terakhir adalah pada state 0 (extinction). Proses ditentukan oleh parameter kematian 0 untuk k = 1, 2,.., , dimana waktu singgah pada state ke k adalah distribusi eksponensial dengan parameter , semua waktu singgah menjadi independen. Tipe jenjang sampel ditunjukkan pada gambar 6.1.

Gambar 6.1 Tipe jenjang sampel dari proses kematian murni menunjukkan waktu singgah S, … , S dan waktu menunggu W, W, … . , W.

Alternatifnya, kita mempunyai penggambaran amat kecil dari suatu proses kematian murni sebagai proses Markov X(t) yang ruang statenya adalah 0, 1, ...., N dan untuk yang lain

(i) Pr 1| , 1, … ,

(ii) Pr | 1 , 1, … ,

(6.12)

(iii) Pr | 0, 0, 1, … ,

Parameter merupakan operasi “laju kematian” atau pengaruh proses singgah pada state k. Hal tersebut umum dan dapat digunakan untuk menunjukkan 0. t WN WN-1 W2 S1 S2 SN-1 SN W1 1 2 N-2 N-1 X(t)

(2)

Ketika parameter kematian , , … . , berbeda, itu berarti _!" jika # " , kemudian kita mempunyai probabilitas transisi eksplisit

$% &'()*, dan untuk + , , $ Pr +|0 - -… . %./ , &'(01 2 /%, &'()13, dimana /, 1 % … - ' …

6.2.1 Proses Kematian Linear (Proses Kematian dengan Laju Kematian Sama)

Sebagai contoh, diberikan proses kematian murni dengan tingkatan kematian adalah proporsional untuk ukuran populasi. Proses ini, kita sebut dengan proses kematian linear, pelengkap Yule atau proses kelahiran linear. Parameternya adalah 4 dimana 4 merupakan tingkatan kematian individu dalam populasi. Maka

/ , 1 % %' … - ₄_{%' '}_{+ + 1 … 215}1 / -, 1 % - … - - - ₄_{%' '}_{+ 1 … 115}1 /, 1 % … - ' … ₄_{%' '}_{… 112 … +}1 ₄_{%' '}₁_'1_{! +!} Selanjutnya, $ - -… %7 /, &'(8* % 9 (6.13)

(3)

4%' '`! +! 7 & ';* 4%' '₁' _{! +!} % 9 %!_!&' ;*_∑ '=>?=@1 %' '!!!! %' !9 _{+! +! &}! ' ;*_{1 &}';*%' _{, + 0, … ,}

Diberikan T waktu dari kematian populasi. Pada umumnya, B CD+ E 0; 0. Selanjutnya B G jika dan hanya jika 0, yang mana menuju ke fungsi distribusi kumulatif dari T melalui :

HI PrB G Pr 0

$ 1 &';*%, E 0

Proses Kematian Linear dapat dijelaskan dengan cara lain, cara tersebut dapat didefinisikan dengan pendekatan antara distribusi eksponensial dengan parameter waktu kontinu Markov Chain. Anggap populasi N individu, untuk setiap tahan hidup merupakan variabel random independen yang mengikuti distribusi eksponensial dengan parameter 4. Diberikan X(t) adalah jumlah kemungkinan hidup dalam populasi tersebut pada waktu t. selanjutnya X(t) adalah proses kematian murni linear yang parameternya 4 untuk k = 0,1,2,...,N. Untuk mempermudah pemahaman tersebut, diberikan J, J, … , J_% menunjukkan waktu kematian dari individu dengan label 1,2,...N, masing-masing. Sketsa 6.2 menunjukkan hubungan antara waktu hidup individu J, J, … , J_% dengan proses kematian X(t). (6.14) (6.15) K% KL KM Waktu kematian X(t) IN D IV ID U JN JL J JO J JM 1 2 3 4 5 N = 6 5 N=6

(4)

Gambar 6.2 Proses kematian linier. Gambar diatas menjelaskan bahwa kematian pertama terjadi pada individu ketiga, sedangkan kematian kedua terjadi pada individu pertama dan seterusnya.

Waktu tinggal di negara bagian N, dilambangkan K_% , sama dengan waktu t dalam kematian, atau K_% minJ , . … . . , J_% . Karena daya tahan adalah independen dan memiliki distribusi eksponensial yang sama.

$SK% PrminJ , … , J%

Pr J , … , J%

TPr J U%

&'%;*

Diketahui K_% memiliki distribusi eksponensial dengan parameter Nα_{. Hal}

yang sama berlaku ketika ada anggota k hidup dalam populasi. Dalam distribusi eksponensial menyatakan bahwa tahan hidup dari masing-masing individu k eksponensial terdistribusi dengan parameter α_{. maka waktu tinggal}K_adalah

minimum k yang menyatakan tahan hidup dan karenanya secara eksponensial terdistribusi dengan kα_{parameter. Untuk memberikan pendekatan lebih lanjut}

dalam tingkatan transisi, setiap individu dalam populasi memiliki tingkat kematian konstan α_{yang berarti bahwa}

$S , J, | , J $S , J_{$S , J},

(5)

1 &';V

4 sebagai \ 0

Jika setiap individu k hidup dalam populasi pada waktu t memiliki tingkat kematian konstan α_{populasi, maka populasi total tingkat kematian k}α_harus

berbanding lurus dengan ukuran populasi. Hal itu cukup untuk menyatakan pendekatan parameter kematian merupakan cara yang tepat dan sering digunakan dalam pemodelan stokastik. Berikutnya adalah contoh ilustrasinya.

Gambar 6.3 Sebuah hubungan linier antara log rata-rata waktu kegagalan dan log beban.

6.2.2 Kabel Kegagalan di bawah Statis Keletihan

Kabel terdiri dari serabut paralel dengan ketegangan yang dirancang untuk mendukung ketinggian balon udara dari permukaan laut. Dengan beban desain 1000 kg dan waktu hidup desain 100 tahun, berapa banyak serabut harus digunakan dalam kabel?

Pada berat yang kecil (ringan), serabut berkekuatan tinggi menjadi digunakan sebagai subyek untuk static fatigue (kelelahan statis), atau pada akhir kegagalan ketika mengalami beban konstan. Beban konstan lebih tinggi, waktu hidup lebih pendek, dan percobaan telah membentuk plot linier pada sumbu log-log axes antara rata-rata waktu kegagalan dan beban yang ditunjukkan pada Gambar 6.3 slope ` 40 log beban log ( 1 kgs) log (100 thn) Log(waktu)

(6)

Hubungan antara rata-rata hidup _I dan beban l yang diilustrasikan pada Gambar 6.3 mengambil bentuk analitik

logI 2 40 logb

Bentuk kabel dirancang berdasarkan rata-rata hidup, untuk mencapai target desain 100 tahun, masing-masing serabut harus membawa 1 kg. Karena beban total adalah 1000 kg, maka 1000 serabut yang harus digunakan dalam kabel.

Ada yang mengira bahwa jumlah yang besar tersebut 1000 dari serabut akan memberikan alasan merancang kabel berdasarkan rata-rata serabut. Kita harus melihat bahwa alasan seperti itu adalah benar-benar salah.

Apabila diandaikan, terdapat kasus dengan pertunjukkan bahan berstruktur modern tinggi, bahwa terdapat jumlah yang besar pada sebaran acak dari daya tahan serabut individu disekitar rata-rata. Bagaimana keacakan ini mempengaruhi masalah desain?

Beberapa asumsi harus dibuat mengenai distribusi probabilitas yang mengatur daya tahan serat individu. Dalam prakteknya, sangat sulit untuk mengumpulkan data yang cukup untuk menentukan distribusi ini dengan tingkat kemiringan atau asimetri. Karena cocok dengan data kualitatif yang diamati, dan karena itu mengarah ke model proses kematian murni yang dapat diakses dengan analisis exchaustive, kita dapat mengasumsikan bahwa distribusi probabilitas untuk B kegagalan saat serabut tunggal yang diberlakukan pada waktu yang berbeda-beda dan beban tarik b , maka dapat dinyatakan

PrB G 1 &cd e f gTbhUih

j , E 0

Distribusi ini terkait dengan tingkat kegagalan atau tingkat bahaya(hazard rate) atau dari S gTbU pada serabut tunggal, tidak mengalami kegagalan lebih dahulu untuk waktu t dan membawa beban b, akan terjadi kegagalan selama interval , kU dengan probabilitas

Pr , B G ∆|B gTbU∆ ∆

Fungsi gTbU, disebut Breakdown rule (aturan rincian), menyatakan bagaimana perubahan beban mempengaruhi probabilitas kegagalan. Terdapat power law breakdown rule (aturan hukum daya kerusakan) di mana g TbU bm⁄/

(7)

untuk beberapa konstanta positif / dan `. Hukum daya kerusakan mengasumsikan, di bawah beban konstan b b , waktu kegagalan serabut tunggal adalah terdistribusi secara exponential dengan mean _I oTB|bU 1 gTbU⁄ /b'm_{. Sebuah plot dari rata-rata waktu kegagalan versus beban adalah}

linear pada log-log axes, kecocokan properti yang diamati dari jenis serabut tersebut. Untuk masalah desain terdapat ` 40 dan / 100.

Sekarang tempat dari serabut tersebut diparalel dan subjek menjadi bundel atau kabel menuju beban total, waktu konstan, pada p, di mana p adalah beban nominal per serabut. Apa distribusi probabilitas dari waktu pada saat gagalnya kabel? Karena serabut diparalel, Sistem waktu kegagalan ini sebanding dengan waktu kegagalan serabut terakhir.

Berdasarkan asumsi lain yang mengatur perilaku serabut tunggal, , banyaknya serabut yang tidak gagal dalam kabel pada waktu t, muncul sebagai proses kematian murni dengan parameter gTp ⁄ U untuk 1, 2, . . ., . Mengingat daya tahan serabut pada waktu ,dan diasumsikan bahwa jumlah beban bundel p adalah sebanding dengan , kemudian masing-masing membawa beban p ⁄ dan mempunyai tingkat kegagalan yang bersesuaian gTp ⁄ U.

Telah disebutkan sebelumnya bahwa waktu kegagalan sistem adalah q_%, waktu tunggu untuk kegagalan serabut ke N. Kemudian Pr 0 $ dimana $ diberikan secara eksplisit oleh (6.13) dengan istilah

, … , %. Secara alternative, kita dapat menggunakan waktu singgah pada proses

kematian murni dan, dari Gambar 6.1 dapat ditulis q K% K%' 2 K

Dimana K_%, K_%', … , K adalan variabel random independen dari distribusi eksponensial dan K_% memiliki parameter gTp ⁄ U p ⁄ m_//_{. Rata-rata sistem waktu kegagalan dihitung seperti berikut,}

oTq%U oTK%U 2 oTKU

/p'm_∑ s %t m % u9 /p'm_{7 v} w m' v_w1 % 9

(8)

Jumlah untuk oTq_%U terlihat berat pada pandangan pertama, namun pendekatan yang sangat dekat terjadi apabila mempunyai nilai yang besar. Gambar 6.4 membandingkan jumlah untuk sebuah integral.

Gambar 6.4 Jumlah ∑ ₉ ⁄ m'1 ⁄ merupakan pendekatan Riemann untuk x cm'_ic

m

Dari gambar 6.4 dapat dilihat bahwa:

7 v_w m'v_{w y f c}1 m'_ic1 ` % 9

Sehingga dengan mudah kita dapatkan 1 ` f cm'ic G vw m' v_{w G}1 f c m'_ic -/% /% v_{`w zv1}1 _w1 m v_w1 m{

Ketika 1000 dan ` 40 maka batas numeriknya adalah: v_{40w G 7 v}1 _w m'v_w1

%

9

G v_{40w 1.0408}1

(9)

Dengan mensubstitusikan 1/` ke dalam persamaan (6.16) memberikan rata-rata daya tahan kabel

oTq%U y_`p/_m

Untuk dibandingkan dengan rata-rata daya tahan serabut I _p/_m

Itu berarti, daya tahan kabel terakhir sekitar 1/` yang sama lamanya dengan rata-rata serabut(fiber) dibawah beban setara. Dengan / 100, ` 40 dan 1000, maka rata-rata kabel yang dirancang terakhir adalah 100}_T401_M_U 2,5 tahun, untuk jangka pendek dari daya tahan yang diinginkan dalam 100 tahun. Tujuannya adalah untuk meningkatkan jumlah serabut dalam kabel. Sehingga mengurangi beban per serabut. Peningkatan angka dari menjadi 5 mengurangi beban nominal per serabut. Dari p menjadi p5 %

%.

Untuk mencapai keseimbangan daya tahan serabut kabel, maka persamaannya adalah,

/

pm _`p/5/ m

5 `/m

Untuk data yang diberikan, didapatkan 5 100040/M 1097 serabut. Itu berarti daya tahan rancangan dapat dikembalikan oleh meningkatkan banyaknya serabut dalam kabel sekitar 10%.

CONTOH SOAL :

1. Proses kematian murni dimulai dari X(0)=3 mempunyai parameter kematian 0, 3, 2, _O 5. Tentukan $ untuk n = 0, 1, 2, 3

Jawab :

Untuk n=0 ; $ Pr 0|0 3

OT/,&'(* /,&'(* /,&'(* /O,&'(*

Dimana,

/, 1

O

1

(10)

/, 1 O 1 2. 1. 3 16 /, 1 O 1 3.1. 2 16 /O, 1 O O O 1 325 301 Jadi

$ 3.2.5T_{30 &}1 * 1_{6 &}'O*1_{6 &}'*_{30 &}1 'L*U

1 5&'O*_5&'*_&'L*

Untuk n=1 ; $ Pr 1|0 3

OT/,&'(* /,&'(* /O,&'(*

Dimana, /, 1 O 1 21 12 /, 1 O 1 3.1 13 /O, 1 O O 1 32 16 Jadi

$ 2.5T1_{2 &}'O*1_{3 &}'*1_{6 &}'L*U

5&'O*10 3 &'*106 &'L* Untuk n=2 ; $ Pr 2|0 3 OT/,&'(* /O,&'(*U Dimana, /, 1 O 1 3 /O, 1 O 1 3 Jadi $ 5T1_{3 &}'*1_{3 &}'L*U

(11)

5_{3 &}'*5

3 &'L*

Untuk n=3 ; $_O Pr 3|0 3

&'(* &'L*

2. Sebuah proses kematian murni dimulai dari X(0)=3 mempunyai parameter kematian 0, 3, 2, _O 5 diberikan q_Oadalah waktu acak dari proses untuk mencapai state ke 0

a. Tulis q_O sebagai jumlah dari waktu tunggu dan buktikan bahwa rata-rata waktu adalah E[q_O]=O

O

b. Hitung mean dari q q q_O Jawab :

a. Diketahui q_O K_O K K

Maka akan dibuktikan bahwa E[q_O]=O

O oTqOU _L_OO_O (Terbukti) b. q K₍ O q K K 1 1 1 2 13 56 qO KO K K1 O 1 1 1 5 12 13 3130

3. Diberikan proses kematian linear dengan X(0)=N=5 dan α_{=2. Tentukan}

Pr{X(t)=2}. Jawab : Menggunakan persamaan 6.14 $ _{+! +! &}! ' ;*_{1 &}';*%' _{, + 0, … ,} $ _{2! 3! &}5! '..*1 &'*O 10&'M*_{1 &}'*O

10&'M*_{1 3&}'*_3&'M*_&'N*